7 bài luyện thi vào 10 hình học có HD

(d)
H
I
F
O
A
D
C
B
E
K
Bi 1 Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai im C v D thuc ng trũn, B
l trung im ca cung nh CD. K ng kớnh BA ; trờn tia i ca tia AB ly
im S, ni S vi C ct (O) ti M ; MD ct AB ti K ; MB ct AC ti H.
a) Chng minh BMD = BAC, t ú => t giỏc AMHK ni tip.
b) Chng minh : HK // CD.
c) Chng minh : OK.OS = R
2
.
a) Ta có
ằ
ằ
BC BD=
(GT)


ã
ã
BMD BAC=

(2 góc nội tiếp chắn 2 cung băng

nhau)
* Do
ã
ã
BMD BAC=


A, M nhìn HK d-
i 1 góc bằng nhau

MHKA nội
tiếp.
b) Do BC = BD (do
ằ
ằ
BC BD=
), OC =
OD (bán kính)

OB là đờng trung
trực của CD

CD

AB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp,
ã
0
90AMH =
(góc nt chắn nửa đờng

tròn)


ã
0 0 0
180 90 90HKA = =
(đl)

HK

AB (2)
Từ 1,2

HK // CD
H
K
M
A
B
O
C
D
S
Bi 2
Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm O , v ng d quay quanh O ct 2 cnh AD v BC ln
lt E v F ( E,F khụng trựng cỏc nh hỡnh vuụng).T E v F ln lt v cỏc ng
thng song song vi BD v AC ct nhau I.
a) Tỡm qu tớch ca im I.
b) T I v ng vuụng gúc vi EF ti H.Chng t rng H thuc ng trũn c nh
v ng IH i qua im c nh.

Bi 4 : ( 3, 5 im)
a) Tỡm qu tớch
Thun: AEI vuụng cõn => AE = AI ; AOE =
OCF
=>AI = CF => FI //AB=> I

AB ( c nh)
* Gii hn I

AB v tr 2 im A v B
* o : Gi I bt k trờn AB (

A ,

B ) .Gi E,
F l im i xng ca I qua AC v BD
O
K
F
E
D
C
B
A
=>OA l phõn giỏc ca
ẳ
' 'I OE
; OB l tia phõn giỏc ca
ã
' 'I OF

=>
ẳ
0
'OF' 180E =
=> E ; O; F thng hng
* Kt lun : I

AB ngoi tr 2 im A v B
b)AEHI ni tip =>
ẳ
ẳ
0
45 IHFAHI AEI B= =
ni tip =>
ẳ
ẳ
ẳ
0 0
45 90BHI IFB AHB H= = =
ng trũn ng kớnh AB =>
ẳ
0
45KHA =
=>
K chớnh gia cung
ằ
AB
( c nh )
Bi 3.
Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn

đó Dng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh
C. Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của
CFvà ED
a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?
a. Ta có

KEB= 90
0

mặt khác

BFC= 90
0
( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=>

BFK= 90
0
=> E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b.

BCF=

BAF
Mà

BAF=

BAE=45
0
=>

BCF= 45
0
Ta có

BKF=

BEF
Mà

BEF=

BEA=45
0
(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>

BKF=45
0
Vì

BKC=

BCK= 45
0
=> tam giác BCK vuông cân tại B
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là

trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng
thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình
bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC
nên
CH
AB
và BH
AC
=> BD
AB
và CD
AC
.
Do đó:

ABD = 90
0
và

ACD = 90
0
.
Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
của đờng tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên

APB =

ADB
nhng

ADB =

ACB nhng

ADB =

ACB
Do đó:

APB =

ACB Mặt khác:

AHB +

ACB = 180
0
=>

APB +

AHB = 180
0

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên

PAB =

PHB
Mà

PAB =

DAB do đó:

PHB =

DAB
Chứng minh tơng tự ta có:

CHQ =

DAC
H
O
P
Q
D
C
B
A
Q
N

M
O
C
B
A
Vậy

PHQ =

PHB +

BHC +

CHQ =

BAC +

BHC = 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy

APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và

PAQ =

2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

Bài 5: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng
tròn
);( BCAC

. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax
tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia
BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ , tính BC theo R.
Bài 4:
a). Xét
ABM

và
NBM

.
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90
o
.
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM = MBN => BAM = BNM
=>
BAN

cân đỉnh B.
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB).
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM).

=> Tam giác MCN cân đỉnh M
b). Xét
MCB

và
MNQ

có :
MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)


BMC =

MNQ ( vì :

MCB =

MNC ;

MBC =

MQN ).
=>
) ( cgcMNQMCB
=
=> BC = NQ .
Xét tam giác vuông ABQ có

BQAC
AB

2
= BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB
2
= BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R
2
= BC( BC + 2R) => BC =
R)15(

Bài 6 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với
nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.
a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung
điểm của MN.
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.
c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua
hai điểm cố định.
HD a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N
Do MâN = 90
0
nên MN là đờng kính
Vậy I là trung điểm của MN
K
O
N
M
I
D
C
B

A
b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)
=> CN = MK = MD (vì MKD vuông cân)
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC không đổi
c) Ta có IA = IB = IM = IN
Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN đi qua hai điểm A, B cố định .
.Bài 7 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán
kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp
tuyến tại A và B lần lợt tại C và D.
a.Chứng minh : AC . BD = R
2
.
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
a.Ta có CA = CM; DB = DM
Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC


OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD
nên :
MO
2
= CM . MD

R
2
= AC . BD
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp
ã

ã
ã
ã
;MCO MAO MDO MBO = =

( )
.COD AMB g gV : V
(0,25đ)
Do đó :
1
. .
. .
Chu vi COD OM
Chu vi AMB MH
=
V
V
(MH
1


AB)
Do MH
1


OM nên
1
1
OM

MH



Chu vi
COD

V
chu vi
AMBV

Dấu = xảy ra

MH
1
= OM

M

O

M là điểm chính giữa của
cung
oh
d
c
m
b
a