110 Bài tập Tích phân có ĐA

/>100 BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1.
2
1
1 1
dx
A
x x
=
+ + −
∫
đs:
1
( 27 8 1)
3
− −
2.
/2
/4
1 cos 2B x dx
π
π
−
= −
∫
đs:
2 2 1−
3.
1
2
0

2 3
2
x x
C dx
x
− +
=
−
∫
đs :
1
3ln 2
2
− +
4.
/2
2
/6
cos .cos 4D x x dx
π
π
=
∫
đs :
3
8
−
5.
/2
4 4

/6
cos2 (sin cos )E x x x dx
π
π
= +
∫
đs:
7 3
32
−
6.
2
0
1 sinF x dx
π
= +
∫
đs:
4 2
7.
/2
3
0
4sin
1 cos
xdx
G
x
π
=

+
∫
đs: 2
8.
2
2
0
| 2 3|H x x dx= + −
∫
đs: 4
9.
5
3
(| 2 | | 2 |)I x x dx
−
= + − −
∫
đs: 8
10.
1
2
1
(| 2 1| | |)K x x dx
−
= − −
∫
đs: 5/2
11. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx
a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)
b) Tính

/4
0
( )
( )
g x
dx
f x
π
∫
đs:A =2/5,B = –1/5 ,
1 7
ln
10 5
4 2
π
−
12. Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = Asinπx + B thỏa mãn đồng
thời các điều kiện f ’(1) = 2 và
2
0
( ) 4f x dx =
∫
đs: A = –2/π , B = 2
13.
1/2
2
2
2 /2
1 3
1

M dx
x
x
 
= −
 ÷
−
 
∫
đs:
2 2
4
π
+ −
14.
2
1
1 ln
e
dx
N
x x
=
−
∫
đs :
6
π
15.
2/2

2
2
0
1
x
O dx
x
=
−
∫
đs:
1
8 4
π
−
16.
1
3
8
0
1
x
P dx
x
=
+
∫
đs:
16
π

17.
3
4
2
0
1
9
x
Q dx
x
−
=
+
∫
đs:
20
18
3
π
−
18.
4/ 3
2
3
2
4x
R dx
x
−
=

∫
đs:
3
24 16
π
−
19.
2/ 3
2
2
1
dx
R
x x
=
−
∫
đs:
12
π
−
20.
1
2
0
1
dx
S
x
=

+
∫
đs:
ln( 2 1)− −
21.
1
2
0
1T x dx= +
∫
đs:
2 1
ln( 2 1)
2 2
− −
22.
1
2
2
0
4
x
U dx
x
=
−
∫
đs:
3
3 2

π
−
23.
1
4 2
0
4 3
dx
V
x x
=
+ +
∫
đs :
3
8 36
π π
−
24.
2 /2
0
1
1
x
X dx
x
+
=
−
∫

đs :
2
1
4 2
π
+ −
25.
2
0
( 2)
4
x
Y x dx
x
= −
−
∫
đs:
4
π
−
/>26.
0
2
1
2 4
dx
A
x x
−

=
+ +
∫
đs :
3
18
π
27.
( )
1
3
2
0
1B x dx= −
∫
đs:
3
16
π

28.
1
0
1
3
x
C dx
x
+
=

−
∫
đs:
3 2
3
π
+ −

29.
/2
0
sin
2 sin
x
D dx
x
π
=
+
∫
đs:
2 3
2 9
π π
−
30.
6 10
2
2
4

1
1
1
x
E dx
x
+
+
=
+
∫
đs:
2
6
π
31.
1
4
6
0
1
1
x
F dx
x
+
=
+
∫
đs:

3
π

32.
2
1
2A x x dx= +
∫
đs:
32 2 3
15 5
+
33.
3
2
0
1
1
x
B dx
x
+
=
+
∫
đs:
106
15
34.
3

3
4
3 4
4
x
C dx
x
−
−
=
−
∫
đs:
99
5
−
35.
7
3
3 2
0
1
x
D dx
x
=
+
∫
đs: 141/20
36.

1
0
1
dx
E
x
=
+
∫
đs: 2(1 – ln2)
37.
4
1
dx
F
x x
=
+
∫
đs:
9
ln
4

38.
1
3
0
( 1)
x

G dx
x
=
+
∫
đs:
1
8
39.
7/3
3
0
1
3 1
x
H dx
x
+
=
+
∫
đs: 46/15
40.
3
1
3
3 1 3
x
I dx
x x

−
−
=
+ + +
∫
đs: 6ln 3 – 8
41.
/2
3
0
cos2
(sin cos 3)
x
K dx
x x
π
=
− +
∫
đs:
1
32
42.
/2
/3
sin
dx
I
x
π

π
=
∫
đs :
1
ln3
2
43.
/3
3
0
tanL x dx
π
=
∫
đs:
3
ln 2
2
−
44.
/4
4
0
tanM x dx
π
=
∫
đs:
2

4 3
π
−
45.
/4
6
0
tanN xdx
π
=
∫
đs:
13
15 4
π
−
46.
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
O dx
x
π
+
=
+
∫
đs:

34
27
47.
1
3 2
0
1P x x dx= +
∫
đs:
2
( 2 1)
15
+
48.
ln2
0
1
1
x
x
e
Q dx
e
−
=
+
∫
đs: ln
49.
2

1
1 1
x
R dx
x
=
+ −
∫
đs:
11
4ln 2
3
−
50.
1
3 2ln
1 2ln
e
x
S dx
x x
−
=
+
∫
đs:
10 2 11
3
−
51.

2
3
1
dx
T
x x
=
+
∫
đs:
1 8
ln
2 5
52.
( )
2
3
1
1
dx
U
x x
=
+
∫
đs:
1 16
ln
3 9

/>53.
ln2
2
0
( 1)
x
x
e
V dx
e
=
+
∫
đs :
1
6
54.
/4
4
0
cos
dx
X
x
π
=
∫
đs :
4
3

55.
1
1 3ln .ln
e
x x
Y dx
x
+
=
∫
đs:
116
135
56.
3
0
2 1 2
dx
A
x x
=
+ + +
∫
đs:
3
1
2
3
ln2 −
57.

5
1
2 1 3
dx
B
x x
=
+ − +
∫
đs:
3
ln3
9
π
−
58.
/2
3 3
0
(cos sin )C x x dx
π
= +
∫
đs:
4
3
59.
2
2
2

1
7 12
x
R dx
x x
=
− +
∫
đs
25ln 2 16ln 3 1− +
60.
64
3
1
dx
D
x x
=
+
∫
đs:
2
11 6ln
3
+
61.
3 2
1
ln . 1 ln
e

x x
E dx
x
+
=
∫
đs:
3
3
( 16 1)
8
−
62.
ln2
2
0
2
x
x
e
F dx
e
=
+
∫
đs
8
2 3
3
−

63.
/2
3
/6
cos
sin
x
G dx
x
π
π
=
∫
đs:
8 19
5
10 2
−
64.
/2
0
cos sin cos
2 sin
x x x
H dx
x
π
+
=
+

∫
đs:
2
1 ln
3
+

65.
/4
6 6
0
sin 4
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
đs: ln 4
66.
/2
0
sin 3
1 cos
x
K dx
x
π

=
+
∫
đs: 3ln2 – 2
67.
( )
1
ln
3 ln
e
ex
L dx
x x
=
+
∫
đs: ln
68.
3
0
sin sin sinM x x x dx
π
= −
∫
đs: 4/5
69.
/2
0
cos .
13 10sin cos 2

x dx
N
x x
π
=
− −
∫
đs:
1 4
ln
2 3
70.
0
/4
cos .cos
4
dx
O
x x
π
π
−
=
 
+
 ÷
 
∫
đs:
2 ln 2

71.
/2
0
sin
sin 3 cos
x
S dx
x x
π
=
+
∫
đs:
3 ln 3
8
π
+
72.
2ln2
ln2
1
x
dx
P
e
=
−
∫
đs:
6

π
73.
/2
0
2 cos
dx
Q
x
π
=
−
∫
đs:
2 3
9
π
74.
2
2
1
.
1
x dx
R
x x
=
+ −
∫
đs:
7

3
3
−
75.
/6
4
0
tan
cos2
x
S dx
x
π
=
∫
(A–2008) đs:
1 10 3
ln(2 3)
2 27
+ −
76.
3
2
1
2 2
dx
T
x x
=
− +

∫
đs :
ln( 5 2)+
77.
1
2
2
1/2
2
x
U dx
x x
=
−
∫
đs:
7 3
2
4 8
π
+ −
78.
1
2
3
0
5 4
1
x
V dx

x
+
=
+
∫
đs :
4 3
3ln 2
9
π
+
79. Cho hai tích phân:
/2
2 2
0
cos .cos 2I x x dx
π
=
∫
;
/2
2 2
0
sin .cos 2J x x dx
π
=
∫
a) Tính I + J và I – J
/>b) Tính I , J đs: π/4 ; 0 ; π /8
80. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [0;π] . Chứng minh rằng:

/2
0 0 0
. (sin ) (sin ) (sin )
2
x f x dx f x dx f x dx
π π π
π
π
= =
∫ ∫ ∫
Áp dụng :
2
0
.sin
1 cos
x x
J dx
x
π
=
+
∫
đs: π
2
/4
81. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta đều có : f(x)
+ f(–x) =
2 2cos2x−
. Tính

3 /2
3 /2
( )f x dx
π
π
−
∫
đs: 6
82.
( ) ( )
1
2
1
1 4
x
dx
X
e x
−
=
+ −
∫
đs: – ln 3
83.
/2
6
6 6
0
sin
sin cos

x
Y dx
x x
π
=
+
∫
đs:
4
π
84.
1
2
0
.ln( 1)A x x x dx= + +
∫
đs:
3 3
ln3
4 12
π
−
85.
2
2
1
1
ln 1B x dx
x
 

= +
 ÷
 
∫
đs:
10 1
3ln3 ln 2
3 6
− +
86.
2
0
.sin .cosC x x x dx
π
=
∫
đs:
3
π
87.
1
cos(ln )
e
D x dx
π
=
∫
đs:
1
( 1)

2
e
π
− +
88.
3
2
2
ln( )E x x dx= −
∫
đs: 3ln3 – 2
89.
2
/2
sin 3
0
sin cos
x
F e x xdx
π
=
∫
đs: 1/2
90.
/4
2
0
tanG x xdx
π
=

∫
đs:
2
1
ln 2
4 32 2
π π
− −
91.
/2
2
0
cos
x
H e xdx
π
=
∫
đs:
2
1
2 3
5
e
π
 
−
 ÷
 

92.
2
2
1 1
ln ln
e
e
I dx
x x
 
= −
 ÷
 
∫
đs:
( )
2
2
e e−
93.
2
0
1 sin
1 cos
x
x
K e dx
x
π
+

=
+
∫
đs:
2
e
π

94.
( )
1
2
2
0
2
x
x e
L dx
x
=
+
∫
đs:
3
3
e−
95.
2
2
0

cosM x dx
π
 
 ÷
 
=
∫
đs: π – 2
96.
2
0
sinN x x dx
π
=
∫
đs
82
2
−π
97.
2
1
.ln
e
O x x dx=
∫
đs:
2
1
( 1)

4
e −
98.
1
2
0
( 2 ).
x
P x x e dx= +
∫
đs: e
99.
1
2
0
ln( 1 )Q x x dx= + +
∫
đs:
ln(1 2) 2 1+ − +
100.
1
2
1
ln( 1)
1
x
x
R dx
e
−

+
=
+
∫
đs:
ln 2 2
2
π
− +