bài giảng toán cao cấp - trần văn vịnh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.86 KB, 66 trang )
Baứi giaỷng
Bieõn soaùn : Trn Vn Vnh
LU HNH NI B
NM 2012
CHƯƠNG 1
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
$1. MA TR N :Ậ
1.1 Các khái niệm cơ bản :
1). Đònh nghóa 1 :
Một ma trận cấp mxn là một bảng số có m dòng và n cột :
nmij
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
A
x
)(
21
22221
11211
=
=
; với a
ij
∈ R
trong đó :
• a
ij
: là phần tử ở dòng i cột j
•
( )
inii
aaa
21
: dòng thứ i của ma trận A
•
mj
j
j
a
a
a
2
1
: cột thứ j của ma trận A
Ví dụ 1 :
=
102
231
A
là ma trận cấp 2x3
=
32
03
21
B
là ma trận cấp 3x2
Ví dụ 2 :
Một xí nghiệp sản xuất 4 mặt hàng và có 2 đại lý bán hàng. Bảng sau
cho biết số lượng các mặt hàng bán được của các đại lý trong tháng vừa qua :
Tivi Cassete Đầu máy video Quạt máy
Đại lý 1 110 130 60 200
Đại lý 2 120 150 100 240
Đường chéo chính
2 Tốn cao cấp
Ta có ma trận cấp 2x4 tương ứng như sau :
=
240100150120
20060130110
q
Ví dụ 3 :
Xí nghiệp qui đònh giá cả và hoa hồng của các mặt hàng cho các đại lý
như sau :
Mặt hàng Đơn giá (ngàn đồng) Hoa hồng (ngàn đồng)
Tivi 3.100 150
Cassete 700 70
Đầu máy video 2.500 120
Quạt máy 200 30
Ta có ma trận cấp 4x2 tương ứng như sau :
=
30200
1202500
70700
1503100
M
2). Đònh nghóa 2 :
a). Ma trận không cấp mxn, ký hiệu O
mxn
hay O, là một ma trận mà tất
cả các phần tử đều bằng 0.
b). Ma trận vuông cấp n là một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n.
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
c). Ma trận đơn vò cấp n, ký hiệu I
n
hay I, là một ma trận vuông cấp n mà
tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1, còn các phần
tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
==
1 00
0 10
0 01
n
II
d). Ma trận tam giác cấp n là một ma trận vuông cấp n, mà các phần tử
nằm phía dưới (hoặc phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Chương 1 :Ma trận - Định thức 3
=
nn
n
n
a
aa
aaa
A
00
0
222
11211
1.2 Các phép toán ma trận :
1). Phép lấy chuyển vò :
Cho ma trận A = (a
ij
)
mxn
. Ma trận chuyển vò của A, ký hiệu A
T
, là một
ma trận cấp nxm có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương
ứng của A
T
.
Ví dụ :
Cho
−=
43
10
21
A
−
=⇒
412
301
T
A
2). Phép nhân vô hướng :
Cho ma trận A = (a
ij
)
mxn
và α ∈ R. Ta đònh nghóa :
α.A = (α.a
ij
)
mxn
Ví dụ :
=
=
204
462
1.20.22.2
2.23.21.2
102
231
.2
3). Phép cộng ma trận :
Cho hai ma trận A = (a
ij
)
mxn
và B = (b
ij
)
mxn
. Ta đònh nghóa :
A + B = (a
ij
+ b
ij
)
mxn
Ví dụ :
=
+++
+++
=
+
516
273
411042
024321
414
042
102
231
4). Phép nhân ma trận :
Cho hai ma trận A = (a
ij
)
mxn
và B = (b
ij
)
nxp
. Ta đònh nghóa :
A.B = C = (c
ij
)
mxp
trong đó c
ij
được tính bởi :
∑
=
=+++=
n
k
kjiknjinjijiij
babababac
1
2211
.
Ví dụ 1 :
4 Tốn cao cấp
Cho
=
102
231
A
,
=
21
02
45
B
và
−
=
01
12
C
Tính :
=
21
02
45
.
102
231
AB
=
++++
++++
=
1011
813
2.10.04.21.12.05.2
2.20.34.11.22.35.1
=
102
231
.
21
02
45
BA
=
+++
+++
+++
=
435
462
141513
1.22.10.23.12.21.1
1.02.20.03.22.01.2
1.42.50.43.52.41.5
−
−
−
=
+−+
+−+
+−+
=
−
=
14
24
514
0122
0204
05410
01
12
.
21
02
45
BC
=
+++
−−−
=
−
=
231
360
020301
140622
102
231
.
01
12
CA
Ví dụ 2 :
Ta xét lại Ví dụ 2 và Ví dụ 3 trong mục 1.1. Muốn biết doanh thu và hoa
hồng của các đại lý trong tháng vừa qua, ta thực hiện phép nhân hai ma trận :
=
=
700.47000.775
800.38000.622
30200
1202500
70700
1503100
.
240100150120
20060130110
.Mq
$2. HẠNG CỦA MA TRẬN :
2.1 Đònh nghóa 1 :
Cho ma trận A = (a
ij
)
mxn
. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng trên ma trận A
là 1 trong 3 loại biến đổi sau :
1. Đổi chỗ hai dòng cho nhau : d
i
↔ d
j
, với i ≠ j.
2. Nhân một dòng với một số α ≠ 0 : d
i
→ α.d
i
.
Chương 1 :Ma trận - Định thức 5
3. Cộng vào một dòng với một dòng khác đã được nhân với một số :
d
i
→ d
i
+ α.d
j
, với i ≠ j.
Ví dụ :
•
−
−
→
−
−
↔
012
130
201
201
130
012
31
dd
•
−
− →
−
−
→
201
390
012
201
130
012
22
.3 dd
•
−
− →
−
−
−→
201
130
410
201
130
012
311
.2 ddd
2.2 Đònh nghóa 2 :
Cho ma trận R = (x
ij
)
mxn
. Ma trận R có dạng bậc thang, nếu :
1. Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của R.
2. Trên hai dòng khác 0 của R, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới
bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của dòng
trên.
Ví dụ :
0000
5000
3200
4321
và
7000
5130
3412
là các ma trận dạng bậc thang.
2.3 Đònh nghóa 3 :
Cho A là ma trận cấp mxn. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta
đưa A về dạng bậc thang R. Khi đó số dòng khác 0 của R được gọi là hạng của ma
trận A.
Ký hiệu : r(A)
Ví dụ : Tìm hạng của ma trận sau :
−
−
−
=
781
934
852
A
Giải : Ta có :
−
−
−
→
−
−
−
=
↔
−→
852
770
781
781
934
852
31
122
.2
dd
ddd
A
6 Tốn cao cấp
R
dddddd
dd
=
−
−
−
→
−
−
−
→
+→−→
−→
500
110
781
6110
110
781
233133
22
.11.2
7
1
Ma trận dạng bậc thang R có 3 dòng khác 0.
Vậy : r(A) = 3.
$3. NH TH C :ĐỊ Ứ
3.1 Đònh nghóa :
Cho A = (a
ij
) là một ma trận vuông cấp n. Ta đònh nghóa đònh thức cấp n
của ma trận A, ký hiệu detA hay A, là một số thực được xác đònh như sau :
1). Đònh thức cấp 2 :
Với n = 2 thì ma trận A có dạng
=
2221
1211
aa
aa
A
⇒ detA = a
11
.a
22
– a
21
.a
12
.
Ví dụ :
71583.54.2
45
32
−=−=−=
2). Đònh thức cấp 3 :
Với n = 3 thì ma trận A có dạng
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
det
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA
+−=⇒
Ví dụ :
42
11
.2
31
11
.3
31
42
.2
312
423
112
−
−
−
−
−
−
=
−−
−
= 2[2.3 – 4.(–1)] – 3[1.3 – (–1).(–1)] – 2.1.4 – (–1).2]
= 2.10 – 3.2 – 2.6 = 2
3). Đònh thức cấp n :
Với mỗi cặp (i,j), 1 ≤ i, j ≤ n, gọi A(i,j) là ma trận vuông cấp n–
1 có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i cột j. Đặt :
Chương 1 :Ma trận - Định thức 7
A
ij
=(–1)
i+j
detA(i,j)
gọi là phần bù đại số của phần tử a
ij
trong ma trận A.
⇒
∑
=
=++++=
n
k
kknn
AaAaAaAaAaA
1
1111313121211111
det
Ví dụ :
201
310
032
.4
130
310
032
.3
130
201
032
.2
130
201
310
.1
1304
2013
3102
0321
−+−=
+
+−−
+−=
20
03
.0
13
03
.1
13
20
.2.2
20
31
.0
13
31
.1
13
20
.0
+−−
+−+
31
03
.1
20
03
.0
20
31
.2.4
31
03
.0
13
03
.0
13
31
.2.3
[ ] [ ] [ ] [ ]
902.2.400)8.(2.303)6.(2.20)8(0
+−−+−−++−−−+−−=
= 8 + 30 – 48 – 52 = – 62
4). Qui tắc Sarius :
Đối với ma trận vuông A cấp 3, ta có thể tính detA theo qui tắc Sarius
như sau :
Ví dụ :
312
423
112
det
−−
−
=
A
= 2.2.3 + 1.4.(–2) + (–1).3.(–1) – (–1).2.( –2) – 2.4.( –1) – 1.3.3
= 12 – 8 + 3 – 4 + 8 – 9 = 2
–+
8 Tốn cao cấp
3.2Các tính chất :
1). Đònh lý 1 :
Cho A = (a
ij
) là một ma trận vuông cấp n. Khi đó với mỗi i, j cố đònh,
ta có :
a). Khai triển detA theo dòng i :
∑
=
=++++=
n
k
ikikininiiiiii
AaAaAaAaAaA
1
332211
det
b). Khai triển detA theo cột j :
∑
=
=++++=
n
k
kjkjnjnjjjjjjj
AaAaAaAaAaA
1
332211
det
Ví dụ 1 :
8)26.(2
32
12
.)1.(2
312
020
112
det
22
=−=
−
−
−=
−−
−
=
+
A
Ví dụ 2 :
134
313
421
.)1.(1
134
202
313
.)1.(3
1034
2102
3013
4321
det
3331
++
−+−==
A
)961624361()18201880.(3
−−−+++−−−++=
4830x63
=+=
2). Hệ qủa 1 :
a). Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì detA = 0.
b). Nếu A là ma trận tam giác thì detA bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính của A, tức là :
detA = a
11
.a
22
…a
nn
Ví dụ :
•
0det
000
134
512
=⇒
−=
AA
( vì có dòng thứ 3 bằng 0 ).
Chương 1 :Ma trận - Định thức 9
•
12)2.(3.2det
200
130
012
−=−=⇒
−
−=
BB
.
3). Đònh lý 2 :
Cho A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận có được từ A qua phép
biến đổi sơ cấp trên dòng (ký hiệu f) :
a). Nếu f là loại 1 ( d
i
↔ d
j
, i ≠ j ) thì : detB = – detA.
b). Nếu f là loại 2 ( d
i
→ α.d
i
, α ≠ 0 ) thì : detB = αdetA.
c). Nếu f là loại 3 ( d
i
→ d
i
+ α.d
j
, với i ≠ j ) thì : detB = detA.
* Ghi nhớ :
Đối với đònh thức, ta có thể thựïc hiện các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ví dụ : Cho ma trận
−
−=
201
130
012
A
.
Ta có :
13112
201
130
012
det
−=−−=
−
−=
A
Khi đó :
•
13detdet
012
130
201
31
=−=⇒=
−
−
→
↔
ABBA
dd
•
39det.3det
201
390
012
22
.3
−==⇒=
−
− →
→
ABBA
dd
•
13detdet
201
130
410
311
.2
−==⇒=
−
− →
−→
ABBA
ddd
4). Hệ qủa 2 :
a). Thừa số chung của các phần tử trên cùng một dòng hay một cột
của đònh thức có thể đưa ra ngoài dấu đònh thức.
b). Nếu ma trận A có hai dòng hay hai cột bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau
thì detA = 0.
10 Tốn cao cấp
Ví dụ 1 :
445
411
300
.6
445
411
711
.3.2
4125
431
731
.2
4125
862
731
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
162)27.(6
300
410
449
.6
449
410
300
.6 =−−=
−
−
−
−=
−
−
−
=
Ví dụ 2 :
•
0det
1234
4321
2143
4321
=⇒
=
AA
(vì có dòng 1 và 3 bằng nhau)
•
0det
6824
1023
3412
0321
=⇒
=
BB
(vì có dòng 2 và 4 tỉ lệ với nhau)
$4. MA TR N NGH CH O :Ậ Ị ĐẢ
4.1 Đònh nghóa :
Một ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghòch, nếu có một ma trận
vuông B cấp n sao cho :
A.B = B.A = I
Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghòch đảo của ma trận A.
Ký hiệu : A
–1
.
4.2 Cách tìm ma trận nghòch đảo :
Muốn xét tính khả nghòch của ma trận vuông A và tìm ma trận nghòch
đảo của nó (nếu có), ta xếp ma trận I bên phải ma trận A (AI) và dùng các phép
biến đổi sơ cấp trên dòng, nếu đưa A về được ma trận đơn vò I thì A khả nghòch.
Khi đó cũng với các phép biến đổi trên, sẽ đưa I về ma trận nghòch đảo
của ma trận A :
(A | I) → (I | A
–1
)
Ví dụ : Xét tính khả nghòch của A và tìm A
–1
(nếu có) :
Chương 1 :Ma trận - Định thức 11
=
873
452
321
A
Giải : Ta có :
−
−
−
− →
=
−→
−→
103
012
001
110
210
321
)(
133
122
.3
.2
100
010
001
873
452
321
ddd
ddd
IA
−−
−
−
− →
−→
−→
111
012
025
100
210
701
233
211
.2
ddd
ddd
−−
−−
−
→
+→
−→
111
214
7512
100
010
001
322
311
.2
.7
ddd
ddd
Vậy A khả nghòch và ma trận nghòch đảo của A là :
−−
−−
−
=
−
111
214
7512
1
A
4.3 Đònh lý :
Cho ma trận vuông cấp n :
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Khi đó : A khả nghòch ⇔ detA ≠ 0.
Hơn nữa :
=
−
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
A
det
1
21
22212
12111
1
* Ghi nhớ :
• Nếu detA = 0 thì ta bảo ma trận A suy biến.
• Nếu detA ≠ 0 thì ta bảo ma trận A không suy biến.
12 Tốn cao cấp
Ví dụ :
Xét xem ma trận sau có khả nghòch hay không? Tìm A
–1
(nếu có) :
=
243
232
321
A
Giải : Ta có :
243
232
321
=
A
187
72
41
720
410
321
−=−=
−−
−−
=
−−
−−
Do đó A khả nghòch.
2
24
23
)1(
2
11
−=−=
A
;
2
23
22
)1(
3
12
=−=
A
;
1
43
32
)1(
4
13
−=−=
A
8
24
32
)1(
3
21
=−=
A
;
7
23
31
)1(
4
22
−=−=
A
;
2
43
21
)1(
5
23
=−=
A
5
23
32
)1(
4
31
−=−=
A
;
4
22
31
)1(
5
32
=−=
A
;
1
32
21
)1(
6
33
−=−=A
Vậy :
−
−−
−
=
−−
−
−−
−
=
=
−
121
472
582
121
472
582
1
11
332313
322212
312111
1
AAA
AAA
AAA
A
A
4.4 Phương trình ma trận :
Cho A là một ma trận vuông khả nghòch. Khi đó :
AX = B ⇒ X = A
–1
B
XA = B ⇒ X = BA
–1
Ví dụ : Cho hai ma trận :
=
243
232
321
A
và
−
−
−
=
100
011
001
B
1). Chứng tỏ A khả nghòch và tìm A
–1
.
2). Tìm ma trận X thỏa AX = B.
Giải :
1). Tìm A
–1
:
d
2
→
d
2
– 2.d
1
==========
d
3
→
d
3
– 3.d
1
Chng 1 :Ma trn - nh thc 13
=
103
012
001
720
410
321
243
232
321
)(
133
122
.3
.2
100
010
001
ddd
ddd
IA
103
012
001
720
410
321
22
dd
+
121
012
023
100
410
501
233
211
.2
.2
ddd
ddd
+
121
472
582
100
010
001
311
322
.5
.4
ddd
ddd
Vaọy A khaỷ nghũch vaứ :
=
121
472
582
1
A
.
2). Giaỷi phửụng trỡnh AX = B :
==
100
011
001
.
121
472
582
.
1
BAX
=
++++
+++++
++++
=
123
479
5810
100020021
400070072
500080082
********************
14 Tốn cao cấp
CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.1 Đònh nghóa 1 :
1). Một hệ phương trình tuyến tính, gồm m phương trình n ẩn
số, là một hệ có dạng :
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(1)
trong đó a
ij
, b
i
∈ R và x
1
, x
2
, …, x
n
là các ẩn số.
2). Ma trận
==
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
aA
)(
21
22221
11211
được gọi là ma trận hệ số của hệ (1)
Gọi
=
m
b
b
b
B
2
1
là cột hệ số tự do và
=
n
x
x
x
X
2
1
là cột ẩn số
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau :
AX = B (2)
Ma trận
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
BA
)(
2
1
21
22221
11211
được gọi là ma trận bổ sung của hệ (1).
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 15
1.2 Đònh nghóa 2 :
1). Hệ (1) hoặc (2) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,
nếu :
b
1
= b
2
= … = b
m
= 0 tức là B = O
Khi đó hệ trên thành :
OAX
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmnmm
nn
nn
=⇔
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bao giờ cũng có nghiệm tầm thường :
x
1
= x
2
= … = x
n
= 0
2). Hệ (1) hoặc (2) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu :
∃i, với 1 ≤ i ≤ m sao cho b
i
≠ 0 tức là B ≠ O
1.3Đònh lý Kronecker Capelli :
Cho hệ phương trình tuyến tính (2). Khi đó :
1. Nếu r(A) < r(A|B) thì hệ (2) vô nghiệm.
2. Nếu r(A) = r(A|B) = n (n là số ẩn số) thì hệ (2) có nghiệm duy
nhất.
3. Nếu r(A) = r(A|B) < n thì hệ (2) có vô số nghiệm, được gọi là
nghiệm tổng quát của hệ, với n – r(A) ẩn tự do (hay ẩn phụ). Các ẩn
tự do này đóng vai trò tham số, sẽ lấy các giá trò tùy ý.
* Ghi nhớ :
Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thì :
• Nếu r(A) = n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.
• Nếu r(A) < n thì hệ có nghiệm không tầm thường.
$2. PH NG PHÁP GAUSS :ƯƠ
2.1 Các bước thực hiện :
1). Viết ma trận bổ sung của hệ phương trình tương ứng.
2). Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang R :
(AB) → (RB’)
Khi đó : AX = B ⇔ RX = B’
16 Tốn cao cấp
3). Viết lại hệ phương trình tuyến tính ứng với RX = B’ và giải hệ này.
2.2 Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình sau :
=++
=++
=++
=++
18234
1323
622
732
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
Giải :
Ta có :
=
18
13
6
7
234
123
212
321
)( BA
−
−
−
−−
−−
−−
10
8
8
7
1050
840
430
321
−−−
2
2
8
7
210
210
430
321
−
0
2
2
7
000
200
210
321
Do đó hệ đã cho thành :
−=
=
=
⇔
−=
−=
−−=
⇔
=−
=+
=++
1
4
2
1
22
327
22
22
732
3
2
1
3
32
321
3
32
321
x
x
x
x
xx
xxx
x
xx
xxx
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
−=
=
=
1
4
2
3
2
1
x
x
x
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau :
=++
−=−+
=−+
553
1133
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Giải :
Ta có :
−−
−
=
5
1
1
153
1331
321
)(
BA
−
−
−
−
2
2
1
1010
1010
321
d
3
→
–.d
3
d
4
→
–.d
4
d
2
↔
d
3
d
3
→
d
3
+ 3.d
2
d
4
→
d
4
– d
2
d
2
→
d
2
– d
1
d
3
→
d
3
– 3.d
1
d
2
→
d
2
– 2.d
1
d
3
→
d
3
– 3.d
1
d
4
→
d
4
– 4.d
1
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 17
−−
−
0
2
1
000
1010
321
Do đó hệ đã cho thành :
+−=
−=
⇔
+−=
+−=
⇔
−=−
=−+
32
31
32
321
32
321
102
175
102
321
210
132
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
Cho ẩn phụ x
3
= α ta được nghiệm tổng quát của hệ đã cho là :
=
+−=
−=
α
α
α
3
2
1
102
175
x
x
x
; với α tùy ý
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình sau :
=+−
=−++−
=−+−
81073
5322
2432
431
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
Giải :
Ta có :
−
−−
−−
=
8
5
2
10703
3212
4321
)( BA
−
−−
−−
2
9
2
221660
11830
4321
−−
−−
20
9
2
0000
11830
4321
Do đó : r(A) = 2 < r(A|B) = 3
Vậy theo đònh lý Kronecker Capelli, ta suy ra hệ đã cho vô nghiệm.
$3. QUI T C CRAMER :Ắ
3.1 Cách giải :
Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số :
AX = B (2)
trong đó A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận cấp nx1.
Đặt : ∆ = detA
d
3
→
d
3
+ d
2
d
2
→
d
2
+ 2.d
1
d
3
→
d
3
– 3.d
1
d
3
→
d
3
+ 2.d
2
18 Tốn cao cấp
∆
j
= detA
j
, với 1 ≤ j ≤ n
trong đó A
j
là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bằng cột B.
Khi đó :
1. Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất :
∆
∆
=
j
j
x
với 1 ≤ j ≤ n
2. Nếu ∆ = 0 và ∆
j
≠ 0 với một j nào đó thì hệ (2) vô nghiệm.
3. Nếu ∆ = 0 và ∆
j
= 0 với mọi j (1 ≤ j ≤ n) thì không có kết luận về
hệ (2); hệ có thể vô nghiệm hoặc có thể có vô số nghiệm.
3.2Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình :
=++
=−−
=++
0243
062
11
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Giải :
Ta có :
11
11
38
113
382
001
243
162
111
=
−
−−
=
−
−−=−−=∆
88
24
16
11
240
160
1111
1
−=
−−
=−−=∆
77
23
12
11
203
102
1111
2
−=
−
−=−=∆
286
43
62
11
043
062
1111
3
=
−
=−=∆
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất :
=
∆
∆
=
−=
∆
∆
=
−=
∆
∆
=
26
7
8
3
3
2
2
1
1
x
x
x
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 19
Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình :
=−++−
=−++−
=−+−
0)13(2412
210)19(10
612)7(
321
321
321
xmxx
mxxmx
mxxxm
Giải :
Ta có :
132412
101910
6127
−−
−+−
−−
=∆
m
m
m
13241
10191
6121
−−
−+−
−−
mm
mm
m
13241
10191
6121
)1(
−
−+
−
−=
m
mm
7120
470
6121
)1(
−
−+
−
−
m
mm
]48)7)(7)[(1(
712
47
)1(
+−+−=
−
−+
−=
mmm
m
m
m
)1)(1(
2
−−=
mm
13240
10192
612
1
−
−+
−
=∆
m
mm
m
13240
250
612
−
−
−
m
m
m
]48)13)(5[(
1324
25
−−−=
−
−
=
mmm
m
m
m
)17)(1(
−−=
mmm
13012
10210
67
2
−−
−−
−−
=∆
m
m
mm
13012
2024
67
−−
−
−−
m
m
mm
]24)13)(24[(
1312
224
+−−−=
−−
−
−=
mmm
m
m
m
)14)(1(2
−−=
mmm
02412
21910
127
3
−
+−
−
=∆
mm
mm
02412
0524
127
−
−−
−
mm
mm
)]5(12)24(24[
2412
524
−+−=
−
−−
=
mmm
mm
m
)1(36
−−=
mm
d
2
→
d
2
– d
1
=========
d
3
→
d
3
– d
1
c
1
→
c
1
+ c
2
+ c
3
==========
=
d
2
→
d
2
– 2.d
1
=========
=
d
2
→
d
2
– 2.d
1
=========
=
d
2
→
d
2
– 2.d
1
=========
=
20 Tốn cao cấp
Ta xét các trường hợp sau :
1). ∆ ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất :
−
−=
∆
∆
=
−
−
=
∆
∆
=
−
−
=
∆
∆
=
1
36
1
)14(2
1
)17(
2
3
3
2
2
2
2
1
1
m
m
x
m
mm
x
m
mm
x
2). ∆ = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = –1 :
a). m = –1 ⇒ ∆
1
= –36 ≠ 0 : Hệ đã cho vô nghiệm.
b). m = 1 ⇒ ∆
1
= ∆
2
= ∆
3
= 0 : Hệ đã cho thành.
=−+−
=−+−
=−+−
⇔
=−+−
=−+−
=−+−
06126
15105
16126
0122412
2102010
16126
321
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Phương trình (1) và (3) của hệ mâu thuẫn với nhau.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
********************
Chương 3 : Không gian vectơ R
n
21
CHƯƠNG 3
KHƠNG GIAN VECTƠ R
n
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.1 Đònh nghóa 1 :
1). Một bộ n số thực có thứ tự x
1
, x
2
, . . . , x
n
được gọi là một vectơ n
chiều :
u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là vectơ dòng.
hoặc
=
n
x
x
x
u
2
1
là vectơ cột.
trong đó x
1
được gọi là thành phần thứ nhất của vectơ u
x
2
được gọi là thành phần thứ hai của vectơ u
. . .
x
n
được gọi là thành phần thứ n của vectơ u
Ví dụ : u = (1, 3, 0) là vectơ 3 chiều.
v = (2, 0, 1, 4) là vectơ 4 chiều.
2). Một vectơ có tất cả các thành phần đều bằng 0 gọi là vectơ không, ký
hiệu θ.
Ví dụ : θ = (0, 0, 0) là vectơ không 3 chiều.
θ = (0, 0, 0, 0) là vectơ không 4 chiều.
1.2 Đònh nghóa 2 :
1). Tổng của hai vectơ n chiều là một vectơ n chiều, có các thành phần
bằng tổng các thành phần tương ứng của hai vectơ đã cho.
Với u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) và v = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) thì :
u + v = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
).
22 Toán Cao Cấp
2). Tích của một số thực với một vectơ n chiều là một vectơ n chiều, có
các thành phần bằng tích của số thực đó với các thành phần tương ứng của
vectơ đã cho.
Với u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) và λ ∈ R thì :
λu = (λx
1
, λx
2
, . . . , λx
n
).
1.3 Đònh nghóa 3 :
Tập hợp tất cả các vectơ n chiều. với hai phép toán trên, được gọi là
không gian vectơ n chiều và được ký hiệu là R
n
.
$2. C L P TUY N TÍNH – PH THU C TUY N TÍNH :ĐỘ Ậ Ế Ụ Ộ Ế
2.1 Đònh nghóa :
Cho hệ vectơ n chiều u
1
, u
2
, . . ., u
m
. Xét phương trình :
x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ . . . + x
m
u
m
= θ (1)
1). Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường x
1
= x
2
= . . . = x
m
= 0 thì ta nói u
1
,
u
2
, . . ., u
m
độc lập tuyến tính.
2). Ngược lại, nếu (1) có nghiệm không tầm thường thì ta nói u
1
, u
2
, . . .,
u
m
phụ thuộc tuyến tính.
2.2 Các ví dụ :
Ví dụ 1 :
Trong không gian R
3
, cho các vectơ :
u
1
= (2, 1, 1); u
2
= (1, –1, 0); u
3
= (7, –1, 2).
Xét xem các vectơ u
1
, u
2
, u
3
có độc lập tuyến tính hay không?
Giải :
Xét phương trình : x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ x
3
u
3
= θ
⇔ x
1
.(2, 1, 1) + x
2
.(1, –1, 0) + x
3
.(7, –1, 2) = (0, 0, 0)
⇔ (2x
1
, x
1
, x
1
) + (x
2
, –x
2
, 0) + (7x
3
, –x
3
, 2x
3
) = (0, 0, 0)
⇔ (2x
1
+ x
2
+ 7x
3
, x
1
– x
2
– x
3
, x
1
+ 2x
3
) = (0, 0, 0)
=+
=−−
=++
⇔
02
0
072
31
321
321
xx
xxx
xxx
Chương 3 : Không gian vectơ R
n
23
Ta có :
−−=
201
111
712
A
−−
712
111
201
−−
310
310
201
−−
000
310
201
Do đó : r(A) = 2 < n = 3 (3 là số ẩn số của phương trình).
Theo đònh lý Kronecker Capelli, ta suy ra hệ có nghiệm không tầm
thường.
Vậy các vectơ u
1
, u
2
, u
3
phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 2 :
Trong không gian R
3
, cho các vectơ :
u
1
= (m, 1, 1); u
2
= (1, m, 1); u
3
= (1, 1, m) với m ∈ R.
Hãy xác đònh m sao cho u
1
, u
2
, u
3
độc lập tuyến tính.
Giải :
Xét phương trình : x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ x
3
u
3
= θ (1)
Ta có :
2
)1)(2( −+==∆⇒
= mmAA
m11
1m1
11m
Vậy : Các vectơ u
1
, u
2
, u
3
độc lập tuyến tính ⇔
⇔ Phương trình (1) chỉ có nghiệm tầm thường
0
≠∆⇔
⇔ (m + 2)(m – 1)
2
≠ 0
⇔ m ≠ –2 và m ≠ 1
$3. KHƠNG GIAN CON :
3.1 Đònh nghóa 1 :
Cho W ⊂ R
n
và W ≠ ∅. Tập hợp W được gọi là không gian con của R
n
nếu :
∈
∈+
⇒∈∀∈∀
Wu
Wvu
Wvu
λ
λ
R và ,
Ví dụ :
Cho tập hợp : W = {u = (x
1
, x
2
, 0) / x
1
, x
2
∈ R}.
Chứng minh rằng W là không gian con của R
3
.
d
1
↔
d
3
d
2
→
d
2
– d
1
d
3
→
d
3
– 2.d
1
d
3
→
d
3
+ d
2
24 Toán Cao Cấp
Giải :
Ta có : W ≠ ∅ vì (0, 0, 0) ∈ W
∀u, v ∈ W và ∀λ ∈ R thì :
u = (x
1
, x
2
, 0) với x
1
, x
2
∈ R
v = (y
1
, y
2
, 0) với y
1
, y
2
∈ R
Khi đó : u + v = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, 0) ∈ W
λu = (λx
1
, λx
2
, 0) ∈ W
Vậy : W là không gian con của R
3
.
3.2 Đònh nghóa 2 :
Cho hệ vectơ n chiều u
1
, u
2
, . . . , u
m
. Mỗi vectơ u có dạng :
u = λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
+ . . . + λ
m
u
m
, với λ
1,
λ
2, . . .,
λ
m
∈ R
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u
1
, u
2
, . . . , u
m
.
* Ghi nhớ :
Vectơ u là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u
1
, u
2
, . . ., u
m
khi và chỉ
khi phương trình sau có nghiệm :
x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ . . . + x
m
u
m
= u
Ví dụ :
Trong không gian R
4
, cho các vectơ :
u
1
= (1, 1, 1, 1); u
2
= (2, 3, –1, 0); u
3
= (–1, –1, 1, 1)
1). Xét xem u = (3, 1, 3, 2) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u
1
, u
2
,
u
3
hay không?
2). Tìm điều kiện để vectơ v = (α
1
, α
2
, α
3
, α
4
) là tổ hợp tuyến tính của
u
1
, u
2
, u
3
.
Giải :
1). Xét xem vectơ u có là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, u
3
hay không :
Xét phương trình : x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ x
3
u
3
= u
Ta có :
−
−
−
=
2
3
1
3
101
111
131
121
)(
BA
−
−
−
−
−
1
0
2
3
220
230
010
121
d
2
→
d
2
– d
1
d
3
→
d
3
– d
1
d
4
→
d
4
– d
1
