Chuyên đề khoảng cách và hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
22
2
xx
y
x
−+
=
−
có đồ thị là
()
C
. Tìm trên đồ thị
()
C
những điểm
M
sao cho
M
nằm trên
đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng
12
():1;():3
dydx
==


Gọi

00
0000
0
22
(;)():;2
2
xx
MxyCyx
x
−+
∈=≠
−

M
nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng
12
():1;():3
dydx
==
khi
22
00
120000000
0
22
0
0000
2
22
00

00
0000
22
(;)(;)|1||3||1||3||34||56|
2
1
3456
1;1
28100
34(56)
xx
dMddMdyxxxxxx
x
x
xxxx
xy
xx
xxxx
−+
=⇔−=−⇔−=−⇔−+=−+
−


=
−+=−+
⇔⇔⇔==−


−+=
−+=−−+






Vậy
(1;1)
M
−
là tọa độ cần tìm


Bài tập 1 :
1. Tìm trên đồ thị của hàm số
3
1
x
y
x
+
=
−
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng (d) :3x - 4y = 0 là bé nhất .
2. Tìm trên đồ thị của hàm số
2
1
x
y
x

+
=
−
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng (d) :x + y – 2 = 0 là bé nhất .
3. Tìm trên đồ thị của hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng (d) :x - y – 2 = 0 là bé nhất .Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm M nói trên song song với
đường thẳng (d).
4. Tìm trên đồ thị của hàm số
2
2
2
xx
y
x
−−
=
+
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng (d) :3x – 4y -12 = 0 là bé nhất .Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm M nói trên
song song với đường thẳng (d).

5. Tìm trên đồ thị của hàm số
42
yxx
=−
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng (d) :2x - y – 8 = 0 là bé nhất .
6. Tìm trên đồ thị của hàm số
2
45
2
xx
y
x
++
=
+
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng (d) :3x + y +6 = 0 là bé nhất.
7. Tìm trên đồ thị của hàm số
2
22
2
xx
y
x
+−
=
−
những điểm M sao cho M cách đều 2 trục tọa độ .

Bài tập 2 :
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1. Định m để hàm số
1
ymx
x
=+
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiêm cận xiên của
đồ thị hàm số bằng
1
2

2. Cho hàm số
2
(1)2
1
xmxm
y
x
−++
=
−
có đồ thị
()
m
C
. Định m để khoảng cách từ
(2;2)

M
đến
tiệm cận xiên của
()
m
C
nhỏ hơn 5.
Bài tập 3 :
1. Tìm trên đồ thị
2
23
():
1
xx
Cy
x
++
=
+
những điểm M thuộc đường phân giác của góc tạo bởi 2
đường thẳng
0;4310
xxy
=++=

2. Cho đường cong
2
():
1
m

xxm
Cy
x
++
=
+
. Định m để tồn tại điểm M trên
()
m
C
thỏa mãn M có
hoành độ lớn hơn 1 ; tung độ lớn hơn 2 và M cách đều 3 đường thẳng
1;2;
xy
==

3410
xy
++=