Những sai sót thường gặp trong giảng dạy hình học lớp 10

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 1

NHỮNG SAI SÓT THƯỜNG GẶP TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 10
Tổ Toán- Tin THPT Nguyễn Hiền

Trong giảng dạy ở bất kỳ loại lớp nào cũng có những sai sót của học sinh. Mức độ sai sót
tùy thuộc vào trình độ của đối tượng học sinh lớp đó. Có những sai sót rất ngô nghê, nhưng cũng
có những sai sót không dễ gì phát hiện được nếu ta không nắm vững kiến thức ở lĩnh vực đó.
Trong quá trình giảng dạy hình học lớp 10,chúng tôi thường gặp một số sai sót của học
sinh. Nhận diện rõ những sai lầm của học sinh, “ bắt mạch” tìm nguyên nhân của sai sót đó để có
hướng “ điều trị ” thích hợp nhằm giúp học sinh tránh sai sót, đó cũng là nhiệm vụ quan trọng của
người giáo viên trong giảng dạy.
Với quan điểm cùng nhau học hỏi, góp ý trao đổi những kinh nghiệm với nhau để góp
phần phục vụ tốt cho sự nghiệp giảng dạy của chúng ta, tổ Toán Tin trường Nguyễn Hiền cũng
góp phần chía sẻ một số kinh nghiệm như sau:
Trong Toán học, đúng chỉ có một, nhưng cái sai thì vô vàn. Mỗi sai sót đều có nguyên
nhân của nó, chúng tôi tạm chia các sai sót ra làm 3 loại như sau:
1/ Sai lầm trong ghi chép, tính toán.
2/ Sai lầm trong sử dụng định nghĩa, công thức , tính toán.
3/ Sai lầm do không nắm vững bản chất của kiến thức thuộc vấn đề đó.
(Chúng tôi loại bỏ đối tượng lười học, không chịu học, quay cóp trong làm bài nên sai
sót. Đây là loại chúng ta không nói đến. đối tượng này phổ biến ở các lớp hệ bán công trước đây)
I/ Sai lầm do ghi chép và tính toán:
Khi đọc bài làm của học sinh ta thường bắt gặp những lỗi ghi sai so với đề bài, ghi chép
cẩu thả, dòng trên ghi đúng, dòng dưới ghi sai. Tính toán không cẩn thận ví dụ như 3
2
= 6; ….
Đối tượng thường vấp những sai lầm này là những học sinh tiếp thu nhanh nhưng không
cẩn thận, chủ quan, một số sai sót như:
 Ghi véc tơ nhiều khi thiếu dấu mũi tên, véc tơ không chỉ ghi số 0

Ví dụ: trong ΔABC ta có:
0
GA GB GC
  
 

 Ghi tọa độ không có dấu chấm phẩy ngăn cách hoành độ và tung độ, chẳng hạn như :
A( 2 3) hay B(2,3,5) ….
 Độ dài vec tơ khi viết thiếu dấu giá trị tuyệt đối, ví dụ
a

= 4 cm
 Ghi thứ tự các điểm đầu và cuối vec tơ không thống nhất.
 Cách ghi phép toán về tọa độ vec tơ chưa được thống nhất. Chẳng hạn như : Cho
( 2;3); (4; 2)
a b
   
 
Tính tọa độ
2
a b

 
học sinh ghi
2
a b

 
= ( 2; 3) + 2( 4; 2) = ( 6; 1)
Biện pháp khắc phục:

+ Cho học sinh trình bày trên bảng, giáo viên cho cả lớp nhận xét sửa sai.
+ Giáo viên thường xuyên nhắc nhở học sinh cẩn thận kiểm tra bài làm,phân tích những
chỗ sai lầm của học sinh.
II/ Sai lầm khi dùng định nghĩa, công thức , định lý:
Một số học sinh không nắm vững định nghĩa, công thức, định lý nên đã sai lầm trong giải
toán, mặc dù hướng giải bài toán đã được xác định. Một số sai lầm thường thấy:
 Hai véc tơ bằng nhau, chỉ chú ý đến độ dài, quên yếu tố cùng hướng. Ví dụ như cho
ΔABC đều ta có
AB BC CA
 
  
.(Giáo viên cho học sinh nhắc lại định nghĩa hai vec tơ bằng
nhau)







( H 1)
A
B

C

C
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 2
 Góc giữa hai véc tơ, học sinh thường quên yếu tố cùng gốc. Ví dụ như cho Δ ABC đều

ta có
0
( ; ) 60
AB BC 
 
. (Giáo viên cho học sinh nêu lại định nghĩa góc giữa hai vec tơ, và cho
dựng góc bằng góc
( ; )
AB BC
 
) ( H1)
 Do không nắm vững góc giữa hai vec tơ nên khi sử dụng tích vô hướng lại mắc phải sai
lầm. Ví dụ như: cho Δ ABC vuông cân tại A, cạnh AB = a. thì
0 2
. . . os45
AB BC AB BC C a
 
 
(
sai số đo góc giữa 2 vec tơ
( ; )
AB BC
 
)

 Sử dụng sai độ dài véc tơ tổng vec tơ hiệu
| | | | | |
a b a b
  
   
;
| | | | | |
a b a b
  
   

;
a b
 

III/ Sai lầm do nắm không vững bản chất của vấn đề.
Có những vấn đề, bài toán mà khi giải học sinh đi theo đường mòn nên dễ sai lầm khi gặp trường
hợp cá biệt
a/ Sai lầm do bệnh máy móc rập khuông.
Ví dụ1: Khi gặp bài toán: “ trong mặt phẳng cho 2 điểm A; B nằm cùng phía với đường
thẳng (d), tìm điểm M  (d) sao cho MA + MB ngắn nhất ”. Học sinh đã giải: lấy điểm A’ đối
xứng với A qua (d), gọi M  (d), ta có MA = MA’ nên MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B , do đó
MA + MB ngắn nhất khi A’, M và B thẳng hàng, hay M là giao điểm của A’B và (d) ( H3a)
d
d
M M

A'
B
A
B
A
M'
A'
M'

( H 3a) ( H 3b)

Vì vậy khi gặp bài toán có dạng đề tương tự, học sinh cũng máy móc vận dụng bài toán
trên sẽ bị sai lầm
Cho hai điểm A( 3; 2) ; B( 4; 5) và đường thẳng (d): x + y 2 = 0. Tìm điểm M trên (d)
sao cho MA + MB ngắn nhất.
Giáo viên phải làm cho học sinh thấy bản chất của bài toán là phải kiểm tra vị trí tương
đối của hai điểm A; B với đường thẳng (d) ( H3b) Nếu giải như bài toán trên thì điểm M không
thỏa mãn yêu cầu bài toán, bởi vì trường hợp này A và B khác phía với (d) nên nếu ta lấy A’ đối
xứng với A qua ( d) thì lời giải sẽ sai bản chất.
Ví dụ 2: Học sinh đều biết rằng nếu ABCD là hình bình hành thì có
AB DC

 
nên khi gặp
bài toán: Trong mpOxy có 3 điểm A(2; 1) ; B( 1; 5) và C( 3 ; 9) , tìm điểm D để ABCD là
hình bình hành.
Học sinh đã giải:
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
AB DC


 
,
C
A
B
( H.2
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 3
mà
(3;6)
AB 

và
( 3; 9)
D D
CD x y
  

, do đó
AB DC

 



3 3 6
9 6 15
D D
D D
x x

y y
  
 

 
  
 


D(6;13)
Học sinh có thói quen là khi giải đến kết quả cứ yên tâm là đúng! Nếu ta tinh ý thì 4 điểm
A;B;C;D này thẳng hàng. Do đó bài toán này không tìm được điểm D thỏa mãn yêu cầu, vì 3
điểm A; B và C thẳng hàng.
Vậy khi giải dạng toán này cần kiểm tra 3 điểm đã cho không thẳng hàng
Chú ý cho học sinh nắm vững: ABCD là hình bình hành

AB k AC
AB DC







 
 

b/ Sai lầm do không lường hết các trường hợp, không nắm vững bản chất vấn đề.
Ví dụ 3: Trong mpOxy có đường tròn (C): (x2)

2
+ ( y + 1)
2
= 9, viết phương trình tiếp
tuyến của ( C) đi qua điểm M( 5; 4)
Học sinh đã trình bày:
Đường tròn ( C) có tâm I(2 ; 1) và bán kính R = 3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (Δ ) qua điểm M, thì phương trình của ( Δ ) có dạng:
y = k(x  5) + 4

kx y  5k + 4 = 0
Điều kiện cần và đủ để ( Δ ) tiếp xúc với ( C) là d( I; ( Δ ) ) = R


2
| .2 1 5 4|
3
1
k k
k
  




( 3k + 5)
2
= 9(k
2
+ 1)


9k
2
+ 30k + 25 = 9k
2
+ 9


k = 8/ 15
Vậy có 1 tiếp tuyến qua M có phương trình là: 8 x 15y + 100 = 0.Nếu nhìn qua ta thâý
lời giải đúng chặt chẽ, và có duy nhất 1 tiếp tuyến. Nhưng nếu để ý thì ta thấy điểm M nằm ở
ngoài đường tròn, như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến qua M, vậy còn một tiếp tuyến nữa ở đâu? Và lời
giải sai ở điểm nào?
Giáo viên giúp học sinh thấy có một lớp các đường thẳng không có hệ số góc, đó là các
đường thẳng song song với trục Oy, trong đó có đường x = 5 là tiếp xúc với ( C). Vì vậy khi
dùng hệ số góc phải xét trường hợp đặc biệt gồm các đường song song với trục Oy.
Để tránh tình trạng trên, nên dùng phương trình tổng quát của đường thẳng ( Δ ) qua một
điểm M có pháp vec tơ
( ; ) 0
n a b
 
 
có phương trình: a(x 5) + b( y  4) = 0 Điều kiện cần và
đủ để ( Δ ) tiếp xúc với ( C) là d( I; ( Δ ) ) = R


2 2
| 2 5 4 |
3
a b a b

a b
  




(3a 5b)
2
= 9( a
2
+ b
2
)

b = 0 hoặc 15a + 8b = 0
ta được 2 tiếp tuyến là ( Δ
1
) x = 5 và ( Δ
2
): 8x 15y + 100 = 0


y
x
O
I
A
M

( H4a)

Ví dụ 4: Cho Δ ABC đường cao AH = 12cm, HB = 4cm, HC = 6cm . Tính số đo góc A và
tính diện tích Δ ABC
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 4
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH và ACH ta được AB = 4
10
và AC =
6
5
.
Mà BC = BH + CH = 10.
Theo định lý cosin ta có: BC
2
= AB
2

+ AC
2
 2AB.AC.cosA

100 = 160 + 180  2. 4
10
. 6
5
.cosA

cosA =
1

2


A = 45
0
.
Nguyên nhân sai lầm: Học sinh ngộ nhận chân đường cao H nằm giữa B và C, sót
trường hợp H nằm ngoài B và C. Khi đó BC = 2 và cosA =
7
5 2
và A

8
0
7’48’’.


A
B
C
A
B C
H
H

(H 4b)
Ví dụ 5: Cho ΔABC cân tại A, cạnh đáy BC = 6, bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 5.
Tính độ dài cạnh bên ?
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Sử dụng đinh lý Sin cho Δ ABC ta có:

6 3
2 sin
sin 2 10 5
BC BC
R A
A R
    

Nên ta có :
2
4
os 1 sin
5
C A A
  

Theo định lý cosin ta có BC
2
= AB
2

+ AC
2
 2AB.AC.cosA => 36 = 2AB
2
 2AB
2
.
4
5

 AB
2
= 90 => AB =
3. 10

 Nguyên nhân sai lầm: Có 2 giá trị của góc A có giá trị sinA = 3/5, đó là 2 góc bù
nhau, nên lời giải trên còn sót trường hợp cosA = 
4
5
, khi đó AB =
10

c/ Sai lầm do không kiểm tra lại yếu tố của đề cho
Ví dụ 5: ( Đ H Thương mại 1991)-Trong mpOxy cho ΔABC có A( 2 ; 1) phân giác
trong góc B có phtrình (d
1
): x  2y +1 = 0,
Phân giác trong góc C có phương trình(d
2
): x + y + 3 = 0, viết phương trình cạnh BC.
Học sinh đã trình bày( tóm tắt)
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua phân giác góc B, ta tìm được A
1
( 0; 3)
Gọi A
2
là điểm đối xứng của A qua phân giác góc C, ta tìm được A

2
( 2;5)
Ta biết rằng phân giác là trục đối xứng của một góc nên A
1
và A
2
nằm trên đường thẳng
BC
Do đó phương trình đường thẳng BC qua A
1
và A
2
là 4x  y + 3 = 0
Qua lời giải trên học sinh cứ nghĩ là hoàn thành bài giải, và sẽ không tìm ra chỗ sai của lời
giải trên. Bởi vì các điểm đối xứng với điểm A qua phân giác trong và ngoài của góc tại đỉnh B
đều nằm trên đường thẳng BC. Trong trường hợp này ta vẽ và biểu diễn các điểm và các đường
thẳng phân giác lên mpOxy thì ta thấy các đường thẳng đó không phải là phân giác trong của các
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 5
góc tại đỉnh B và C. Vì vậy khi giải các bài toán thuộc loại này ta phải kiểm tra hai đỉnh A và C
có khác phía với (d
1
) không ( để(d
1
) là phân giác trong góc B)

x
y
x+y +3=0
x-2y+1=0

(H5b)
(H5a)
B
C
A2
A
A(2;-1)
A2
B
C
A1
A1

Ví dụ 6: Trong mpOxy cho Δ ABC có đỉnh B( 2; 1), đường cao AH và phân giác trong
góc C có phương trình lần lượt là: (d
1
) 3x  4y +27 = 0 và (d
2
): x + 2y  5 = 0. Viết phương
trình các cạnh Δ ABC.
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Cạnh BC qua B( 2; 1) và vuông góc với AH nên có phương trình: 4x + 3y 5 = 0
Ta có C = BC  (d
2
) nên tọa độ điểm C( 1; 3)
Ta gọi B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác (d
2
) nên B’ nằm trên AC. Ta tìm được
B’(4; 3), khi đó phương trình cạnh AC là: y 3 = 0
A = AC  AH => tọa độ A( 5; 3) , phương trình cạnh AB: 4x + 7y 1 = 0 ( H6a)

Nhận xét: Lời giải ta đọc qua sẽ dễ dàng chấp nhận là đúng và chính xác. Nhưng ta để ý
rằng điểm B’ đối xứng với B qua phân giác trong hay góc ngoài của góc C đều nằm trên đường
thẳng AC. Do vậy ta phải kiểm tra lại xem A và B có nằm khác phía với phân giác (d
2
) không?
Ta dễ dàng nhận thấy A và B cùng phía với ( d
2
) ( H 6b)
x
y
d1
d2
(H6b)
(H6a)
H
C
A
B
C
B
B'
B'
H
A



Biện pháp khắc phục cho những sai lầm ở dạng này:

Những sai lầm ở dạng này khá tinh vi, dễ xảy ra cho mọi đối tượng, vì vậy giáo viên cần

phải làm cho học sinh thấy rõ bản chất của vấn đề khi giảng dạy lý thuyết . Đồng thời chú ý
những trường hợp đặc biệt của các vấn đề, các định lý, các công thức

Cho học sinh tập phân tích mổ xẽ các lời giải của bạn, tìm các sai sót. Nếu làm như vậy
học sinh trình bày bài làm khá chặt chẽ, ít sai sót.
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 6

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢNG DẠY MÔN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11
Tổ Toán – Tin THPT Trần Đại Nghĩa

1.Một ví dụ về khái niệm Cung lượng giác. Nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng, độ và radian là
hai đơn vị giống nhau nên viết
0
x 30 k2
  
hoặc
0
x k180
3

  ; hoặc x = arcsin2/3 +
k360
0
. Do vậy khi dạy khái niệm đơn vị đo góc và cung, giáo viên cần phải: nhấn mạnh hai đơn vị
đo “độ và radian” là khác nhau, chỉ dùng một trong hai đơn vị trong cùng một biểu thức, đồng thời
số đo cung và độ dài cung là khác nhau, lấy ví dụ để học sinh phân biệt.
Giải phương trình: tg3x = tg5x.
Lời giải:
Ta có

 
tg3x tg5x 5x 3x k x k k Z .
2

       
Bình luận:
Có thể lấy k = 1 thì x
2


lại không phải là nghiệm. Sai lầm ở chỗ ta chưa đặt điều
kiện có nghĩa cho phương trình. Ta biết rằng:

tg tg
k ho k
     
 
       
th× - = k . Nhng ®iÒu ngîc l¹i chØ ®ón
g khi thªm vµo
®iÒu kiÖn Æc
2 2

Lời giải đúng là:
 
 
5x 3x k
x k
2
tg3x tg5x k,l Z

3x l
x l
2
6 3
x m m Z


  



 
   
 

 
  
 
 



   


Ví dụ 2.3.Giải hệ
0
x y 45
tgx tgy 1
 



 


Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với
 
0
tgx tgy
1
tg x y tg45 1
tgx tgy 1
1 tgx.tgy
tgx.tgy 0
tgx tgy 1
tgx tgy 1



  
 




 
  

 




 


Do đó, tgx, tgy là nghiệm phương trình: t
2
– t = 0
t 0
t 1







Trường hợp 1:
 
x k
tgx 0
k,n Z
tgy 1
y n
4
 





 
  

  




Trường hợp 2:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 7
 
tgx 1
x k
k,n Z
4
tgy 0
y n



  


 
 




 


Bình luận:
Lời giải trên có hai sai lầm:
Trước hết cho rằng
0
x y 45 tg(x y) 1
    
. Thật ra
0
x y 45 tg(x y) 1
    
. Sai lầm này dẫn đến nghiệm ngoại lai.
Cuối cùng, x, y trong hệ ở đề bài có đơn vị đo là độ. Nhưng trong lời giải tính x, y
theo đơn vị đo radian.
Lời giải đúng là:
Ta có y = 45
0
– x, nên
tgx + tg(45
0
– x ) = 1
Đặt t = tgx thì ta có phương trình:
2
t 1
t 0
1 t
t 1
t 1

1 t
t t 0
 




   




 


.
Với t = 0 thì tgx = 0
0
x k.180
 
do đó y = 45
0
– k.180
0
(
k Z

)
Với t = 1 thì tgx = 1



0 0
x 45 k.180 k Z
0
do ®ã y = -k.180
   
2.Cách bố trí các phương pháp và dạng bài tập về phương trình lượng giác của SGK chương
trình cơ bản còn hạn hẹp, còn thiếu các dạng bài tập về sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác đưa về dạng tích. Trong khi đó các bài tập trong các đề thi Đại học, Cao đẳng thì thường có
các bài tập dạng này. Điều này gây thiệt thòi cho các học sinh học chương trình cơ bản.
3.Trong chương Đại số tổ hợp nên đưa bài Nhị thức Niu Tơn về cuối chương để kiến thức về
Tổ hợp-Xác xuất được liên tục.
4.Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí.
Ví dụ 01: Tìm giới hạn
I =


n
n 1
1 2
lim sin sin sin
n n n n

 
 
 
  
 
 
 

(?): Ta có
n
sin
n
lim 0
n



, ,
n
2
sin
n
lim 0, ,
n





n
n 1
sin
n
lim 0
n

 


.
Nên I = 0 + 0 + + 0 = 0
(!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu
hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn.
Lời giải đúng là: Đặt


n
n 1
1 2
A sin sin sin
n n n n
 
 
 
   
 
 
 
,
ta có:
2nA
n
sin
2n





n 1
2
2sin sin 2sin .sin 2sin .sin
2n n 2n n 2n n
 
 
    
  
 
 
=




2n 3 2n 1
3 3 5
cos cos cos cos cos cos
2n 2n 2n 2n 2n 2n
 
   
   
   
     
 
   
   
 
= 2sin



 
n 1
2n

Nên


 
n n
n n
n 1
2 sin
n 1
2 2 2
2 n 2 n
A lim A lim . .sin .1.sin
2 n 2
2 n.sin sin
2 n 2 n
  
 

 

    
 
  
,
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 8
Ví dụ 02: Tìm
n
n
2 ( 1)
lim
n

 

(?):
n
n
2 ( 1)
lim
n

 
không tồn tại vì
1
u 1

;
2
3
u
2

;

3
1
u
3



dãy


n
u
là không tăng,
không giảm.
(!): Ta thấy rằng định lí Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu và bị chặn có giới hạn
chỉ là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần. Bài toán được giải như sau:
Vì 0


n
2 ( 1) 3
n n
 


*
n N
 
và
n

3
lim 0
n


, nên áp dụng nguyên lí kẹp giới hạn ta suy ra
n
n
limu 0


.
5. Sai lầm khi vận dụng không đúng về quy tắc nhân
Ví dụ 03: Một nhóm có 18 học sinh , trong đó co 7 học sinh lớp 12, 6 hs lớp 11 , 5 hs lớp
10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà 1 khối có ít nhất 1 em.
Cỏch giải của 1 bạn học sinh:
Ta sẽ chọn ra 3 em hs ở cả 3 khối , sau đó ta sẽ chọn ngẫu nhiên 5 em cũn lại trong số 15
hs và ta đc kết quả là
1 1 1 5
7 6 5 15
. . . 630630
C C C C 

Sai là bởi vì theo nguyên tắc cơ bản quy tắc nhân: Các hành động chọn phải độc lập với
nhau. Ở hành động thứ tư (Chọn ra 5 em trong số các học sinh còn lại) không còn độc lập nữa
rồi! Nó phụ thuộc vào kết quả trước đó đã chọn ra những em nào? Do đó phép đếm bị trùng lặp
rất nhiều.
Lời giải đúng phải sử dụng quy tắc cộng tổng quát (gộp vào và loại đi)
Cách giải đúng: ta sẽ có số cách chọn là
8 8 8 8

18 11 12 13
41811
C C C C   

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 9

NHỮNG SAI SÓT VÀ CÁCH KHẮC PHỤC MÔN HÌNH HỌC 12
Tổ Toán – Tin THPT Lê Hồng Phong

Vấn đề 1:Sai sót: Không xác định được chân đường cao của hình chóp đưa đến không
tính được thể tích . Ví dụ : xác định chân đường cao của hình chóp S.ABC biết:
1a: Đáy ABC là tam giác đều và SA=SB=SC .
1b: SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau.
1c: SA,SB,SC tạo với đáy những góc bằng nhau.
1d: Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy những góc bằng nhau.
Khắc phục:Ngoài việc nhắc lại các định lý lớp 11 .Ta còn xây dựng qui trình ngược như
sau.Cho



S
kẻ



SH
.Từ đó lấy A,B,C






thỏa:
1a: Tam giác ABC đều và H là trọng tâm CMR: SA=SB=SC.
1b: AM,BN,CP lần lượt là ba dường cao,H là trực tâm và ba tam giác SAM,SBN,SCP
vuông tại S .CMR: SA,SB,SC đôi mọt vuông góc với nhau.
1c: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .CMR SA,SB,SC tạo với đáy những góc
bằng nhau.
1d :H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.CMR: Các mặt bên

Vấn đề 2: sai sót: Không xác định các yếu tố liên quan đến thiết diện khi cắt bởi mặt
phẳng qua các đường sinh của mặt trụ,nón ,cầu tạo ra.Ví dụ:
2a: Cho hính nón đỉnh S đáy là đường tròn tâm O .Một thiết diện qua hai đường sinh.Hãy
xác định hình chiếu của O đến thiết diện.
2b: Cho hình trụ tâm O và
'
O
.Một thiết diện qua hai đường sinh .Hãy xác định hình chiếu
của O đến thiết diện.
2c: Cho hình cầu tâm O, A là điểm thuộc mặt cầu .Một thiết diện của mặt cầu qua A
không qua O .Hãy xác định hình chiếu của O đền thiết diện.
Khắc phục: Ta giải quyết bài toán bằng cách xem trụ, nón, cầu do hình chữ nhật, tam giác
vuông , nửa đường tròn quay thích hợp tạo ra tức là qui về các bài toán sau.
2a Cho hình chóp S.OAB ,SO là đường cao, đáy là tam giác cân tại O.Xác định chân
đường cao kẻ từ O.
2b Cho lăng trụ đứng
OABBAO .
///
,đáy là tam giác cân tại O .Xác định hình chiếu của O
xuống mặt bên
AB
B

A
//
.
2c. Cho mp



và O không thuộc mp đó .Tìm tập hợp điểm A




sao cho OA=R không
đổi.

Vấn đề 3: sai sót: Không chia hình chóp đaý tứ giác thành những hình chóp đáy tam giác
nhằm sử dụng công thức tỉ số thể tích bởi mặt phẳng cho bởi yếu tố song song, vuông góc.
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành gọi M là trung điểm AD ,mp

qua
BM và song song với SA lần lượt cắt SD tại P,SD tại N.Tính tỉ số thể tích hai phần đa diện tạo ra.
Khắc phục:Trước hết ,ta cho học sinh giải quyết bài toán chẻ nhỏ sau:
Cho hình chóp S.ABC .Lấy G thuộc đoạn AC sao cho AG:AC=1:3.Mp(
)

)

qua BG và
song song với SA cắt SC tại P Tính tỉ số thể tích hai phần đa diện tạo ra.

Vấn đề 4: sai sót: Không lập được pt mặt cầu ,mặt phẳng, đường thẳng do không nắm
được định nghĩa gốc.
Ví dụ : Lập pt Mặt cầu biết tâm và bán kính,pt mặt phẳng biết qua điểm M và có VTPT,pt
đường thẳng qua M và có VTCP.
Khắc phục: Ngoài việc cho HS nhớ thuộc lòng công thức ta còn nhấn mạnh các pt đó các
pt đó công thức khoảng cách,tích vô hướng và tích véc tơ với một số .Một số trong chúng xuất
phát từ tiên đề nên việc hình thành không mang tính tự nhiên ,do vậy ta cần củng cố liên tục.

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 10
Vấn đề 5: sai sót: không xác được hệ phương trình tương ứng khi giải bài toán tương giao
giữa các đối tượng và lúng túng khi sử dụng các kí hiệu trong pt tổng quát, tham số ,chính tắc.
Ví dụ :Từ hai pt tham số của hai đường thẳng xét vị trí tương đối của chúng.
Khắc phục:Ta cho học sinh thấy bản chất xuất phát các điều sau
5a/
21
ddA  vàdA
1

2
dA
nên tọa độ A là nghiệm của hệ tạo bởi pt tham số của
21
vàdd

5b/ giải hệ ,nếu hệ vô nghiệm thì tiếp tục xét quan hệ các véc tơ chỉ phương trên cơ sở
nắm ý nghĩa đằng sau các kí hiệu.
Trên đây là những vấn đề mang tính chủ quan của chúng tôi nên có nhiều sai sót ,rất mong quí
đồng nghiệp góp ý.

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 11

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tổ Toán – Tin THPT Nông Sơn


Hình học giải tích không gian được giới thiệu ở chương trình hình học lớp 12 - THPT qua
ba bài học:
§1 - Hệ toạ độ trong không gian.
§2 - Phương trình mặt phẳng.
§3 - Phương trình đường thẳng.
Yêu cầu về chuẩn kiên thức đối với học sinh:
- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ vectơ, toạ độ điểm, biểu
thức toạ độ các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm.
- Biết khái niệm tích vectơ và ứng dụng của tích vectơ.
- Biết phương trình mặt cầu.

- Nắm được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và phương trình tổng quát
của mặt phẳng.
- Biết được điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, công thức tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Biết được phương trình tham số của đường thẳng và điều kiện để hai đường thẳng
chéo nhau, cắt nhau, song song nhau, vuông góc nhau.
Yêu cầu về chuẩn kĩ năng cần đạt học sinh:
- Tính được toạ độ tổng, hiệu các vectơ, tích vectơ với một số, tích vô hướng và tích
có hướng hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm cho trước.
- Viết được phương trình của mặt cầu cho trước.
- Tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp nhờ ứng dụng tích vectơ. (
Đối với học sinh học chương trình nâng cao)
- Xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và viết được phương trình tổng
quát của mặt phẳng cho trước.
- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Viết được phương trình tham số của đường thẳng cho trước.
- Xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng khi biết phương trình của
chúng.
Theo đó nhận thấy nội dung chương trình thật sự gọn nhẹ, dễ tiếp cận, chuẩn yêu cầu
không cao, dễ đáp ứng. Vì thế phân môn hình học giải tích không gian dễ học, dễ dạy và là môn
học được hầu hết học sinh yêu thích. Hơn nữa, trong cấu trúc các đề thi tốt nghiệp THPT và
tuyển sinh ĐH&CĐ đều có ít nhất một câu, một điểm dành cho kiểm tra các nội dung này. Như
vậy, việc dạy tốt, học tốt hình học giải tích không gian là hết sức cần thiết.
Theo phân công của trưởng cụm chuyên môn, tổ toán trường THPT Nông Sơn biên soạn
chuyên đề: “Rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán hình học giải tích không gian” với hy vọng
phần nào đáp ứng nhu cầu ôn tập chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào các
trường ĐH&CĐ của học sinh các trường trong cụm.
Chuyên đề gồm: A. Tóm tắt lý thuyết.
B. Các bài toán thường gặp:
- Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng.

- Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng.
- Bài toán 3: Viết phương trình mặt cầu.
- Bài toán 4: Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện cho trước.
Trong báo cáo lần này xin được trình bày hai bài toán 1 và bài toán 2.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. TOẠ ĐỘ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1) ĐN:
kzjyixazyxa  );;(

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 12
2) Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ:




1 2 3 1 2 3
a ; ; ,b ; ;
Cho a a a b b b
 
 

 
 
1 1
2 2
3 3
1 1 2 2 3 3

1 2 3
1 . a
2 . ; ;
3 . k.a ; ; ,
a b
i b a b
a b
i a b a b a b a b
i ka ka ka k R



  




    
 
 
 


4i.
a

cùng phương
b( 0)
b


  

1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
. ( )
a kb
a a a
a k b k R a kb
b b b
a kb



       




 
(b
1
b
2
b
3
≠ 0)
1 1 2 2 3 3

2 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
5 . a
6 . a
7 . a . 0 . . . 0
a. . . .
8 . cos( ; )
a b
i b a b a b a b
i a a a
i b a b a b a b a b
b a b a b a b
i a b
a a a b b b
  
  
      
 
 
   
 

   
 
 
 

3) Tích có hướng hai vectơ:
a. Định nghĩa: Cho 2 vectơ
 
 
1 2 3
1 2 3
a ; ;
b ; ;
a a a
b b b









. Tích có hướng hai vectơ trên là một vectơ,
KH:
[a, ]
b
 
, được xác định:
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2

[a, ] ; ;
a a a a
a a
b
b b b b
b b
 

 
 
 

b. Tính chất:
1i)
[a, ] a , [a, ] b
b b
 
     
.
2i) 2 vectơ
,
a b
 
cùng phương khi chỉ khi :
[a, ]
b
 
=
0

3i)
[a, ] a b sin(a;b)
b 
     
.
4i) Ba vectơ
, ,
a b c
  
đồng phẳng khi chỉ khi:
[a, ]. 0
b c

  

c. Ứng dụng của tích có hướng:
1) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2) Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng.
3) Diện tích hình bình hành ABCD: S =

AC],[AB

; S
ABC
=
2
1

AC],[AB
4) Thể tích hình hộp :

/ / / /
/
.
; .
ABCDABCD
V AB AD AA
 

 

 

5) Thể tích tứ diện : V
ABCD
=
1
6
[AB,AC].AD
  

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 13
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
1) ĐN: M(x;y;z)
kzjyixOM 

2) Các hệ quả:
     
2 2 2
( ; ; )

B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
   
      



Lưu ý:
- Trung điểm đoạn thẳng AB:
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
  

- Trọng tâm tam giác ABC:
( ; ; )
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
     

- Cho M(x;y;z), khi đó, toạ độ các điểm là hình chiếu của M trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz,
trên các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, 0xz lần lượt là: (x;0;0), (0;y;0), (0;0;z), (x;y;0), (0;y;z),
(x;0;z).

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
1) Vectơ pháp tuyến của mp :
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của () nếu giá của
n

vuông góc với
mp().
2) Cặp vectơ chỉ phương của mp(): Cho hai véctơ không cùng phương, có giá song song hoặc
nằm trong mp():

a

= (a
1
; a
2
; a
3
),

b

= (b
1

; b
2
; b
3
). Khi đó:
,
n a b
 

 
  
là một véctơ pháp tuyến
của mp(). Hai véctơ nêu trên được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp().
3) Phương trình mp(): Phương trình mp() qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C):
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
) = 0

4) Các trường hợp đặc biệt:
- Mp(): Ax+By+Cz = 0: Đi qua gốc toạ độ.
- Mp(): By+Cz+D = 0: Song song hoặc chứa Ox.
- Mp(): Ax+Cz+D = 0: Song song hoặc chứa Oy.
- Mp(): Ax+By+D = 0: Song song hoặc chứa Oz.
- Mp(): Cz+D = 0: Song song hoặc trùng Oxy.
- Mp(): By+D = 0: Song song hoặc trùng Oxz.
- Mp(): Ax+D = 0: Song song hoặc trùng Oyz.
Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
- Phương trình mặt phẳng theo đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là:
1
x y z
a b c
  
, với abc

0.
5) Vị trí tương đối của hai mp (): A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 và (β):A
2
x+B
2
y+C

2
z+D
2
=0
°
 
 
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) : : : :
caét A B C A B C

°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) // ( )
 
   
A B C D
A B C D

°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
 
    
A B C D
A B C D

°

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
 
    
A A B B C C

6) Khoảng cách từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến () : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C

  

 
d(M,( ))

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 14
7) Góc giữa hai mặt phẳng : Gọi  là góc hợp bởi hai mặt phẳng
( ),( )
 
, ta có:

1 2
1 2
.
cos .
.
n n
n n


 
 

1 2
,
n n
 
lần lượt là vtpt của
( ),( )
 
.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
2) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a


= (a
1
;a
2
;a
3
)
: (
R
 


  


 

o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t t )
z z a t

3)Phương trình chính tắc của đường thẳng d nói trên :
0
:
 
 

2 3
o o
1
z -z
x x y y
d
a a a
(a
1
a
2
a
3
≠ 0)
4)Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho hai đường thẳng d
1
qua M có vtcp
a

và đường
thẳng d
2
qua N có vtcp
b

. Khi đó:
- d
1
trùng d
2

khi chỉ khi
a

,
b

,
MN

cùng phương.
- d
1
song song d
2
khi chỉ khi
,
a b
 
cùng phương và
b

,
MN

không cùng phương.
- d
1
cắt d
2
khi chỉ khi

,
a b
 
không cùng phương và
a

,
b

,
MN

đồng phẳng.
- d
1
chéo d
2
khi chỉ khi
a

,
b

,
MN

không đồng phẳng.
5)Khoảng cách :
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng: Cho điểm A và đường thẳng d đi qua M, có
vtcp

v

. Khi đó:
,
( ; )
AM v
d A d
v
 
 

 


b) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Cho 2 đ thẳng chéo nhau d
1
qua M, có vtcp
a

và d
2
đi qua N có vtcp
b

. Khi đó:
1 2
,
d(d ; )
,
a b MN

d
a b
 
 

 
 
  
 

6)Góc :
a) Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi  là góc giữa d và d
’

/
/
.
.
d
d
d
d
a a
a a







cos

/
,
d
d
a a
 
lần lượt là các vtcp của d và d
’
.
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Gọi  là góc giữa d và ( )

.
.
a n
a n


 
 
sin

,
a n
 
lần lượt là vtcp và vtpt của d và ( ).

V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

1. Phương trình mặt cầu:
 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= R
2
. (1)
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 15
 Phương trình dạng: x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by+2cz+d = 0 với
   
2 2 2
a b c d 0
là phương trình
mặt cầu tâm I(-a ; -b ; -c) và bán kính
2 2 2
R
   
a b c d

2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho
     
2
R
     
2 2 2
(S): x a y b z c và ( )
: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi d là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(), khi đó:
 (S)  () =



d > R
 () tiếp xúc (S) tại H

d = R (H là tiếp điểm, () là tiếp diện)
 () cắt (S) theo đường tròn

d < R
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến:
+ Bán kính
2 2
r R
 
d
, d= d(I;())
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp() )
Chú ý: Các nội dung được in đậm là các nội dung giáo khoa chỉ dành cho học sinh học chương
trình nâng cao.

B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP:
BÀI TOÁN 1: Viết phương trình mặt phẳng.

Lưu ý 1: Thông thường viết phương trình mặt phẳng bằng hai cách sau:
Tìm một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vtpt:
n

(A;B;C) của mặt phẳng , khi đó phương trình
của mặt phẳng :
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
) = 0
Sử dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
  
, với abc


0.
Lưu ý 2: Có thể tìm được trực tiếp vtpt của mặt phẳng hoặc gián tiếp thông qua cặp vtcp
của mặt phẳng. Cũng có thể tìm một vtpt bằng cách tìm các thành phần toạ độ của nó dựa vào
các giả thiết định lượng của bài toán.
Các ví dụ và bài tập:

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết
A(1;-1;4), B(-3;5;-2).
Giải:
- Mặt phẳng trung trực () của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I(-1;2;1) của AB.
- Mặt phẳng () có một vtpt
AB

= (-4;6;-6) = -2(2;-3;3).
Phương trình của () : 2(x+1) -3(y-2) +3(z-1)=0. Hay: 2x-3y+3z+5 = 0.

Ví dụ 2: Cho A(1;2;3) và đường thẳng d:
1
1 1
2 1 2

 
 
y
x z
. Viết phương trình mặt
phẳng
( )


qua A và d.
Giải:
- Mặt phẳng () đi qua điểm B(1;-1;1) nằm trên d.
- M.phẳng () có cặp vtcp:
d
v

= (2; 1; 2) và
AB

= (0;-3;-2), một vtpt của () là [
d
v

,
AB

] =
(4;4;-6).
Phương trình của () : 4(x-1) +4(y+1) -6(z-1)=0. Hay: 2x+2y-3z+3 = 0.

Ví dụ 3: Cho A(1;2;3), đường thẳng d:
1
1 1
2 1 2

 
 
y
x z

và mặt phẳng (P):
2 1 0
x y z
   
. Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua A, song song d và vuông góc mặt
phẳng (P).
Giải:
- Mặt phẳng () đi qua điểm A(1;2;3).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 16
- M.phẳng () có cặp vtcp:
d
v

= (2; 1; 2) và
P
n

= (2;-1;1), một vtpt của () là [
d
v

,
P
n

] = (3;2;-

4).
Phương trình của () : 3(x-1) +2(y-2) -4(z-3)=0. Hay: 3x+2y-4z+5 = 0.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng
( )

song song cách đều 2 đường thẳng chéo nhau:
1
2 2
: 3

x t
d y
z t
 







và
2
2 1
:
1 1 2
x y z
d
 

 


Giải:
- Lấy M(2;3;0)

d
1
và N(2;1;0)

d
2
, khi đó, mặt phẳng () đi qua trung điểm I(2;2;0) của
đoạn MN.
- Mặt phẳng () có một vtpt là : [
1
d
v

;
2
d
v

] = (1;-3;-2).
Phương trình của () : (x-2) -3(y-2) -2z=0. Hay: x –3y -2z+4=0.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )


đi qua đường thẳng d:
1
1 1
2 1 2

 
 
y
x z
và
cách đều hai điểm A(1;2;3), B(-2;3;-3).
Giải: Nhận thấy d và AB là hai đường thẳng chéo nhau. Có đúng 2 mặt phẳng () thoả
yêu cầu bài toán:
Mặt phẳng () đi qua d và đi qua trung điểm I(-1/2;5/2;0) của AB. Phương trình ():
16x+2y-17z+3=0.
Mặt phẳng () đi qua d và song song với AB. Phương trình ():
8x-6y-5z-9=0.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua P(0;-2;0), song song đường thẳng d:
1 3
1 1 4
x y z
 
 
và cách d một khoảng bằng 4.
Giải: - d đi qua M(1;3;0) có vtcp :
d

v

= (1;1;4).
- Gọi
n

(A;B;C) là vtpt của
( )

, khi đó: A
2
+B
2
+C
2
>0 và phương trình mặt phẳng
( )

:
Ax+B(y+2)+Cz = 0.
-
( )

song song đường thẳng d nên
n

.
d
v


= 0 hay A+B+4C=0. (1)
- D(d;
( )

) = d(M;
( )

) = 4
2 2 2
5A B
A B C


 
= 4. (2) Từ (1) và (2) đi đến:
B
2
+10BC+16C
2
= 0. Nếu C=0 thì B=A=0 mâu thuẩn với A
2
+B
2
+C
2
>0 nên C≠0. Vì vậy,
phương trình trên tương đương:
2
2
10 16 0

8
B
B B
C
B
C C
C

 
 

   
 

 
 


- Từ đó có 2 mặt phẳng thoả YCBT: (
1
): 2x+2y-z+4=0 và (
2
): 4x-8y+z-16=0.

Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua M(1;0;0), N(0;0;1) và hợp với mặt phẳng () :
x+2y+2z-5=0 một góc  sao cho cos = 2/3.
Giải:

- Gọi
n

(A;B;C) là vtpt của
( )

, khi đó: A
2
+B
2
+C
2
>0 và phương trình mặt phẳng
( )

: A(x-
1)+By+Cz = 0.
- Mặt phẳng
( )

qua N(0;0;1) nên: -A+C=0. (1)
- Mặt phẳng
( )

hợp với mặt phẳng () một góc  sao cho cos = 2/3 nên:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 17
2 2 2
2
cos( ; ) 2 2 2

3
n n A B C A B C
 
      
 
. (2)
Từ (1) và (2), ta có: C=0 hoặc 12B+C=0. Đi đến kết luận: Có 2 mặt phẳng thoả YCBT: (
1
): y=0
và (
2
): 12x-y+12z-12=0.

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua G(2;1;1), cắt Ox, Oy,Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
Giải:
o Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Nếu a=0 thì mp(ABC)  mpOyz, Mặt phẳng này không
đi qua G, vì thế a0. Lí luận tương tự cũng có b0, c0. Phương trình mặt phẳng
( )

:
1
x y z
a b c
  
.
o Theo giả thiết, G là trọng tâm tam giác ABC nên:

2
3
6
1 3
3
3
1
3
a
a
b
b
c
c





 
  
 
 






Phương trình mặt phẳng

( )

: x+2y+2z-6=0.

Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua A(-4;-9;12), B(2;0;0) cắt Oy,Oz lần lượt
tại M,N sao cho : OM = 1 + ON.
Giải:
o Gọi M(0;m;0), N(0;0;n). Nếu m=0 thì mp(BMN)  mpOxz, Mặt phẳng này không đi qua
A, vì thế m0. Lí luận tương tự cũng có n0. Phương trình mặt phẳng
( )

:
1
2
x y z
m n
  
.
o Mặt phẳng
( )

qua A(-4;-9;12) cắt Oy,Oz lần lượt tại M,N sao cho: OM=1+ON nên:
4 9 12
1
2
m n
 

  
và: m  = 1 + n . Từ đó xác định được m=3 và n=2 hoặc m = -4-
13
và n = 3+
13
. Đi đến kết luận: Có 2 mặt phẳng
( )

thoả YCBT mà phương trình
lần lượt là:
1
2 3 2
x y z
  
và
1
2
4 13 3 13
x y z
  
 


Ví dụ10: Viết phương trình mặt phẳng
( )

qua A(10;2;-1), song song đường thẳng d:
1 1
2 1 3
x y z

 
  và cách d một khoảng lớn nhất.
Giải:
o Gọi
( )

là mặt phẳng bất kỳ qua A và song song đường thẳng d, gọi A
/
là hình chiếu của
A trên d, ta có A
/
(3;1;4). Gọi H là hình chiếu của A
/
trên
( )

, ta luôn có: A
/
H

AA
/

(không đổi) hay d(d;(P))

AA
/
.
o Khi
( )


thay đổi, khoảng cách này bằng AA
/
khi chỉ khi H trùng A. Khi đó
( )

là mặt
phẳng qua A vuông góc AA
/
.
Phương trình
( )

: 7(x-10) +(y-2) -5(z+1)=0. Hay: 7x+y-5z-77 = 0.

BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng.

Lưu ý: Thông thường viết phương trình đường thẳng bằng hai cách sau:
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 18
Tìm một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vtcp:
v


(a;b;c) của đường thẳng , khi đó phương
trình tham sồ của đường thẳng :
: (
b R
c
 


  


 

o
o
o
x x at
d y y t t )
z z t

Tìm hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua đường thẳng, khi đó đường thẳng sẽ là giao
tuyến của hai mặt phẳng đó.
Các ví dụ và bài tập:

Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng AB biết A(1;-1;4), B(-3;5;-2).
Giải:
- Đường thẳng AB đi qua A(1;-1;4).
- Đường thẳng AB có một vtcp
AB


= (-4;6;-6) = -2(2;-3;3).
Phương trình đường thẳng AB:
1 2
1 3 (
4 3
R
 


   


 

x t
y t t )
z t


Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng
( )

: 2x-y+z+5=0 và
( )

: 2x-z+3=0.
Giải:
Cách 1: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng, ta có:
- d đi qua điểm M(0;8;3) là điểm chung của hai mặt phẳng

( )

và
( )

.
- d có một vtcp là [
n


;
n


] = (1;4;2).
Phương trình của d :
8 4 (
3 2
R



  


 

x t
y t t )
z t

Cách 2: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng
( )

,
( )

.

M(x;y;x)

d ta có: 2x-y+z+5=0 và 2x-
z+3=0. Đặt x = t, từ hệ trên suy ra:
8 4
3 2



 


 

x t
y t
z t
Hệ này là phương trình tham số của d.
Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng qua A(0;1;-1), cắt và vuông góc đường
thẳng d:
1 4

 


 



x t
y t
z =-1-4t

Giải:
Cách 1: Nhận thấy A

d. Gọi d
/
là đường thẳng thoả YCBT, H là hình chiếu của A trên d, khi
đó:
- H(1+4t;-t;-1-4t),
. 0
d d
AH v AH v
  
   
đi đến t= -5/33 và H(13/33;5/33;-13/33).
- Đường thẳng d
/
là đường thẳng AH:
13
1 28




 



x t
y t
z =-1+20t

Cách 2: Nhận thấy A

d. Gọi d
/
là đường thẳng thoả YCBT,
( )

là là mặt phẳng qua A vuông
góc d, phương trình
( )

: 4x-y-4z-3=0. Gọi H là hình chiếu của A trên d, khi đó: H =
( )
d


,
H(13/33;5/33;-13/33).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán

Trang 19
Phương trình đường thẳng d
/
là phương trình đường thẳng AH:
13
1 28



 



x t
y t
z=-1+20t

Cách 3:
- Nhận thấy A

d. Gọi d
/
là đường thẳng thoả YCBT,
( )

là là mặt phẳng qua A vuông
góc d, phương trình
( )

: 4x-y-4z-3=0.

- Gọi
( )

là mặt phẳng qua A và d, phương trình
( )

: 4x+4y+3z-1=0.
Đường thẳng d
/
=
( ) ( )
 

; Phương trình đường thẳng d
/
:
13
1 28



 



x t
y t
z =-1+20t

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d

/
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d
  
  trên mặt phẳng
( )

: 3x+5y-z-2=0.
Giải:
Cách 1:
- Gọi
( )

là mặt phẳng qua d và vuông góc
( )

. Phương trình
( )

: 8x-7y-11z-22 = 0.
- d
/
=
( ) ( )
 


, phương trình đường thẳng d
/
:
62
25
 






x t
y t
z =-2-61t

Cách 1:
- Giao điểm của d và
( )

là M(0;0;-2).
- Hình chiếu vuông góc của N(12;9;1) trên
( )

là N
/
(186/35;-15/7;113/35).
phương trình đường thẳng d
/
là phương trình đường thẳng MN

/
:
62
25
 






x t
y t
z =-2-61t


Ví dụ 5: Lập phương trình đường thẳng d
/
qua A(-1;2;3), song song mặt phẳng
( )

:
x+y+z = 0 và cắt đường thẳng d:
1 3
1 2
 


  




x t
y t
z = 3-4t

Giải:
- Gọi B là giao điểm của d
/
và d, B(1+3t,-1+2t;3-4t).
. 0
AB n AB n
 
  
   
.
Suy ra t = 1 và B(4;1;-1)
- Phương trình đường thẳng d
/
là phương trình đường thẳng AB:
1 5
2
  


 



x t

y t
z = 3-4t


Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d
/
nằm trong mặt phẳng
( )

: x+y+z = 0, vuông
góc đường thẳng d:
1 1
1 2 2
x y z
 
 

tại điểm I là giao điểm của d và
( )

.
Giải:
- Giao điểm I của d và
( )

có toạ độ: (1;-1;0)
- Đường thẳng d
/
qua I có một vtcp: [
n



,
d
v

]= (4;-1;-3)
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 20
Phương trình đường thẳng d
/
:
1 4
1
 


  



x t
y t
z=-3t


Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d qua M(1;1;1) và cắt cả hai đường thẳng
d
1
:

4



  



x t
y t
z =3-t
, d
2
:
1 3 4
2 1 5
x y z
  
 
 

Giải:
Cách 1:
- Gọi A là giao điểm của d và d
1
, B là giao điểm của d và d
2
, khi đó: A(t;-4+t;3-t), ; B(1-2k,-
3+k;4-5k).
- Do

MA

=(t-1;t-5;2-t) cùng phương
MB

=(-2k;-4+k;3-5k) nên:[
MA

;
MB

] =
0

. Suy ra t=3/19,
k=8/25 và A(3/19;-73/19;54/19)
Phương trình đường thẳng d là Phương trình đường thẳng AM:
1 16
1 92
 


 



x t
y t
z =1-35t

Cách 2:
- Gọi
( )

là mặt phẳng qua M và d
1
,
( )

có vtpt
n


= (3;1;4).
- Gọi
( )

là mặt phẳng qua M và d
2
,
( )

có vtpt
n


= (17;-6;-8).
Rõ ràng d =
( ) ( )
 


, d qua M và có vtcp [
n


,
n


] = (16;92;-35). Phương trình
đường thẳng d :
1 16
1 92
 


 



x t
y t
z =1-35t

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau:
d
1
:
1
5

3
1
2
1





zyx
và d
2
:
2
1
2
2
3
1





zyx
. Viết phương trình đường vuông góc chung
d của d
1
và d
2

.
Giải:
Cách 1:
- Ta có : vtcp của d
1
là:
u
1
=(2; 3; 1), vtcp của d
2
là :
u
2
= (3; 2; 2) và vtcp của d là
u
= [
u
1
,
u
2
] = (4; -1; -5).
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d
1
, vtpt của (P) là n
P
=[u
1
,u ]=14(-1; 1; -1) và
phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0


-x +y –z +7 = 0
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và d
2
, vtpt của (Q) là
n
Q
=[
u
,
u
2
]=(8; -23; 11)
phương trình của (Q) là: 8(x-2) - 23(y+1) + 11(z+1) =0

8x - 23y +11z - 43 = 0
- Rõ ràng d =
( ) ( )
P Q

, phương trình tham số của d là :











tz
ty
tx
5
3
2
1
4
3
22

Cách 2:
- Gọi A là điểm thuộc d
1
, B là điểm thuộc d
2
, khi đó: A(1+2t;-1+3t;5+t),
B(1+3k,-2+2k;-1+2k).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 21
- AB là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
khi chỉ khi:
1
2
. 0
. 0

AB u
AB u








 
 

14 14 9 5/3
17 14 14 43/ 42
k t k
k t t
  
 

 
  
 
. Suy ra A
128 87 253
( ; ; )
42 42 42
, B
4 7
(6; ; )

3 3

- Phương trình đường thẳng AB:
6 4
4
3
7
5
3
x t
y t
z t


 


 



 




Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của d là đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng d
1
:

11
1
2
1





zyx
và d
2
:








tz
ty
tx
1
2
3
.
Giải:
- Nhận thấy d

1
cắt d
2
tại điểm I(3; 0; -1).
- Lấy A(1; -1; 0)

d
1
, B

d
2
sao cho IA = IB. Do B

d
2
nên toạ độ của
B(3-t; 2t; -1+t), IA = IB suy ra t = 1 hoặc t = -1 đi đến B(2; 2; 0) và B(4; -2; -2).
Với B(2; 2; 0), gọi K là trung điểm của AB, ta có K

= (
2
3
;
2
1
; 0) và đường phân giác
thứ nhất d đi qua I và K. Phương trình d:









tz
ty
tx
21
0
33

Với B(4; -2; -2), gọi K là trung điểm của AB, ta có K

= (
2
5
;
2
3

; -1)
và đường phân giác thứ hai d đi qua I và K. Phương trình d:
3
0 3
1
x t
y t
z

 


 


 


Ví dụ10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
3 2 1
2 1 1
x y z
  
 

và mặt phẳng
(P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng

nằm
trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới

bằng
42
.

Giải:
- Ta có toạ độ điểm M là (1;-3;0)
- VTPT của(P) là
(1;1;1)

P
n

, VTCP của d là
(2;1; 1)
d
u


.Vì

nằm trong (P) và vuông góc
với d nên VTCP
, (2; 3;1)
d P
u u n

 
  
 
  
.
- Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên

, khi đó
( 1; 3; )
MN x y z
  

. Do

MN

vuông góc với
u


, N

(P) và MN =
42
nên ta có hệ:
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
x y z
x y z
x y z

   

   


    

Giải hệ ta tìm được N(5; - 2; - 5) hoặc N(- 3; - 4; 5).
Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 22
- Với N(5; -2; -5), ta có phương trình

5 2 5
:
2 3 1
x y z
  
  


Với N(-3; -4; 5), ta có phương trình
3 4 5
:
2 3 1
x y z
  
  


Trên đây là một phần của chuyên đề: “Rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán hình học
giải tích không gian” với hy vọng phần nào đáp ứng nhu cầu ôn tập chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp
THPT và tuyển sinh vào các trường ĐH&CĐ của học sinh các trường trong cụm. Rất mong nhận
được các góp ý quý báu của các thầy, cô giáo.

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 23

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tổ Toán – Tin THPT Trần Đại Nghĩa
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I . CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1/ Đường tròn lượng giác:
j
cotang
tang
cos
sin
3
3
3
3
- 3
3
- 3
3
-1
-1

- 3
- 3
3
3
-1
-1
- 3
2
- 2
2
-1
2
0
1
2
2
2
1
3
2
1
-1
2
- 2
2
- 3
2
1
2
3

2
1
2
2
-

6
-

4
-

3
4

3
5

4
7

6
5
6
3

4
2
3


0
-

2

3

6

4

2


( )
rad



0
6


4


3


2




sin


0
1
2

2
2

3
2

1

cos


1
3
2

2
2

1
2

0

tan


0
3
3

1
3

//

cot


//
3

1
3
3

0

2/Các hệ thức cơ bản:
2 2
sin x cos x 1

 
;
tanx.cotx =1

sinx
tanx =
cosx
;
cosx
cotx =
sinx

2
2
1
tan x 1
cos x
  ;
2
2
1
cot x 1
sin x
 

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 24
3/Các lưu ý cần thiết:
sin(x+k xsin)



( nếu k nguyên chẳn)
sin(x+k xsin)



( nếu k nguyên lẽ)
cos(x+k xcos)


( nếu k nguyên chẳn)
cos(x+k xcos)



( nếu k nguyên lẽ)
tan(x+k xtan)


( k là số nguyên)
cot(x+k xcot)


( k là số nguyên)
4/Những công thức đặc biệt
sinx = 1


2
2

kx 
( k là số nguyên)
sinx = -1


2
2
kx 
(k :số nguyên)
sinx = 0

kx


( k là số nguyên)
cosx = 1

2kx


( k là số nguyên)
cosx = -1


2kx



( k là số nguyên)
cosx = 0



kx 
2
( k là số nguyên)
5/Công thức liên hệ giữa các cung:
*Hai cung đối nhau:
cos(-x) =cosx
(cos đối)
sin(-x) =-sinx

tan(-x) =-tanx

cot(-x) =-cotx

+Nhớ :
cos(a-b)=cos(b-a)
sin(a-b)=-sin(b-a)
tan(a-b)=-tan(b-a)
cot(a-b)=-cot(b-a)



















*Hai cung phụ nhau:
Sin( xx cos)
2


;cos( x
2

)=sinx ;tan( xx cot)
2


;cot( xx tan)
2



+Nhớ : a+b=
2

thì sina=cosb và cosa=sinb

*Nhớ kỹ
sin(
xx cos)
2


cos(
xx sin)
2



tan( xx cot)
2


cot( xx tan)
2



6/Công thức biến đổi cơ bản:
*công thức cộng
cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb

cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb

tana+tanb
tan(a b)
1-tana.tanb
 
tana-tanb
tan(a b)
1+tana.tanb
 
*công thức nhân đôi:
sin2a 2sin a.cosa


2 2
cos2a cos a sin a
 
2 2
2cos a 1 1 2sin a
   

2
2 tana
tan2a
1-tan a
 ;
2
1-tan a
cot2a
2 tana


Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán
Trang 25
*công thức nhân ba:
3
sin 3a 3sin a 4 sin a
 

3
cos3a 4cos a 3cosa
 

*công thức hạ bậc:
2
1 cos2a
cos a
2

 ;
2
1 cos2a
sin a
2

 ;
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a




;
2
1 cos2a
cot a
1 cos2a




*công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb = 2sin (
2
ba

)cos(
2
ba

)
cosa + cosb = 2cos(
2
ba

)cos(
2
ba

)

cosa - cosb = -2sin(
2
ba

)sin(
2
ba

)

sin(a+b)
tana+tanb=
cosa.cosb
sin(a-b)
tana-tanb=
cosa.cosb

*công thức biến đổi tích thành tổng
   
 
1
cosa.cosb= cos a-b cos a+b
2

   
 
1
sina.sinb= cos a-b cos a+b
2


   
 
1
sina.cosb= sin a-b sin a+b
2

*công thức thường gặp:
sinx + cosx = )
4
cos(2)
4
sin(2


 xx
sinx - cosx = )
4
cos(2)
4
sin(2


 xx

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG: Để giải bài toán này phương pháp thường gặp là thực
hiện một số phép biến đổi hợp lí (vì các công thức lượng giác rất đa dạng) để đưa bài toán về:
+ PTLG cơ bản.
+ PTLG thường gặp:
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, … đối với hslg.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinu, cosu.

3. PT thuần nhất bậc hai đối với sinu, cosu.
4. Phương trình đối xứng đối với sinu và cosu.
+ Phương trình tích các PTLG cơ bản, các PTLG thường gặp.
+ Hệ các PTLG: phần này ta thuờng sử dụng: “Đưa về tổng các bình phương, đánh giá hoặc dùng
bất đẳng thức …”. Các năm gần đây ít thấy ra dạng này nên tôi không giới thiệu trong chuyên đề
này.
Ngoài ra, ta còn sử dụng cách đặt ẩn số phụ hợp lí để đưa về phương trình theo ẩn phụ đó và giải
tìm nghiệm.


1/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
1/ sinx=sin

.2
( ) .2
x k
x k
 
  
 



  

( sin bù)
( Lưu ý: pt sinx=m có nghiệm khi:
1 1
m
  

)