Sáng kiến kinh nghiệm 11 - Cơ bản - vùng khó

Sở Giáo Dục – Đào Tạo Quảng Trị
Trường Trung Học Phổ Thông Đakrông
Tổ: Toán - Tin

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài :
“Các cách tiếp cận, phân tích để giải một số bài toán”


Polya
Giáo viên thực hiện: Ngô Văn Khôi
Năm học: 2008 -2009
Đakrông, 5.2010
I.ĐẶT VẤN ĐỀ

Việc dạy học đối với các tiết bài tập nói chung là quan trọng, bởi vì đây là tiết học mà
các em học sinh có thời gian để làm các bài tập toán và đưa ra các dạng toán và
phương pháp thích hợp để giải các dạng toán đó. Do đó trước khi lên lớp giáo viên nên
chuẩn bị một số lượng bài tập hợp lí và đặc biệt là cách giải các dạng bài tập toán đó.
Để giúp học sinh có cách nghĩ khác về công việc giải toán người giáo viên phải định
hướng cách giải quyết các bài toán cho học sinh càng nhiều cách càng tốt nhằm giúp
các em học sinh biết cách khai thác cách giải một bài toán nhằm phát triển tư duy, tính
linh hoạt khi làm toán cho các em. Để làm rõ cho ý tưởng này tôi xin nêu ra một số bài
tập cơ bản tương tự trong SGK Đại Số và Giải Tích 11.
II. NỘI DUNG
Bài tập 1: Giải phương trình sin2x = cosx (1)
* Phân tích1: vế trái là hàm sin, vế phải là hàm cos như vậy để giải được bài toán
học sinh chuyển cos về sin ( Hoặc chuyển sin về cos )
* Mấu chốt của bài toán là sử dụng công thức :

cos sin( ); sin 2 cos( 2 )

2 2
x x x x
π π
= − = −

Ta có các cách giải trong trường hợp phân tích này như sau :
- Cách giải1 :

2 2
2
(1) sin 2 sin( ) ,
2
2 ( ) 2
2
x x k
x x k Z
x x k
π
π
π
π
π π

= − +

⇔ = − ⇔ ∈


= − − +




2
3 2
6 3
2
,
2
2
2
2
x k
x k
k Z
x k
x k
π π
π
π
π
π
π π
π


= +
= +


⇔ ⇔ ∈





= − +
= +




- Cách giải 2 :

2 2
2
(1) cos( 2 ) cos ,
2
2 2
2
x x k
x x k Z
x x k
π
π
π
π
π

− = +

⇔ − = ⇔ ∈



− = − +



2
3 2
6 3
2
,
2
2
2
2
x k
x k
k Z
x k
x k
π π
π
π
π
π
π
π


= +

− = − +


−
⇔ ⇔ ∈




− = − +
= −




Chú ý : Theo cách phân tích 1 học sinh có thể chuyển vế và dùng các công thức
biến đổi tổng thành tích để giải.
Chẳng hạn:
- Cách giải 3 :

sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) 0
2 2
x x x x
π π
= − ⇔ − − =

3
cos( )sin( ) 0
2 4 2 4
x x

π π
⇔ + − =


x = +k2
cos( ) 0 + = +k
2
2 4 2 4 2
,
2
3x 3x
x = +k
sin( ) 0 - = k
6 3
2 4 2 4
x x
k Z
π
π π π
π
π
π π
π π
π

 
+ =

 
⇔ ⇔ <=> ∈


 

 
− =

 
 

* Phân tích2:vế trái cung 2x, vế phải là cung x như vậy để giải được bài toán học
sinh chuyển cung 2x về cung x.
* Mấu chốt của bài toán là sử dụng công thức : sin2x = 2sinxcosx
Ta có cách giải trong trường hợp phân tích này như sau :
- Cách giải 4 :

cosx = 0
(1) 2sin cos cos cos (2sin 1) 0
1
sinx =
2
x x x x x


⇔ = ⇔ − = ⇔




cos 0 ,
2

x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = + ∈

x = 2
1
6
sin sin sin ,
5
2 6
x = 2
6
k
x x k Z
k
π
π
π
π
π

+

+ = ⇔ = ⇔ ∈


+



Bài tập tương tự :
a) sin2x = 2cosx
b) cos2x = - sinx

Bài tập 2: ( bài tập 4b sgk Tr.179) Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khóa. Hỏi
có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu ca mổ gồm một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ ?
* Mấu chốt của bài toán là sử dụng quy tắc đếm ( cụ thể là quy tắc nhân )
* Phân tích1 : Số bác sĩ mổ là 1 được chọn trong 40 người ( còn lại 39 người )
Số bác sĩ phụ là 4 được chọn trong 39 người còn lại
- Cách giải 1.
+ Chọn 1 bác sĩ mổ trong 40 bác sĩ có
1
40
C
( cách )
+ Chọn 4 bác sĩ phụ trong 39 bác sĩ còn lại có
4
39
C
( cách )
Theo quy tắc nhân ta có tổng số cách chọn là :
1
40
C
.
4
39
C
( cách )
* Phân tích2 : Số bác sĩ cần cho ca mổ là 5. Do đó

Chọn 5 bác sĩ trong 40 bác sĩ
Trong 5 bác sĩ được chọn ta chọn 1 bác sĩ mổ ( hoặc 4 bác sĩ phụ )
- Cách giải2 .
+ Chọn 5 bác sĩ cho ca mổ có
5
40
C
( cách )
+ Chọn 1 bác sĩ mổ trong 5 bác sĩ được chọn có
1
5
C
( cách )
Theo quy tắc nhân ta có tổng số cách chọn là :
5
40
C
.
1
5
C
( cách )
Bài tập tương tự :
Một lớp học gồm 40 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phân công một tổ lao động
nếu tổ gồm có 2 người đem xẻng và 3 người đem bao ?
Bài tập 3: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen ( hình vẽ ), lấy ngẫu
nhiên đồng thời hai quả. Tính xác xuất
sao cho hai quả lấy được khác màu.

* Phân tích1 : Hộp có 5 viên bi nên ta xem đây là một tập hợp gồm năm phần tử.

Do đó ta có thể dùng tổ hợp để giải bài toán như sau :
- Cách giải1:
Mỗi lần lấy đồng thời hai quả cầu cho ta một tổ hợp chập hai của năm phần tử.
Do đó, không gian mẫu gồm các tổ hợp chập hai của năm phần tử
2
5
( ) 10n C
Ω = =
Vì việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên các kết quả đó đồng khả năng.
Đặt A = “ Hai quả khác màu ”
+ Lấy một quả màu trắng có
1
3
C
= 3 ( cách )
+ Lấy một quả màu đen có
1
2
C
= 2 ( cách )
Theo quy tắc nhân ta có số phần tử của tập hợp A là

1 1
3 2
( ) . 3.2 6n A C C
= = =
V ậy

( ) 6 3
( )

( ) 10 5
n A
P A
n
= = =
Ω
1
2 3 4 5
* Phân tích2 : Ta xem 5 viên bi là khác nhau khi đó ta đánh số cho các viên bi
như trên hình vẽ. Do đó ta có thể dùng cách liệt kê để giải bài toán như sau :
- Cách giải 2:
Tập hợp các kết quả của không gian mẫu là

Ω =
{ (1;2); (1;3); (1;4); (1;5); (2;3); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5); (4;5) }
Do lấy ngẫu nhiên hai bi nên số phần tử của không gian mẫu là

( ) 10n
Ω =
Vì việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên các kết quả đó đồng khả năng.
Đặt A = “ Hai quả khác màu ” khi đó A = { (1;4); (1;5); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5)}
Suy ra n( A ) = 6

V ậy

( ) 6 3
( )
( ) 10 5
n A
P A

n
= = =
Ω


Bài tập tương tự :
Một cái túi đựng bốn quả bóng đỏ và ba quả bóng xanh, lấy ngẫu nhiên đồng
thời hai quả. Tính xác xuất sao cho hai quả lấy được cùng màu.
Bài tập 4: Tìm

3
lim(2 1)n n
− +
* Mấu chốt của bài toán là đưa về các giới hạn đặc biệt để tính.
* Phân tích1: Đưa về giới hạn dạng tích bằng cách sử dụng biến đổi
Ta có cách giải 1(sgk) như sau :

3 3
2 3
1 1
lim(2 1) lim (2 )n n n
n n
− + = − +


3
2 3
1 1
lim ; lim(2 ) 2 0n
n n

+ =+∞ − + = >

Vậy

3
lim(2 1)n n
− + =+∞

*Phân tích2: Đưa về giới hạn dạng thương bằng cách sử dụng biến đổi

3
2 3
3
3
1 1
2
2 1
2 1
1
1
n n
n n
n n
n
− +
− +
− + = =

Ta có cách giải thứ 2 như sau :

3
2 3
3
3
1 1
2
2 1
lim(2 1) lim lim
1
1
n n
n n
n n
n
− +
− +
− + = =


2 3 3 3
1 1 1 1
lim(2 ) 2 0; lim 0; 0
n n n n
+ − + = > = >

Vậy

3
lim(2 1)n n
− + =+∞

Bài tập tương tự :
a) Tìm

3 2
lim( 3 1)n n n
− + − +
b) Tìm

3
lim ( 2 2)
x
x x
→+∞
− −

Bài tập 5: ( sgk Tr 163)Tính đạo hàm của hàm số sau

7 2 3
( 5 )y x x
= −
* Phân tích 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp

1
( )' 'u u u
α α
α
−
=

- cách giải1.

7 2 ' 7 2 2 6 7 2 2
' 3( 5 ) ( 5 ) 3(7 10 )( 5 )y x x x x x x x x
= − − = − −

* Phân tích 2 : Sử dụng hằng đẳng thức
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b
− = − + −
-Cách giải 2.

Viết lại

7 2 3 7 3 7 2 2 7 2 2 2 3
( 5 ) ( ) 3( ) (5 ) 3( )(5 ) (5 )y x x x x x x x x
= − = − + −

21 16 11 6
15 75 125x x x x
= − + −
vậy

20 14 8 3
' 21 230 825 750y x x x x
= − + −

* Phân tích 3 :
Học sinh có thể phân tích hàm

7 2 3 7 2 7 2 7 2

( 5 ) ( 5 )( 5 )( 5 )y x x x x x x x x
= − = − − −
Và sử dụng công thức

( . . )' '. . . '. . . 'u v w u v w u v w u v w
= + +
* Phân tích 4 :
Học sinh có thể biến đổi

1 2
7 2 3 7 2 6
3 3
1
( 5 ) 5 ' 7 10
3
y x x y x x y y x x
−
= − ⇒ = − ⇒ = −

2
6 6 2
3
3
6 7 2 2
' 3(7 10 ) 3(7 10 )
3(7 10 )( 5 )
y x x y x x y
x x x x
⇒ = − = −
= − −

III. K ẾT LUẬN
Qua các bài tập và những lời giải trên chúng ta thấy rằng để dạy học tiết bài tập có
chất lượng tốt chúng ta cần phải chuẩn bị kĩ lời giải cho các bài tập đó, không những
thế chúng ta cần tìm thêm các cách tiếp cận khác đối với từng bài toán cụ thể nhằm tìm
ra các lời giải mới giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải sáng tạo trong khi làm bài
tập môn toán. Có như thế các em mới đào sâu suy nghĩ khi gặp các vấn đề trong khi
làm một bài tập, giúp các em phát triển thêm tư duy toán học. Trên đây là một số kinh
nghiệm của tôi khi dạy học sinh trong tiết bài tập toán. Tuy được chuẩn bị kĩ nhưng
chắc còn nhiều thiếu xót rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo để bài sáng kiến
kinh nghiệm của tôi lần sau được hoàn thiện hơn.