TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN ppt

- 1 -
BÀI GIẢNG
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN
I- MỤC ĐÍCH:
Nắm được khái niệm TTƯS và lý thuyết bền làm cơ sở giải các bài toán cơ bản theo
điều kiện bền
II- YÊU CẦU:
- Nắm được TTƯS phẳng, định luật đối ứng, phương chính, ứng suất chính.
Sử dụng thành thạo vòng tròn Mor ứng suất.
- Nắm được thuyết bền và phạm vi ứng dụng
III- THỜI GIAN : 06 tiết.
Lý thuyết : 04 tiết ; Bài tập : 02 tiết.
IV- VẬT CHẤT ĐẢM BẢO :
• Phòng học và các thiết bị kèm theo.
• Bài giảng.
• Tài liệu tham khảo :
* LÊ HOÀNG TUẤN- BÙI CÔNG THÀNH. SBVL
Tập 1. NXB Trường ĐH Bách khoa Tp HCM.
* NGUYỄN VĂN NHẬM – ĐINH VĂN MIỄN. SBVL.
NXB ĐH và Trung học chuyên nghiệp.
V- PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN :
1) Giờ lý thuyết :
• Giảng viên: Chỉ dẩn tài liệu nghiên cứu và diễn đạt những điều cần chú ý.
• Học viên: Chú ý nghe và ghi những điều cần thiết.
2) Giờ bài tập :
• Giảng viên : Tổ chức kiểm tra 15 phút, gợi ý, giải đáp thắc mắc, ra bài tập.
• Học viên : Làm bài kiểm tra và tự giải quyết bài tập.
I. KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM :
Thời gian: 15 phút
Phương pháp: thuyết trình .
Đã biết trên các mặt cắt VCB qua khỏi 1 điểm K cho trước của vật thể chịu tải trọng

nói chung ứng suất sẽ có giá trị khác nhau tuỳ theo phương của mặt cắt, chỉ có trong các
trường hợp đặc biệt rất hiếm giá trị ứng suất như nhau trong tất cả các phương.
Ta gọi “tập hợp tất cả những giá trị ứng suất pháp (
σ
) và ứng suất tiếp (
τ
) trên các
mặt cắt cùng đi qua 1 điểm là trạng thái ứng suất tại điểm đó”.
Khi nghiên cứu ứng suất tại 1 điểm K ta thường tưởng tách ra tại K 1 phân tố diện tích
hình hộp VCB, các mặt của nó vuông góc với các trục toạ độ.
Trong trường hợp tổng quát trên các mặt có 9 thành phần ứng suất :

zyzxyzyxxzxyzyx
,,,,,,,, ττττττσσσ
.
Theo định luật đối xứng :

zxxzzyyzyxxy
,, τ=ττ=ττ=τ
- 2 -
Do đó chỉ còn có 6 thành phần độc lập (3 tp ứng suất pháp – 3 tp ứng suất tiếp). Như
hình 4.1
Người ta đã chứng minh được rằng tập hợp tất cả
ứng suất trên các mặt của phân tố hình hộp đặc trưng
hoàn toàn cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm của vật
thể chịu tải. Tập hợp các ứng suất này gọi là tenxơ
ứng suất .
Có thể tìm được những phân tố mà trên các mặt
chỉ có ứng suất pháp còn ứng suất tiếp bằng 0. Phân tố
đó gọi là phân tố chính, các mặt của nó gọi là mặt

chính.Ứng suất tác động lên mặt chính gọi là ứng suất
chính, pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính.
Tại 1 điểm bất kỳ của vật thể chịu tải ta luôn tìm
được 3 mặt chính vuông góc nhau.
Qui ước ký hiệu ứng suất chính là σ
1
, σ
2
và σ
3
thoả mãn: σ
1
> σ
2
>σ
3
và σ
3
<0
.
Trạng thái ứng suất được qui định như sau :
- Nếu cả 3 ứng suất chính đều khác 0 ta gọi là trạng thái ứng suất khối.
- Nếu 1 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng phẳng.
- Nếu 2 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng suất đơn.
II. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG
Thời gian : 50 phút
Phương pháp : Thuyết trình.
1) Phương pháp giải tích :
Thời gian: 20 phút
Phương pháp: Thuyết trình

a) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // trục z:
(Xem trục z trùng với trục có ứng suất chính bằng 0 và mặt có pháp tuyến z là mặt
chính, vì có τ
zx
= τ
zy
= 0). Để đơn giản ta biểu diễn phân tố đang xét bằng hình chiếu của
toàn bộ phân tố lên mặt Oxy (Hình 4.3)
Cắt phân tố bằng 1 mặt cắt nghiêng // với trục z có pháp tuyến tạo với trục x một góc α
( hình 4.4 ). α được xem là dương nếu quay trục x đến pháp tuyến ngoài theo chiều ngược
kim đồng hồ. Ngược lại là âm.
σ
y
σ
z
σ
x
σ
y
σ
x
τ
yz
τ
yx
Hình 4-1
τ
xz
τ
xy

τ
zx
τ
zy
y
x
z
Hình 4-2
σ
3
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
2
σ
2
σ
2
σ
2

- 3 -
Xét cân bằng phân tố, thiết lập các phương trình hình chiếu lên trục u, v :
0cos.dz.dx.
sin.dz.dy.sin.dx.dz.cos.dy.dz.dz.ds.F
yx
xyyxuu
=ατ+
+ατ+ασ−ασ−σ=∑
(1)
0cos.dx.dz.
sin.dy.ds.cos.dy.dz.sin.dz.dx.dz.ds.F
y
xxyyxuvv
=ασ+
+ασ−ατ−ατ+τ=∑
(2)
Thay
α=α=τ=τ cos.dsdy;sin.dsdx;
xyyx
và lưu ý:
2
21
2
21
22
α+
=
α−
=α
cos

cos;
cos
sin
, ta xác định được ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // với trục z:
ατ−α
σ−σ
+
σ+σ
=σ 2sin2cos
22
xy
yxyx
u

ατ+α
σ−σ
=τ 22
2
cossin
xy
yx
uv
(3)
b) Ứng suất chính và phương chính:
- Phương trình
Gọi α
o
là góc hợp bởi trục x và phương chính. Giá trị α
o

phải thoả mãn sao cho:
τ
uv
= 0.
yx
xy
o
tg
σ−σ
τ
−=α⇒
2
2
Hình 4-3
σ
y
σ
x
σ
y
σ
x
τ
yx
τ
xy
y
x
z
σ

x
σ
x
σ
y
σ
y
τ
xy
τ
yx
Hình 4.4
σ
x
σ
y
σ
u
τ
uv
τ
yx
τ
xy
x
y
z
v
u
ds

dx
dy
dz
α
α
α
u
v
σ
u
τ
uv
σ
x
τ
xy
σ
y
τ
yx
dx
dy
ds
- 4 -
Đặt tg
β=α⇒
σ−σ
τ
−=β tg2tg
2

yx
xy
Hay
22
2
π
+
β
=α⇒π+β=α kk
oo
Vậy luôn tìm được 2 nghiệm α
o
khác nhau góc π/2. Như vậy ta luôn có 2 mặt chính
vuông góc với nhau và // với trục z. Trên mỗi mặt chính có 1 ứng suất chính.
- Ứng suất chính
Thay vào trên để tính ứng suất chính với chú ý:

o
o
o
o
o
tg
cos;
tg
tg
sin
α+
±=α
α+

α
±=α
21
1
2
21
2
2
22
Được :
( )
2
2
4
2
1
2
xyyx
yx
min
max
τ+σ−σ±
σ+σ
=σ
(4)
Ứng suất chính cũng là những ứng suất có giá trị cực trị . Thật vậy:
yx
xy
0
u

2
2tg0
d
d
σ−σ
τ
−=α⇒=
α
σ
Từ (4) ta có:
yxminmax
σ+σ=σ+σ
Hay tổng ứng suất pháp theo 2 phương vuông góc nahu là 1 hằng số.
c) Ứng suất tiếp cực trị:
Ứng suất tiếp cực trị đạt được trên các mặt thoả mãn
0=
α
τ
d
d
uv
.
Từ (3) ta có:
02sin.22cos
2
2
d
d
xy
yx

uv
=ατ−α
σ−σ
=
α
τ
xy
yx
tg
τ
σ−σ
=α⇒
2
2
(5)
So sánh với tg2 α
0
ta thấy:
o
o
gcot
tg
tg α−=
α
−=α 2
2
1
2
4
π

±α=α k
o
, trong đó α là góc nghiêng của mặt cắt có ứng suất cực trị. α
o
là góc
nghiêng của mặt chính. Thay (5) vào (3) ta có giá trị của ứng suất tiếp cực trị:

( )
2
2
4
2
1
xyyx
min
max
τ+σ−σ±=τ
(6)
2) Phương pháp đồ thị – Vòng tròn Mo ứng suất :
Thời gian: 20 Phút
Phương pháp: Thuyết trình
a) Phương trình vòng tròn ứng suất – Vòng Mo ứng suất :
- 5 -
Từ (3) ta có :
2
2
22
22
2
22

22








ατ+α
σ−σ
=τ








ατ−α
σ−σ
=









σ+σ
−σ
cossin
sincos
xy
yx
uv
xy
yxyx
u
(7)
Cộng 2 vế của chúng :
2
2
2
2
22
xy
yx
uv
yx
u
τ+









σ−σ
=τ+








σ+σ
−σ
(8)
Đặt
22
2
22
R;A
xy
yxyx
=τ+









σ−σ
=
σ+σ
Ta có :
( )
22
2
RA
uvu
=τ+−σ
(9)
Nếu ta chọn trục tung là
uv
τ
, trục hoành là
u
σ
thì (9) là phương trình đường tròn có
tâm nằm trên trục hoành (hoành độ A) và bán kính R. Như vậy tất cả các giá trị của
u
σ
và
uv
τ
của một trạng thái ứng suất tại 1 điểm biểu thị bằng toạ độ của điểm trên đường tròn
(9). Đường tròn đó gọi là đường tròn ứng suất hay vòng tròn Mo ứng suất .
b) Cách vẽ : Khi có 1 phân tố ở TTƯS mà ta đã biết σ
x
, σ

y
, τ
xy
thì cách dựng vòng
tròn ứng suất như sau:
+ Lập hệ trục toạ độ với trục hoành σ, trục tung τ theo 1 tỷ lệ nhất định.
+ Lấy điểm E(σ
x
, 0); F (σ
y
, 0); D (σ
x
, τ
xy
); D’ (σ
y
, τ
yx
).
+ Nối DD’ cắt trục hoành tại C. Lấy C làm tâm vẽ đường tròn có bán kính
CD ta có được vòng tròn ứng suất cần tìm.
+ Tất cả giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt // với trục Z của phân tố
đều biểu thị bằng toạ độ những điểm trên vòng tròn (vòng tròn ứng suất).(Cho Học viên tự
chứng minh).
σ
x
σ
x
σ
y

σ
y
τ
xy
τ
xy
Hình 4-5
σ
x
τ
σ
D(σ
x
,τ
xy
)
P(σ
y
,τ
xy
)
D’(σ
y
,τ
yx
))
F
σ
y
C

τ
xy
τ
yx
E
O
- 6 -
c) Sử dụng vòng tròn Mo để xác định ƯS trên mặt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến
tạo với phương x 1 góc
α
:
- Cách tìm
σ
u
và
τ
uv
:
-
Vẽ vòng tròn ứng suất khi biết σ
x
, σ
y
, τ
xy
-
Vẽ cực P ( σ
y
, τ
xy

)
-
Vẽ tia PM // pháp tuyến u của mặt cắt nghiêng
-
Toạ độ M ( σ
u
, τ
uv
) đã được xác định
- Chứng minh : Ta có:

( )
αα−αα+
σ−σ
=
=α+α+
σ+σ
=+=
2Sin2RSin2Cos2RCos
2
22Cos.R
2
CGOCOG
11
yx
1
yx
Nhưng:
xy1
yx

1
2Sin.Rva;
2
CE2Cos.R τ=α
σ−σ
==α
Nên:
uxy
yxyx
2Sin2Cos
22
OG σ=α⋅τ−α⋅
σ−σ
+
σ+σ
=
Tương tự:
( )
uvxy
yx
111
2Cos.2Sin
2
2Cos.2Sin.R2Sin.2Cos.R22Sin.RGM
τ=ατ+α⋅
σ−σ
=
αα+αα=α+α=
- Xác định ứng suất chính và phương chính:
Ta đã biết ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính có τ = 0. Trên vòng tròn Mor ta

thấy 2 điểm A và B có tung độ bằng 0. Vậy hoành độ của A và B là ứng suất chính và
σ
x
σ
x
σ
y
σ
y
τ
xy
τ
yxx
σ
1
σ
2
τ
uv
σ
u
α
Hình 4-6
σ
2
σ
y
σ
min
σ

u
σ
x
σ
Max
= σ
1
σ
u
σ
min
σ
2
τ
uv
τ
Max
σ
Max
= σ
1
τ
Max
τ
Min
2α
1
2α
α
1

α
α
2
P
M
I
D
A
E
C
G
F
B
J
O
τ
σ
I
II
u
τ
Min
- 7 -
phương PA, PB là phương chính của ứng suất này. Ta xác định các phương chính với trục
x là α
1
và α
2
như sau:
-

Maxy
xy
1
OAFO
ED
FA
ED
BE
DE
Tg
σ−σ
τ
=
+
−
=
−
==α
-
miny
xy
2
OFBO
FP
BF
FP
Tg
σ−σ
τ
=

+
==α
- Phương có ứng suất tiếp cực trị:
Nhìn vào vòng tròn Mor ta thấy 2 điểm I và J là 2 điểm có τ lớn nhất và nhỏ nhất.
Vậy tung độ của I là giá trị τ
Max
và J là giá trị τ
Mịn
. Từ P vẽ tia PI, PJ ta có các phương
pháp tuyến của những mặt cắt có τ
Max
và τ
Min
. Những mặt này tạo với mặt chính 1 góc
45
0
.
• Chú ý: - Khi lấy các điểm của các ứng suất đã biết cũng như các giá trị
ứng suất cần tìm ta phải lấy cả dấu theo hệ trục toạ độ của đồ thị.
- Chiều dương của các góc là chiều từ phương ngang lấy ngược chiều kim
đồng hồ.
d) Hai trường hợp đặc biệt:
- Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
Theo cách vẽ vòng tròn ứng suất ta thấy rằng luôn luôn có 2 điểm A và B tức là có σ
Max
và σ
Min
, hay nói cách khác phân tố trên luôn luôn là phân tố ở TTƯS phẳng (có 2 ứng suất
chính)
- Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý:

Khi trên các mặt của phân tố hình chỉ có ứng suất tiếp người ta thường gọi là phân tố ở
TTƯS trượt thuần tuý.
Xây dựng vòng Mo của trạng thái trượt thuần tuý ta tìm được một số đặc điểm của
trạng thái.
xy
τ=σ=σ
31
- Phương chính tạo với phương mặt trượt thuần tuý góc 45
0
.
- Ứng suất tiếp trên mặt trượt là ứng suất tiếp cực trị.
- Ứng suất pháp trên 2 mặt cắt bất kỳ vuông góc nhau bằng nhau về trị số nhưng
ngược về dấu.
σ
τ
A
B
τ
P
C
O
E
σ
Max
σ
min
σ
Max
σ
min

Hình 4-6
- 8 -
III. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT KHỐI :
Thời gian: 10 phút
Phương pháp: Thuyết trình
Trong các bài toán của SBVL trạng thái ứng suất khối rất ít gặp. Bởi vậy ở đây ta chỉ
nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của trạng thái ứng suất khối. Hình 4-8a biểu thị
trạng thái ứng suất khối. Các mặt giới hạn của nó là các mặt chính.
Trước hết khảo sát mặt nghiêng // phương chính. Ví dụ những mặt //
1
σ
(Hình 4-8b).
Như đã biết là ứng suất trên các mặt này không phụ thuộc vào
1
σ
và xác định bởi các giá
trị
2
σ
và
3
σ
. Nó được xác định bằng toạ độ của 1 điểm nằm trên vòng tròn Mor ứng suất
số 1 đi qua 2 điểm có toạ độ
2
σ
và
3
σ
.

Tương tự ứng suất trên các mặt nghiêng // với
2
σ
(Hình 4-8c), biểu thị bằng toạ độ
của vòng tròn Mor ứng suất số 2 đi qua
1
σ
và
3
σ
.Ứng suất trên các mặt nghiêng // với
3
σ
(Hình 4-8d), biểu thị bằng toạ độ của vòng tròn Mor ứng suất số 3 đi qua
1
σ
và
2
σ
.(Hình
4-9).
σ
1
σ
3
σ
1
σ
2
σ

2
a)
σ
1
σ
3
σ
τ
d)
σ
1
σ
σ
2
σ
2
τ
b)
Hình 4-8
σ
1
σ
1
σ
c)
σ
2
σ
2
τ

Hình 4-9
σ
τ
σ
1
σ
2
σ
3
τ
12
τ
13
τ
23
1
3
2
D
τ
τ
τ
C
O
A
B
P
σ
Max
Hình 4-7

σ
Min
- 9 -
Có thể chứng minh được rằng ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ được biểu thị bằng toạ
độ của điểm D

α
(
αα
τσ ,
) nằm trong miền giới hạn của 3 vòng Mor (phần gạch chéo).
Bằng giải tích có thể xác định được
α
σ
và
α
τ
theo công thức:
22
33
2
22
2
11
2
33
2
22
2
11

ααααα
αααα
σ−σ+σ+σ=τ
σ+σ+σ=σ
coscoscos
coscoscos

1
α
;
2
α
;
3
α
là các góc hợp bởi pháp tuyến của mặt nghiêng với phương của
1
σ
,
2
σ
,
3
σ
tương ứng. Dể dàng nhận thấy ứng suất tiếp cực trị (max) là tung độ của điểm D nằm
trên vòng tròn Mor số 2 có giá trị:
2
21
σ−σ
=τ

max
.
IV - QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Thời gian: 10 phút
Phương pháp: Thuyết trình
1) Định luật Húc tổng quát:
Khi nghiên cứu ứng suất và biến dạng trong kéo nén đúng tâm ta đã đưa ra được quan
hệ giữa ứng suất và biến dạng:
ε=σ .E
=> ε = σ / E theo phương σ. Và biến dạng ngang
tỷ đối (theo phương ⊥ σ ):
E
.'
σ
µ−=ε
Ở đây chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong trường hợp tổng
quát nhất ở trạng thái ứng suất khối. Với giả thiết ứng suất tuân theo định luật Húc và biến
dạng bé. Ta tưởng tượng tách từ vật thể biến dạng một phân tố hình hộp, trên các mặt có 9
thành phần ứng suất. Như chúng ta đã thừa nhận ứng suất pháp chỉ gây biến dạng dài còn
biến dạng góc chỉ bị gây ra do ứng suất tiếp.
Sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng ta tính biến dạng dài tỷ đối theo phương x:

xzxyxxx
ε+ε+ε=ε
ε
xx
: biến dạng dài tỷ đối theo phương x do σ
x
gây ra.
ε

xy
: biến dạng dài tỷ đối theo phương x do σ
y
gây ra.
ε
xz
: biến dạng dài tỷ đối theo phương x do σ
z
gây ra.
Theo trên ta có:
Tương tự ta nhận được những biến dạng dài tỷ đối theo phương y và z:
( )
[ ]
E
E
1
E
E
z
xz
zyxx
y
xy
x
xx
σ
µ−=ε
σ+σµ−σ=ε⇒
σ
µ−=ε

σ
=ε
- 10 -
( )
[ ]
( )
[ ]
yxzz
zxyy
E
E
σ+σµ−σ=ε
σ+σµ−σ=ε
1
1
Nếu phân tố được tách ra mà các mặt giới hạn là các mặt chính:
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
2133
1322
3211
1
1
1
σ+σµ−σ=ε
σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε
E
E
E
2) Định luật Húc về trượt:
Xét một phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý và phân tố này ở
trong giới hạn đàn hồi. Liên hệ giữa biến dạng góc và ứng suất
tiếp (Định luật Húc về trượt):

γ=τ .G

Trong đó: G là môđuyn trượt.
γ : góc trượt tuyệt đối.
Quan hệ giữa môđuyn đàn hồi khi trượt và môđuyn đàn hồi
khi kéo nén là: G =
( )
µ+12
E

Trong đó: - E là Môđuyn đàn hồi của vật liệu
- µ là hệ số Poat xông
3) Quan hệ giữa biến dạng thể tích và ứng suất:
Chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa sự thay đổi thể tích
tương đối
v
ε
và các thành phần tương ứng. Khi biến dạng
nói chung thể tích của phân tố thay đổi, sự biến đổi đó chủ
yếu do biến dạng dài gây ra. Biến dạng góc cũng làm thay
đổi thể tích song không đáng kể có thể bỏ qua.

Xét 1 phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối.
Thể tích phân tố trước biến dạng:
321
dldldlV
o
++=
Và trong trạng thái biến dạng :
( )( )( )
( )( )( )
3210
3
3
2
2
1
1
321
3322111
111
111
ε+ε+ε+=








∆

+








∆
+








∆
+=
∆+∆+∆+=
V
dl
dl
dl
dl
dl
dl
dl.dl.dl

dldldldldldlV
Bỏ qua các đại lượng VCB bậc cao, ta có:
( )
32101
1 ε+ε+ε+= VV
Hình 4-10
τ
τ
τ
τ
Hình 4-11
dl
1
dl
3
dl
2
σ
2
σ
1
σ
3
- 11 -
⇒ biến dạng thể tích tương đối:
321
0
01
ε+ε+ε=
−

=ε
V
VV
v
Vậy biến dạng thể tích tương đối bằng tổng biến dạng dài tỷ đối theo 3 phương vuông
góc nhau.
Thay các giá trị biến dạng của định luật Húc tổng quát vào ta được:
( )
321
21
σ+σ+σ
µ−
=ε
E
v
Đặt :
3
321
σ+σ+σ
=σ
tb
: giá trị ứng suất trung bình.

( )
K
.
E
tb
tbv
σ

=σ
µ−
=ε⇒
213
;
(
( )
µ−
=
213
E
K
: được gọi là môđuyn biến
dạng thể tích.)
Vậy khi
50,=µ
thì
0=ε
v
⇒ biến dạng thể tích không thay đổi. Những vật liệu như
vậy gọi là vật liệu không nén được.
V – THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Thời gian: 10 phút
Phương pháp: Thuyết trình
Năng lượng mà vật thể tích luỹ đựoc trong quá trình biến dạng để đưa vật thể về vị trí
ban đầu ở dưới dạng thế năng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi (kí hiệu U), trị số thế năng
tích luỹ trong 1 đơn vị thể tích được gọi là thế năng riêng biến dạng đàn hồi và kí hiệu u.
Trị số của thế năng biến dạng đàn hồi có thể dễ dàng xác định qua định luật bảo toàn
năng lượng: nếu bỏ qua sự mất mát năng lượng vì nhiệt và những yếu tố khác thì thé năng
biến dạng đàn hồi tích luỹ trong vật thể bằng tổng công ngoại lực lên hệ:

A = U.
Tưởng tượng tách từ vật thể đàn hồi một phân tố giới hạn bởi các mặt chính.
Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố: dU = dA

222
321323121321
dl.dl.dl.dl.dl.dl.dl.dl.dl.
dA
∆σ
+
∆σ
+
∆σ
=
111
dl;dl;dl ∆∆∆
: biến dạng dài tuyệt đối của các phân tố đựoc tính bằng các biểu thức:
333222111
dl.dl;dl.dl;dl.dl ε=∆ε=∆ε=∆
Thay vào trên ta được:
( )
332211
321
2
εσ+εσ+εσ=
dl.dl.dl
dAdA
⇒ Thế năng biến dạng đàn hồi :
( )
332211

2
1
εσ+εσ+εσ=u
Thay các giá trị của các đại lượng ε
1
; ε
2
; ε
3
bằng các biểu thức của đ /l Húc tổng quát:
( )
[ ]
133221
2
3
2
2
2
1
2
2
1
σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=
E
u
- 12 -
Khi biến dạng, phân tố nói chung thay đổi cả hình dáng và thể tích, phù hợp với điều
đó thế năng riêng có thể xem là tổng của 2 thành phần:
hdtt
uuu +=

u
tt
: thế năng biến đổi thể tích.
u
hd
: thế năng biến đổi hình dáng.
Các thành phần đó được tính theo công thức:
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
2
13
2
32
2
21
133221
2
3
2
2
2
1
2
321
6
1
3
1

6
21
σ−σ+σ−σ+σ−σ
µ+
=
σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ
µ+
=
σ+σ+σ
µ−
=
E
E
u
E
u
hd
tt
VI – LÝ THUYẾT BỀN
Thời gian: 10 phút
Phương pháp: Thuyết trình
1) Khái niệm lý thuyết bền:
• Khi kiểm tra độ bền thanh chịu kéo, nén đúng tâm (trạngthái ứng suấtt
đơn chỉ có σ
z
), ta có các điều kiện sau:
[ ] [ ]
n
min
k

max
; σ≤σ=σσ≤σ=σ
31
Trong đó:
- σ
max
, σ
min
tính được như chương 2.
- Các ứng suất cho phép có được từ những thí nghiệm và tính bằng ứng suất nguy
hiểm chia cho hệ số an toàn n.
Những thí nghiệm kéo nén đúng tâm như vậy rất đơn giản và thực hiện được.
• Nếu muốn kiểm tra bền một điểm ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng,
khối) có cả σ
1
, σ
2
, σ
3
ta cũng phải có những kết quả thí nghiệm phá hoại mẫu thử ở
trạngthái ứng suất tương tự. Những thí nghiệm như thế khó thực hiện vì:
+ Số thí nghiệm phải nhiều mới đáp ứng được tỷ lệ giữa các ứng suất chính
+ Trình độ kỹ thuật chưa cho phép (thí nghiệm như kéo theo 3 phương).
Vì những nguyên nhân trên, nên khi kiểm tra ở những điểm có TTưS phức tạp người ta
không thể dựa vào kết quả thí nghiệm trực tiếp mà phải đặt ta các giả thuyết về nguyên
nhân phá hoại của vật liệu và dùng để đánh giá độ bền của mọi TTưS trong khi chỉ biết độ
bền của vật liệu ở TTưS đơn (thí nghiệm kéo, nén).
2) Các thuyết bền cơ bản:
1 - Thuyết bền ứng suất pháp cực đại (TB 1):
- Nội dung thuyết bền:

“Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp cực đại của phân tố ở TTƯS
phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm của phân tố ở TTƯS đơn.”
Gọi σ
ok
, σ
on
: là ứng suất nguy hiểm khi kéo, nén (TTƯS đơn ).
n : là hệ số an toàn
Ta có công thức kiểm tra bền:
[ ]
k
ok
t
n
σ=
σ
≤σ=σ
11
- 13 -

[ ]
n
on
t
n
σ=
σ
≤σ=σ
31
- Nhược điểm của thuyết bền 1:

Không kẻ đến ảnh hưởng của 2 ứng suất chính còn lại. Mặc dù 2 ứng suất đó có ảnh
hưởng đến độ bền của vật liệu. TB1 chỉ có ý nghĩa lịch sử và chỉ áp dụng cho phân tố ở
TTƯS đơn.
2 - Thuyết bền biến dạng dài tương đối cực đại ( TB 2 ):
– Nội dung thuyết bền:
“Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối cực đại của phân
tố ở TTƯS phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở
TTƯS đơn.”
Ta có công thức kiểm tra bền T:
( )
[ ]
k
ok
t
n
σ=
σ
≤σ+σµ−σ=σ
3212
Khi biến dạng co ngắn :
( )
[ ]
n
on
t
n
σ=
σ
≤σ−σµ−σ=σ
2132

- Ưu điểm: Có xét đến 3 ứng suất chính.
- Nhược điểm: Qua thí nghiệm thấy chỉ phù hợp với vật liệu dòn, không thích hợp với
vật liệu dẻo. Ngày nay ít dùng.
3 - Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại ( TB 3 ):
– Nội dung thuyết bền:
“Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp cực đại của phân tố ở TTƯS
phức tạp đạt đến ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở TTƯS đơn.”
Gọi:
max
τ
là ứng suất tiếp cực đại ở TTƯS phức tạp (khối).

o
τ
ứng suất tiếp nguy hiểm khi kéo theo 1 phương (TTƯS đơn).
n là hệ số an toàn .
Ta có công thức:
[ ]
k
ok
t
n
σ=
σ
≤σ−σ=σ
313
Các kết quả đặc biệt:
Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
22
4

2
1
2
τ+σ±
σ
=σ
min
max

[ ]
k
t
σ≤τ+σ=σ
22
3
4
Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý:
τ−=στ=σ
minmax
,
Ta có:
[ ]
k
t
σ≤τ=σ 2
3
Hay :
[ ]
2
k

σ
≤τ
- Ưu điểm: Qua thực nghiệm thấy phù hợp với vật liệu dẻo
- Nhược điểm: Không kể đến σ
2
. Đối với vật liệu dòn kết quả kém chính xác
4 - Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại (TB 4):
– Nội dung thuyết bền:
- 14 -
“Ngun nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở
TTƯS phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở TTƯS đơn.”
Ta có cơng thức:
[ ]
k
t
σ≤σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ=σ
133221
2
3
2
2
2
14
Các kết quả đặc biệt:
Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
22
4
2
1
2

τ+σ±
σ
=σ
min
max

[ ]
k
t
σ≤τ+σ=σ⇒
22
4
3
Trạng thái ứng suất trượt thuần t:
τ−=στ=σ
minmax
;

[ ]
k
t
σ≤τ=σ⇒
2
4
3
hay :
[ ]
3
k
σ

≤τ
- Ưu điểm: Có tính đến σ
2
. Phù hợp với vật liệu dẻo. Hiện nay áp dụng nhiều trong
tính tốn xây dựng và cơ khí.
- Nhược điểm: Khơng phù hợp với vật liệu dòn. Khơng giải thích được trường hợp kéo
theo 3 phương với cùng giá trị ứng suất
5 - Thuyết bền về các TTƯS giới hạn ( TB Mor hay TB 5 ):
Như ở phần 4.3 ta đã biết với TTƯS khối ta có thể biểu diễn 3 vòng tròn ứng suất trên
một hệ trục toạ độ σ - τ. Nhận thấy σ
2
ảnh hưởng rất ít đến độ bền của phân tố. Do đó
trong 3 vòng tròn giới hạn của một TTƯS người ta chỉ xét đến vòng tròn được xác định bởi
σ
1
và σ
3
và gọi là vòng tròn chính (Hình 4-12 a). Ta có thể vẽ được những vòng tròn chính
giới hạn của những TTƯS khác nhau (hình 4-13 b) sau:


Vòng tròn chính biến đổi gần như một quy luật sao cho các vòng tròn đó tạo một
đường bao chung ABC gọi là đường bao giới hạn hoặc đường nội tại.
Đường nội tại này chỉ ra: tất cả các TTƯS nào biểu thị bằng một vòng tròn chính nằm
hồn tồn trong đường bao là ở trạng thái khơng nguy hiểm. Còn những TTƯS nào biểu thị
bằng những đường tròn chính tiếp xúc với đường cong nội tại thì đạt TTƯS nguy hiểm.
τ
Vòng tròn
chính
σ

σ
1
σ
2
σ
3
(a)
τ
σ
A
C
B
Kéo
đơn
Trượt thuấn
tuý
Hình 4-12
Nén
đơn
(b)
- 15 -
Ta có công thức:
[ ]
k3
on
ok
15t
σ≤σ
σ
σ

−σ=σ
Trong đó:
1
σ
,
3
σ
là ứng suất chính của phân tố ở TTƯS phức tạp.

ok
σ
,
on
σ
là các giới hạn nguy hiểm của phân tố ở TTƯS đơn.
- Ưu điểm: Thuyết bền này áp dụng cho vật liệu dòn (hay vật liệu có giới
hạn bền kéo và nén khác nhau) và cả vật liệu dẻo. Thuyết bền này không cần đề ra những
giả thuyết mà căn cứ trực tiếp vào các TTƯS khối biểu thị bằng những vòng tròn chính đẻ
xét độ bền của vật liệu.
- Nhược điểm: + Không kể đến ảnh hưởng của σ
2
và đơn giản hoá đường cong giới
hạn bằng đường thẳng
+ Công thức tính σ
t Mor
chỉ cho kết quả chính xác khi vòng tròn giới hạn của TTưS đang
xét nằm trong khoảng 2 vòng tròn giới hạn kéo và nén.
6 - Việc áp dụng các thuyết bền:
- Đối với vật liệu dẻo, nên dùng TB 3 và TB 4.
- Đối với vật liệu dòn nên dùng TB 5 ( Mor)

- Trường hợp TTƯS đơn thì dùng TB 1.
CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
1. Khái niệm về TTƯS tại 1 điểm
2. Xác định TTƯS phẳng bằng Phương pháp giải tích
3. Xác định TTƯS phẳng bằng Phương pháp đồ thị. Nêu 2 trường hợp đặc biệt
4. Khái niệm về TTƯS khối
5. Lý thuyết bền- Phạm vi áp dụng.