Đề thi HSG Toán 9 - 3

TRƯờNG THCS GIA KHáNH
THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9
NM HC 2009 2010
MễN THI: TON
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

I. Trắc nghiệm:
Cõu 1: Mt hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy l 7 cm, gúc ti nh to bi ng cao v ng
sinh ca hỡnh nún l 30
O
. Din tớch xung quanh ca hỡnh nún l:
A.
22 147
cm
2
B. 308 cm
2
C. 426 cm
2
D. Tt c u sai
Cõu 2: Din tớch ton phn ca mt hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy 7 cm ng sinh di 10
cm v l:
A. 220 cm
2
B. 264 cm
2
C. 308 cm
2
D. 374 cm
2

( Chn
22
7
=
, lm trũn n hng n v )
Câu 3: Chân một đống cát là một hình tròn có có chu vi 12m .
Đống cát đó che phủ một diện tích là:
A.
2
( )
6
m

B.
2
12
( )m

C.
2
24
( )m

D.
2
36
( )m

Câu 4: Độ dài một cung tròn 60
0

là
2
3

cm . Bán kính của cung tròn đó là :
A. 1,5 cm B. 2cm C. 2,5 cm D. 3cm
Câu 5: Một hình quạt có diện tích là
3
2
cm
2
, độ dài cung của hình quạt là

cm. Bán
kính của hình quạt là :
A. 2cm B. 3cm C. 4 cm D. 5 cm
Câu 6: Hệ phơng trình
2(2 ) 3(1 ) 2
3(2 ) 2(1 ) 3
x y
x y
+ =


+ + =

có nghiệm là :
A. (- 1; 1) B. (- 1; - 1) C. (1; - 1) D.(1; 1)
Câu 7: Hệ phơng trình
1 1

2
2 1 1
2 3
1
2 1 1
x y
x y

+ =

+



=

+

có nghiệm là :
A.
6 2
;
7 3


ữ

B.
6 2
;

7 3


ữ

C.
6 2
;
7 3


ữ

D.
6 2
;
7 3

ữ

Câu 8: Hệ phơng trình
1 2 6
1 3 4
x y
x y

+ + =


=

có các nghiệm là :
A.(3; 2) , (1; 2) B. (3; -2), (-1; 2) C.(3; 2), (-1; 2) D.(-3; 2), (-1; 2)
Câu 9: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = x + m .
Đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt khi m nhận giá trị thoả mãn :
A.
1
4
m >
B.
1
4
m >
C.
1
4
m <
D.
1
4
m <
Câu 10: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = - x + 2 .
Toạ độ giao điểm của hai đồ thị là :
A. (1; 1) và ( - 2; 4) B. (1; - 1) và (2; 4)
C. (-1; 1) và (2; - 4) D. ( -1; -1) và ( - 2; - 4)

II. Tự luận:
Câu 1: Cho sô tự nhiên N=2009
2008
. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n
1
n
2
n
3

n
k
; S=
33
3
3
2
3
1

k
nnnn ++++
. Tìm số d của S cho 6.
Câu 2: Cho x, y thỏa mãn
2009)2009)(2009(
22
=++++ yyxx
Tính: T=x
2009
+y

2009
Câu 3: Giải phơng trình:
0323
4
42
=++ xxx
Câu 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn lấy điểm D khác A và B.
Trên đờng kính AB lấy điểm C và kẻ CH

AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đ-
ờng tròn tại E và cắt CH tại F. Đờng thẳng DF cắt đờng tròn ở N.
CMR:
a. 3 điểm N,C,E thảng hàng
b. Nếu AD=BC thì DN đi qua trung điểm của AC
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c. CMR:
abcbabaca
a
c
c
b
b
a
++++
333
HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII
MễN TON - LP 9, NM HC 2009- 2010
Câu Nội dung
Thang
điểm
1

(2 điểm)
Ta thấy: a
3
-a=a(a-1)(a+1)

6 (a
*N

)
S-N=(
33
3
3
2
3
1

k
nnnn ++++
)-(n
1
+n
2
+ +n
k
)
S-N=
)( )()(
3
2

3
21
3
1 kk
nnnnnn +++

6
2009 chia 6 d 5

2009
2
chia 6 d 1

(2009
2
)
1004
chia 6 d 1

2009
2008
chia 6 d 1
Vì S-N

6 và N chia 6 d 1

S chia 6 d 1
0.5
0.5
0.25

0.25
0.5
2
(2 điểm)
Nhận xét
2009)2009)(2009(
22
=+++ xxxx

2009)2009)(2009(
22
=+++ yyyy
mà
2009)2009)(2009(
2
=++++ yyxx





+=++
+=++

yyxx
xxyy
22
22
20092009
20092009

Cộng theo vế. Ta có:
x+y=-(x+y)

x+y=0

y=-x

T=x
2009
+y
2009
=x
2009
+(-x)
2009
=0
Vậy T=0
0.5
0.5
0.5
0.5
3
(2 điểm)
Có nhiều cách làm. Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
2 4
4
4 2
4
4 2 4
4 2 4

3 2 3 0
2 3 3
2 ( 3 3)
( 3 3) 2
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
= +
= +
+ + =
áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có:
2 4 4 2 2 2 2 2
4
2 4
1 1 1
( 3 3) ( 3 3) ( 3 3 )
2 2 2
1 1
( 1) 2 .2 2
8 8
x x x x x x x x x
x


+ + + + + +

= + =

Phơng trình thỏa mãn khi và chỉ khi x=1
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
4
(3 điểm)
a. Ta có:
ã
ã
DNE EAD=
(góc nội tiếp chắn
ằ
ED
)
mà
ã
ã
EAB EAD=
vì AE là phân giác của
ã
DAB
ã
ã
DNE EAB =
(1)

mặt khác
ã
90
o
ADB =
nên BD

AD
mà CH

AD (giả
thiết)

CH
P
BD
ã
ã
DBA HCA =

(đồng vị)
nhng
ã
ã
ABD AND=
ã ã
DNA HCA =
Tứ giác AFCN nội
tiếp đờng tròn nên
ã

ã
FAC FNC=
hay
ã
ã
EAB DNC=

(2)
Từ (1) và (2)
ã
ã
DNE DNC =
b. Từ C kẻ tia song song với DA cắt đờng thẳng DN ở M
Ta có:
ã
ã
MCA CAD=
mặt khác
ã
ã
DAB DNB =
nên
ã
ã
MNB ACM =
mà
ã
ã
0
180ACM MCB+ =

suy ra:
ã ã
0
180MCB MNB+ =
Tứ giác MNBC nội tiếp đờng tròn
ã
ã
CMB CNB =
(góc nội tiếp cùng chắn
ằ
BC
)
mặt khác
ã
ã
CNB CNM=
suy ra
ã
ã
CMB CBM=


CBM cân tại C

CB=CM
Ta lại có CB=AD
Do đó AD=CM

Tứ giác ADCM là hình bình hành

DN đi qua trung điểm AC
5
(1 điểm)
áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dơng. Ta có:
bccab
a
c
abbca
c
b
acabc
b
a
cac
a
c
bbc
c
b
aab
b
a
2;2;2
2;2;2
333
2
3
2
3
2

3
+++
+++
Cộng theo vế 6 bất đẳng thức trên. Ta có:
abcbabacacbaacbcab
a
c
c
b
b
a
++++++++++
222
333
(1)
Lại có:
2 2 2
a b c ab bc ac+ + + +
(học sinh phải chứng minh) (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta đợc:
abcbabaca
a
c
c
b
b
a
++++
333
(Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

0.25
0.25
0.5
0.25
O
A
B
D
C
H
E
F
N
M