Đề thi HSG Toán 9 - 5

TRƯờNG THCS GIA KHáNH
THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9
NM HC 2009 2010
MễN THI: TON
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

Đề bài
Câu 1: 3 điểm
a. Chứng minh rằng: số
5 3
7
5 3 15
n n n
+ +
là số nguyên với bất kỳ số tự nhiên n.
b. Giải phơng trình trong tập số nguyên:
2 2
x y x xy y+ = +
Câu 2: 5 điểm
a. Giải phơng trình:
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ + + =
b. Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y

x y
y
x y


+ =

+


+

=

+

c. Chứng minh rằng: Nếu
5 3
2x x x + =
thì
6
3 4x< <
Câu 3: 2 điểm
Các tam giác ABC và A
1
B
1
C
1
là các tam giác vuông cân (cạnh AB và A

1
B
1
là các cạnh huyền). Giả sử C
1
nằm trên BC, B
1
nằm trên AB, còn A
1
nằm trên AC.
Chứng minh rằng, AA
1
=2CC
1
.
TRƯờNG THCS GIA KHáNH
THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9
NM HC 2009 2010
MễN THI: TON
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu 1a.
Chứng minh:
5 3
3 5 7n n n+ +
chia hết cho 15, hay là:
3
5 7n n+
chia

hết cho 3 và
5
3 7n n+
chia hết cho 5.
0.5
Rõ ràng.
3
5 7n n+
=
( )
( )
3
mod3n n
và
5
3 7n n+
=
( )
( )
5
2 mod5n n
0.5
Theo định lý Phecma
( )
3
3n n M
và
( )
5
5n n M

0.5
Câu 1b
Biến đổi phơng trình về dạng:
2 2
( 1) 0x y x y y + + =
0.5
Biệt thức của phơng trình:
2
3 6 1 0y y + +
.
1 3y
0.5
Từ đó y= 0, 1, 2
Phơng trình có nghiệm: (0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2)
0.5
Câu 2a
Nhận xét rằng:

2
2
3 4 1 ( 1 2) ;
8 6 1 ( 1 3) .
x x x
x x x
+ =
+ =
0.5
Phơng trình đã cho có dạng:
1 2 1 3 1x x + =
0.5

Khảo sát 4 trờng hợp:
1.
1 2 0; 1 3 0 10x x x
phơng trình có nghiệm
x=10
2.
1 2 0; 1 3 0 5 10x x x
,x là nghiệm của ph-
ơng trình đã cho trong đoạn từ 5 đến 10
3.
1 2 0; 1 3 0 5x x x
, phơng trình có nghiệm
x=5
4.
1 2 0; 1 3 0x x
phơng trình vô nghiệm.
Vậy phơng trình có nghiệm 5x10
0.5
Câu 2b
Nhân phơng trình 1 với x, phơng trình 2 với y cộng lại ta đợc:
2xy-1=3y
0.5
Với y0 thì
3 1
2 2
x
y
= +
thay vào phơng trình 2 ta đợc:
4 2

4 3 1 0y y =
0.5
Với y0 thì ta nhận đợc y
2
=1 y
1
=1, y
2
=-1; x
1
=2, x
2
=1
0.5
Câu 2c
Từ đẳng thức:
3 5 2
3 2
2 1
2 1 2x x x x
x x
+ = + + = +

0.5
Bởi thế
3
2
1
x

hay
3
2x
. Nhng x1 bởi thế bất đẳng thức đúng.
0.5
Cộng đẳng thức:
5 3
2x x x + =
và
7 5 3 2
2x x x x + =
nhận đợc
7 2
2 2x x x+ = +
0.5
6 6
1
1 2 4 3x x x
x

+ = +
ữ

. Bất đẳng thức đúng bởi x1
0.5
Câu 3
Lấy D là trung điểm của cạnh A
1
B
1

. Khi đó C
1
DA
1
=90
0
suy ra
tứ giác CC
1
DA
1
nội tiếp đợc đờng tròn.
0.5
Suy ra DA
1
C
1
=DCC
1
=45
0
suy ra DC
1
C=DA
1
A.
0.5
Suy ra tam giác DC
1
C và B

1
A
1
A đồng dạng theo trờng hợp 2. 0.5
Hệ số đồng dạng
1 1
1 1
1
2 2
B A
AA CC
DC
= =
Vẽ hình chính xác 0.5
Có thể học sinh làm nhiều các nếu đúng vẫn cho mức điểm tơng đơng.
Bài làm trình bày mà không đúng nh đáp án thì trừ điểm từng phần.