Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

BI GING ễN THI VO I HC S TNG GIAO GIA HAI TH HM S
S tng giao gia hai th hm s
Đ1. th hm s cha du giỏ tr tuyt i
A. Phng phỏp gii toỏn
v th hm s cha du giỏ tr tuyt i, ta s dng ba nguyờn tc sau õy:
Nguyờn tc 1. (v s phõn chia th hm s) th hm s
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2

neỏu
neỏu
neỏu
n n
f x x D
f x x D
y f x
f x x D




= =

l hp ca
n
th hm s
( )
k
y f x=
vi
k
x D
(
1,2, ,k n=
).
Nguyờn tc 2. (v s i du hm s) th hm s
( )
y f x=
,
x D

v th hm s
( )
y f x=
,
x D

i xng nhau qua
Ox
.
Nguyờn tc 3. (v th hm chn) th ca hm chn nhn
Oy
lm trc i xng.

Hai trng hp hay gp:
th hm s
( )
y f x=
Vỡ
( )
( )
( )
0
laứ haứm chaỹny f x
f x f x x

=


=


nờn th hm s
( )
y f x=
gm hai phn:
+) Phn 1 l phn th hm s
( )
y f x=
nm bờn phi
Oy
;
+) Phn 2 i xng vi phn 1 qua
Oy

.
th hm s
( )
y f x=
Vỡ
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
neỏu
neỏu
f x f x
f x
f x f x


=

<


nờn th hm s
( )
y f x=
gm hai phn:
+) Phn 1 l phn th hm s
( )
y f x=
nm phớa trờn trc honh;

+) Phn 2 i xng vi phn th hm s
( )
y f x=
phớa di trc honh qua
trc honh.
THS. PHM HNG PHONG GV TRNG H XY DNG D: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ các đồ thị hàm số
1)
( )
1
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
1
C
;
2)
( )
2
1

1
x
f x
x
−
=
+

( )
2
C
;
3)
( )
3
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
3
C
;
4)
( )

4
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
4
C
;
5)
( )
5
1
1
x
f x
x
−
=
+

( )
5
C
.

Giải. Trước hết, ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
(hình 0);
1) Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
0
neáu
neáu
f x f x
f x f x
f x f x
≥

= =


− <


. Do đó đồ thị
( )
1
C
gồm hai phần (hình 1):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
nằm dưới
Ox
qua
Ox
.
2) Ta có
( )
( )
2
f x f x=
là hàm chẵn, đồ thị nhận
Oy
làm trục đối xứng. Lại có

( ) ( )
2
f x f x=
với mọi
0x
≥
. Do đó đồ thị
( )
2
C
gồm hai phần (hình 2):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
nằm bên phải
Oy
;
• Phần 2: đối xứng với phần 1 qua
Oy
.
3) Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 2
2 2
0
0
neáu

neáu
f x f x
f x f x
f x f x
≥

= =

− <


. Do đó đồ thị
( )
3
C
gồm hai phần (hình 3):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
2
C
nằm trên
Ox
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
2
C
nằm dưới
Ox
qua

Ox
.
4) Ta có
( )
( )
( )
4
1
1
neáu
neáu
f x x
f x
f x x
≥

=

− <


. Do đó đồ thị
( )
4
C
gồm hai phần (hình 4):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
ứng với

1x ≥
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
ứng với
1x <
qua
Ox
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5) Ta có
( )
( )
( )
5
1
1
neáu
neáu
f x x
f x
f x x
> −

=

− < −



. Do đó đồ thị
( )
5
C
gồm hai phần (hình 5):
• Phần 1: là phần đồ thị
( )
C
ứng với
1x
> −
;
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị
( )
C
ứng với
1x
< −
qua
Ox
.
Hình 0
Hình 1
Hình 2
Hình 3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Hình 4 Hình 5
C. Bài tập
Vẽ đồ thị các hàm số sau đây
1)
( )
2
3 3 5y x x x= − − + +
2)
1 1y x x= − − +
3)
2
3 5y x x= − −
4)
2
3 5y x x= − −
5)
2
3 5y x x= − −
6)
2 2
1
3
3 1y x x x x= − − +
7)
3 2
1
3
3 1y x x x= − − +
8)
2 2

1
3
3 1y x x x x= − − +
9)
3 2
1
18
3 24 26y x x x= − − +
10)
( )
3
2
1
18
3 24 26y x x x= − − +
11)
3
2
1
18
3 24 26y x x x= − − +
12)
( )
2
1
18
1 2 26y x x x= − − +
13)
4 2
4 3y x x= − +

14)
( )
2 2
1 3y x x= − −
15)
( )
2 2
3 1y x x= − −
16)
( )
3 2
1 3 3y x x x x= − + − −
17)
4 2
5 4y x x= − +
18)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= − + − −
19)
( )
3 2
1 4 4y x x x x= + − − +
20)
( )
3 2
2 2 2y x x x x= − + − −
21)
( )
3 2

2 2 2y x x x x= + − − +
22)
( )
2 2
4 1y x x= − −
23)
( )
2 2
1 4y x x= − −
24)
( )
2 2
2 2y x x x x= + − − −
25)
( )
2 2
2 2y x x x x= − − + −
26)
1
2
x
x
y
−
−
=
27)
1
2
x

x
y
−
−
=
28)
1
2
x
x
y
−
−
=
29)
1
2
x
x
y
−
−
=
30)
1
2
x
x
y
−

−
=
31)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
32)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
33)
2
3
1
x x
x
y
−

+
=
34)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
35)
2
3
1
x x
x
y
−
+
=
36)
3
1
x
x
y x
−
+

=
37)
1
3
x
x
y x
+
= −
38)
3
1
x
x
y x
−
+
=
39)
( )
1
3
x
x
y x
+
= −
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
§2. Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương
trình
A. Phương pháp giải toán
Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên
hệ giữa tập nghiệm của phương trình
( )
f x m=

( )
*
với tập
tập các điểm chung của đường thẳng
:d y m=
với đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
:
•
( )
*
có nghiệm
⇔

d
có điểm chung với
( )
C
.
• Số nghiệm của

( )
*
bằng số điểm chung của đường thẳng
d
với
( )
C
.
• Nghiệm của
( )
*
là hoành độ điểm chung của
d
và
( )
C
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHA02] Tìm
k
để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
( )
*
có
3
nghiệm phân biệt.
Giải.
Cách 1. Phương trình

( )
*
tương đương với
3 2 3 2
3 3x x k k− = −
.
Nếu đặt
( )
3 2
3f x x x= −
thì phương trình trở thành
( ) ( )
f x f k=
.
( )
*
có ba nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng
( )
y f k=
có ba
điểm chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=

⇔

( )
4 0f k− < <

.
Từ đồ thị hàm số
( )
y f k=
, ta thấy điều kiện
( )
4 0f k− < <
tương đương với
( ) { }
1;3 \ 0;2k ∈ −
.
Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
2 2
3 3 0x k x k x k k
 
− + − + − =
 

⇔

( ) ( )
2 2
3 3 1
x k
x k x k k
=


+ − + −


.
Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
1
có hai nghiệm
phân biệt khác
k
, tức là
( ) ( )
( )
2 2
1 3 0
3 3 0
k k
k k k k k
∆ = − + − >



+ − + − ≠



⇔

( )
{ }
1;3
0;2

k
k
∈ −


∈



⇔

( ) { }
1;3 \ 0;2k ∈ −
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ví dụ 2. [ĐHA06] Tìm
m
để phương trình
3
2
2 9 12x x x m− + =
có
6
nghiệm phân biệt.
Giải. Đặt
( )
3 2
2 9 12f x x x x= − +

. Phương trình đã cho tương đương với
( )
f x m=
.
Trước hết ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
3 2
2 9 12f x x x x= − +
. Hàm
( )
f x
là hàm chẵn,
( )
( )
f x f x=

0x∀ ≥
. Do đó, đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C

nằm ở bên phải
Oy
;
• Phần 2: đối xứng với phần 1 qua
Oy
.


Vậy phương trình đã cho có
6
nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng
y m=
có
6
điểm chung với
( )
'C

⇔

4 5m< <
.
Ví dụ 3. [ĐHB09] Với những giá trị nào của
m
, phương trình sau đây có đúng
6
nghiệm phân
biệt

2 2
2x x m− =
.
( )
1
Giải. Cách 1. Đặt
2
t x=
,
( )
1
trở thành
2t t m− =
.
( )
2
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt
⇔

( )
2
có
3
nghiệm dương phân biệt
⇔

đường thẳng
:d y m=
có
3
điểm chung với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
2f t t t= −
,
0t
>
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ta có
( )
( )
2
2
2 2
2 2
neáu t
neáu t
t t
f t
t t


− ≥

=

− − <



⇒

( )
C
gồm hai phần:
• Phần 1: là phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t ≥
.
• Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số
2
2y t t= −
ứng với
2t <
, qua trục hoành.
Vậy
( )
1
có
6

nghiệm phân biệt
⇔

0 1m
< <
.
Cách 2. Trước hết, ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
4 2
2f x x x= −
.
Ta thấy:
( )
1

⇔

( )
f x m=
.

( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
neáu

neáu
f x f x
f x
f x f x
≥

=

− <



⇒
Đồ thị
( )
'C
của hàm số
( )
f x
gồm hai phần
• Phần 1: là phần
( )
C
nằm phía trên trục hoành.
• Phần 2: đối xứng với phần
( )
C
nằm phía dưới trục hoành, qua
trục hoành.
( )

1
có
6
nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng
y m=
có
6
điểm chung với
( )
'C

⇔

0 1m< <
.
C. Bài tập
Bài 1. Cho phương trình
4 2
3 1 0x x m− + + + =
.
1) Giải phương trình với
3m
= −
.
2) Tìm tất cả những giá trị của
m
để phương trình có
4

nghiệm phân biệt và cả
4
nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng
1
.
3) Trong trường hợp phương trình có
4
nghiệm phân biệt, gọi
4
nghiệm đó là
1
x
,
2
x
,
3
x
,
4
x
, hãy tính tổng
1 2 3 4
x x x x+ + +
.
Bài 2. Cho
3 2
3 9y x x x m= + − +

( )

C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
với
6m =
.
2) Tìm
m
để phương trình
3 2
3 9x x x m+ − +
có
3
nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho hàm số
3
3 1y x x= − +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2) Tìm
m
để phương trình
3
3 6 2 0
m
x x
−
− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
2
2
3
1
3 2 2x x
m
m
 

+
− + =
 ÷
 
.
Bài 5. Cho hàm số
3
4
3
x
y x
−
= +

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Tìm
k
để phương trình
( )
( )
2
3
4 1
4 0

3 3 2
k
x
x
k
−
−
+ + =
−
có
3
nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số
( ) ( )
2
1 2y x x= + −

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ − = + −
.
Bài 7. Cho hàm số

2 1
2
x
y
x
−
=
+

( )
C
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
.
2) Tìm
m
để phương trình
2sin 1
sin 2
x
m
x
−
=
+
có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
[ ]
0;

π
.
Bài 8. [ĐHA02] Cho phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
.
1) Giải phương trình khi
2m
=
.
2) Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
§3. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai
đồ thị hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
( )
y f x=

( )

1
C
và
( )
y g x=

( )
2
C
. Để tìm giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
, ta làm như sau:
• Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm. Hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
là nghiệm của
phương trình
( ) ( )
f x g x=

.
( )
*
Phương trình
( )
*
được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
• Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu
0
x
là một hoành độ giao điểm thì
( )
( )
0 0
;x f x
(
( )
( )
0 0
;x g x≡
) là
một giao điểm của

( )
1
C
và
( )
2
C
.
Chú ý. Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:
Nếu
1
x
,
2
x
là các nghiệm của phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
(
0a
≠
) thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x

a

+ = −




= −


.
Nhận xét.
• Hai đồ thị hàm số có giao điểm
⇔
phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.
• Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
3 2
2 5y x x x= + − +

( )
1
C
và hàm số
7y x=

( )
2
C

. Hãy xác định các giao điểm của
hai đồ thị
( )
1
C
và
( )
2
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
3 2
2 5 7x x x x+ − + =

⇔

( )
( )
2
1 3 5 0x x x− + − =

⇔

1
3 29
2
3 29
2
x
x
x


=

− +

=


− −

=


.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm:
( )
1

1;7M
,
2
3 29 21 7 29
;
2 2
M
 
− + − +
 ÷
 ÷
 
,
3
3 29 21 7 29
;
2 2
M
 
− − − −
 ÷
 ÷
 
.
Ví dụ 2. Cho
( )
2
2 1y x m x m= + − +

( )

1
C
và
y x= −

( )
2
C
. Tìm điều kiện của
m
để
( )
1
C
có
giao điểm với
( )
2
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
( )

2
2 1x m x m x+ − + = −

( )
1
⇔

2
(2 1) 0x m x m+ − + =
(
( )
2
2
2 1 4 2 8 1m m m m∆ = − − = − +
).
( )
1
C
có giao điểm với
( )
2
C

⇔

( )
1
có nghiệm
⇔

0
∆ ≥
2 2 3
2
2 2 3
2
m
m

−
≤


⇔

+
≥


.
Ví dụ 3. Cho
3
4 2y x mx= − +

( )
1
C
và
2
3 4y x m= −

( )
2
C
. Biện luận số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
3 2
4 2 3 4x mx x m− + = −
( )
1

⇔

2
( 1)( 2 4 2) 0x x x m− − − − =

⇔

( ) ( )
2
1
2 4 2 0 2 ' 4 3
x
x x m m
=


− − − = ∆ = +

.
Số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
bằng số nghiệm của phương trình
( )
1
. Do đó
•
3
0

4
m∆ < ⇔ < −
:
( )
2
vô nghiệm
⇒

( )
1
có nghiệm duy nhất (
1x
=
)
⇒

( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
0 m∆ = ⇔ = −
:
( )

2
trở thành
( )
2
2
2 1 0 1 0 1x x x x− + = ⇔ − = ⇔ =
. Trong trường
hợp này,
( )
1
cũng có nghiệm duy nhất (
1x
=
)
⇒

( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
0 m∆ > ⇔ > −
:
( )

2
có hai nghiệm phân biệt. Ta thấy
( )
1 4 3 0t m= − − ≠

3
4
m∀ > −
⇒
1
không phải là nghiệm của
( )
2

⇒
( )
1
có ba nghiệm phân biệt
⇒
( )
1
C
và
( )
2
C
có ba
giao điểm.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Kết luận:
•
3
4
m ≤ −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có một giao điểm.
•
3
4
m > −
:
( )
1
C
và
( )
2
C
có ba giao điểm.
Ví dụ 4. [ĐHD03] Cho
2

2 4
2
x x
y
x
− +
=
−

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m= + −
có
2
giao điểm với
( )
C
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
với
m
d
:

2
2 4
2 2
2
x x
mx m
x
− +
= + −
−


⇔

( ) ( )
2
2 4 2 2 2x x x mx m− + = − + −
(
⇒

2x ≠
).

⇔

( ) ( ) ( )
2
1 4 1 4 2 0m x m x m− − − + + =
.

( )
*
m
d
có
2
giao điểm với
( )
C
khi và chỉ khi
( )
*
có
2
nghiệm phân biệt, tức là:

( )
1 0
' 12 1 0
m
m
− ≠



∆ = − − >



⇔

1m
<
.
Ví dụ 5. [ĐHA04] Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng
:d y m=
cắt đồ
thị hàm số tại hai điểm
A
,
B
sao cho
1AB =
.

Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
d
:

( )
2
3 3
2 1
x x
m
x
− + −
=
−

⇔

2
(2 3) 2 3 0m xx m+ − − + =
( )
*
(phép biến đổi là tương đương vì
1x =
không phải nghiệm phương trình của
( )
*
)

d
cắt
( )
C
tại
2
điểm khi và chỉ khi
( )
*
có hai nghiệm phân biệt, tức là:

0∆ >

⇔

2
4 4 3 0m m − >−

⇔

1
2
3
2
m
m

< −




>


.
( )
1
Hoành độ
A
x
,
B
x
của các điểm
A
,
B
là nghiệm của
( )
2
nên theo định lí Vi-ét:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
3 2
3 2
A B
A B
x x m
x x m

+ = −


= −

.
Mặt khác vì
A
,
B
cùng thuộc đường thẳng
:d y m=
nên
A B
y y m= =
.
Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 3 2 4 3 2 4 4 3
A B A B A B A B
AB x x y y x x x x m m m m= − + − = + − = − − − = − −
.
Do đó
2 2
1 5
2
1 1 4 4 3 1
1 5

2
m
AB AB m m
m

−
=


= ⇔ = ⇔ − − = ⇔

+
=


(thỏa mãn
( )
1
).
Vậy
1 5
2
m
±
=
.
Ví dụ 6. [ĐHA10] Cho hàm số
( )
3 2
2 1y x x m x m= − + − +

( )
C
. Tìm
m
để
( )
C
cắt trục hoành
tại
3
điểm phân biệt có hoành độ là
1
x
,
2
x
,
3
x
sao cho
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
của hàm số với trục hoành (
0y =

):
( )
3 2
2 1 0x x m x m− + − + =
( )
1
⇔

( )
( )
2
1 0x x x m− − − =
⇔

2
( )
1
0
t x
x
x x m
=


− − =


14 2 43
.
( )

C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
⇔

( )
1
có ba nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt khác
1

⇔

( )
0
1 0t
∆ >



≠



⇔

1 4 0

0
m
m
+ >


− ≠


⇔

1
4
0
m
m
−
>


≠

.
Không mất tổng quát, giả sử
1
1x =

⇒

2

x
,
3
x
là các nghiệm của
( )
t x
. Theo định lý Vi-ét, ta có:
2 3
2 3
1x x
x x m
+ =


= −

.
Do đó:

( )
2
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
1 2 2 2x x x x x x x m+ + = + + − = +
,
2 2 2
1 2 3
4 2 2 4 1x x x m m+ + + < ⇔⇔ <<
.

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt có hoành độ
1
x
,
2
x
,
3
x
sao cho
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
khi và chỉ khi
1
1
4
m− < <
,
0m
≠
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây:
1)

2
3
3
2 2
x
y x= − + −
và
1
2 2
x
y = +
; 2)
2
1
x
y
x
=
−
và
3 1y x= − +
;
3)
1
2
x
y
x
−
=

+
và
3 5y x= − +
;
4)
3
4 3y x x= −
và
2y x= − +
;
5)
3
2 10y x x= − + +
và
2
3 4y x x= + −
; 6)
3 2
5 10 5y x x x= − + −
và
2
1y x x= − +
;
7)
2 4
1
x
y
x
−

=
−
và
2
2 4y x x= − + +
;
8)
2
2
3 6
2
x x
y
x x
+ +
=
− +
và
3 2y x= −
;
9)
4 2
1y x x= − +
và
2
4 5y x= −
.
Bài 2. Biện luận theo
m
số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây

1)
3
3 2y x x= − −
và
( )
2y m x= −
;
2)
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và
1 13
2 12
y m x
 
= + +
 ÷
 
;
3)
3
3
3
x
y x= − +
và
( )

3y m x= −
;
4)
2 1
2
x
y
x
+
=
+
và
2y x m= +
;
5)
1
1
x
y
x
+
=
−
và
2y x m= − +
;
6)
2
6 3
2

x x
y
x
− +
=
+
và
y x m= −
;
7)
1
3
1
y x
x
= − + +
−
và
3y mx= +
;
8)
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−

và
4 1y mx m= − −
;
9)
3
2 1y x x= + +
và
( )
2
1y m x= −
.
Bài 3. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y x m= +
đồ thị hàm số
( )
2
2 3
:
1
x x m
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm phân biệt;
2) Đường thẳng

:d y mx=
cắt đồ thị hàm số
( )
3 2
: 6 9C y x x x= − +
tại ba điểm phân biệt;
3) Đường thẳng
: 2d y x= − +
cắt đồ thị hàm số
( )
3 2
: 23C y x x mx m+= + +
tại ba điểm phân
biệt;
4) Đồ thị hàm số
( ) ( )
( )
2 2
: 1 3C y x x mx m= − − + −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;
5) Đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
: 3 1 2 1C y mx mx m x= + − − −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;
6) Các đồ thị hàm số
( )
3 2
1
: 2 2 2 1C x x x m+ − + −

và
( )
2
2
: 2 2C y x x= − +
cắt nhau tại ba điểm
phân biệt;
7) Các đồ thị hàm số
( )
3 2 2
1
: 2 3C x x m x m+ − +
và
( )
2
2
: 2 1C y x= +
cắt nhau tại ba điểm phân
biệt;
8) Đường thẳng
:d y m=
cắt đồ thị hàm số
( )
4 2
1: 2C y x x= − −
tại bốn điểm phân biệt;
9) Đồ thị hàm số
( ) ( )
4 2 3
: 1C y x m m x m= − + +

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
10) Đồ thị hàm số
( ) ( )
4 2 2
: 2 3 3C y x m x m m= − − + −
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;
11) [ĐHD06] Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
3;20A
có hệ số góc
m
cắt
( )
3
: 3 2C y x x= − +
tại
3
điểm phân biệt;
12) [ĐHD09] Đường thẳng
: 2d y x m= − +
cắt
( )
2
1
:

x x
C y
x
+ −
=
tại hai điểm phân biệt.
Bài 4. Tìm
m
để
1) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2
4 5
:
2
x x
C y
x
+ +
=
+
tại hai điểm có hoành độ
trái dấu;
2) Đường thẳng
: 2d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2

:
1
mx x m
C y
x
+ +
=
−
tại hai điểm có hoành độ
trái dấu;
3) Đường thẳng
: 3d y mx= +
cắt đồ thị hàm số
( )
2
4 5
:
2
x x
C y
x
+ +
=
+
tại hai điểm thuộc hai
nhánh khác nhau của
( )
C
;
4) Đồ thị hàm số

( )
2
:
1
mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;
5) [ĐHA03]
( )
2
:
1
m
mx x m
C y
x
+ +
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương;
6) [ĐHD09] Đường thẳng
: 1d y = −
cắt
( ) ( )
4 2
3 2: 3

m
C y x m x m= − + +
tại
4
điểm phân biệt
đều có hoành độ nhỏ hơn
2
.
Bài 5. Tìm
m
để
1) [ĐHB09] Đường thẳng
:d y x m= − +
cắt
( )
2
1
:
x
C y
x
−
=
tại hai điểm
A
,
B
sao cho

4AB =

;
2) Đường thẳng
: 2d y x m= +
cắt đồ thị hàm số
( )
3 1
:
4
x
C y
x
+
=
−
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
3) Đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị hàm số
( )
4 1
:
2
x

C y
x
−
=
−
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
4) Đường thẳng
:
m
d y x m= − +
cắt
( )
2 1
:
2
x
C y
x
+
=
+
tại hai điểm
A

,
B
sao cho đoạn thẳng
AB
ngắn nhất;
5) Đường thẳng
: 2 2d y mx m= + −
cắt đồ thị hàm số
( )
2
2 4
:
2
x x
C y
x
− +
=
−
tại hai điểm
A
,
B
.
Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng
AB
theo
m
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84

14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 6. [ĐHD08] Cho
( )
3 2
3 4y x x C= − +
. Chứng minh mọi đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;2I
và có hệ số góc
k
, với
3k > −
đều cắt
( )
C
tại ba điểm phân biệt
I
,
A
,
B
đồng thời
I
là trung điểm của đoạn thẳng
.AB
Bài 7. [ĐHD03] Cho
( )

2
2 4
2
x x
y C
x
− +
=
−
. Tìm
m
để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m= + −
cắt
( )
C
tại hai điểm
A
,
B
phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng
AB
thuộc trục tung.
Bài 8. [ĐHB10] Cho
2 1
1
x
y

x
+
=
+

( )
C
. Tìm
m
để đường thẳng
2:
m
d y x m= − +
cắt
( )
C
tại hai
điểm phân biệt
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
3
(
O
là gốc tọa độ).
Bài 9. [ĐHA11] Cho
1

2 1
x
y
x
− +
=
−

( )
C
. Chứng minh với mọi
m
, đường thẳng
:d y x m= +
luôn
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
. Gọi
1
k
,
2
k
là hệ số góc các tiếp tuyến với
( )

C
tại
A
và
B
. Tìm
m
để
1 2
k k+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10. [ĐHD11] Cho
2 1
1
x
y
x
+
=
+

( )
C
. Tìm
k
để đường thẳng
: 2 1d y kx k= + +
cắt
( )
C

tại hai
điểm phân biệt
A
,
B
sao cho khoảng cách từ
A
và
B
đến trục hoành bằng nhau.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15