IV . Phơng trình
IV.1- Phơng trình bậc nhất một ẩn Giải và biện luận: Giải và biện luận:
1. Kiến thức cơ bản
- Phơng trình bậc nhất 1 ẩn có d¹ng: ax + b = 0 (a 0) víi a, b là 2 số đà cho.
- Giải và biện luận phơng trình bậc nhất 1 ẩn:
Xét phơng trình ax + b = 0 <=> ax = - b
+ NÕu a = 0; b = 0 -> Phơng trình có vô sè nghiƯm
+ NÕu a = 0; b 0 -> Ph¬ng trình vô nghiệm
+ Nếu a 0, Phơng trình có 1 nghiƯm lµ x =
b
a
2. Bµi tËp vÝ dơ
VÝ dơ: Giải và biện luận phơng trình sau với m là tham số
m2 (x Giải và biện luận: 1) = x Giải và biện luận: 2m + 1
(1)
Giải: Phơng trình (1) <=> m2x Giải và biện luận: m2 = x Giải và biện luận: 2m + 1
<=> m2x Giải và biện luận: x = m2 Giải và biện luận: 2m + 1
<=> (m Giải vµ biƯn ln: 1) (m + 1) x = (m Giải và biện luận: 1)2
- Nếu m 1 thì phơng trình có nghiệm là x =
m 1
m 1
- Nếu m = 1 thì phơng trình là 0x = 0 => Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu m = -1 thì phơng trình là 0x = 4 => Phơng trình vô nghiệm
IV.2 Phơng trình bậc hai Giải và biện luận: Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai
1. Phơng trình bậc hai một ẩn:
- Là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, (a 0). Trong đó x là ẩn; a, b, c R
- Cách giải:
Cách 1: Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đa về phơng trình tích.
Cách 2: Dùng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.
Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x2 Giải và biện luận: 7x + 4 = 0 (1)
Cách 1: Phơng trình (1) <=> 3x2 Giải và biện luận: 3x Giải và biện luận: 4x + 4 = 0
<=> (3x Giải và biện luận: 4) (x Giải và biÖn luËn: 1) = 0 <=>
4
x
3 x 4 0
3
x 1 0
x 1
VËy phơng trình có 2 nghiệm: x1 =
Cách 2: = 49 Giải và biện luận: 48 = 1;
x1
7 1 4
;
6
3
x2
4
; x2 = 1
3
1
7 1
1
6
VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm: x1 =
4
; x2 = 1
3
VÝ dơ 2: Cho phơng trình: m(x2 Giải và biện luận: 4x + 3) + 2(x Giải và biện luận: 1) = 0
a) Giải phơng trình với m = -
(1)
1
2
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
Giải: Phơng trình (1) <=> mx2 Giải và biện luận: 2x (2m Giải và biện luận: 1) + 3m Giải và biÖn luËn: 2 = 0
1
, phơng trình (1) là: x2 Giải và biện luận: 8x + 7 = 0. Phơng trình có 2 nghiƯm
2
a) Víi m = -
x1 = 1; x2 = 7
b) Với m = 0, phơng trình (1) là: 2x Giải và biện luận: 2 = 0 ; PT có nghiƯm x = 1
Víi m 0, ’ = 4m2 Giải và biện luận: 4m + 1 Giải và biện luận: 3m2 + 2m = m2 Giải và biện luận: 2m + 1 = (m Giải và biện luận: 1)2 0 Với
m -> Phơng trình luôn có nghiệm.
Vậy phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Với m = 0, phơng trình có nghiệm là x = 1 Z
Với m
0, phơng trình cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
2m 1 m 1 3m 2
m
m
2m 1 m 1
x2
1
m
x1
x2
Z => để phơng trình luôn có nghiệm nguyên thì
3m 2
2
Z 3
Z 2m m 1;2
m
m
Vậy với m = 0; 1;2 thì phơng trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình: x4 + x3 Giải và biện luận: 3a2x2 Giải và biện luận: 2a2x + 2a4 = 0 (1)
Giải:
Phơng trình (1) <=> 2a4 Giải và biện luận: a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = 0
(2)
Coi phơng trình (2) là phơng trình với ẩn a, tham số x.
Đặt a2 = t ( t 0) ta đợc phơng trình:
2t2 Giải và biện luận: (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = 0
(3)
2
2
4
3
= (3x + 2x) – Giải và biện luận: 8 (x + x )
x4 + 4x3 + 4x2 = (x2 + 2x)2 0
=> Phơng trình lu«n cã nghiƯm
3x 2 2 x x 2 2 x 2 x 2 x 2
4
4
2
2
2
3x 2 x x 2 x
t2
x 2 x
4
t1
2
2
* Víi t1 x ta cã: a2 = x <=> x2 = 2a2
2
2
- NÕu a = 0 => x1 = x2 = 0
- NÕu a 0 => x3, 4 = a 2
* Víi t2 = x2 + x ta cã: a2 = x2 + x <=> x2 + x Giải và biện luận: a2 = 0
= 1 + 4a2 > 0 với mọi a
Phơng trình luôn có 2 nghiƯm ph©n biƯt:
x5
x6
1 1 4a 2
2
1
1 4a 2
2
VËy nÕu a = 0, phơng trình có 2 nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1
Nếu a
0
, phơng trình có 4 nghiệm là:
2
x1;2 = a 2 ; x3;4 = 1 1 4a
2
* Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phơng trình bậc 2:
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để 2 phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung.
x2 + (m Giải và biện luận: 8)x + m + 3 = 0 (1)
x2 + (m Giải và biện ln: 2)x + m - 9 = 0
(2)
Gi¶i: Gi¶ sư x0 là nghiệm chung của 2 phơng trình, thế thì:
x02 + (m Giải và biện luận: 8) x0 + m + 3 = 0 (1’)
x02 + (m – Gi¶i và biện luận: 2) x0 + m Giải và biÖn luËn: 9 = 0
(2’)
=> - 6x0 + 12 = 0 <=> x0 = 2
Thay vào (1) tìm đợc m = 3
Với m = 3 thì phơng trình (1) là: x2 Giải và biện luận: 5x + 6 = 0
<=> (x Giải và biện luận: 2) (x Giải và biện luận: 3) = 0 => x1 = 2; x2 = 3
Phơng trình (2) là: x2 +x Giải và biện luận: 6 = 0 <=> (x Giải và biện luận: 2) (x + 3) = 0
=> x1 = 2; x2 = -3
Khi ®ã nghiƯm chung cđa 2 phơng trình là x = 2
Vậy với m = 3 thì 2 phơng trình có nghiệm chung là x = 2
2. Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai.
a) Hệ thức Viét:
0
+ Nếu x1, x2 là các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a
S x1 x 2
) th×:
P x1 .x 2
b
a
c
a
+ Ngợc lại: Nếu có 2 số x1; x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P thì x1; x2 là các nghiệm của phơng
trình: X2 Giải và biện luận: SX + P = 0
b) Một số áp dụng:
Hệ thức Viét thờng đợc ứng dụng để giải một số dạng bài tập sau:
b1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai:
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a
0
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng tr×nh cã 2 nghiƯm: x1 = 1; x2 =
- NÕu a Giải và biện luận: b + c = 0 th× x1 = -1; x2 = -
c
a
c
a
VÝ dơ: TÝnh nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2 .x2 Giải và biện luận: (3 - 2 )x + ( 2 - 1)2 = 0
(1)
b) mx2 Giải và biện luận: (1 Giải và biện luận: m) x Giải và biện luận: 1 = 0
(2)
Giải: a) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0,
cã: a + b + c = 2 - (3 - 2 ) + ( 2 - 1)2
=
2
-3+
2
+3-2 2 =0
c
=
a
=> Phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
2 1
2
2
b) + Víi m = 0, ph¬ng trình là: -x Giải và biện luận: 1 = 0 <=> x = -1
+ Víi m 0 , ph¬ng trình (2) là phơng trình bậc hai có
a Giải vµ biƯn ln: b + c = m + 1 Giải và biện luận: m Giải và biện luận: 1 = 0
Phơng trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = -
c
1
=
a
m
b2) Xét dấu các nghiệm của phơng trình.
Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0 )
Gäi S = x1 + x2; S = -
b
c
; P = x1.x2; P =
a
a
Điều kiện để phơng trình:
- Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 (khi đó hiĨn nhiªn > 0)
0
- Cã 2 nghiƯm cïng dÊu
P 0
- Cã 2 nghiƯm cïng d¬ng:
- Cã 2 nghiệm cùng âm
P
S
P
S
0
0
0
0
0
0
Ví dụ: Cho phơng trình: x2 + 2( m Giải và biện luận: 2)x Giải vµ biƯn ln: 2m + 1 = 0
(1)
3 2 4
2
)
Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng? 2 nghiệm trái dấu
Giải: Phơng trình (1) cã 2 nghiƯm d¬ng:
P
S
0
0
0
m 2 2m 3 0
1
m
2
m
2
<=> m <
m
m
m
<=>
1
2
2
m
2
( 2m
2m 1 0
2( m
2)
0
0
2 0
1
2
2
1
2
VËy với m <
1)
TM với mọi m
1
thì phơng trình có 2 nghiệm dơng.
2
b3) Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình.
Trớc hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm của phơng trình. Sau đó tính S = x1 + x2; P =
x1.x2 và biến đổi hệ thức cần tính theo S và P.
Ví dụ: Cho phơng trình x2 Giải và biện luận: 5x + 3 = 0
(1)
Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hÃy tính:
a) x12 + x22
b) x12 Giải và biện luận: x22
c)
1
1
3
3
x1 x 2
Giải: Phơng trình (1) có: = 25 Giải và biện luận: 12 = 13 > 0 -> Phơng trình luôn có 2 nghiệm x 1; x2. Theo
định lý Viét ta cã: x1 + x2 = 5; x1.x2 = 3
a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 Giải và biện luận: 2x1x2 = 52 Giải và biện luận: 2.3 = 19
b) (x1 Giải và biện luận: x2)2 = (x1 + x2)2 Giải và biện luận: 4 x1x2 = 52 Giải và biện luận: 4.3 = 13 x1 - x2 = 13 .
Ta cã: x12 Giải và biện luận: x22 = (x1 Giải vµ biƯn ln: x2)(x1 + x2) = 5 13
1
1
x23 x13 ( x2 x1 )( x2 2 x12 x2 x1 ) 5(19 3) 80 80
c) 3 3 =
3
x1 x 2
27
x23 x13
x23 x13
33
3
b4) X¸c định hệ số của phơng trình, biết hệ thức giữa các nghiệm
Ví dụ: Cho phơng trình: x2 Giải và biện luận: 3x + (k Giải và biện luận: 1) = 0
(1)
Xác định hệ số k để phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mÃn 1 trong các điều kiện sau:
a) 2x1 Giải và biện luận: 5x2 = - 8
b) x12 Giải và biện luận: x22 = 15
c) x12 + x22 = 3
Giải: Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là: 0
= 9 Giải và biện luận: 4 (k Giải và biện luận: 1) = 9 Giải và biện luận: 4k + 4 = 13 Giải và biện luận: 4k
13
4
0 <=> 13 Giải và biện luận: 4k 0 <=> k
Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x1; x2
áp dụng hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 3
x1.x2 = k Giải và biện luận: 1
(3)
a) Giải hệ phơng trình:
2 x 2 x 2 6
7 x 14
x 2
1
2
2
2 x1 5 x 2 8
x1 x 2 3
x1 1
x1 x 2 3
2 x1 5 x 2 8
(2)
Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k Giải và biện luận: 1 => k = 3 (TMĐK (2))
b) Giải hệ phơng trình:
x1 x2 3 x1 x2 3
x x 3 x 4
1 2 1
2 2
x1 x2 15 (x1 x2 )( x1 x2 ) 15 x1 x2 5 x2 1
Thay vµo (3) ta cã: 4. (-1) = k Giải và biện luận: 1 <=> k = -3 (TM§K)
x2
3
x1
2
2
x2
3
x1
x
k
1
1 .x 2
c) Giải hệ phơng trình:
Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 Giải và biện luận: 2x1x2
=> 3 = 32 Giải và biện luận: 2 (k Giải và biện luận: 1)
<=> k = 4, không TMĐK (2).
Vậy không tồn tại số k để thoả mÃn x12 + x22 = 3.
b5) Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phơng trình bậc 2: ( m Giải và biện luận: 2)x2 Giải và biện luận: 2(m + 2)x + 2 (m Giải và biện luận: 1) = 0
(1)
Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham
số m.
Giải: Vì phơng trình đà cho là phơng trình bậc hai nên m 2
' =[-(m+2)]2 Giải và biện luận: 2(m Giải và biện luận: 2) (m Giải và biện luận: 1) = -m2 + 10m
Phơng trình đà cho có nghiệm khi và chỉ khi:
2
' 0 <=> m Giải và biÖn luËn: 10m 0 <=> m ( m – Giải và biện luận: 10) 0 <=> 0 m 10
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình (1). Theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
2( m 2)
x1 x 2
m 2
2( m 1)
x .x
2
1
m 2
Tõ (1) : x1 + x2 =
Tõ (2): x1.x2 =
(1)
( 2)
( x x2 ) 2
2m 4 8
8
1
2
1
(3)
m 2
m 2
m 2
8
xx 2
2m 2 2m 4 2
2
1
2
1 2
( 4)
m 2
m 2
m 2
m 2
2
x1 x 2 2 x1 .x 2 2
4 x1 .x 2 ( x1 x 2 ) 6
8
2
Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 Giải và biện luận: (x1 + x2) = 6
b6) Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Ví dụ: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình:
Từ (3); (4) =>
x2 Giải và biện luận: (1 + 2 ) x + 2 = 0 (1)
(m < n)
Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:
x1
1
m 2
;
1
x2
1 n
Giải: Phơng trình (1) có: a + b + c = 1 Giải và biện luận: (1 +
2
)+
2
=0
=> Phơng trình có 2 nghiệm là 1 và 2
Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình (1) víi m < n
=> m = 1; n =
x1
1
2
1
;
m 2 1 2
1
1
x2
1 n 1 2
x1 + x2 =
1
1 2
1
x1.x2 =
.
1
1
2
1
1 2 1
2
2
1
=> x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2 + 2x Giải và biện luận: 1 = 0
3. Bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phơng trình bậc nhất 1 ẩn
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a) (2x Giải và biện luận:1)2 Giải và biện luận: (2x Giải và biện luận: 2) (2x + 2) = x (2x Giải và biện luận: 1) Giải và biện luận: (2x2 + 5x Giải và biÖn luËn: 3)
b)
3x 1 3x 2 3x 3 3x 4
2005
2004
2003
2002
c)
x 1050 x 1055 x 1060 x 1065 x 1070 x 1075
956
951
946
941
936
931
d)
x 3 x 4 x 6
6
201
100
66
1
1
1
148
49
1
...
x
. x 1 x
97.99
99
99
1.3 3.5 5.7
e)
x
g)
3
2
2x
7 5
3x
5
2
4x
7 3
7
Bài 2: Giải các phơng trình sau (với x là ẩn số):
a) 4m2 (x Giải và biện luận: 1) = x Giải và biện luËn: 4m + 1
b)
m( x 1) m x
2
2
3
c)
x a 2 x a x 2a
0
a 1
a 1 1 a 2
d)
a b x a c x b c x
4x
1
c
b
a
a b c
2. Phơng trình bậc hai Giải và biện luận: Hệ thức Viét và ứng dụng:
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a) 2
b)
3 x2
2
Giải và biện luận: (
3
+1)x -
x2 + (2 2 -3)x +
3
2
+1=0
-3 = 0
2
c) x 1 x 2 x 3 x 1
2
3
Bài 4: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m.
(m Giải và biện luận: 2) x2 Giải và biện luận: (5m2 + 4m Giải và biện luận: 1)x Giải và biện luận: m + 2 = 0
Bài 5: Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phơng trình sau là các số nguyên.
x2 Giải và biện luận: 2(2n + 1)x + 4 (n Giải và biện luận: 2) = 0
Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 Giải và biện luận: x Giải vµ biƯn ln: 1 = 0
a) TÝnh x12 + x22
b) Chøng minh: Q = (x12 + x22 + x14 + x24) 5
Bài 7: Tìm m để phơng trình: x2 Giải và biện luận: mx + m2 Giải và biện luận: 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 8: Cho phơng trình: x2 Giải và biện luận: mx + m2 Giải và biện luận: 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt.
b) Tìm m để phơng trình chỉ có 1 nghiệm là dơng.
Bài 9: Cho phơng trình: x2 Giải vµ biƯn ln: 2( m+ 1) x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phơng trình cã nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n: x12 + x22 = 12
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m?
Bài 10: Cho phơng trình: x2 Giải và biện luận: 2(m + 1)x + 2m Giải và biện luận: 15 = 0
Gọi các nghiệm của phơng trình là x1; x2
a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4
b) Tìm số nguyên m sao cho F =
1
1
cũng là số nguyên.
x1 x 2
Bài 11: Cho phơng trình: (m + 1) x2 Giải và biện luận: 2(m Giải và biện luận: 1) x + m Giải và biện luận: 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình cã 2 nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n hƯ thøc
1
1
7
x1 x 2 4
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x12 + 2x22 + x1x2
Bài 12: Cho phơng trình bậc hai:
x2 Giải và biện luận: 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0
(1)
(m lµ tham số)
a) Tìm m để (1) có nghiệm.
b) Cho biểu thøc A = 6x1x2 + x12 + x22 (x1; x2 là nghiệm của (1). Tìm m sao cho A đạt
giá trị nhỏ nhất. HÃy tìm giá trị ấy.
3 x 3
Bµi 13: Cho biĨu thøc: P =
3
x
x
3 x
4x 5
4 x 1
:
x 9 3 x 3 x x
BiÕt víi x ≥ 0, x 9, x 1 th× P cã nghĩa.
a) Rút gọn P.
b) Gọi x0 là nghiệm của phơng trình: x2 Giải và biện luận: 11x + 18 = 0 Tính giá trị của P tại x0
Bài 14: Cho phơng trình: (m Giải và biện luận: 1) x2 Giải và biện luận: 2mx+ m + 2 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ
giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
b) Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mÃn hƯ thøc:
x1 x 2
6 0
x 2 x1
Bµi 15: Cho phơng trình: (x + 1)4 Giải và biện luận: (m Giải và biện luận: 1) (x + 1)2 Giải và biện luận: m2 + m Giải và biện luận: 1 = 0
(1)
a) Giải phơng trình với m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2 với mọi giá trị
của tham số m.
Bài 16: Cho phơng trình: x Giải và biện luận: m2 = 3 -
- mx 2
(1)
a) Tìm tham số m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Tính nghiệm đó với m =
2
2
+ 1.
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) nhận x = 5 2 - 6 lµ nghiƯm.
c) Gọi m1; m2 là hai nghiệm của phơng trình (1) ẩn m. tìm x để m1; m2 là số đo 2 cạnh góc
vuông của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng
4 2 2
Bài 17: Cho phơng trình bậc hai đối với x: x2 Giải và biện luận: 2(m Giải và biện luận: 1)x + m Giải và biện luận: 3 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = 0
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m
c) Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc m.
d) Xác định giá trị của m sao cho phơng trình có 2 nghiệm bằng nhau về GTTĐ và trái
dấu nhau.
Bài 18: Giải phơng trình:
x4 Giải và biện luận: 10x3 Giải và biện luận: 2( a Giải và biện luận: 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = 0
(a > -6)
Bµi 19: Giải phơng trình: x4 - 2 2 x2 Giải và biện luận: x + 2 -
2
=0
Hớng dẫn giải bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phơng trình bậc nhất.
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a, (2 x 1)2 (2 x 2)(2 x 2) x (2 x 1) (2 x 2 5 x 3)
4 x 2 4 x 1 (4 x 2 4) 2 x 2 x 2 x 2 5 x 3
4 x 5 3 6 x 0
2 x 2 0 2 x 2 x 1
Vậy phơng trình có nghiÖm x = -1.
3x 1 3 x 2 3x 3 3 x 4
2005 2004
2003 2002
b,
3x 1
3x 2
3x 3
3x 4
1
1
1
1
2005
2004
2003
2002
3 x 2006 3 x 2006 3 x 2006 3 x 2006
2005
2004
2003
2002
1
1
1
1
(3 x 2006)(
) 0
2005 2004 2003 2002
Do
1
1
1
1
1
1
1
1
vµ
(
)0
2005 2003
2004 2002
2005 2004 2003 2002
3x 2006 0 x
Vậy phơng trình có nghiệm x
c,
2006
3
2006
3
x 1050 x 1055 x 1060 x 1065 x 1070 x 1075
956
951
946
941
936
931
(
x 1050
x 1055
x 1060
1) (
1) (
1)
956
951
946
x 1065
x 1070
x 1075
(
1) (
1) (
1)
941
936
931
x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006
956
951
946
941
936
931
1
1
1
1
1
1
( x 2006)(
) 0
956 951 946 941 936 931
t¬ng tù ta cã: (
d,
1
1
1
1
1
1
) 0 x 2006 0 x 2006
956 951 946 941 936 931
x 3 x 4 x 6
6
201 100
66
x 3
x4
x6
1) (
2) (
3) 0
201
100
66
x 204 x 204 x 204
0
201
100
66
1
1
1
( x 204)(
) 0
201 100 66
x 204 0 x 204
Vậy phơng trình có nghiÖm x = - 204.
(
1
1
1
1
148 x 49
e, (
...
)( x 1) x
1.3 3.5 5.7
97.99
99 99
1 2
2
2
2
148 x 99 x 49
(
...
)( x 1)
2 1.3 3.5 5.7
97.99
99
99
1
1 1 1 1 1
1
1
49 x 49
(1 ...
)( x 1)
2
3 3 5 5 7
97 99
99 99
1
1
49
1
1
49
(1
)( x 1) ( x 1) ( x 1)(
) 0
2
99
99
2 2.99 99
x 1 0 x 1.
Vậy phơng trình cã nghiÖm x = 1.
g,
x
3 2
2x
7 5
3x
4x
7
5 2
7 3
x ( 3 2) 2 x ( 7 5) 3 x ( 5 2) 4 x( 7 3)
7
1
7 5
5 2
7 3
x 3 2 7 5 5 2 7 3 7
(vô lý)
x.0 7
Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm.
Bài 2: Giải các phơng trình sau (víi x lµ Èn sè)
a, 4m 2 ( x 1) x 4m 1 4m 2 x 4m 2 x 1 4m
x(4m 2 1) 4m 2 4m 1 x(2m 1)(2m 1) (2m 1) 2
m1
2
* NÕu (2m 1)(2m 1) 0
m 1
2
1
1
Víi m 2. 1 0 ph¬ng trình có vô số nghiệm
2
2
m
1
1
2( ) 1 0 phơng trình vô số nghiệm.
2
2
* Nếu (2m 1)(2m 1) 0 m
x
KÕt luËn:
b,
1
1
vµ m phơng trình có nghiệm
2
2
(2m 1) 2
2m 1
(2m 1)(2m 1) 2m 1
1
m phơng trình có vô số nghiệm.
2
m
1
phơng trình vô nghiệm.
2
m
1
1
2m 1
; m phơng trình có nghiÖm: x
2
2
2m 1
m( x 1) m x
2
2
3
3m( x 1) 2(m x ) 12
3mx 3m 2m 2 x 12
x (3m 2) 12 5m
* NÕu 3m 2 0 m
2
3
2
khi ®ã 12 5m 12 5. 0 phơng trình vô nghiệm.
3
2
12 5m
* NÕu 3m 2 0 m ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x
.
3
3m 2
KÕt ln:
2
m phơng trình vô nghiệm.
3
2
12 5m
m phơng trình cã nghiÖm x
.
3
3m 2
c,
x a 2 x a x 2a
0
a 1
a 1 1 a 2
(®k: (1 a)(1 a) 0 a1
a 1
( x a 2)(a 1) ( x a )(a 1) ( x 2a )
0
a2 1
x(a 1) a 2 a 2 x( a 1) a 2 a x 2a 0
x (a 1 a 1 1) 2a 2 0
x (2a 1) 2(a 1)
1
1
* NÕu 2a 1 0 a 2( a 1) 2( 1) 0 phơng trình vô nghiệm.
2
2
a1
2(a 1)
2a 1 0 2 phơng trình có nghiệm x
a1
2a 1
1
a
2 phơng trình vô nghiệm.
a 1
Kết luận:
1
2(a 1)
a
2 phơng trình có nghiệm x
2a 1
a 1
d,
a b x a c x b c x
4x
1
c
b
a
a b c
®k: a 0; b 0; c 0
a b x
a c x
bc x
4x
1
1
1 4
c
b
a
a b c
a b x c a c x b b c x a
a b c x
4
c
b
a
a b c
1 1 1
4
(a b c x)(
) 0
c a b a b c
a b c x 0 x a b c
1 1 1
4
0
a b c a b c
2. Phơng trình bậc hai Giải và biện luận: Hệ thøc ViÐt vµ øng dơng
Bµi 3:
a, 2 3x 2 ( 3 1) x
3 1 0
( 3 1) 2 2 3.4.( 3 1)
3 1 2 3 24 2 3 28 0
phơng trình có 2 nghiệm
3 1 28
3 1 28
; x2
4 3
4 3
x1
b,
2 x 2 (2 2 3) x 2 3 0
(2 2 3) 2 4 2( 2 3) 4.2 9 12 2 8 12 2
9 0
phơng trình có 2 nghiÖm
x1
(2 2 3) 3
1
2 2
x2
(2 2 3) 3 3 2
2 2
2
x1 1
Vậy phơng trình có 2 nghiệm:
x2
3
2
2
2
c, ( x 1) ( x 2)( x 3) x 1
2
3
3( x 2 2 x 1) 2( x 2 x 6) 6( x 1) 0
5 x 2 10 x 3 0
25 15 40 0
phơng trình có 2 nghiệm: x1 5
40
5
; x2
5 40
.
5
Bµi 4
+Víi m 2 0 m 2
Khi đó phơng trình (5.4 4.4 1) x 2 2 0 x 0
+ Víi m 2 0
(5m2 4m 1) 2 4( m 2) 2 0
VËy víi m phơng trình có nghiệm.
Bài 5:
(2n 1)2 4(n 2) 4n2 9 0
Phơng trình cã 2 nghiÖm
4n 2 9
x1 2n 1
x2 2n 1 4n 2 9
§Ĩ x1 ; x2 Z 2n 1
và
Đặt
4n 2 9 Z
2n 1 4n 2 9 Z
4n 2 9 Z
4n 2 9 k
(k Z )
k 0
4n 2 k 2
k 2 4n 2 9 (k 2n)(k 2n) 9
mà k , n Z nên ta cã:
k 2n 1
- NÕu
k 2n 9
k 5
n 2
k 2n 1 k 5
- NÕu
k
2
n
9
n 2
k 2n 3 k 3
- NÕu
k 2n 3 n 0
m
k 2n 3 k 3
- NÕu
k 2n 3 n 0
VËy giá trị cần tìm là: n 2; n 0
Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình
x 2 x 1 0
a, 1 1 2 phơng trình có 2 nghiệm x1; x2
x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
¸p dông Viet:
x1 x2 1
x1 x2 1
Khi ®ã: x12 x22 12 2 3 .
b,
Q x12 x22 ( x12 x22 ) 2 2 x12 x22
3 9 2 105
Bµi 7:
Ta cã: m 2 4(m 2 7) 28 3m2
Để phơng trình có 2 nghiệm cần:
28 3m 2 0
28
28
m
3
3
Theo hÖ thøc Viet ta cã:
x1 x2 m
2
x1.x2 m 7
(1)
theo yêu cầu ®Ị bµi:
x1 2 x2
Thay vµo (1) ta cã:
m
3 x2 m x2
3
2
2 x 2 m 2 7 x m 7
2
2
2
2
* m m 7 2m 2 9(m2 7) 7 m2 63 m 2 9 m 3
3
2
tho¶ m·n
* m
3
28
28
m
3
3
m2 7
m 0 Khi ®ã
2
2m 3 m2 7 m 3 tho¶ mÃn
Vậy m 3 là giá trị cần tìm.
Bài 8: a, Để phơng trình có nghiệm dơng phân biệt cần
0
P 0
S 0
m 2 4(m 2 3) 0
m2 3 0
m0
2 m 2
m 3
12 3m 2 0
m 3
m 3
m0
3m2
3 m 2 phơng trình có 1 nghiệm là dơng.
b, Để phơng trình chỉ có 1 nghiệm là dơng thì
Vậy
P 0 m2 3 0 3 m 3
Bài 9: Để phơng trình có nghiệm x1; x2 th× 0
(m 1) 2 (m 2 3m 2) 0
m 2 2m 1 m 2 3m 2 0
m 1 0 m 1
¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã:
x1 x2 2(m 1)
2
x1.x2 m 3m 2
(3)
(4)
a, Ta cã:
x12 x22 12 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 12
4(m 1) 2 2( m2 3m 2) 12
2m 2 4m 2 m 2 3m 2 6
m 2 m 6 0
m 3 0 m 3
(m 3)(m 2) 0
m 2 0 m 2
V× m < -1 phơng trình có 2 nghiệm nên chỉ cã m = -3 tho¶ m·n.
VËy víi m = -3 phơng trình có nghiẹm x1; x2 thoả mÃn: x12 x22 12
b, Tõ (3):
x1 x2 2m 2
m
Tõ (4) ta cã:
x1 x2 2
2
(*)
x1.x2 (m 1)(m 2)
Kết hợp với (3) và (*) ta đợc:
x1 x2 x1 x2 2
.
2
2
( x x )( x x 2)
x1.x2 1 2 1 2
4
4 x1.x2 ( x1 x2 ) 2 2( x1 x2 )
x1.x2
VËy hƯ thøc liªn hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
4 x1.x2 ( x1 x2 ) 2 2( x1 x2 )
Bài 10: Để phơng trình đà cho cã nghiƯm th× 0
(m 1) 2 (2m 15) 0
m 2 17 0
m
¸p dơng hÖ thøc Viet ta cã:
x1 x2 2(m 1)
x1.x2 2m 15
Giải hệ phơng trình:
x1 x2 2(m 1) (*)
(**)
x1 5 x2 4
x .x 2m 15 (***)
1 2
1 m
x1 2
Từ (*) và (**) ta đợc:
x 3 5m
2
2
Thay vào (***) ta đợc:
1 m 3 5m
.
2m 15
2
2
3 2m 5m 2 8m 60
5m 2 6m 63 0
m 3
m 21
5
VËy víi m 3 hoặc m
b, Ta có: F
21
thì phơng trình có các nghiệm x1; x2 sao cho x1 5 x2 4 .
5
1 1 x1 x2 2( m 1) 2m 15 17
17
1
x1 x2
x1 x2
2m 15
2m 15
2m 15
Để F nguyên thì (2m - 15) phải là ớc của 17, mà ớc của 17 lµ: 1; 17
+ Víi 2m 15 1 2m 16 m 8
+ Víi 2m 15 1 2m 14 m 7
+ Víi 2m 15 17 2m 32 m 16
+ Víi 2m 15 17 2m 2 m 1
VËy víi m = -1; m = 7; m = 8; m = 16 thì F
1 1
là số nguyên.
x1 x2
Bài 11:
a, Để phơng trình có 2 nghiệm phân biƯt th×
( m 1) 2 ( m 1)(m 2) 0
0
m 1
m 1 0
m 3 0 m 3
m 1
m 1
Vậy để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì m ( ; 1) ( 1;3)
b,
Gi¶ sử phơng trình có nghiệm x1 = 2x2
Theo hệ thức Viet ta cã:
2(m 1)
x1 x2
m 1
m
2
2(m 1)
x1 x2
2(m 1)
m 1
4(m 1) m 2 4(m 1)
m 6
Víi m 6 th× 2 x2
6 2
4
x2
6 1
5
Vậy với m 6 thì phơng trình cã 1 nghiƯm b»ng 2 vµ nghiƯm kia b»ng
c, Ta cã
1 1 7
x x
7
1 2
x1 x2 4
x1 x2
4
2(m 1)
7
2(m 1) 7
m 1
m 2
4
m 2
4
m 1
8m 8 7 m 14 m 6.
VËy víi m 6 ph¬ng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mÃn:
d, Tìm GTNN cđa biĨu thøc:
A 2 x12 2 x22 x1 x2 2( x1 x2 ) 2 3 x1 x2
4(m 1) 2
m 2 5m2 13m 14
2.
3.
(m 1) 2
m 1
(m 1)2
A( m 1) 2 5m 2 13m 14
Am 2 2 Am A 5m 2 13m 14
m 2 ( A 5) m(2 A 13) A 14 0
Víi A = 5 phơng trình là m
9
23
Với A 5 để có m th× 0
(2 A 13) 2 4( A 5)( A 15) 0
132 A 131 0
131
A
132
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thøc lµ
131
.
132
1 1 7
x1 x2 4
4
.
5
Bài 12:
a, Để phơng trình (1) có nghiệm thì 0
(m 1) 2 (2m 10) 0
m 3
m 2 9 0
m 3
VËy víi m ; 3 3; phơng trình (1) có nghiệm.
b,
A 6 x1 x2 x12 x22
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4(m 1) 2 4(2m 10)
4m 2 16m 44 (2m 4) 2 28 28
Amin 28 khi 2m 4 0 m 2.
VËy víi m 2 thì Amin 28 .
Bài 13: Cho biểu thức.
P (
3 x 3 x
4x
5
4 x 1
):(
)
3 x 3 x x 9 3 x 3 x x
a, Rót gän
P
(3 x ) 2 (3 x ) 2 4 x
5
:(
x 9
3 x
4 x 1
x (3 x )
)
(3 x ) 2 (3 x ) 2 4 x 5 x 4 x 1
:
x 9
x (3 x )
12 x 4 x
x1
:
x 9
x (3 x )
4 x (3
(3
x)
x )(3 x )
.
x (3 x )
x1
4x
x1
x 2 11x 18 0 x = 2; x= 9 (kh«ng thoả mÃn ĐK)
Với x0 2 thì P
4.2
21
8
21
Bài 14:
a, Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 th×:
m 1 0
0
m 1
2
m (m 1)(m 2) 0
m 1
m 2
VËy víi m ;1 1; 2 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 .
áp dụng hệ thức Viet ta cã:
2m
x1 x2 m 1
x x m 2
1 2 m 1
Tõ x1 x2
2(m 2) 4
2(m 2)
4
x1 x2
x1 x2 m 1
m 1
m 1
m2
m2
x1 x2
x1 x2
m 1
m 1
m2
(m 1) x1 x2 m 2
m 1
mx1 x2 x1 x2 m 2
m( x1 x2 1) 2 x1 x2 m
Khi ®ã tõ x1 x2
2 x1 x2
x1 x2 1
m2
4
m 1 m 1
x1 x2 2 x1 x2
4
2 x1 x2
1
x1 x2 1
4( x1 x2 1)
3
3( x1 x2 ) 2 x1 x2 4
x1 x2 2 x1 x2
b, Ta cã:
x1 x2
x12 x22
( x1 x2 )2 2 x1 x2
6 0
6 0
6 0
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4m 2
m2
2
2
4m 2 4(m 2)(m 1)
(m 1)
m 1
6 0
0
m2
(m 2)( m 1)
m 1
1 17
m
4
4m 2 4(m 2 m 2) 0 2m 2 m 2 0
1 17
m
4
Đối chiếu với điều kiện phơng tr×nh cã 2 nghiƯm th× m 1 17 tho¶ m·n.
4
VËy víi m 1 17 cần tìm.
4
Bài 15:
(t 0)
Đặt ( x 1) 2 t
phơng trình trở thành:
t 2 (m 1)t ( m 2 m 1) 0
(*)
a, Víi m = -1 phơng trình là: t 2 2t 3 0
(t 3)(t 1) 0
t 3 0 t 3 (loại vì t 0 )
t 1 0 t 1
x 1 1
x 0
Víi t 1 ( x 1)2 1
x 1 1 x 2
VËy víi m = - 1 phơng trình có 2 nghiệm x =0; x = -2.
b, Ta cã;
c
(m 2 m 1)
a
1 2 3
(m 2 ) 4 0
phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm:
t1 0 t2 phơng trình có 2 nghiệm: x1 ; x2
Bài 16:
Phơng trình:
x m 2 3
2 mx 2 (1)
2 m 2 x (1 m 2) 3
x mx 2 3
2 m2
a, Để phơng trình có nghiệm duy nhất thì
1 m 2 0 m
Víi m 2 1 x 1 ( 2 1) 2 3
2 ( 2 1)2
x (3 2) 6 2 x
1
2
6 2
3 2
b, Để phơng trình (1) nhận x 5 2 6 là nghiệm thì ta có:
(5 2 6)(1 m 2) 3
2 m2
5 2 6 10m 6 2 m 3
2 m2
m 2 2 m(3 2 5) 9 6 2 0
(3 2 5)2 (9 6 2) 34 24 2 (3 2 4)2
phơng trình có 2 nghiệm:
m1 5 3 2 3 2 4 1
(TM)
m2 5 3 2 3 2 4 9 6 2
(TM)
VËy víi m 1 ; m 9 6 2 thì phơng trình (1) nhận x 5 2 6 là nghiệm.
c, Ta có phơng trình: x m 2 3
2 mx 2
m 2 mx 2 3
2 x 0
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biƯt m1 ; m2 th× 0
2 x 2 4(3
2 x) 0
2 x 2 12 4 2 4 x 0
2 x 2 4 x 4 2 12 0
x 1 7 2 2 ; x 1 7 2 2
¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã: