GIẢI 10 BÀI CHỨNG MINH BĐT- PHẦN 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (65.51 KB, 5 trang )

TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
1. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ca)
Hướng dẫn :
Ta có (a-b)
2
≥ 0 ⇔ a
2
-2ab+b
2
≥ 0 ⇔ a
2
+b
2
≥ 2ab (1 )
Tương tự, ta cũng chứng minh được: b
2
+c
2
≥ 2bc ( 2 ) ; c
2
+a
2

≥ 2ac (3)
Cộng các bất đẳng thức (1) ,(2) và (3) vế theo vế , ta có :
2(a
2
+b
2
+c
2
) ≥ 2ab+2bc+2ac
⇔ a
2
+b
2
+c
2
≥ ab+bc+ca ( * )
Mặt khác, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có :






+<
+<
+<
bac
acb
cba
⇔






+<
+<
+<
bccac
babcb
caaba
2
2
2
Do đó : a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ca) (**)
Từ (*) và (**) ⇒ ab+bc+ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ca)

2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác .
Chứng minh :
a) (p-a)(p-b)(p-c)
8
1
≤
abc
b)






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
.2
111
Hướng dẫn:
a) p dụng tính chất : (x-y)
2
≥ 0 ⇔ 4xy
≤
(x+y)
2

⇔ xy
2
2






+
≤
yx
Ta có: (p-a)(p-b)
( ) ( )
42
2
2
cbpap
=






−+−
≤
Tương tư,ï ta có: (p-b)(p-c)
4
2

a
≤
; (p-c)(p-a)
4
2
b
≤
⇒ [(p-a)(p-b)(p-c)]
2
2
8






≤
abc
⇒ (p-a)(p-b)(p-c)
abc
8
1
≤
b)Theo kết quả chứng minh câu a) ta có :
(p-a)(p-b)
4
2
c
≤

⇒
( )( )
cbpap
c 4
≥
−−
Mà
( )
( )( ) ( )( )
bpap
c
bpap
bap
bpap −−
=
−−
+−
=
−
+
−
211
Do đó:
cbpap
411
≥
−
+
−
(1)

Tương tự:
acpbp
411
≥
−
+
−
(2)

BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN

bapcp
411
≥
−
+
−
(3)
Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được:







++≥









−
+
−
+
− cbacpbpap
111
4
111
2
hay






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2

111
3. Cho a, b, c thoả mãn a > c, b > c > 0. Chứng minh rằng:

( ) ( )
abcbccac ≤−+−
Hướng dẫn :

( ) ( )
abcbccac ≤−+−
⇔
( )( ) ( )( )
02
2
≥−−−−−+ cbcaccbcac
⇔
( )( )
[ ]
0
2
≥−−− cbcac
luôn đúng với a > c, b > c > 0.
4. Chứng minh bất đẳng thức:
3
33
22







+
≥
+ baba
trong đó a > 0, b >0.
Hướng dẫn:
Với a > 0, b > 0 ⇒ a+b > 0
Ta có :
3
33
22






+
≥
+ baba
⇔
( )
2
22
222







+






+
≥+−






+ baba
baba
ba

⇔
2
22
2







+
≥+−
ba
baba

⇔ 4a
2
-4ab+4b
2
≥ a
2
+2ab+b
2
⇔ 3a
2
-6ab+3b
2
≥ 0 ⇔ 3(a
2
-2ab+b
2
)≥ 0 ⇔ 3(a-b)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra :
3
33
22







+
≥
+ baba
5. Cho 3 số thực a,b,c sao cho a
2
+b
2
+c
2
=1. Chứng minh rằng:

1
2
1
≤++≤− cabcab
Hướng dẫn :
Ta có : (a+b+c)
2
≥ 0
⇔ 2(ab+bc+ca) ≥ -( a
2
+b
2
+c
2
)=-1

⇔ ab+bc+ca≥
2
1
−
(1)
Mặt khác ta có: (a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≥ 0

BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
⇔ a
2
+b
2
+c
2
≥ ab+bc+ca
⇒ ab+bc+ca
≤
1 (2)
Từ (1) và (2) ⇒
1
2
1
≤++≤− cabcab

6. Cho a,b,c dương . Chứng minh rằng :

ba
c
ac
b
cb
a
c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
222
111
Hướng dẫn:
Ta có (1-a)
2

≥ 0 ⇔ 1+a
2
≥2a ⇔
2
1
1
2
≤
+ a
a
Tương tự, ta có
2
1
1
2
≤
+ b
b
;
2
1
1
2
≤
+ c
c
⇒
2
3
111

222
≤
+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
(1)
Mặt khác ta có thể viết :

3111 −






+
+
+







+
+
+






+
+
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a

( )
3
111
−






+
+
+
+
+
++=
baaccb
cba
( ) ( ) ( )
[ ]
2
3
3
2
9
3
111
2
1
=−≥−







+
+
+
+
+
+++++=
baaccb
baaccb
(2)
Từ (1) va ø(2) ⇒
ba
c
ac
b
cb
a
c
c
b
b
a
a
+
+

+
+
+
≤
+
+
+
+
+
222
111
7. Chứng minh rằng :
10
100
1

3
1
2
1
1
1
>++++
Hướng dẫn:
10
1
1
1
>
;

10
1
2
1
>
;
10
1
3
1
>
; … ;
10
1
100
1
=
Vậy
10
10
1
.100
100
1

3
1
2
1
1

1
=>++++
8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có:
a.
n
n
>++++
1

3
1
2
1
1

b.
( )
112
1

3
1
2
1
1 −+>++++ n
n
Hướng dẫn:
a.
nn
nn

=>++++ .
11

3
1
2
1
1
b. Ta có:

BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN

( )
( )( )
( )
kk
kkkk
kk
kkkk
−+=
−+++
−+
=
++
>= 12
11
12
1
2

2
21
Cho k lần lượt bằng 1,2,3,…,n ta được:
1>
( )
122 −
( )
232
2
1
−>
( )
342
3
1
−>
………………………
( )
nn −+> 12
2
1
Cộng theo trong vế n bất đẳng thức trên , ta có:

( )
112
1

3
1
2

1
1 −+>++++ n
n
9. a. Chứng minh rằng:
12
1
1
+
>−+
n
nn
(với mọi n∈N)
b. Suy ra
19942
1994
1

3
1
2
1
1 <++++

Hướng dẫn:
a. Ta có:
( )
( )( )
nnnn
nn
nnnnn −+++

−+
=
++
<
+++
=
+ 11
1
1
1
11
1
12
1
Vậy
nn
n
−+<
+
1
12
1
(với mọi n∈N)
b. Từ BĐT
nn
n
−+<
+
1
12

1
( với mọi n∈N)
⇒
( )
nn
n
−+<
+
12
1
1
Ta có 1<2

( )
122
2
1
−<

( )
232
3
1
−<
………………………
( )
199319942
2
1
−<

BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
Cộng theo trong vế n bất đẳng thức trên , ta có:

19942
1

3
1
2
1
1 >++++
n
10. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

( )
2
1
1

23
1
2
1
<
+
+++
nn
Hướng dẫn: