Các phương pháp CMBDT hay

Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
Chuyên đề: bất đẳng thức
Phân môn: Đại số
Phần: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ngời thực hiện: Đặng Mạnh Hùng
ở đây tôi xin bày các cách chứng minh bất đẳng thức mà tôi biết. Tuy nhiên do thời
gian có hạn nên tôi chỉ nêu ra các cách chứng minh và tôi chỉ tập trung vào một số
chứng minh mà hay gặp. Một số chứng minh tôi tập trung đi sâu ( p
2
cauchy, p
2
vectơ
hoặc là p
2
biến đổi tơng đơng ).
Có tất cả11 phơng pháp:
I. Ph ơng pháp 1: Dùng phép biến đổi t ơng đ ơn g.
Kiến thức cần nhớ: 1.A

B A- B

0.
2.Ta biến đổi bđt cần chứng minh tơng đơng với bđt đúng hoặc
bđt đã đợc chứng minh đúng.
3. Chú ý tới các hằng đẳng thức.
4. Chú ý tới các phép biến đổi tơng đơng về bđt.
Vd1: Chứng minh rằng với x, y, z thoả mãn điều kiện:
x
2
+ y

2
+ z
2
=1 thì ta có: -
2
1
1++ zxyzxy
giải:
Ta chứng minh bđt kép:
-
2
1
( x
2
+ y
2
+ z
2
)
++ zxyzxy
x
2
+ y
2
+ z
2
i) Ta có:
-
2
1

( x
2
+ y
2
+ z
2
)
zxyzxy ++
x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy+2yz+2xz

0
(x+y+z)
2


0 (1)
Bđt (1) luôn đúng nên ta có:
-
2
1
( x
2
+ y
2

+ z
2
)
zxyzxy ++
(2)
ii) Mặt khác ta có:

++ zxyzxy
x
2
+ y
2
+ z
2
2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2


2xy + 2yz + 2zx
( x
2
- 2xy + y
2
) + ( y
2
-2yz +z

2
)+ ( z
2
-2zx +x
2
)

0
( x-y)
2
+ ( y-z)
2
+ ( z-x)
2


0 (3)
Bđt (3) luôn đúng nên ta có:

++ zxyzxy
x
2
+ y
2
+ z
2
(4)
Từ (2) và (4) ta đợc đpcm.
VD2: Cho ab

1. Cmr:
2
1
1
a+
+
2
1
1
b+

ab+1
2
Giải:
Ta có:
2
1
1
a+
+
2
1
1
b+

ab+1
2
(
2
1

1
a+
-
ab+1
1
) +(
2
1
1
b+
-
ab+1
1
)

0
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
1
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số

)1)(1(
2
2
aba
aab
++

+
)1)(1(

2
2
abb
bab
++

0

)1)(1(
)(
2
aba
aba
++

+
)1)(1(
)(
2
abb
bab
++


0

0
)1)(1)(1(
)]1()1()[(
22

22

+++
++
abba
abbaab

0
)1)(1)(1(
)1()(
22
2

+++

abba
abab
Bđt cuối cùng đúng do ab
1
. Vậy ta có đpcm
Bài tập Đề nghị:
Bài1: Cho a, b, c bất kì, chứng minh rằng:
a. a
2
+ b
2
+ c
2

ab+ bc + ca ;
b. (ab + bc + ca)
2


3abc( a+ b + c) ;
Bài2: Cho a, b có a + b

0 , chứng minh rằng:

22
33
2
baba +







+
II. Ph ơng pháp 2: Dùng phép chứng minh phản chứng
Kiến thức cần nhớ: giả sử phải cm bđt nào đó đúng, ta hay giả sử bđt đó sai và
kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí. Điều vô lí có thể là điều trái giả thiết, có
thể là điều trái với một điều đúng, cũng có thể sai vô lí là hai điều trái ngợc nhau.
Từ đó suy ra bđt cần chứng minh là đúng.
VD1: Cho 0 < a, b, c< 1. chứng minh rằng có ít nhất một trong các bđt sau là sai:
a(1 - b)>
4

1
; b(1- c)>
4
1
; c(1- a)>
4
1
Giải:
Giả sử bđt trên đều đúng, khi đó nhân vế với vế các bđt trên lại với nhau ta đợc:
a(1- b) b(1- c) c(1- a)>
64
1
(1)
ta lại có:
a(1- a) = a- a
2
=
4
1
- (
4
1
- a- a
2
)=
4
1
- (a-
4
1

)
2


4
1
tơng tự: b(1-b)

4
1
, c(1- c)

4
1
do 0 < a, b, c< 1 nên a(1-a)>0, b(1-b)>0, c(1-c)>0 và lúc đó ta có:
a(1-b) b(1-c) c(1-a)

64
1
(2)
từ (1) và (2) ta gặp mâu thuẫn. Vậy có ít nhất một trong các bđt đã cho là sai.
VD2: Cmr nếu a
1
a
2


2( b
1
+ b

2
) thì ít nhất một trong hai pt : x
2
+ a
1
x + b
1
= 0;
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 có nghiệm.
Giải:
Giả sử cả hai pt đã cho vô nghiệm, khi đó:
04
1
2
11
<= ba
và
04
2
2
22
<= ba
suy ra: a
044

21
2
2
2
1
<+ bba



2121
2
2
2
1
2)(4 aabbaa +<+
( theo gt)

(a
1
- a
2
)
2
< 0 ( vô lí)
Vậy có ít nhất một trong hai pt đã cho có nghiệm.
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
2
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
Bài tập đề nghị:

Bài1:
Cho a, b, c

(0; 2), chứng minh rằng có ít nhất một trong các bđt sau sai:
a( 2- b) > 1 ; b( 2- c) > 1 ; c( 2- a) > 1.
Bài 2: cho abc

0, chứng minh rằng có ít nhất một trong ba pt sau có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c= 0; bx
2
+ 2cx + a = 0; cx
2
+ 2ax + b =0;
III. Ph ơng pháp 3: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức cần nhớ:
Nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a, b, c>0 và:

cb
< a < b+c

ca
< b < a+c

ba
< c < a+b
VD1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài của các cạnh của một tam giác với a
cb
thì:

(a+b+c)
2


9bc
Giải:
Vì
cb

nên a+b+ c

2b+ c
Ta chứng minh: (2b+c)
2


9bc (1)
Ta có: (1) 4b
2
- 5bc+ c
2

0
(4b
2
-4bc) + ( c
2
bc)

0

4b( b- c) c( b-c)

0
( 4b- c)(b-c)

0 (2)
(2) đúng vì
cb
và 4b- c

a+b-c+2b >0. vậy ta có (1) từ đó suy ra:
(a+b+c)
2


(2b+c)
2


9bc
VD2: a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với a< b< c. Chứng tỏ rằng:
a
3
( b
2
c
2
) + b
3
( c

2
a
2
) +c
3
( a
2
b
2
) < 0 .
g iải : ta phân tích vế trái (VT) của bđt cần cm ra thừa số;
VT= a
3
[( b
2
- a
2
) + ( a
2
c
2
)] + b
3
( c
2
a
2
) +c
3
( a

2
b
2
)
= a
3
( b
2
a
2
) + a
3
(a
2
c
2
) + b
3
( c
2
a
2
) +c
3
( a
2
b
2
)
= (a

2
b
2
)(c
3
a
3
)+ (a
2
-c
2
)(a
3
b
3
)
= (a b) ( a- c) [ - (a+ b) ( a
2
+ ac + c
2
) + (a + c) ( a
2
+ ab + b
2
)]
= ( a b) ( a- c) ( b c) ( ab + bc + ca)< 0 ( vì a< b< c)
Vậy ta có đpcm.
Bài tập đề nghị:
Cho

ABC , chứng minh rằng:
Bài 1:
3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b
acb
a

Bài 2: 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
a
4
b
4

c
4
> 0.

IV. Ph ơng pháp 4: Dùn g ph ơng pháp làm trội
Kiến thức cần nhớ:
Dùng các tính chất bđt để đa một bđt cần chứng minh về dạng tính đợc tổng hữu
hạn ( sai phân hữu hạn).
phơng pháp tính tổng hữu hạn:
Giả sử phải tính tổng S
n
= u
1
+u
2
+ +u
n
Ta biểu diễn số hạng tổng quát u
k
= a
k
- a
k+1
. khi đó:
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
3
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
S
n

= (a
1
-a
2
) + (a
2
-a
3
) + + (a
n
-a
n+1
) = a
1
-a
n+1

VD1 : Cmr với mọi số nguyên dơng n ta có:

2
)1(
1

23
1
2
1
<
+
+++

nn

Giải: Ta biểu diễn số hạng tổng quát của vế trái bđt:

kk )1(
1
+
=
)
1
11
(
)1( +
=
+ kk
k
kk
k
=
)
1
11
)(
1
11
(
+
+
+

kkkk
k
<
)
1
11
(2)
1
11
(
2
+
=
+

kkkkk
k
Vậy:
kk )1(
1
+
<
)
1
11
(2
+

kk
Với k=1 ta có:

)
2
1
1
1
(2
2
1
<
Với k=2 ta có:
)
3
1
2
1
(2
23
1
<
.
Với k= n ta có:
)
1
11
(2
)1(
1
+
<
+ nnnn

Do đó:
2
)1(
1

23
1
2
1
<
+
+++
nn
(1-
1
1
+n
) <2 (đpcm)
VD2: Gọi a, b, c là độ dài các cạnh và x ,y , z là độ dài các đòng phân giác trong
của tam giác ABC. Hãy chứng minh rằng:

cbaxyx
111111
++>++
Giải: Giả sử AD là đờng phân giác trong xuất phát từ A. Ta có: S
ABC
=S
ABD
+S
ADC

=>
2
1
bcsinA=
2
1
cxsin
2
A
+
2
1
bx sin
2
A

=> 2bc sin
2
A
cos
2
A
= x( b+ c) sin
2
A
=> x=
cb
bc
cb
A

bc
+
<
+
2
2
cos2
( do 0< cos
2
A
< 1)
Suy ra:
)
11
(
2
1
2
1
cbbc
cb
x
+=
+
>
(1)
Tơng tự:
)
11
(

2
11
cay
+>
(2)

)
11
(
2
11
baz
+>
(3)
Cộng (1) ( 2) & (3) vế với vế ta có:

cbaxyx
111111
++>++
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
4
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
V. Ph ơng pháp 5: Dùng BĐT cổ điển
1. bất đẳng thức Cauchy
Kiến thức cần nhớ: cho n số không âm a
1
, a
2
, , a

n
. ta có bđt:

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a
1
=a
2
= =a
n
.
VD1: Cho a, b, c
[ ]
1;0
. Chứng minh:
1++ cb
a
+
1++ ca

b
+
1++ ba
c
+ (1-a)(1-b)(1-c)

1
Giải:
Vai trò của a, b, c nh nhau nên có thể giả sử a
cb
. áp dụng bđt Cauchy ta có:
(a+b+1)(1-b)(1-b)


3
3
)1()1()1(






++++ baba
=1
Suy ra: (1-a)(1-b)
1
1
++

ba
(1-a)(1-b)(1-c)
1
1
++


ba
c
Vì a
cb
nên
11 ++

++ ba
a
cb
a
và
11 ++

++ ba
b
ca
b
Do đó:
1++ cb
a
+
1++ ca

b
+
1++ ba
c
+ (1-a)(1-b)(1-c)



1
1
111 ++

+
++
+
++
+
++ ba
c
ba
c
ba
b
ba
a
=
1
1
1
=

++
++
ba
ba
(đpcm)
VD2: CM
ab(a+b)+ bc(b+c) + ca(c+a)

6abc (a, b, c>0)
giải:
chia cả hai vế cho abc ta có:

6
+
+
+
+
+
b
ac
a
cb
c
ba

6+++++
b
a
b
c

a
c
a
b
c
b
c
a
áp dụng bđt Cauchy cho các cặp số sau:







a
c
c
a
;
;






b
c

c
b
;
;






a
b
b
a
;
Ta có:

ca
ac
a
c
c
a
2+

cb
bc
b
c
c

b
2+
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
5
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số

ba
ab
a
b
b
a
2+
Cộng các vế tơng ứng ta đợc:

6+++++
b
a
b
c
a
c
a
b
c
b
c
a
hay đpcm.

2. bất đẳng thức bunhiacôpki
Kiến thức cần nhớ:
Cho n cặp số bất kì a
1
, a
2
, , a
n
, b
1
,b
2
, ,b
n.
Ta có bđt:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2

(a
1
2
+a
2
2
+ + a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:


k: a
i
= kb
i
(*) với i = 1, 2, , n
( Nếu b
i

0 ,

i thì (*) đợc viết:
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
)
VD1: a, b ,c là các độ dài cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Cmr:

p
<
ap
+
bp
+
cp
p3
Giải:

áp dụng bđt bunhiacôpki cho 2 cặp số: (1, 1, 1) ;(
ap
,
bp
,
cp
) ta đợc:
(
ap
+
bp
+
cp
)
2


3 ( p + p + p- a b- c)
(
ap
+
bp
+
cp
)
2


3p ( do a+ b+ c= 2p)
=>

ap
+
bp
+
cp
p3
(1)
Ta lại có:
p
<
ap
+
bp
+
cp
(2)
Bình phơng 2 vế:
p < 3p ( a+ b+ c) + 2(
))(( bpap
+
))(( cpbp
+
))(( apcp
)
p < p + 2(
))(( bpap
+
))(( cpbp
+
))(( apcp

)
=> 0 < 2(
))(( bpap
+
))(( cpbp
+
))(( apcp
) đúng
Vì a, b ,c là cạnh của tam giác nên nó luôn dơng => p - a >0 ; p - b> 0; p - c>0
Từ (1) & (2) ta đợc điều phải cm
VD2: Chứng minh rằng nếu phơng trình:
( x+ a)
2
+ ( y+ b)
2
+ ( z+c)
2
= c
2
Có nghiệm thì: (a+ b)
2


3c
2
Giải: Giả sử (x
0
;y
0
) là nghiệm của pt đã cho

Khi đó: ( x
0
+ a)
2
+ ( y
0
+ b)
2
+ ( z
0
+c)
2
= c
2
áp dụng bđt bunhiacôpki ta có:
(a + b)
2
= [ ( x
0
+ a) + ( y
0
+b) + (-x
0
- y
0
)]
2


(1

2
+1
2
+1
2
) [( x
0
+ a)
2
+( y
0
+b)
2
+(-x
0
- y
0
)
2
]
Suy ra: (a+ b)
2


3c
2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Cho a, b, c thoả mãn điều kiện a+ b+ c= 0. Chứng minh rằng:
8
a

+ 8
b
+ 8
c


2
a
+ 2
b
+ 2
c
Bài2: Cho

ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và có các góc là A, B , C. Chứng
minh rằng:
a) ab(a+ b-2c) + bc( b+c-2a) + ca( a+ c-2b)
0

K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
6
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
b)
12
2
sin
1
2
sin

1
2
sin
1
222
++
CBA
Khi nào các dấu đẳng thức xảy ra?
Bài3: cho các số x, y thoả mãn điều kiện: x, y
0

và x
3
+y
3
= 2. Cmr: x
2
+ y
2

2
Bài4: cho a, b, c
0

và a+ b+ c=1. Cm:

6+++++ accbba
VI. Ph ơng pháp 7: Sử dụng vectơ
Kiến thức cần nhớ:
VD1: Cho x, y, z > 0. Cmr:

22
yxyx ++
+
22
zyzy ++
+
22
xzxz ++
3
(x+y+z)
Giải:
Ta có: x
2
+xy+y
2
=
2
2
2
3
2

+






+ y
y
x
y
2
+yz+z
2
=
2
2
2
3
2








+

+ z
z
y
z
2
+zx+x
2
=
2
2
2
3
2








+

+ x
x
z
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy xét các vectơ:

u
=








+ y
y
x
2
3
;
2
;
v
=

+ z
z
y
2
3
;
2
;
w
=








+ x
x
z
2
3
;

2
Khi đó:
u
+
v
+
w
=








++++ )(
2
3
);(
2
3
zyxzyx
Từ
u
+
wv +
wvu ++
suy ra đpcm.
VD2: Cho a, b, c và ab+bc+ ca= abc. Cmr:

ab
ab
22
2+
+
bc
bc
22
2+
+
ca
ca
22
2+
3

Giải: Bđt cần chứng minh tơng đơng với:

22
21
ba
+
+
22
21
cb
+
+
22

21
ac
+
3

Trong mặt phẳng toạ độ 0xy xét các vectơ:

u
=








ba
2
;
1
;
v
=

cb
2
;
1
;
w
=








ac
2
;
1
Khi đó:
u
+
v
+
w
=

++++ )
111
(2;
111
acbcba
=(1;
)2
vì (
cba
111
++
=1)
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
7
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
Từ
u
+
wv +
wvu ++
suy ra đpcm.
Bài tập đề nghị:
Bài1: Cmr:
a.
52416239

22
+++ xxxx
b.
)cos(2cos2cos2
222222

+++++ abbabxxbaxxa
Bài2: x, y, z là 3 số tuỳ ý. CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx +++++++
VII. Phơng pháp 8: Dùng tam thức bậc hai
VD1: ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có:
1+
2
1
x
2


cosA+ x( cosB+ cos C).
Giải: Bđt cần chứng minh tơng đơng với:
x
2
- 2( cosB + cosC)x + 2( 1- cosA)

0 (1)
ta có:
'

= ( cosB + cos C)

2
2( 1- cosA)
= 4cos
2

2
sin4
2
cos
2
22
ACBCB

+

= 4 sin
2

0)1
2
(cos
2
2

CBA
vì cos
1
2

CB

Vậy (1) đúng với mọi x
VD2: Chứng minh rằng:
(x+y)
2
xy + 1
3)( yx +
mọi x,y
Giải: BĐT cần cm tơng đơng với:
x
2
+y
2
+ xy + 1 -
033 x

xét vế trái là tam thức bậc hai đối với x, ta có:
f(x) = x
2
+ ( y-
3
)x + y
2
-
13 +y
)13(4)3(
22
+= yyy
= -3y
2
+ 2

3
y -1 = - (
2
)13 y
0
,
y
.
Suy ra: f(x)
yx,,0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x= y=
3
1
Bài tập đề nghị:
Bài 1: cho ( x;y;z) là nghiệm của hệ pt:



=++
=++
4
8
222
zxyzxy
zyx
Chứng minh rằng:
3
8
,,
3

8
zyx
Bài2: Cho y> z > t. Chứng minh rằng:
(x+ y+ z+t)
2
> 8 (xz+ yt).
VIII Ph ơng pháp 9: ph ơng pháp l ợng giác
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
8
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
VD1; Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:

2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

ba
abba
Giải: Đặt a= tan

, b= tan

với

,


)
2
;
2
(


Khi đó: A=
)1)(1(
)1)((
22
ba
abba
++
+
=
)tan1)(tan1(
)tantan1)(tan(tan
22


++
+
= cos
2

cos
2


)
coscos
sinsin
1(
coscos
)sin(





+
= sin(

+

) cos (

+

) =
2
1
sin(2

+2

)
Suy ra:
A
=
2
1
)2sin(2

+
2
1

Vậy
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

ba
abba
(đpcm)
Vd2: chứng minh rằng nếu

x
< 1 và n là một số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bđt:
(1+x)
n
+ (1- x)
n
< 2
n
Giải:
Với đk
x
< 1, đặt x = cost
Với x

1+
, ta có t

k

( k
Z
)
Khi đó: (1+x)
n
+ (1- x)
n
= (1+cot)
n
+ (1- cots)
n

= ( 2 cos
2
2
t
)
2
+( 2 sin
2
2
t
)
2
=2
n
( sin
2n
)
2
cos
2
2
tt
n
+
<

)
2
cos
2

(sin2
22
tt
n
+<
= 2
n
Vì với n
2
: sin
2n
x < sin
2
x và cos
2n
x < cos
2
x với x
2

k

. Vậy ta có đpcm
Bài tập đề nghị:
Bài1: cho x
2
+ y
2
=1, cmr :
1

4
1
66
+ yx
Bài2: cho
1a
, chứng minh rằng:
2
31
2
2

+

a
a
Ix. Ph ơng pháp10: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Kiến thức cần nhớ: giả sử phải cm bđt: f(x) >0 ;
( )
bax ;
xét hàm số trên [a;b)
f(x)
( )
bax ;0
f tăng trên [a;b)
f(x) > f(a)= 0;
( )
bax ;
VD1: Cho n là số nguyên và n
3

. chứng minh rằng:
n
n+1


(n+1)
n
Giải:
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
9
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
Ta có: n
n+1


(n+1)
n
(n+1)ln n

n ln (n+1)

n
n
n
n
ln)1ln(
1

+
+
xét hàm số: y =
x
x
ln
với x
3
ta có: y =
x
x
x
,0
ln
1ln
2
>

3
suy ra hàm số y =
x
x
ln
tăng trên [3; +

). Do đó với
n
3

ta có:

n
n
n
n
ln)1ln(
1

+
+
(đpcm)
VD2: Cho

ABC nhọn. Cmr:
(sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sínA

2
Giải:
Ta có: sin
2
A + sin
2
B +sin
2
C =

2
2cos1 A
+
2
2cos1 B
+1- cos
2
C
= 2-
2
1
(cos2A+ cos2B )- cos
2
C
= 2- cos(A+B) cos(A- B)- cos
2
C
=2 + cosC [cos(A- B) + cos(A+ B)]
= 2+ 2 cosA cosB cosC
Do

ABC nhọn nên sin
2
A + sin
2
B +sin
2
C>2
Mặt khác: 0 < sin
2

A <1 và sinB < 1 nên:
(sin
2
A)
sinB
> (sin
2
A)
1
= sin
2
A
(vì hàm số y= (sin
2
)
x
giảm trên R)
Tơng tự: (sin
2
B)
sinC
> sin
2
B
(sin
2
C)
sinA
> sin
2

C
Do đó: (sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sínA
> sin
2
A+ sin
2
B+sin
2
C >2
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cmr 2
2sinx
+2
tgx
>
2
3
2
x
+1
Bài 2: cmr: cos
1sin >+

với 0<
2

<
X. Ph ơng pháp 11: Dùng cực trị của hàm số
VD1: Cmr để x
4
+ px
3
+ q

0 với mọi x

R, điều kiện cần và đủ là: 256q

27p
4
Giải:
Đặt : f(x) = x
4
+ px
3
+ q.
Ta tìm minf(x) trên R
Ta có: f(x)= 4x
3
+ 3px
2
= x
2
(4x+p)=0

=
=
4
3
0
p
x
x
Bảng biến thiên:

x -


4
3p

+

K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
10
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số

f(x) - 0 +
f(x) +

+

f(-
4
3 p
)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
min f(x) = f(-
4
3 p
) =
256
27256
4
pq
Từ đó: f(x)

0 ,

x
R min f(x)

0 256q

27p
4
(đpcm).
VD2: a, b, c là ba số dơng thoả mãn điều kiện a
2

+ b
2
+ c
2
= 1. CM

2
33
222222

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Giải:
Từ giả thiết ta có: 0 < a, b, c < 1.
BĐT cần chứng minh tơng đơng với:

2
33
)1()1()1(
2
2
2

2
2
2


+

+
cc
c
bb
b
aa
a
xét hàm số: f(t) = t( 1- t
2
) = -t
3
+ t với t

(0; 1)
ta có: f(t) = -3t
2
+ 1
f(t) = 0 t=
3
1
(vì t > 0)
Ta có bảng biến thiên:

t
0
3
1
1
f(t)

+ 0 -

f(t)

33
2
0 0
Ta có: f( t)

33
2
;

t
( 0 ; 1)
Do đó: 0 < a( 1- a
2
)

33
2
=>
)1(

2
2
aa
a

2
2
33
a
(1)
Tơng tự:
)1(
2
2
bb
b

2
2
33
b
(2)

)1(
2
2
cc
c

2

2
33
c
(3)
Cộng (1) (2) & (3) theo từng vế và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 suy ra:
2
33
)1()1()1(
2
2
2
2
2
2


+

+
cc
c
bb
b
aa

a
(đpcm)
K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
11
Trờng ĐHSP Hà Nội ********************** Khoa Toán
Chuyên đề: Đại Số
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi

ABC ta đều có:
(tan
22
)
2
A
+ (tan
22
)
2
B
+ (tan
22
)
2
C

21
3

Bài 2: Chứng minh rằng với 0 < x<

2

thì 3x x
3
<
x2sin
2

XI. ph ơng pháp 12: dùng định lí lagrance
Kiến thức cần nhớ: Hàm số f liên tục trên [a;b] có đạo hàm trên (a; b). Khi đó
c
(a; b) sao cho
)('
)()(
cf
ab
afbf
=


VD 1: Cmr nếu 0< b< a thì:

b
ba
b
a
a
ba
<<

ln
Giải: Đặt f(x) = lnx. Khi đó f liên tục trên [b;a] và khả vi trên (b; a) nên theo
định lí lagrange tồn tại
c
(b; a) sao cho:

c
cf
ba
ba 1
)('
lnln
==


(1)
Vì 0< b< c< a nên:
bca
111
<<
(2)
Từ (1) & (2) suy ra:

bba
ba
a
1lnln1
<

<
hay
b
ba
b
a
a
ba
<<

ln
(đpcm).
VD2:
Chứng minh rằng với hai số a, b bất kì ta đều có:

baba sinsin
Giải: Giả sử a

b ( vì a, b có vai trò nh nhau)
i) Nếu a = b thì bđt đúng
ii) Giả sử a< b. xét f(x) = sinx với x

[a; b], ta có f liên tục trên [a;b] và
khả vi trên (a; b) nên theo định lí lagrang:

1cos)('
sinsin
==

ccf
ba
ba
với c

(a;b)
Do đó:
baba sinsin
(đpcm)
Bài tập đề nghị:
Bài1: Chứng minh rằng nếu x> 0 thì:
(1+
xx
xx
)
1
1()
1
1
1
+>
+
+
Bài2: Cho 0 <
2


<<
. Chứng minh rằng:

22
cos
tantan
cos

<<

K53H- Toán SV: Đặng Mạnh Hùng
12