Đề thi HSG Toán 9 - số 2

TRƯờNG THCS GIA KHáNH
THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9
NM HC 2009 2010
MễN THI: TON
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

I. trắc nghiệm
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng
Cõu 1: Vi a > 0, b > 0 thỡ
a
b
b
a
b
a
+
bng:
A. 2 B.
b
ab2
C.
b
a
D.
b
a2
Cõu 2: Biu thc
22
8
bng:
A.

8
B. -
2
C. -2
2
D. 2
Cõu 3: Giỏ tr biu thc
( )
2
23
bng:
A. 1 B.
3
-
2
C. -1 D.
5

Cõu 4: Giỏ tr biu thc
51
55


bng:
A.
5
B.
5
C. 4
5

D. 5
Cõu 5: Biu thc
2
21
x
x
xỏc nh khi:
A. x
2
1
v x 0 B. x
2
1
v x 0 C. x
2
1
D. x
2
1
Cõu 6 :Biết
0 0 0 0
0 0 0 0
cos45 sin30 tg30 tg45
P :
sin60 sin 45 tg45 cot g60

=

. Kết quả nào sau là đúng?
A.

P 6 3 2 2= +
B.
P 6 3 2 2 2= + +
C.
P 3 2 6 2= +
D.
P 6 3 2 2= + +
Câu 7: Tam giác ABC có
à
0
90A =
, b = 20; c =21.Độ dài cạnh AH là:
A. 15 B. 18,33. C.
420
29
D.
580
21
Câu 8: Một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông lớn gấp 3 lần cạnh góc vuông còn lại và
diện tích là 24 cm
2
. Khi đó cạnh huyền là:
A. 13 cm B. 12 cm C.
4 10
D. Một đáp án
khác.
Câu 9: Tam giác ABC có
à
0
90A =

, b = 8, c =
( )
192; AH BC H BC
.Độ dài
cạnh AH là:
A.
24
B.
48
C.
12
D. 4,5.
Câu 10 : Diện tích toàn phần của một hình nón có bán kính đáy 7 cm đường sinh dài 10
cm và là :
A. 220 cm
2
B. 264 cm
2
C. 308 cm
2
D. 374 cm
2

( Chọn
22
7
π =
, làm tròn đến hàng đơn vị )
II. Tù LuËn:
Câu 1:(2 điểm). Giải hệ phương trình:

x
2
- 4y = 1
y
2
- 6x= -14
Câu 2:(2 điểm). Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là:
A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-2)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 3:(2 điểm). Cho phương trình: 2x
2
+ (2m - 1) + m – 1=0
a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1,
x
2
thoả mãn
3x
1
- 4x
2
= 11
b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm dương.
Câu 4:(2 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC và D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD
cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5: :(2 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn.
Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường
tròn đó.

hÕT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9
KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS
NĂM HỌC: 2006 - 2007
Câu Nội dung – Yêu cầu Điểm
1
(2đ)
x
2
- 4y = 1 (1)
y
2
- 6x= -14 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
x
2
+ y
2
- 6x - 4y = - 13
0,5
<=> x
2
- 6x + 9 + y
2
-4y + 4 = 0
<=> (x - 3)
2
+ (y - 2)
2
= 0

1

x - 3 = 0 x = 3
y - 2 = 0 y = 2
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3
y = 2
0,5
2
(2đ)
-PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b
0,25
-Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1
-2 = -2a + b Vậy Y
AB
= 2,5x -3
0,25
-Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1
-2 = -6a + b Vậy Y
AC
= 0,5x + 1
0,25
-Đường trung tuyến BM: Gọi M là trung điểm của AC thì toạ độ M(-2;0)
vậy PT trung tuyến BM là: x = -2
-Gọi N là trung điểm của AB thì toạ độ của N (0;-3)
0,5
-Vậy PT đường trung tuyến CN là: y = -1/6x-3
0,25
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là toạ độ giao điểm của CN và BM,

tức là nghiệm của hệ






−=
−−=
2
3
6
1
X
XY






−
=
−=
⇔
3
8
2
Y
X

Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3)
0,5
3
(2đ)
Ta có
∆
= (2m - 1)
2
- 4.2(m-1) = 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2
0
≥
với mọi giá trị
của m. Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm
0,5
.
N
E
F
K
M
D
I
C
B
A
Theo định lí Viét ta có: x

1
- x
2
=
2
21 m−
(1) và x
1
x
2
=
2
1−m
(2)
Muốn có 3x
1
- 4x
2
= 11 (3)
Giải hệ PT (1) và (3) ta được x
1
=
7
413 m−
và x
2
=
14
619 m−−
0,5

Thế vào PT (2) ta được 8m
2
- 17m - 66 = 0
Giải PT này ta được: m
1
= -2; m
2

= 33/8
Để hai nghiệm của PT đều là số dương thì phải có:
x
1
+ x
2
> 0
0
2
21
>
− m
m < 1/2
<=> <=>
x
1
x
2
> 0
0
2
1

>
−m
m > 1
Hệ bất PT vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện
của đề bài.
1,0
-Vẽ hình đúng chính xác
-Gọi M, N, K là trung điểm của AC ; AB ; AI.
Δ ABC vuông tại A nên đường trung trực của AB ; AC phải đi qua trung
điểm I của BC. Δ ABC vuông tại A có IA là trung tuyến nên IA=IC =>
·
·
IAC ICA=
; NI // AM (cùng vuông góc với AC)
Suy ra
·
·
EIA IAC=
.
Ta lại có KM là đường trung bình
của Δ AIC => KM // IC =>
=>
·
·
IAC KMA=
.
Tứ giác AKMF nội tiếp được nên
·
·
KMA KFA=

.
Từ những điều kiện trên, suy ra:
·
·
AFK EIA=
mà chúng cùng nhìn nhìn
đoạn AE.
Vậy tứ giác AEIF nội tiếp vì
·
1AIF v=
(AMIN là hình chữ nhật) nên EF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
mà EF là trung trực của AD nên D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AEIF.
Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trên đường tròn.
0.5
1
0.5
C©u
5(2d)
Vẽ hình đúng, chính xác
* Thuận: Vì M là trung điểm của AB, nên: OM ⊥ AB ⇒ ∠AMO = 900
Điểm M nhìn đoạn AO dưới một góc vuông, nên M chạy trên đường tròn
đường kính AO.
Giới hạn: Vì B chạy khắp đường tròn (O) nên M chạy khắp đường tròn
đường kính AO.
* Đảo: Lấy N thuộc đường tròn đường kính AO suy ra AN cắt đường tròn
(O) tại K.
Ta có: góc ANO = 900 suy ra OM’⊥A’B’ suy ra N là trung điểm AK.
Kết luận:
Tập hợp trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO

O
N
K
B
M
A