De thi HSG Toan 9 (2008-2009)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
+ 4x + 10 = 2
2
14 7x −
2.
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y− − − + + + + − − = −
3. x
4
- 2y
4
– x
2
y
2
– 4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bài 2: (2.5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên
n
để
18n
+

và
41n
−
là hai số chính phương.
2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy
chỉ ra toàn bộ các số đó.
Bài 3: (3,25 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên
đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh rằng
2 2
.MN MP MA MB= =
2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường
thẳng d.
Bài 4: (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0);
N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c.
Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0.
Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
19b - a 19c - b 19a - c
+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a
≤
Hết./.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI:

Toán (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ)
Giải, xác định đúng điều kiện:
2 2
;
2 2
x x
−
< ≥
⇔
2 2 2
4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − +
= 0
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − =
2
2
2 0
2
2
2 1 7 0
2
x
x
x
x

x
x
= −

+ =

 
⇔ ⇔ ⇔ =
=

 
− − =




= −


(Thỏa mãn)
0,25
0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2
2
2 2
4 0 (1)

16 0 (2)
4 1 0 (3)
2 3 0 (4)
x
x
x
x y y

− ≥

− ≥


+ ≥


+ − − ≥

Từ (2)
⇔
(x
2
– 4)(x
2
+ 4)
2
0 4 0x≥ ⇔ − ≥
kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y
2

– 2y + 1
0
≥
; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ
0,5
1.3
(0,75đ)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x
2
– 2y
2
– 5)(x
2
+ y
2
+1) = 0
⇔
x
2
– 2y – 5 = 0
⇔
x
2
= 2y
2
+ 5
⇔

x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
Z∈
)
⇔
4k
2
+ 4k +1 = 2y
2
+ 5
⇔
2y
2
= 4k
2
+ 4k – 4
⇔
y
2
= 2(k
2
+ k – 1)
⇔
y chẵn
Đặt y = 2n; (n
Z∈
)
⇔
4n
2

= 2(k
2
+ k – 1)
⇔
2n
2
+ 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số
nguyên liên tiếp)
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
pt đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để
18n +
và
41n −
là hai số chính phương
2
18n p⇔ + =
và
( )
2

41 ,n q p q− = ∈ N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + =
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
Từ
2 2
18 30 900n p+ = = =
suy ra
882n =
Thay vào
41n −
, ta được
2 2
882 41 841 29 q− = = =
.
Vậy với
882n
=
thì

18n
+
và
41n
−
là hai số chính phương
0,5
0,5
2.2
(1,0đ)
Gọi số cần tìm là :
10ab a b= +
(a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết:
10a b a b+ = +
là số nguyên, nên
ab
và b là các số chính phương, do đó: b chỉ
có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có:
( )
2 2
10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − =

( )
2 5 b a⇔ − =
(vì
0a ≠
)
0,5

Do đó
a
phải là số chẵn:
2a k=
, nên
5 b k− =
Nếu
1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ)
3.1
(1,0)
d
d
'
D
B
A
L
I
E
N

P
H
O
M
0.25