Ứng dụng hình học của tích phân

Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
Giúp học sinh lớp 12 giải các bài toán:
“ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY”
I.Một số vấn đề liên quan
1.Phương pháp:
Phương pháp tính tích phân
∫
( )
b
a
f x dx
,trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên [a;b]:
1.1.Phương pháp đổi biến số dạng 1:
+Dạng 1: f(x) =
−
2 2
a x
,hoặc f(x) =
−
2 2
1
a x
(a > 0 ).Đặt x = a.sint ,với t ∈[-
π π
;
2 2
]
+Dạng 2: f(x) =
+

2 2
1
a x
(a > 0).Đặt x = a.tant,với t ∈(
π π
;
2 2
).
1.2.Phương pháp tính tích phân từng phần:
= −
∫ ∫
.
b b
a a
b
udv u v vdu
a
,trong đó udv = f(x)dx
+Dạng 1:
+
+
 
 
+
 
 
 
∫
sin( )
( ) ( )

b
a
Ax B
Ax B
P x cos Ax B dx
e
( P(x): đa thức ).Đặt: u = P(x) (còn lại là dv)
+Dạng 2:
+
∫
( ).ln( )
b
a
P x Ax B dx
.( P(x): đa thức ).Đặt: u = ln(Ax+B) (còn lại là dv)
2.ứng dụng của tích phân:
2.1.Tính diện tích của hình phẳng:
a)Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) và đồ thị của
hai hàm số y
1
= f
1
(x), y
2
= f
2
(x) liên tục trên [a;b] là:
1 2
( ) ( )
b

a
S f x f x dx
= −
∫
•Bước 1: Giải phương trình: f
1
(x) - f
2
(x) = 0 (1)
•Bước 2:Chọn nghiệm thuộc đoạn [a;b].Giả sử trên [a;b],phương trình (1) có các nghiệm là
α,β (α < β).
•Bước 3: Khi đó: S =
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
β
α
α β
− + − + −
∫ ∫ ∫
=
[ ] [ ] [ ]
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
β

α
α β
− + − + −
∫ ∫ ∫
Ghi chú:Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
y
1
= f
1
(x), y
2
= f
2
(x) .
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
1
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
b) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = a, y = b (a < b) và đồ thị của
hai hàm số x
1
= g
1
(y), x
2
= g
2
(y) liên tục trên [a;b] là:

1 2
( ) ( )
b
a
S g y g y dy
= −
∫
•Bước 1: Giải phương trình: g
1
(y) - g
2
(y) = 0 (2)
•Bước 2:Chọn nghiệm thuộc đoạn [a;b].Giả sử trên [a;b], phương trình (2) có các nghiệm là
α,β (α < β).
•Bước 3: Khi đó: S =
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
f x f x dx x y x y dy x y x y dy
β
α
α β
− + − + −
∫ ∫ ∫
=
[ ] [ ] [ ]
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b

a
x y x y dy x y x y dy x y x y dy
β
α
α β
− + − + −
∫ ∫ ∫
Ghi chú:Phương trình (2) gọi là phương trình tung độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
x
1
= g
1
(y), x
2
= g
2
(y).
2.2.Tính thể tích của vật thể tròn xoay:
a)Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng
giới hạn bởi các đường: y = f(x), x = a, x = b (a < b), y = 0 là:
2
b
a
V y dx
π
=
∫
b) Thể tích của vật thể tròn xoay sinh
ra bởi phép quay xung quanh trục Oy
của hình giới hạn bởi các đường:

x = g(y),y = a, y = b (a < b) , x = 0 là:

2
b
a
V x dy
π
=
∫
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
2
x
y
x = g ( y )
O
a
b
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
II.Bài tập áp dụng:
 Bài toán 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x
2
+ 1, x + y = 3
Nhận xét:
-Đối với bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc chọn cách giải,vì nếu chọn cách
giải đưa về: x = a , x = b (a < b) , y
1
= f

1
(x), y
2
= f
2
(x):
1 2
( ) ( )
b
a
S f x f x dx
= −
∫
thì thiếu
x = a và x = b.
-Hướng dẫn cho học sinh tìm x = a, x = b từ việc giải phương trình:f
1
(x) - f
2
(x) = 0
Giải: Ta có: x + y = 3 ⇔ y = 3 - x
Do đó: x
2
+ 1- (3 - x) = 0 ⇔ x
2
+ x- 2 = 0
⇔
1
2
x

x
=


= −

Vậy: S =
( )
1
3 2
2
2
1
2 2
3 2 2
x x
x x dx x
−
 
+ − = − +
 ÷
−
 
∫


9
2
=
(đ.v.d.t)

•Minh họa đồ thị :
(Ghi chú: phần đồ thị này trong một số bài
toán từ đây về sau tùy bài có thể đưa vào
trong cách giải để minh họa, chứ không
phải bắt buộc khi nào cũng phải có
trong cách giải)
 Bài toán 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y
2
= 2x + 1, y = x- 1
(Đề thi tốt nghiệp T.H.P.T năm học 2001- 2002)
•Giải:Ta có: y
2
= 2x + 1 ⇔ x =
2
1
2
y −
y = x -1 ⇔ x = y + 1
Do đó:
2 2
1
1 1
( 1) ( 1) 0 ( 2 3) 0
2 2 3
y
y y y y
y
= −

− − + = ⇔ − − = ⇔


=

Vậy: S =
( )
2
2
1
1 16
2 3)
2 3
y y dy
−
− − =
∫
(đ.v.d.t)
•Nhận xét: Những vấn đề học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán này:
+ Rút ra: y =
2 1x± +
và tính toán tương đối phức tạp.
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
3
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
+Khi giải phương trình:
2
1
( 1) ( 1) 0

2
y y− − + =
học sinh thường biến đổi như sau:
2 2
1
( 1) ( 1) 0 2 3 0
2
y y y y− − + = ⇔ − − =
dẫn đến tính diện tích hình phẳng tăng gấp đôi.
•Minh họa đồ thị:
 Bài toán 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = y
3
,y = 1, x = 8.
•Nhận xét:
-Đối với bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc chọn cách giải.
- Hướng dẫn gợi ý cho học sinh cách giải như sau:
* x = a , x = b (a < b) , y
1
= f
1
(x), y
2
= f
2
(x):
1 2
( ) ( )
b
a
S f x f x dx

= −
∫
thì phải tìm thêm hoặc
x = a, hoặc x = b.
* y = a, y = b (a < b),x
1
= g
1
(y), x
2
= g
2
(y):
1 2
( ) ( )
b
a
S g y g y dy
= −
∫
thì phải tìm thêm
hoặc y = a, hoặc y = b.
•Giải:
•Cách 1:Ta có: x = y
3
⇔ y =
3
x
.
Phương trình hoành độ giao điểm:

3
x
- 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy: S =
( )
8
4
3
3
1
8
3 17
1 ( )
4 1 4
x dx x x− = − =
∫
(đ.v.d.t)
•Cách 2: Phương trình tung độ giao điểm:
y
3
- 8 = 0 ⇔ y = 2.
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
4
-
1
2
x = y + 1

x
y
O
3
- 1
4
x = 1
x = 8
y = 1
y =
x
1
3
x
y
1
O
8
1
x = y
3
y = 2
x = 1
x = 8
y = 1
x
y
1
O
8

1
2
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
Vậy: S =
( )
2
4
3
1
2
17
8) ( 8 )
4 1 4
y
y dy y− = − =
∫
(đ.v.d.t)
•Minh họa đồ thị:
 Bài 4(Bài 1b, trang 121 Giải tích 12CB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y =
ln x
và y=1
Giải:
Ta có:
ln , nÕu lnx 0 ln , nÕu x 1
ln
-lnx, nÕu lnx<0 -lnx, nÕu 0< x < 1
x x
x

ì ì
³ ³
ï ï
ï ï
= =
í í
ï ï
ï ï
î î
Mà:
ln 1 ln 1
1
;
1 0 1
x x
x e x
x x e
ì ì
= - =
ï ï
ï ï
= =Û Û
í í
ï ï
< <³
ï ï
î î
Do đó: S =
1
1 1

1
ln 1 ( ln 1) ( ln 1)
e e
e e
x dx x dx x dx- = - + -
ò ò ò
=
1 1
1 1
1 1
( ln 1) (ln 1) (ln 1) (ln 1)
e e
e e
x dx x dx x dx x dx- - + - = + + - =
ò ò ò ò
=
1 1
1 1
1 1
ln ln
e e
e e
xdx dx xdx dx+ + - =
ò ò ò ò
1 1
2 2e e
e e
+ - = + -
( đ.v.d.t)
•Minh họa đồ thị:

 Bài 5:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y =
x
và y = 2- x
2
Giải: Ta có:
, Õu 0
, Õu x 0
x n x
x
x n
≥

=

− ≤

Mà:
2 2
1
(2 ) 0 2 0
1
2
0 0
0
x
x x x x
x
x
x x
x


=

 
− − = + − =


⇔ ⇔ ⇔ =
= −
  

≥ ≥
 

≥


2 2
1
(2 ) 0 2 0
1
2
0 0
0
x
x x x x
x
x
x x
x


= −

 
− − − = − − =


⇔ ⇔ ⇔ = −
=
  

≤ ≤
 

≤

Do đó:S =
0 1
2 2
1 0
( 2) ( 2)x x dx x x dx
−
− − + + −
∫ ∫
=
=
3 2 3 2
0 1
( 2 ) ( 2 )
3 2 1 3 2 0

x x x x
x x− − + + −
−
=
7 7 7
6 6 3
+ =
(đ.v.d.t)
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
5
6
4
2
- 2
- 4
- 6
- 5
5
1
e
e
y = 1
y =
l n x
O
1
y
x

Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
•Nhận xét:
- Bài toán này nếu có đồ thị minh họa thì học sinh có thể đưa ra cách giải nhanh hơn.
- Học sinh thường lúng túng do có hàm số y =
x
có chứa dấu giá trị tuyệt đối và trong khi
đưa diện tích về bằng tổng của hai tích phân có chứa một cận là 0.(Đây chính là nghiệm của
phương trình: x = - x).
-Hàm số y =
x
là hàm số chẵn trên
¡
.Đồ thị hàm số này được vẽ như sau: vẽ đồ thị hàm số
y = x (chỉ lấy phần đồ thị ứng với x
≥
0), sau đó lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy.
•Minh họa đồ thị:
 Bài 6:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x
2
-2x và hai tiếp tuyến của nó tại
O(0;0) và A(3;3)
•Giải:Ta có: y’ = 2x -2⇒y’(0) = -2; y’(3) = 4
*Phương trình tiếp tuyến của parabol tại O(0;0) là: y-0 = y’(0).(x-0) = -2.x⇔y = -2x
*Phương trình tiếp tuyến của parabol tại A(3;3) là: y-3 = y’(3)(x-3) = 4(x-3)⇔ y = 4x -9
Mà: -2x- ( 4x -9) = 0 ⇔ 6x = 9 ⇔ x =
[ ]
3
0;3
2

∈
.
Vậy:
3
3
2
2 2
3
0
2
[( 2 ) ( 2 )] [( 2 ) (4 9)]
= − − − + − − −
∫ ∫
S x x x dx x x x dx
=
3
3
2
2 2
3
0
2
6 9
+ − +
∫ ∫
x dx x x dx

3 3
2
3 3

( 3 9 )
2
3
3 3
0
2
= + − +
x x
x x
9 9 9
8 8 4
= + =
( đ.v.d.t)

•Minh họa đồ thị:
 Bài 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 0, y = x
3
- 3x
2
+3x -1 và tiếp
tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x
0
= 3
•Giải:
* y = x
3
- 3x
2
+3x -1⇒ y(3) = 8

y’= 3x
2
- 6x+ 3 ⇒ y’(3) = 12.
*Phương trình tiếp tuyến của của đồ thị
hàm số (C ): y = x
3
- 3x
2
+3x -1 tại điểm A(3;8) là:
y- 8 = 12(x-3) ⇔ y = 12x- 28
*Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)
và tiếp tuyến là: x
3
-3x
2
+3x- 1-(12x- 28 ) = 0
⇔ x
3
- 3x
2
- 9x + 27 = 0
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
6
y = 1 2 x - 8
x
y
1
O

3
- 3
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
⇔ (x- 3)
2
(x +3 ) = 0
3
3
x
x
= −

⇔

=

Vậy: V =
3
4 2
3 2 3
3
3
9
( 3 9 27) ( 27 )
4 2 3
x x
x x x dx x x
−
− − + = − − +

−
∫
= 108 (đ.v.d.t)
•Minh họa đồ thị:
 Bài 8:Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của
hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 5x- x
2
, y = 0.
•Nhận xét: Học sinh đã làm phần bài tập tính diện tích hình phẳng nên dễ dàng nghĩ ngay
đến việc giải phương trình: 5x- x
2
= 0 để tìm x = a và x = b.
•Giải: Ta có 5x- x
2
= 0 ⇔ x(5- x) = 0
0
5
x
x
=

⇔

=

Vậy:
5 5
2 2 2
0 0
(5 )V y dx x x dx

π π
= = − =
∫ ∫

=
5
2 3 4
0
(25 10 )x x x dx
π
− +
∫
=
=
5
3 4
5
25 5 625
( )
3 2 5 0 6
x
x x
π π
− + =
(đ.v.t.t)
•Minh họa đồ thị:
 Bài 9:Thể tích của vật thể tròn xoay sinh
ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình
giới hạn bởi các đường: y = x
2

,y = 1,y = 4 ,
x = 0
•Giải:
Ta có: V =
4 4
2 2
1 1
4
1 1 15
. (16 1)
2 1 2 2
x dy ydy y
π
π π π π
= = = − =
∫ ∫
(đ.v.t.t)
•Minh họa đồ thị:
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
7
y = x
2
x
y
O
1
1
A

4
- 2
2
- 1
B
y = 5 x - x
2
5
2
y
2 5
4
x
O
5
I
Trường T.H.P.T Tam Giang Năm học
2009-2010
•Nhận xét: Nhánh OA là đồ thị của hàm số: x = -
y
.Nhánh OB là đồ thị của hàm số:
x =
y
 Bài 10:Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip (E):
2 2
1
25 16
x y
+ =
khi nó quay

xung quanh: a) trục Ox b) trục Oy
•Giải:
a) Cho y = 0 ta có: x
2
= 25 ⇔ x = ± 5.Suy ra (E) cắt Ox tại: x = - 5 và x = 5
Khi đó:
2 2
1
25 16
x y
+ =

2 2
16
(25 )
25
y x⇔ = −
.Vậy: VOx =
5
2
5
16
. (25 )
25
x dx
π
−
− =
∫
3

5
16
. (25 )
25 3 5
x
x
π
−
−
=
320
3
π

•Nhận xét: Nhánh A
1
B
1
A
2
là đồ thị của hàm số: y =
2
4
25
5
x−
.Nhánh A
1
B
2

A
2
là đồ thị của
hàm số: y = -
2
4
25
5
x−
b) Cho x = 0 ta có: y
2
= 16 ⇔ y = ± 4.Suy ra (E) cắt Oy tại: y = - 4, y = 4
Khi đó:
2 2
1
25 16
x y
+ =

2 2
25
(16 )
16
x y⇔ = −
Vậy:
4
3
2
4
4

25 25 400
. (16 ) . (16 )
16 16 3 4 3
Oy
y
V y dy y
π
π π
−
= − = − =
−
∫
(đ.v.t.t)
•Nhận xét:Nhánh B
1
A
1
B
2
là đồ thị của hàm số: x = -
2
5
16
4
y−
.Nhánh B
1
A
2
B

2
là đồ thị của
hàm số: x =
2
5
16
4
y−
•Minh họa đồ thị:
Ứng dụng hình học của tích phân Giỏo viên thực hiện: Trần VănTrà
Email: travantranvnn@
yahoo.com.vn
8
x
y
B
1
B
2
A
2
A
1
O
- 5
4
5
- 4
A
2

A
1
B
1
B
2
x
y
4
5
- 4
- 5