PHƯƠNG PHÁP TỌC ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG pot

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết:
a,
( ) ( )
− =
r
M 1; 1 ; n 2;1
b,
( ) ( )
= −
r
M 0;4 ; n 1;3
c,
( ) ( )
M 2; 3 , n 2;1− − = −
r
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp
u
r
biết:
a,
( ) ( )
M 1; 2 ; u 1;0− =
r
b,
( ) ( )
M 5;3 ; u 3;1= −
r

c,
( ) ( )
M 3; 7 , u 3;2− − =
r
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau:
a,
( ) ( )
A 1;1 , B 2;1−
b,
( ) ( )
A 4;2 , B 1; 2− −
c,
( ) ( )
A 5;0 , B 1;1−
Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a,
( ) ( )
A 1;1 , B 3;1−
b,
( ) ( )
A 3;4 , B 1; 6−
c,
( ) ( )
−A 4;1 , B 1;4
d,
( )
 
−
 ÷
 

1
A ;1 ; B 2; 1
2
e,
   
−
 ÷  ÷
   
2 1 1 3
A ; ; B ;
3 2 3 2
f,
   
−
 ÷  ÷
   
12 3 5
A ;1 ; B ;
3 2 2
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc
=
2
k
3
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 45
0
.
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 60

0
.
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:
a, 2x – 3y = 0; b, x + 2y – 1 = 0 c, 5x – 2y + 3 = 0
d, 2x – 3 = 0 e, - 3y + 1 = 0 f, - 3x – 4y + 5 = 0
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:
a,
=


= +

x 2
y 3 t
b,
= −


= +

x 2 t
y 4 t
c,
= +


= −

x 2 3t
y 1

d,
= −


= +

x 2t 1
y 5 6t
e,
= −


= −

x 3 4t
y 5t 1
f,
= −


= −

x 7 3t
y 8 4t
Bài 8: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau:
a, 2x – 3y + 4 = 0 b, x + 3 = 0 c, 2y – 4 = 0
d, 4x + 3y – 1 = 0 e,
x 2 t
y 5 3t
= −



= +

f,
x 4 2t
y 5t 1
= +


= −

Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết:
a,
( ) ( )
A 1; 3 , B 2;2−
b,
( ) ( )
A 5; 1 , B 2; 4− − −
c,
( )
1
A ;2 , B 1; 1
2
 
−
 ÷
 
Bài 10: Trong các điểm A
1

(2;1),
( )
2
A 1;2−
,
( )
3
A 1;3
,
( )
4
A 1; 1−
,
5
1
A ;2
2
 
 ÷
 
,
6
7 1
A ;
3 3
 
 ÷
 
,
( )

7
A 3;1
, điểm
nào nằm trên đường thẳng
( )
x 2 t
d :
y 1 2t
= −


= +

Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b, Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC
c, Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
d, Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC
e, Lập phương trình các đường trung bình của tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB
b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam
giác ABC
Bài 13 (ĐHQG – 1995): Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung
điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
1
II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Bài 1: Lập PTTQ đường thẳng
( )
∆

đi qua A và song song đường thẳng (d) biết
a,
( ) ( )
A 1;3 , d : x y 1 0− + =
b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0 c, A(3;2), (d): Trục Ox
d,
( ) ( )
x 1 t
A 1;1 , d :
y 2 2t
= −

−

= − +

e,
( ) ( )
x 3 2t
A 3;2 , d :
y 4
= +


=

f,
( )
x 1 2t
A(0;1), d :

y 7 3t
= − +


= +

Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng
( )
∆
đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) biết:
a,
( ) ( )
A 3; 3 , d :2x 5y 1 0− − + =
b,
( ) ( )
A 1; 3 , d : x 2y 1 0− − − + − =
c,
( ) ( )
A 4;2 , d Oy≡
d,
( ) ( )
x 1 t
A 1; 6 , d :
y 2 2t
= +

−

= +


e,
( )
x 4 2t
A 4; 4 ,
y 1 5t
= +

−

= −

g,
( )
x 2t 1
A 2;3 ,
y 5 t
= −

−

= −

Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d
1
) và (d
2
) có phương trình
là
( ) ( )
1 2

d : x y 2 0; d :9x 3y 4 0+ − = − + =
Bài 4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đường cao (d
1
) và (d
2
) có phương trình
là
( ) ( )
1 2
d : x y 1 0; d :3x y 7 0+ − = − − =
Bài 5: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là (d
1
): x + 2y – 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3
Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các đường cao qua đỉnh A và C lần
lượt lá (d
1
): 5x + y – 6 = 0 và (d
2
): x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình cạnh AB, BC và đường cao thứ 3
Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh có phương trình lần lượt là:
( ) ( )
1 2
d :5x 4y 1 0; d :8x y 7 0+ − = + − =
Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh có phương trình lần lượt là:
( ) ( )

1 2
d :2x 7y 23 0; d :7x 4y 5 0− + = + − =
Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đường trung tuyến (d
1
) và (d
2
) có
phương trình là:
( ) ( )
1 2
d :2x y 1 0; d :x 1 0− − = − =
Bài 10: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d
1
) và (d
2
) có
phương trình là:
( ) ( )
1 2
d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 0− − = − − =
Bài 11: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là:
( ) ( )
1 2
d :x y 2 0; d : x 2y 5 0+ − = + − =
và trực tâm H(2;3).
Lập phương trình cạnh thứ 3
Bài 12: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là:
( ) ( )
1 2
d :3x y 24 0; d : 3x 4y 96 0− + = + − =

và trực tâm
32
H 0;
3
 
 ÷
 
. Lập phương trình cạnh thứ 3
Bài 13: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), phương trình đường cao hạ từ A và trung
tuyến từ C lần lượt là:
( ) ( )
1 2
d : 3x 2y 3 0; d :7x y 2 0− + = + − =
Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0
Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm
4 2
G ;
3 3
 
 ÷
 
và
phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0
Bài 16: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đường cao kẻ từ
A và B lần lượt là:
( ) ( )
1 2
d : 2x 5y 29 0; d : 10x 3y 5 0− + = − + =
III, HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d) và xác định toạ độ điểm M
1
đối xứng
với M qua (d)
a,
M( 6;4);(d) : 4x 5y 3 0− − + =
b,
M(1;4);(d) : 3x 4y 4 0+ − =
c,
x 1 2t
M(3;5);(d)
y 3 4t
= −


= +

Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC
a, A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b, A(-2;1); B(2;-3); C(5;0).
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng (d
1
) đối xứng với đt(d) qua điểm I
2
a,
I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − =
b,
I(1;1);(d) : 3x 2y 1 0− + =
c,
x 2 t
I( 1;3);(d) :

y 1 2t
= −

−

= − −

d,
x 3 t
I(0;2);(d) :
y 5 4t
= − +


= −

Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d
1
) đối xứng với đường thẳng (d) qua đt(
∆
) biết:
a,
(d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + =
b,
(d) : 2x 3y 5 0;( ) : 5x y 4 0+ + = ∆ − + =

c,
x 1 y 3
(d) : 5x y 6 0;( ) :
2 3

+ −
+ − = ∆ =
−
d,
x 1 2t
(d) : 2x y 3 0;( ) :
y 3 t
= − +

− + + = ∆

= +

Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phương trình 2 đường phân giác trong xuất
phát từ B và C lần lượt là
B c
(d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0− = + − =
Bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) và phương trình phân giác trong
xuất phát từ C là
(d) : x y 3 0− + =
Bài 7: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC:
084 =−+ yx
và phương trình 2 đường phân giác
trong xuất phát từ B và C lần lượt là:
B C
(d ) : y 0;(d ) : 5x 3y 6 0= + − =
Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ A lần
lượt là
1 2
(d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − =

IV, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a,
1 2
x 1 t x 2 u
(d ) : ;(d ) :
y 2 t y 5 u
= − = −
 
 
= + = +
 
b,
1 2
x 1 t x 3 2u
(d ) : ;(d ) :
y 3 t y 2 u
= + = −
 
 
= − = +
 
c,
1 2
x 2 3t
(d ) : ;(d ) : 2x 3y 1 0
y 1 t
= − +

− + =


= +

d,
1 2
(d ) : 3x 2y 1 0;(d ) : x 3y 4 0+ − = + − =
Bài 2: Cho
0
22
≠+ba
và 2 đt (d
1
) và (d
2
) có phương trình:
2 2
1 2
(d ) : (a b)x y 1;(d ) : (a b )x ay b− + = − + =
a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d
1
) và (d
2
) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành
Bài 3: Cho 2 đường thẳng
2 2
1 2
(d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k 0− + = − + − − =
a, CMR: đường thẳng (d
1

) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k
b, CMR: (d
1
) luôn cắt (d
2
). Xác định toạ độ của chúng
V, GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Tìm góc giữa 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2
) trong các trường hợp sau:
a,
1 2
(d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2
(d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 0− − = + − =
c,
1 2
x 1 3t
(d ) : ;(d ) : 3x 2y 2 0
y 2 t
= −

+ − =

= +

d,

1 2
(d ) : x my 1 0;(d ) : x y 2m 1 0+ − = − + − =
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
a,
M(1; 1);(d) : x y 5 0− + − =
b,
M( 3;2);(d) : 3x 4y 1 0− + − =
c,
( )
M 3;2
; (d): Trục Ox
d,
M( 3;2);(d) : 2x 3− =
e,
x 2 2t
M(5; 2);(d) :
y 5 t
= − +

−

= −

f,
x 2
M(3;2);(d) :
y 1 t
=



= +

Bài 3: Cho 2 đường thẳng
0364:)(;0132:)(
21
=−+−=+− yxdyxd
a, CMR (d
1
) // (d
2
) b, Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và tạo với (
∆
) một góc
ϕ
biết:
a,
0
M( 1;2);( ) : x 2y 3 0; 45− ∆ − + = ϕ =
b,
0
x 1 3t
M(2;0);( ) : ; 45
y 1 t
= −


∆ ϕ =

= − +

c,
0
M( 2; 1);( ) : 3x 2y 1 0; 30− − ∆ + − = ϕ =
d,
0
M(4;1);( ) Oy; 30∆ ≡ ϕ =
Bài 5: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
) biết:
a,
1 2
(d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2
x 1 5t
(d ) : 4x 3y 4 0;(d ) :
y 3 12t
= −

+ − =

= − +

c,

1 2
(d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : 5x 3y 2 0+ − = − + =
d,
1 2
(d ) : 3x 4y 5 0;(d ) Ox− + = ≡
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:
3
a,
M(2;5);N(4;1);r 2=
b,
M(3; 3);N(1;1);r 2− =
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7)
Bài 8: Cho 2 đường thẳng
1 2
(d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 0− + = + − =
Tìm M nằm trên Ox cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 9 (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng (d
1
); (d
2
); (d
3
) có phương trình:

02:)(;04:)(;03:)(
321

=−=−−=++ yxdyxdyxd

Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d
3
) sao cho khoảng cách từ M đến (d
1
) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d
2
).
Bài 10: Cho 3 đường thẳng
0234:)(;015:)(;
1
21
:)(
321
=+−=−+



+=
−=
yxdyxd
ty
tx
d
. Tìm M nằm trên (d
1
)
cách đều (d
2

) và (d
3
)
Bài 11: Cho 2 điểm A(2;1); B(-3;2) và đường thẳng (d):4x+3y+5=0. Tìm điểm M cách đều A; B đồng thời
khoảng cách từ M đến (d) bằng 2.
Bài 12 (ĐH Huế – 96): Cho 2 đường thẳng
1 2
(d ) : 2x y 1 0;(d ) : x 2y 7 0− + = + − =
. Lập phương trình đường
thẳng (d) qua gốc toạ độ sao cho (d) tạo với (d
1
) và (d
2
) tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
Bài 13: Cho 2 điểm A(0;5); B(4;1) và đường thẳng
(d) : x 4y 7 0− + =
. Tìm trên (d) điểm C sao cho tam giác
ABC cân tại C
Bài 14: Cho điểm A(3;1). Xác định 2 điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư
thứ nhất. Lập phương trình 2 đường chéo của hình vuông đó.
Bài 15: Cho 3 điểm A(1;-1); B(-2;1) và C(3;5).
a, CMR: A, B, C là 3 đỉnh của tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.
b, Tìm điểm M nằm trên Ox sao cho
0
60
ˆ

=BMA

Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4; 2 đỉnh A(1;-2), B(2;-3) và trọng tâm của tam giác ABC nằm
trên đường thẳng
(d) : x y 2 0− − =
. Tìm toạ độ điểm C.
Bài 17 (ĐH – 2002A): Cho tam giác ABC vuông tại A ; biết phương trình cạnh BC là:
033 =−− yx
;
điểm A, B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC bằng 2.
VI, CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm trên (d) điểm M(x
M
;y
M
) sao cho
22
MM
yx +
nhỏ nhất biết:
a,
(d) : x y 4 0+ − =
b,
0532:)( =−− yxd
c,



−−=

−=
ty
tx
d
32
1
)(
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(3;1) và cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm phân biệt A(a;0),
B(0;b) với a>0; b>0 sao cho:
a, Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. b, OA + OB nhỏ nhất. c,
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1).
Bài 4: Tìm trên trục tung điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỉ nhất biết:
a, A(-2;1), B(1;1) b, A(1;3), B(3;-3) c, A(-3;-1), B(2;3)
Bài 5: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a,
(d) : x y 0;A(3;2),B(5;1)− =
c,
(d) : x y 2 0;A(2;1), B(1;5)− + =
b,
(d) : x y 0;A( 1;3),B( 2;1)+ = − −
Bài 6: Cho đường thẳng
(d) : x 2y 2 0− − =
và 2 điểm A(1;2), B(2;5). Tìm trên (d) điểm M sao cho:
a, MA + MB nhỏ nhất b,

MA MB+
uuuur uuuur
nhỏ nhất
c,
MA MB−
nhỏ nhất d,
MA MB−
lớn nhất
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a,
2 2
y x 4x 8 x 2x 2= + + + − +
b,
2 2
y x 2x 2 x 6x 10= + + + − +
c,
2 2
y x x 1 x x 1= + + + − +
d,
2 2
y x x 2 x 3x 3= − + + + +
4