Chuyên đề Sự tương giao giữa 2 đồ thị

Ba Huy

1
    
 
I. Tóm tắt lí thuyết
Cho hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x). Xét phương trình
hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*). Khi đó, ta có kết luận quan trọng
sau đây: Số nghiệm của phương trình (*) (lĩnh vực giải tích) đúng
bằng số điểm chung giữa (C) và (C’) (lĩnh vực hình học).
Trong thực hành giải toán, hai lĩnh vực này thường bổ sung cho
nhau. Cụ thể: để giải quyết lĩnh vực giải tích, ta sử dụng công cụ hình
học; còn để giải quyết lĩnh vực hình học, ta sử dụng công cụ giải tích.
II. Bài tập
Phần I. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị
Phương pháp giải
- B1. Viết phương trình hoành độ giao điểm.
- B2. Dựa vào giả thiết để đặt điều kiện cho pt hđgđ.
- B3. Giải điều kiện ở B2.
Bài 1. Cho (C): y = x
3
– 3x + 2. Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và
có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4. Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có
hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng
thời I là trung điểm của AB.
Bài 3. Cho (C

m
): y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m. Tìm m để (C
m
) cắt đường
thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Ba Huy

2
Bài 4. Cho
1
( ):
21
x
Cy
x



. Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m
– 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C).
Bài 5. Cho
2x+1
( ):
1
Cy
x



. Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
S3
OAB

.
Bài 6. Cho hàm số (C):
32
3y x mx mx  
và đường thẳng d: y = x
+ 2. Tìm m để (C) cắt đường thẳng d:
a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 2x – 12 cắt trục
hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
Bài 8. Cho (C
m
): y = x
4
+ 2mx
2
– 2m – 1 . Tìm m để (C
m
) cắt trục

hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành
cấp số cộng.
Bài 9. Cho (C
m
):
 
42
2 1 2 1y x m x m    

a. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số
cộng.
b. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ
hơn 3.
Bài 10. Cho (C
m
): y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m. Tìm m để (C
m
) cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt x
1
, x
2

, x
3
thỏa x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
< 4.
Ba Huy

3
Phần II. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Bài 11. Cho (C): y = x
3
– 6x
2
+ 9x. Biện luận số nghiệm của pt: x
3
–
6x
2
+ 9x + m = 0.
Bài 12. Cho (C):
32
13
5

42
y x x  
. Tìm m để phương trình x
3
– 6x +
m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 13. Cho hàm số y = – x
3
+3x
2
. Tìm m để phường trình – x
3
+3x
2
+
m
3
–3m
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
III. Bài giải
Phần I. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị
Bài 1. Cho (C): y = x
3
– 3x + 2. Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và
có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài giải
 d có dạng: y = m(x – 3) + 20  y = mx – 3m + 20
 Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d:
x

3
– 3x + 2 = mx – 3m + 20  x
3
– (3 + m)x + 3m – 18 = 0
 (x – 3)(x
2
+ 3x – m + 6) = 0 
2
3
( ) 3x 6 0 (*)
x
f x x m



    


 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  pt(*) có 2 nghiệm phân biệt
khác 3
15
9 4( 6) 0
4
(3) 9 9 6 0
25
m
m
fm
m


     





    





Kết luận:
15
25
4
m

Bài 2. Cho (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4. Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có
Ba Huy

4
hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng
thời I là trung điểm của AB.
Bài giải
 Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k  d: y = k(x – 1) +

2  y = kx – k + 2.
 Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)
x
3
– 3x
2
+ 4 = kx – k + 2 (1)  x
3
– 3x
2
– kx + k + 2 = 0
 (x – 1)(x
2
– 2x – 2 – k) = 0
2
1
2x 2 0 (2)
x
xk




   


 Xét f(x) = x
2
– 2x – 2 – k với k > -3, có:
f(1) = - 3 – k  0

’ = 1 + 2 + k = 3 + k > 0
Suy ra pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  (1) có 3 nghiệm
phân biệt. Do đó d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
 Ta có A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) với x
1
, x
2
là các nghiệm của (2).
y
1
= kx
1
– k + 2
y
2
= kx
2
– k + 2
12
12
1
22

( ) 2 4 .2 2 4
2
2 2 2
AB
I
AB
I
x x x x
x
y y k x x k k k
y

  
     
   

Vậy I là trung điểm AB.
Bài 3. Cho (C
m
): y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m. Tìm m để (C
m
) cắt đường
thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài giải
 Phương trình hoành độ giao điểm: x
4

– (3m + 2)x
2
+ 3m = -1 (1)
Đặt t = m
2
, (1) trở thành:
Ba Huy

5
t
2
– (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 (2)
1
31
t
tm







 (C
m
) cắt d tại 4 điểm có hoành độ < 2  (1) có 4 nghiệm < 2
 (2) có 2 nghiệm phân biệt dương, và < 4.
1
3 1 0
1

3
1
3 1 1 0
3
0
3 1 4 1
m
m
m
mm
m
mm






  


     
  
  

  





Kết luận: Giá trị m cần tìm:
1
1
3
0
m
m

  






Bài 4. Cho
1
( ):
21
x
Cy
x



. Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m
– 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C).
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm:

2
1 2 2(2 1) x 2 1
1
x 2 1
1
2x 1
2
x mx m x m m
x
mm
x

       


   






2
( ) 2 (5 1) 2 2 0 (*)
1
2
f x mx m x m
x


     







Yêu cầu bài toán tương đương pt(*) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2 1 2
1 1 1
0
2 2 2
x x x x
  
      
  
  

Ba Huy

6
1 2 1 2
11
( ) 0
24

x x x x    

22
00
(5 1) 8 (2 2) 0 9 6 1 0
2 2 1 1 5 1 4 4 1 5
. 0 0
2 2 2 4 4
mm
m m m m m
m m m m m
m m m




          


     

   


0
1
0
3
0
m

mm
m




    






Bài 5. Cho
2x+1
( ):
1
Cy
x


. Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
S3
OAB

.
Bài giải
Phương trình đường thẳng d được viết lại: 2x + y – m = 0.
||

( , )
5
m
d O d

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):
2
( ) 2 (4 ) 1 0
2x 1
2x
1
1
f x x m x m
m
x
x

     

   





Điều kiện để A, B tồn tại là tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt
khác -1
Ba Huy

7

22
(4 ) 8(1 ) 0 18 0
( 1) 2 4 1 0 1 0
m m m
mR
f m m

       
    

        


Khi đó A(x
1
;-2x
1
+ m), B(x
2
;-2x
2
+ m) (x
1
, x
2
là các nghiệm của f(x)).
AB
2
= (x
2

– x
1
)
2
+ 4(x
2
– x
1
)
2
= 5[(x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
]
2
2
4 1 5
5 4 ( 8)
2 2 4
mm
m




   






Theo giả thiết
1
2 2 2
3 3 ( , ). 3
4
S S d O d AB
OAB OAB
    

2
2 4 2 2
15
( 8) 3 8 48 0 4 2
4 5 4
m
m m m m m           

Bài 6. Cho hàm số (C):
32
3y x mx mx  
và đường thẳng d: y = x
+ 2. Tìm m để (C) cắt đường thẳng d:

a. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
b. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):
x
3
– 3mx
2
– mx = x + 2  f(x) = x
3
– 3mx
2
– (m + 1)x – 2 = 0 (1)
a. Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC.
Gọi x
B
= x
0
thì x
A
= x
0
– a, x
C
= x
0
+ a (a  0) (Chú ý: x
A
, x
B

, x
C
lập
thành cấp số cộng). Do x
A
, x
B
, x
C
là các nghiệm của (1) nên:
Ba Huy

8
32
0 0 0
32
0 0 0
32
0 0 0
( ) 3 ( ) ( 1)( ) 2 0 (1)
3 ( 1) 2 0 (2)
( ) 3 ( ) ( 1)( ) 2 0 (3)
x a m x a m x a
x mx m x
x a m x a m x a

       

    



       


Lấy (1) + (3) và chú ý (2), ta được
3 2 2 2
0 0 0 0
22
00
2 6a 6 6 2( 1) 4 0
6a 6 0 ( 0)
x x mx ma m x
x ma x m do a
      
     

Thay vào (2) ta được
3 2 2
2 2 0 ( 1)(2 2) 0 1m m m m m m m           

Thử lại với m = -1, pt(1) trở thành
x
3
+ 3x
2
– 2 = 0  (x + 1)(x
2
+ 2x – 2) = 0
1
1 3 1 3, 1, 1 3

13
A B C
x
x x x x
x



            


  

thỏa mãn.
Kết luận: m = -1
Cách 2.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):
x
3
– 3mx
2
– mx = x + 2  f(x) = x
3
– 3mx
2
– (m + 1)x – 2 = 0 (1)
Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC.
Gọi x
A
= x

1
, x
B
= x
2
, x
C
= x
3
thì 2x
2
= x
1
+ x
3
. Do x
A
, x
B
, x
C
là các
nghiệm của (1) nên:
f(x) = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)

= x
3
– (x
1
+ x
2
+ x
3
)x
2
+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)x – x
1
x
2
x
3
. (2)
Ba Huy

9
Đồng nhất thức (1) và (2) ta được
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3 (*)
1 (**)
2 (***)
x x x m
x x x x x x m
x x x
  


    





(*)  3x
2
= 3m  x
2
= m.
Thay vào (1), giải tìm được m = -1.
b. Gọi 3 hoành độ lập thành CSN theo thứ tự là x
1
, x

2
, x
3
thì x
2
2
=
x
1
x
3
. Do x
1
, x
2
, x
3
là các nghiệm của (1) nên:
f(x) = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)
= x
3
– (x
1
+ x

2
+ x
3
)x
2
+ (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
)x – x
1
x
2
x
3
. (2)
Đồng nhất thức (1) và (2) ta được
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3 (*)
1 (**)

2 (***)
x x x m
x x x x x x m
x x x
  


    





(***)  x
2
3
= 2 
3
2
2x 

(**)  x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x

2
2
= - m – 1  x
2
(x
1
+ x
2
+ x
3
) = - m – 1
3
3
1
3 2 1
3 2 1
m m m      


Thử lại, thay giá trị m vào (1) tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
1
3 2 1
m 


Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx

2
+ 2x – 12 cắt trục
hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
Ba Huy

10
Bài giải
Giải tương tự câu a) bài 6.
Bài 8. Cho (C
m
): y = x
4
+ 2mx
2
– 2m – 1 . Tìm m để (C
m
) cắt trục
hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành
cấp số cộng.
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm x
4
+ 2mx
2
– 2m – 1 = 0 (1)
Đặt t = x
2
, (1) trở thành: t
2
+ 2mt – 2m – 1 = 0 (2)

(C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm pb  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
 (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t
1
< t
2

2
' 2 1 0 1
1
2 0 0 1
2
2 1 0 1
2
m m m
m m m
m
m



      


         


  





(*)
Khi đó, (1) có 4 nghiệm là
12
,tt
. 4 nghiệm này lập thành CSC

1 1 2 1 1 2 2 1
39t t t t t t t t      

Ta có
1
12
2
11
2
12
1
10 2
2
9 10 1
21
9 2 1
tm
t t m
tt
t t m
tm


  


   

  
  



1
2
11
2
15
9 10 1 0
15
99
tm
tt
tm
   


    

   


Ba Huy

11
Kết luận: có 2 giá trị m thỏa mãn là -5 và -5/9.
Bài 9. Cho (C
m
):
 
42
2 1 2 1y x m x m    

a. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số
cộng.
b. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ
hơn 3.
Bài giải
a. Giải tương tự bài 8.
b. Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C
m
) và trục hoành:
 
42
2 1 2 1 0 (1)x m x m    

Đặt t = x
2

. (1) trở thành f(t) = t
2
– 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)
 (t – 1)(t – 2m – 1) = 0
1
21
t
tm







Để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 thì pt
(2) phải có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa mãn:
12
12
0 9 (*)
0 9 (**)
tt
tt
  



  


+) Nhận thấy (*) không thể xảy ra.
+) (**)  2m + 1  9 
4m 
.
Bài 10. Cho (C
m
): y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m. Tìm m để (C
m
) cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa x
1
2
+ x
2
2

+ x
3
2
< 4.
Ba Huy

12
Bài giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C
m
) và Ox:
x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m = 0 (1)  (x – 1)(x
2
– x – m) = 0
2
1
( ) 0 (2)
x
f x x x m




   


Điều kiện x
1
, x
2
, x
3
tồn tại là (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
1
1 4 0
1
0 (*)
4
(1) 0
4
0
m
m
m
fm
m

   



     

  






Kí hiệu x
1
= 1 thì x
2
, x
3
là các nghiệm của (2). Suy ra
x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
< 4  x
2
2
+ x
3
2
< 3  (x
2
+ x
3
)

2
– 2x
2
x
3
< 3
 1 + 2m < 3  m < 1 (**).
Kết hợp (*) và (**), ta được giá trị cần tìm là
1
1
2
0
m
m

  






Phần II. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Bài 11. Cho (C): y = x
3
– 6x
2
+ 9x. Biện luận số nghiệm của pt: x
3
–

6x
2
+ 9x + m = 0.
Bài giải
Ta có x
3
– 6x
2
+ 9x + m = 0  x
3
– 6x
2
+ 9x = - m (*)
(*) chính là pt hoành độ giao điểm giữa đồ thị (C) và đường thẳng
d: y = -m.
Căn cứ vào đồ thị ta thấy:

Ba Huy

13
+)
00
44
mm
mm
  



   


: pt có 1 nghiệm.
+)
00
44
mm
mm
  



   

: pt có 2 nghiệm.
+) 0 < -m < 4  -4 < m < 0: pt có 3 nghiệm.
Bài 12. Cho (C):
32
13
5
42
y x x  
. Tìm m để phương trình x
3
– 6x +
m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài giải
Biến đổi phương trình đã cho như sau:
x
3
– 6x + m = 0  x

3
– 6x = -m 
32
13
4 2 4
m
xx



32
13
55
4 2 4
m
xx

    
(*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm giữa
đồ thị (C) và đường thẳng d:
5
4
m
y


.
Căn cứ vào đồ thị, suy ra phương trình đã
cho có 3 nghiệm phân biệt khi:

3 5 5 8 0 32 0 32 0
44
mm
mm

               
.
Bài 13. Cho hàm số y = – x
3
+3x
2
. Tìm m để phường trình – x
3
+3x
2
+
m
3
–3m
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài giải
Ba Huy

14
Ta có: – x
3
+3x
2
+ m

3
–3m
2
= 0  – x
3
+3x
2
= - m
3
+ 3m
2

Đây là phương trình hoành độ giao điểm
giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - m
3
+
3m
2
. Căn cứ vào đồ thị suy ra giá trị m cần
tìm là: 0 < -m
3
+ 3m
2
< 4

13
0
2
m
m

m
  






