PT N.LỰC T.DUY CHO HS THÔNG QUA GIẢI TOÁN BĐT

Nghiệp vụ s phạm
Mục lục
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Phơng pháp nghiên cứu
4. Nhiệm vụ của đề tài
5. Phạm vi đề tài
6. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
7. Dự kiến kết quả của đề tài
Phần II: Nội dung
I/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại
số
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
II/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong
hình học
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
2. Một số cách chứng minh bất đẳng thức trong hình học
Phần III: Thực nghiệm s phạm
Phần IV: Kết luận
Phần V: Tài liệu tham khảo
A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản cũng nh ứng
dụng vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt nh: dầu khí, viễn thông, hàng
không, đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó với Toán học. Sự ra đời và
phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng
của Toán học, đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học

không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
1
Nghiệp vụ s phạm
mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng pháp luận
khoa học.
Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải bài
tập Toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phơng
pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh. Đồng thời
qua việc học Toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các
thao tác t duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức
cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí
tuệ cho học sinh.
Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng
đặc biệt là với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi
dạy toán bất đẳng thức đó là:
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một
chút là không giải đợc.
- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch,
phơng pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thờng khó, phải áp dụng các
kiến thức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại và học
sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó nh cực trị,
hàm số,
Vì vậy: Phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất
đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng phổ thông tôi đã
tích luỹ đợc một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợc trình bày dới góc độ
nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng
minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm
nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng
tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo,
giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất
đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
2
Nghiệp vụ s phạm
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại tr-
ờng.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp.
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
4) Nhiệm vụ của đề tài.
Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để
làm bài tập.
Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp.
Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng

pháp giải, cách đổi biến.
Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phơng
trình dạng dặc biệt.
5) Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối
với học sinh lớp 8 và lớp 9.
6) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối
kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT.
Phơng pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đa ra phơng pháp giải,
bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( Học sinh về nhà tự làm )
7) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi cha thực hiẹn đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc những bài toán đơn giản,
hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng
thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng
tự, hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
3
Nghiệp vụ s phạm
B Nội dung
Phần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trờng THCS.
I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
1. Định nghĩa:
Cho 2 số a và b ta nói:
a lớn hơn b, kí hiệu: a > b

a - b > 0.
a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b

a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b

b < a.
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c

a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất
đẳng thức: a > b

a + c > b + c.
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d

a + c > b + d.
Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng.
a > b, c > 0

a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
a > b, c < 0

a.c < b.c
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

Nếu a > b

0, c > d

0 thì ac > bd.
2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0

a
n
> b
n
.
a > b

a
n
> b
n
với n = 2k ( k

Z).
2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng
Với m > n > 0:
- Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
.
- Nếu a = 1 thì a

m
= a
n
.
- Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
.
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
4
Nghiệp vụ s phạm
Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì
<
a
1
b
1
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt (a

b) tức là a > b hoặc a = b.
Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) có thể
thay bởi dấu

( hoặc dấu

)
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1. a
2


0, -a
2


0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.2.
a


0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.3. -
a


a


a
. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.
3.4.
ba +



a
+

b
. Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab

0.
3.5.
ba



a
-
b
. Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab

0;
a



b
.
(Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a

b

0 hoặc a

b

0).

Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng:
a/ a
2
+ b
2


2ab.
b/ (
2
ba +
)
2


ab hay (a + b)
2


4ab (Bất đẳng thức Cô si).
c/
a
1
+
b
1



ba +

1
với a; b > 0.
d/
b
a
+
a
b


2 với ab > 0.
e/ (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
).(x
2
+ y
2
). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
1. Phơng pháp dùng định nghĩa
1.1 Cơ sở toán học:
Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0.
Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0.
1.2 Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

-1.
Giải
Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)]
= (x
2
-5x+4)(x
2
-5x+6) + 1.
Đặt (x
2
-5x+5) = y, biểu thức trên đợc viết lại nh sau:
(y-1)(y+1) + 1 = y
2
-1+1 = y
2


0.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1)

0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

-1.
Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x
2
+ y
2

)

(x + y)
2
.
Giải
Xét hiệu 2 vế:
2(x
2
+ y
2
) - (x + y)
2
= 2x
2
+ 2y
2
- x
2
- 2xy - y
2
= x
2
- 2xy + y
2
= (x + y)
2


0.

Vậy 2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì:
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
5
Nghiệp vụ s phạm

2
ba +



ab
.
Giải
Xét hiệu:
2
ba +
-
ab
=
2
abba +

=
2
)(
2
ba +


0. Đúng với mọi a; b

0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng:
.
22
2
33






+

+ baba
Giải
Xét hiệu: A =
( )
( )
( )

8222
3
22
2
33
babababababa +

+
=






+

+

( )( )
.
8
3
4
2444
2
4
2
2
2

2222
22
22
baba
bababababa
baba
baba
ba
+=








++
=








++
+
+

=
Vì a > 0; b > 0; (a - b)
2


0 nên A

0.
Vậy
.
22
2
33






+

+ baba
1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
.
22
2
22

+

+ baba
2/ x
3
+ 4x + 1 > 3x
2
với x

3.
3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c
2
+ d
2
+ cd

3ab.
4/ Với
1 ba
thì
.
1
2
1
1
1

1
22
ab
ba
+

+
+
+
2. Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.
2.1. Cơ sở toán học.
- Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng
thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thờng là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a
4
+ b
4
>
8
1
.
Giải
Ta có a + b > 1 > 0. (1)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
6
Nghiệp vụ s phạm
Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc:
(a + b)

2
> 1

a
2
+ 2ab + b
2
> 1. (2)
Mặt khác: (a - b )
2


0

a
2
- 2ab + b
2


0. (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a
2
+ b
2
) > 1

(a
2
+ b

2
) >
2
1
. (4)
Bình phơng hai vế của (4) ta đợc: a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1
. (5)
Mặt khác: (a
2
- b
2
)
2


0

a
4
- 2a

2
b
2
+ b
4


0. (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a
4
+ b
4
) >
4
1
. Hay a
4
+ b
4
>
8
1
.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
cba +
1
+
acb +
1
+

bac +
1



a
1
+
b
1
+
c
1
.
Giải
Xét
cba +
1
+
acb +
1
với a + b - c > 0; b + c - a > 0.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có:
x
1
+
y
1

xy
1



yx +
4
.
Vì vậy ta đợc:
cba +
1
+
acb +
1


b2
4
=
b
2
Tơng tự ta có:
acb +
1
+
bac +
1

c
2

bac +
1
+
cba +
1


a
2
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta đợc:

cba +
1
+
acb +
1
+
bac +
1



a
1
+
b
1

+
c
1
.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
2
22
+ ba
thì
.2+ ba
Giải
Ta có:
( )
.2020
2222
2
abbabababa ++
Từ
.22
2222
+ baba
Suy ra
022

ab
hay 2ab

2.
Mặt khác (a + b)

2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1)

22

ab
(2)

2
22
+ ba
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
( )
4
2
+ ba
hay
.2+ ba
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
7
Nghiệp vụ s phạm
Nhng
baba ++
nên
.2

+
ba
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau:
1. a > b; c > d

a - c > b - d.
2. a > b; c > d

ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà cha biết
hai vế có không âm hay không)
3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:
a > b

a
2
> b
2
.
4. Khử mẫu mà cha biết dấu của chúng:
b
a
>
d
c


ad > bc.
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có
cùng dấu hay không: a > b

a
1
>
b
1
.
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm
rồi làm trội từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n

2 thì: 1 +
2
1
+
3
1
+ +
12
1

n
< n.
Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có:
A = 1 + (
2
1
+
3

1
) + (
2
2
1
+ +
7
1
) + (
3
2
1
+ +
15
1
) + + (
1
2
1
n
+
12
1

n
).
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân
số lớn nhất trong nhóm ta đợc:
A < 1 +
2

1
.2 +
2
2
1
.4 +
3
2
1
.8 + +
1
2
1
n
.2
n-1
=

n
1 11 +++
= n.
2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
ba
11
+



ba +

4
(a > 0; b > 0).
2/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

abcd4
.
3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4



8
1
.
4/
2
2
1
+
2
3

1
+ +
2
1
n
<
n
n 1+
.
3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
3.1. Cơ sở toán học.
- Để chứng minh bất đẳng thức A

B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào các tính
chất của bất đẳng thức) A

B

C

D. Và cuối cùng đạt dợc bất đẳng thức
đúng hoặc hiển nhiên là C

D.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
8
Nghiệp vụ s phạm
Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A

B.

- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A
222
2) BABAB +=
.
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minnh x
2
+ x + 1 > 0 với
x
.
Giải
Ta có: x
2
+ x

+ 1 = (x
2
+ 2.x.1 +
4
3

)
4
1
+
= (x +
2
1
)
2
+
4
3
> 0 với
x
.(Điều phải
chứng minh).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c, d, e

R thì:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

a(b + c + d + e) (1)
Giải
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta đợc:
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2


4a(b + c + d + e).

(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a
2
- 4ad + 4d
2

) + (a
2
- 4ae + 4e
2
)

0

(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2


0 (2)
Vì (a - 2b)
2


0
Rba ;
.
(a - 2c)
2

0
Rca ;
.
(a - 2d)
2


0
Rda ;
.
(a - 2e)
2


0
Rea ;
.

Bất đẳng thức (2) đúng với
Redcba ;;;;
. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2

)

(ax + by)
2
. (1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
y
b
x
a
=
.
Giải
Ta có: (1)

a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y

2


a
2
x
2
+ 2abxy + b
2
y
2
.


a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0

(ay - bx)
2

0 (2).
Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3 Chú ý.
- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu

bằng các dấu

.
Thật vậy, nếu (1)

(2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì cha thể kết luận đợc
bất đẳng thức (1) có đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ qua các phép biến
đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lu ý các phép biến
đổi tơng đơng có điều kiện.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
9
Nghiệp vụ s phạm
3.4 Bài tập tự giải
1/ Bài 1: So sánh 2 số A =
333
và B =
122
.
2/ Bài 2: Chứng minh rằng với x > 1 ta có:
2
1

x
x

.
3/ Bài 3: Chứng minh rằng:
Rcba ;;
ta có:
a/ a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
b/ a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca.
4/ Bài 4: Cho a

0. Chứng minh rằng: a
5
- a
2

- 3a + 5 > 0.
4. Phơng pháp quy nạp toán học
4.1 Cơ sở toán học.
Nội dung của phơng pháp này là tiên đề quy nạp toán học.
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n. Nếu:
+ Mệnh đề đúng với n = 1.
+ Từ giả thiết đúng với n = k (k

N) suy ra đợc mệnh đề cũng đúng với n = k
+ 1. Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng.
Nh vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dơng bằng
phơng pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bớc:
- B ớc 1: Chứng minh mệnh đề T(1) đúng. (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1)
- B ớc 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng.
Ta phải chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng.
- B ớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng n.
4.2 Một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x > -1 thì ( 1 + x)
n


1 + nx, trong đó n là số
nguyên dơng bất kì.
Giải
+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x

1 + x.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)
k

1 + kx.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng
minh (1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x.
Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0.
Ta có (1 + x)
k
(1 + x)

(1 + kx)(1 + x)

(1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x + kx
2
.
Mà kx
2
> 0 nên 1 + (k + 1)x + kx
2


1 + (k + 1)x.
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
10
Nghiệp vụ s phạm
Ví dụ 2: Cho a; b là 2 số dơng. Chứng minh rằng:
2,
22







+

+
n
baba
n
nn
.
Giải
+ Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh đợc
2
22
22

+

+ baba
.
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:
.
22
k
kk
baba






+

+
(1)
+ Ta phải chứng minh
1
11
22
+
++

+

+
k
kk
baba
. (2)
Thật vậy: Nhân hai vế của (1) với
2
ba +
ta đợc:






+
2
ba
.
.
22
k
kk

baba






+

+






+
2
ba
. Hay






+
2
ba
.

.
22
1+






+

+
k
kk
baba
Để có (2) ta phải chứng minh:
k
kkk
bababa
222
11
+






+

+
++
. (3)

a
k+1
+ b
k+1
ab
k
+ a
k
b.
Thật vậy, ta có: a
k+1
+ b
k+1
- ab
k
- a
k
b = a
k
(a - b) - b
k
(a - b)
= (a - b)(a
k
- b
k

) = (a - b)
2
(a
k-1
+ a
k-2
b + + ab
k-2
+ b
k-1
) (Vì a; b > 0)

Bất dẳng thức (3) đúng.
Mà






+
2
ba
.
1
22
+

+

+
k
kk
baba


1
11
22
+
++






+

+
k
kk
baba
.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.

4.3. Chú ý.
Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp này thì phải hiểu kỹ các bớc
chứng minh, các phép biến đổi tơng đơng, tính chất của bất đẳng thức.
4.4. Bài tập tự giải
1/ Chứng minh rằng với

n

3 ta có: 2
n
> 2n + 1.
2/ Chứng minh rằng 2
n
> n
4
với mọi số tự nhiên n

10.
5. Phơng pháp dùng bất đẳng thức dã biết.
5.1. Cơ sở toán học.
Trong nhiều bài toánđể việc chứng minh bất đẳng thức đợc gọn ta có thể sử
dụng các bất đẳng thức đã đợc chứng minh, nhất là các bất đẳng thức: Cô si, Bunhia
- Côpxki,
5.2. Ví dụ minh hoạ.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
11
Nghiệp vụ s phạm
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
2+
a

b
b
a
với mọi ab > 0.
Giải
Vì
a
b
b
a
;
đều dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đợc:
.2:.1
2
1.
2
2
+
+
=

+
a
b
b
a
Hay
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
.ba
a
b
b
a
==
Ví dụ 2: Cho a; b thoả mãn 3a - 4b = 7. Chứng minh rằng 3a
2
+ 4b

2


7.
Giải
Có 3a - 4b =
a.3.3
- 2.2.b = 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số
a.3;3
; -2; 2b ta đợc:
7
2
= (3a - 4b)
2
= (
a.3.3
- 2.2.b)
2


(3 + 4)(3a
2
+ 4b
2
)
7
3a
2
+ 4b

2
.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
3
3a
=

2
2b
a = 1; b = -1.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a
QqR <
+
1;
thì:
(1 + a)
q
> 1 + q.a.
Giải
Do
Qq
và q > 1 nên q =
n
m
trong đó m > n, m; n

N.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho m số ta có:
m
nmn

ngmốhngnsốh
qa
n
qaqa

+
+++++++
1.)1(
1 1)1( )1(
ạạ

.
(Không xảy ra dấu = vì 1 + qa > 1).
Hay
( ) ( )
.1.1 mnmqan >++
( ) ( )
.11
n
m
n
m
qamnmnqanqa +>+++
( )
.11.
n
m
qaqa
n
m

+>+
Nhng
qm
n 1
=
.
Vậy ta có
( ) ( ) ( )
.111111.
1
11
qaaqaaqaqa
q
q
qq
=>++>++>+
5.3. Chú ý:
Khi sử dụng phơng pháp này cần chú ý: Sử dụng các bất đẳng thức đã đợc
chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có đợc bất đẳng thức cần áp dụng. Nếu không
sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
12
Nghiệp vụ s phạm
Ví dụ: Cho a; b
0

. Chứng minh rằng:
043
2
2

2
2
+






++
a
b
b
a
a
b
b
a
. (1)
Có một học sinh giải nh sau:
Ta có (1)
0
4
1
2
3
0
4
1
4

9
32
2
2
2
2
2







+






+






+

++
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a

.01.2






+

+
a
b
b
a
a
b
b
a
(2)
Vì







+ 2
a
b
b
a
(2) luôn đúng với
.0; ba

Vậy (1) luôn đúng với
.0; ba
(đpcm)
Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức
2






+
a
b
b
a
với điều kiện a;
b không đúng.
Lời giải đúng
Cách 1: Đặt x =
2+=+=






+
a
b

b
a
a
b
b
a
x
a
b
b
a
vì
b
a
và
a
b
cùng dấu
2 x
hoặc
.2x
Khi đó:
.2
2
2
2
2
2
=+ x
a

b
b
a
Bất đẳng thức (1)
.023
2
+ xx

Xét bất phơng trình
( )( )





+
1
2
012023
2
t
t
tttt
Từ
2

x
hoặc

2x

x nằm trong miền nghiệm của bất phơng trình đã
xét.
Vậy x thoả mãn t
2
- 3t + 2
0
tức là
023
2
+ xx
đúng.
Mà (1)
+ 023
2
xx
(1) đúng.
Vậy ta có:
043
2
2
2
2
+






++

a
b
b
a
a
b
b
a
.
Cách 2:
(1)
0
334
22
332244

++

ba
abbababa

.03362
33222244
++ abbabababa
(Vì a
2
b
2
> 0)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội

13
Nghiệp vụ s phạm

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
)2.(0
4
3
2
.03
.03
.023
2
2
2
22
222
22
2
22

+







+
+
+
bb
aba
abbaba
baabbaba
babaabba
(2) luôn đúng. Vậy (1) đúng.
5.4. Bài tập tự giải.
1/ Chứng minh rằng nếu các số dơnng a; b; c có tổng a + b + c = 1 thì:
.9
111
++
cba
2/ Cho
0;,; yxRyx
và
1
22

=+ yx
. Chứng minh rằng:
.1
2
1
33
+ yx
3 Cho
.1;1 ba
Chứng minh rằng:
.11 ababba +
6. Phơng pháp phản chứng.
6.1. Cơ sở toán học.
Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề A

B. Phép toán mệnh đề cho ta:
.BABABABA ===
Nh vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề
với phủ định kết luận của nó.
Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng nh sau:
1/ Dùng mệnh đề phản đảo:
.AB
2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau.
4/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.
5/ Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A
.BB
6.2. Ví dụ.
Ví dụ 1:Cho
2

22
+ ba
. Chứng minh rằng: a + b

2.
Giải
Giả sử a + b > 2.
Vì hai vế đều dơng nên bình phơng hai vế ta đợc:
(a + b)
2
> 4

a
2
+ 2ab + b
2
> 4. (1)
Mặt khác ta có: 2ab < a
2
+ b
2


a
2
+ 2ab + b
2


2(a

2
+ b
2
).
Mà
2
22
+ ba
(gt)

2(a
2
+ b
2
)

4. Do đó a
2
+ 2ab + b
2
< 4. (2)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
14
Nghiệp vụ s phạm
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1).
Vậy a + b

2.
Ví dụ 2: Cho 3 số thực a; b; c thoả mãn điều kiện:

>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba
Chứng minh rằng cả 3 số a; b; c là số dơng.
Giải
Vì abc > 0 nên trong 3 số a; b; c phải có một số dơng.
Giả sử ngợc lại cả 3 số đều âm thì abc < 0. Vô lí.
Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.
Mà abc > 0 nên bc > 0.
Nếu b < 0; c < 0 thì b + c < 0.
Từ a + b + c > 0
( ) ( )
0
22
22
2222
2
<++<++
<+<+++<+>+
bcacabcbcbacbcab

cbcbacabacabcbcbcbacbacb
Điều này trái với giả thiết: ab + ac + bc > 0.

b > 0; c > 0.
Vậy cả 3 số a; b; c là số dơng.
6.3. Chú ý.
Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng nh trên ta nên sử dụng
phơng pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp này cần nắm vững 5
cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận.
6.4. Bài tập tự giải.
1/ Cho a > b > 0 và
1
1
<
+
+
ba
ab
. Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1.
2/ Cho hai số dơng a; b thoả mãn điều kiện a
5
+ b
5
= a
3
+ b
3
.
Chứng minh rằng:
.1

22
abba ++
3/ Cho ba số dơng a; b; c thoả mãn điều kiện abc = 1. CMR:
3++ cba
.
7. Phơng pháp đổi biến.
7.1 Cơ sở toán học.
B1: Đặt biến mới dựa theo bến cũ.
B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến mới.
B3: Kết luận và trả lời theo biến cũ.
7.2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:
( )( )( )
acbcbacbaabc +++
. (1)
Với a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Giải
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
15
Nghiệp vụ s phạm
Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta có x; y; z > 0.
.
2
;
2
;
2
yx
c
zx

b
zy
a
+
=
+
=
+
=
Ta phải chứng minh:
.
2
.
2
.
2
xyz
yxzxxy

+++

( )( )( )
( ) ( ) ( )
.64
)2.(8
222
222
zyxyxzxzy
xyzyxzxzy
+++

+++
Ta có:

( )
( )
( )
xzzx
xzzy
xyyx
4
4
4
2
2
2
+
+
+
Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức
trên ta đợc:
( ) ( ) ( )
.64
222
222
zyxyxzxzy +++

( )( )( )
[ ]
( )
.8

22
xyzyxzxzy +++

(2) đợc chứng minh. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy (1) đợc chứng minh. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2: Cho a + b+ c = 1. Chứng minh rằng:
.
3
1
222
++ cba
Giải
Đặt
.
3
1
;
3
1
;
3
1
zcybxa +=+=+=
Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
Ta có:

++






++






++=






+






+

+=++
222
222
222
3
2
9
1
3
2
9
1
3
2
9
1
3
1
3
1
3
1
zzyyxxzyxcba

( )
.
3
1
3
1
3
2
3
1
222222
+++=++++++= zyxzyxzyx
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
.
3
1
0 ====== cbazyx
Ví dụ 3: Cho
2
1
;
2
1
;
2
1
cba
và a + b + c = 1. CMR:
.4121212 <+++++ cba
Giải

Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + 1.
Dễ thấy:
0,0,0 zyx
.
Ta có: x + y + z = 2(a + b + c) + 3 = 5.
Ta phải chứng minh:
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
16
Nghiệp vụ s phạm
( )
)2.(5,5
.162
)1.(4
<++
<+++++
<++
yzxzxy
yzxzxyzyx
zyx
.
Mặt khác ta lại có:
.
2
;
2
;
2
yz
zy
xz

zx
xy
yx

+

+

+
Bởi vậy
.5=++++ zyxyzxzxy
Chửng tỏ (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
Vậy:
.4121212 <+++++ cba
7.3 Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần
chú ý:
* Đặt biến mới theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới.
* Nắm chắc đợc các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng.
* Đổi về biến cũ.
7.4 Bài tập tự giải.
1/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
.3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b

acb
a
2/Cho a; b; c
0

. Chứng minh rằng:
.
2
222
22
4
22
4
22
4
cba
ba
c
ca
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
8. Phơng pháp tam thức bậc 2.
8.1. Cơ sở toán học.

Ta có thể dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc
2 để chứng minh bất đẳng thức.
Cho tam thức bậc 2: F
(x)
= ax
2
+ bx + c với
.4
2
acb =
+ Nếu
0
<
thì a.F
(x)
> 0 với
.Rx

+ Nếu
0=
thì a.F
(x)
> 0 với

a
b
x
F
(x)
cùng dấu với a.

+ Nếu
0
>
thì
1221
:; xxxx >
. Ta có:
- x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm: x < x
1
; x > x
2


a.F
(x)
> 0.
- x nằm trong khoảng 2 nghiệm:x
1
<x < x
2


a.F
(x)
< 0.
8.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho
21;21;21 cba
và a + b + c = 0. CMR: a
2

+ b
2
+ c
2


6.
Giải
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc 2:
( )( )
.01221 aaa
(1)
Tơng tự ta cũng có:
( )( )
.01221 bbb
(2)

( )( )
.01221 ccc
(3)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
17
Nghiệp vụ s phạm
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta đợc:
a
2
- a - 2 + b
2
- b - 2 + c
2

- c - 2

0

a
2
+ b
2
+ c
2
- (a + b + c)

6.
Vì a + b + c = 0 nên a
2
+ b
2
+ c
2


6.
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi - Bunhia côpxki.
Cho n cặp số thực bất kỳ (a
1
; b
1
); (a
2
; b

2
) (a
n
; b
n
). Thế thì:
(a
1
b
1
+

a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)

(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n

2
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
).
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

số k

R sao cho: ka
1
= b
1
; ka
2
= b
2
; ; ka
n
= b
n
.
Giải:
Với

x

R ta có: (a
1
x- b
1
)
2


0
(a
2
x- b
2
)
2


0

(a
n
x- b
n
)
2

0
Từ đó suy ra: a
1
2
x- 2a
1
b
1
x+ b
1
2

0
a
2
2
x
2
- 2a
2
b
2
x+ b
2
2

0

a
n

2
x
2
- 2a
n
b
n
x+ b
n
2

0
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)x
2
- 2(a
1
b
1
+ a
2

b
2
+ + a
n
b
n
)+(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
)

0.
Vế trái là một tam thức bậc 2
F
(x)
= (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a

n
b
n
)x
2
- 2(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)+(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
).
(Với a
1
2

+ a
2
2
+ + a
n
2


0). Mà f
(x)


0,

x

R nên ta có:



0 tức là:


= B
2
- AC.
Hay:


= (a

1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
- (a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n

2
)

0.

(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2

(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)(b

1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
).
(Nếu A=0 thì: a
1
= a
2
= = a
n
= 0, Do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thờng).
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:


=0

(a
1
x - b
1
)= (a
2
x - b
2
)= = (a

n
x - b
n
) = 0

b
1
= ka
1
; b
2
= ka
2
; ; b
n
= ka
n
Với

k

R.
Ví dụ 3: Cho các số: a, b, c, d thảo mãn: a + d = b + c. Chứng minh rằng:
Nếu lấy số m sao cho: 2m >
bcad
thì với mọi x

R ta luôn có:
(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m
2

0 (1).
Giải
Dựa vào giả thiết cho: a + d = b + c nên ta có:
(1)
( )
[ ]
( )
[ ]
0
222
+++++ mbcxcbxadxdax
Vì a + d = b + c nên đặt: y = x
2
- (a + d)x = x
2
- (b + c)x ta đợc bất đẳng thức:
( )( )
( )
.0
.0
22
2
++++
+++
mabcdybcady
mbcyady
Đặt F
(y)
= y

2
+ (ad + bc)y + abcd + m
2
.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
18
Nghiệp vụ s phạm
Ta có:
( )
( )
( )
.4.1.4
2
2
2
2
mbcadmabcdbcad
y
=++=
Vì
bcadm >2
nên
( )
( )
.0
01
0
4
2
2

>=


y
y
F
A
bcadm
Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m
2

0. (đpcm)
8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần chú ý:
+Nắm chắc định lí về dấu của tam thức bậc 2.
+ Thờng dùng các phép biến đổi tơng đơng để đa bất đẳng thức cần chứng minh về
dạng:





0)(
0)(
xF
xF
hoặc

0)(
0)(
yF
yF
Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoặc biến y.
8.4 Bài tập tự giải
1/ Chứng minh rằng với mọi a

R ta đều có
.3
1
1
3
1
2
2


++

aa
aa
2/ Cho a; b; c thoả mãn hệ thức: a
2
+ b

2
+ c
2
= 2 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh
rằng:
.
3
4
;;
3
4
cba
3/ Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a

R ta luôn có:
(a + b + c + d)
2
> 8.(ac + bd).
4/ Cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
< m
2
+ n
2

. Chứng minh rằng:
( )( )
( )
.
2
222222
bdacmndcnbam
III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
A. Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng.
1.Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dơng x
1
; x
2
; x
n
bằng một số cho trớc thì tích
của chúng lớn nhất khi: x
1
= x
2
= = x
n.
*Định lí 1: Nếu có n số dơng x
1
; x
2
; x
n
có tổng bằng S không đổi thì tích
P = x

1
. x
2
. .x
n
có giá trị lớn nhất khi:

2
2
1
1
n
n
m
x
m
x
m
x
===
Trong đó m
i
là các số hữu tỉ dơng.
2. Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích của các số dơng x
1
; x
2
; x
n
bằng một số cho tr-

ớc thì tổng của chúng bé nhất khi x
1
= x
2
= = x
n
.
*Định lí 2: Nếu n số thực dơng x
1
; x
2
; x
n
có tích P = x
1
. x
2
. .x
n
không đổi thì
tổng S = x
1
+ x
2
+ + x
n
có giá trị bé nhất khi

2
2

1
1
n
n
m
x
m
x
m
x
===
Trong đó m
i
(i = 1; 2; ; n) là các số hữu tỉ dơng cho trớc.
3. Mệnh đề 3: Cho x
1
; x
2
; x
n


R ta có:

2121 nn
xxxxxx ++++++
(1)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
19
Nghiệp vụ s phạm

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x
i
cùng dấu. Đặc biệt:
.
2121
xxxx
B. áp dụng
1. Tìm cực trị của hàn số. Biểu thức đại số.
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số:
( ) ( )
.19941993
22
+= xxy
Giải
Dễ thấy hàm số xác định với
Rx

. Ta có:
.1994199319941993 xxxxy +=+=
áp dụng bất đẳng thức:
2121
aaaa ++
ta đợc:
.1119941993 =+ yxxy
Dấu = xảy ra
( )( )
.19941993019941993 xxx
Do đó y
min
= 1.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.1212 ++= xxxxy
Giải
Điều kiện để hàm số xác định là:
.1

x
Khi đó:
( ) ( )
.11111111
22
+=++= xxxxy
.2111 =++ xxy
Dấu bằng xảy ra
( )( )
.21
1
01111





+
x
x
xx
Vậy y
min
= 2.

Bài 3: Cho x; y liên hệ bởi phơng trình x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0 (1).
Tìm GTNN của biểu thức S = x + y + 1.
Giải
Ta có (1)

x
2
+ 2xy + y
2
+2(x + y) + 1 + 5(x + y) + 5 + 4 = -y
2
.


(x + y)
2
+ 2(x + y) + 1
2
+ 5(x + y + 1) + 4 = -y
2
.


(x + y + 1)
2
+ 5(x + y + 1) + 4 = -y

2
.


S
2
+ 5S + 4 = -y
2
.

S
2
+ 5S + 4

0.
Đặt F
(S)
= S
2
+ 5S + 4.

F
(S)
có 2 nghiện S = -1; S = -4.
Mà



>

0
0
)(
a
F
S
do đó dựa vào dấu của tam thức bậc 2 ta có
.14 S
Vậy GTNN của S = x + y + 1 là -4



=
=

0
5
y
x
GTLN của S = x + y + 1 là -1



=
=

0
2
y
x

Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
20
Nghiệp vụ s phạm
2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình, hệ phơng trình, tam thức bậc 2
thoả mãn điều kiện nào đó.
Bài 1: Cho phơng trình
.1212
22222
=++ axaxa
Tìm giá trị của tham số a để ph-
ơng trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên.
Giải
Ta có:
.212212
22222222222
Aaxaaxaaxaxa =++=++
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
.1212
222222
=++ axaaxaA
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
2
x
2
- 2a
2
; 1 - a
2
x
2

; 2a
2
cùng dấu. Do đó







01
02
22
2
xa
x
Nếu a
0

thì
2
2
1
2
a
x
. Để phơng trình có 2 nghiệm nguyên trên tập hợp số
nguyên thì x
2
chỉ có thể nhận giá trị duy nhất là số chính phơng trong khoảng

2
1
;2
a
.
Vậy
.
2
1
3
1
9
1
4
2
a
a
Bài 2: Cho tam thức bậc 2 F
(x)
= ax
2
+ bx + c thoả mãn:
1)1( F
;

1)0( F
;
1)1( F
.
Chứng minh rằng:
5
4
)( xF
khi
.1x
Giải
Ta có:







+
=

+
=

=
+=
++=
2
)1()1(
)0(
2
)1()1(
)0(
)1(
)1(
FF
b
F
FF
a
cF
cbaF
cbaF
Thay vào F(x) ta đợc:
( ) ( ) ( )
.1)0(
2
)1(
2
)1(
)0(
2
)1(
2

)1(
)0(
2
)1(
2
)1(
)0(
2
)0()1(
)0(
2
)1()1(
)(
222
222
2
xFxx
F
xx
F
Fx
F
x
F
xFx
F
x
F
Fx
FF

xF
FF
xF
+

++=
+

+

+=
+






+
+







+
=
áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta đợc:

Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
21
Nghiệp vụ s phạm
.1
2
1
2
1
)(
222
xxxxxxF +++
Ta xét các trờng hợp sau:
+ Với
10 x
thì
.11
2
1
2
1
2222
xxxxxxx ++=+++
(*)
+ Với
01 x
thì
.11
2
1
2

1
2222
xxxxxxx
+=+++
(**)
Từ (*) và (**) chứng tỏ với
1x
ta có
.
4
5
2
1
4
5
1)(
2
2







=++ xxxxF
Vậy F(x)


.

4
5
(đpcm)
3. Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:
.513416123
22
=+++ yyxx

Giải
Ta thấy:
( )
242316123
2
2
+=+ xxx
.

( )
.392134
2
2
+=+ yyy


.513416123
22
=+++ yyxx

Dấu = xảy ra

=
=






=+
=+






=+
=+
2
2
9134
416123
3134
216123
2
2
2

2
y
x
yy
xx
yy
xx
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là (x = 2; y = 2).
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:





=+
=++
)2.(02
)1.(0342
222
23
yyxx
yyx
Giải
Từ (1) suy ra:
( )
111121
3
2
3
= xxyx

(*)
Từ (2) suy ra:
.
1
2
2)1(
2
222
y
y
xyx
+
==+
Mặt khác ta lại có:
.1111
1
2
21
2
2
22

+
=+ xx
y
y
xy
(**)
Từ (*) và (**)

x = -1. Thay x = -1 vào (2) ta có: y
2
2y + 1 = 0

y = 1.
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x = -1; y = 1).
Phần II: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học.
I.Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
22
Nghiệp vụ s phạm
1. Một số kí hiệu thờng dùng để chỉ các yếu tố của tam giác.
1.1. a; b; c tơngn ứng là độ dài 3 cạnh AB; AC; BC của
.ABC
1.2.

;;
tơng ứng là độ lớn các góc tại 3 đỉnh A; B; C.
1.3. m
a
; m
b
; m
c
tơng ứng là độ dài các đờngtrung tuyến dựng từ các đỉnh A; B; C.
1.4. h
a
; h
b
; h

c
tơng ứng là độ dài các đờng cao hạ từ các đỉnh A; B; C.
1.5. l
a
; l
b
; l
c
tơng éng là độ dài các đờng phân giác dựng từ các đỉnh A; B; C.
1.6. R và r tơng ứng là độ dài các bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội
tiếp của
.ABC

1.7. S
ABC
là diện tích của
.ABC

1.8. r
a
; r
b
; r
c
tơng ứng là độ dài các bán kính đờng tròn bàng tiếp trong góc A; B; C
của
.ABC

1.9. Kí hiệu góc là:

.
2. Một số kiến thức cơ bản cần dùng
2.1. Với 3 điểm bất kì A; B; C ta có AB AC + BC.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi C nằm giữa 2 điểm A và B.
2.2. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn
là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh
lớn hơn. AB

AC

BC


C


B


A
A B C
2.3. Trong tam giác vuông cạnh huyền
lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
CA> AB> BC.
B C
2.4. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh A
nhỏ nhất là góc lớn nhất.
2.5. Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm
đến một đờng thẳng, đờng nào có hình chiếu
lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.

AB

AC

BH

HC B H C
2.6. Trong tam giác ABC có: A
AB - AC < BC < AB + AC
AB - BC < AC < AB + BC
AC - BC < AB < AC + BC B C
2.7. Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung lớn hơn. C
+ Đờng kính là dây cung lớn nhất. D
CD

AB = 2R. A B
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
23
A
Nghiệp vụ s phạm
2.8. S
ABC


;.
2
1
ACAB
S

ABC


;.
2
1
ABBC

S
ABC


ACCA.
2
1
II. Một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học.
1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có:
2
acb +
< m
a
<
2
cb +
Giải
Gọi M là trung điểm của AC.
Xét

ABM có: AM > AB - BM A D

Xét

ADM có: AM > AD - DM
Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc: M
2AM > AB + AD - (BM + DM)

2AM > AB + AD - BD B C

m
a
>
2
acb +
(1)
Trên tia đói của tia MA lấy điểm C sao cho: MA = MC


ABM =

CDM (c.g.c)

AB = CD.Xét

ACD có: AC < AD + CD = AD + AB.

2 AM < AD + AB

m
a
<

2
cb +
(2)
Từ (1) và (2)

2
acb +
< m
a
<
2
cb +
. (Điều phải chứng minh).
2. Sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Bài 2:
Cho

ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của

ABC. K là chân đờng cao vẽ từ
A của

ABC. Chứng minh rằng: KH.KA


4
2
BC
. A
Giải

Xét

AKB và

CKH có:

AKB =

CKH = 90
0


BAK =

HCK
(Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc). H
K


AKB đồng dạng với

CKH (g.g). B C

KH
KC
KB
KA
=

KA.KH = KB.KC. Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

KB.KC


2
2






+ KCKB
=
4
2
BC
. Vậy: KH.KA


4
2
BC
. (Diều phải chứng minh).
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
24
Nghiệp vụ s phạm
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: KB = KC . Hay K là trung điểm của BC


ABC cân tại A.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và CD. Gọi
P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: B
1/. S
ABCD


2
1
(AM + BN)
2
.
2/. PN


2
1
(AD + BC). Dấu = xảy ra khi nào. P M
Giải I
1/ Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Ta có: S
ABCD
= S
ABC
+ S
ADC
.
Mà

ABM và

AMC có: A O C
BM = MC (gt)

S
ABM
= S
AMC

S
ABC
= 2S
AMC
N



ANC và

AND có: CN = ND (gt)

S
ANC
= S
AND
D


S
ADC
= 2S

ANC


S
ABCD
= 2(S
ABC
+ S
ANC
)= 2S
MCNA
= 2(S
AMN
+ S
MNC
).
Ta lại có: MN là đờng trung bình của

CBD

MN // BD



MNC và

MDN có đờng cao bằng nhau

S
IMN

= S
MCN

S
ABCD
= 2(S
AMN
+ S
IMN
).
Mặt khác: S
IMN

S
AMN

S
ABCD


2(S
AMN
+ S
AMN
) = 4S
AMN


4.
2

1
.AM.AN =
= 2AM.AN

S
ABCD

2 AM.AN


2
1
(AM+BN)
2
. (ĐPCM).
2/. Gọi O là trung điểm của AC, ta có: PN

PO + ON =
22
ADBC
+
=
2
1
(AD+BC).
Dấu =xảy ra khi và chỉ khi AD // BC . Tứ giác ABCD là hình thang.
3. Sử dụng phép đối xứng gải toán bất đẳng thức hình học.
Bài 4: Cho

ABC bất kỳ. Chứng minh rằng: h

a

)( app
Với p là nửa chu vi của

ABC, h
a
là đờng cao hạ từ A.
Giải
B C
Qua A kẻ Ax // BC.
Thực hiện phép đối xứng trục Ax ta có:
S
Ax
: B

B
C

C x A
Ta có: AB + AC = AB+ AC

CB
.
c h
a
b
Xét tam giác vuông CCB

ta có: a

CB =
22
''' BCCC +

b + c

22
4 ah
a
+
B H C
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
25