PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 1
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.



. PHNG TRèNH NG THNG
A. KIN THC C BN
Vộct phỏp tuyn (VTPT) ca mt ng thng l vect khỏc
0

v cú giỏ
vuụng gúc vi ng thng.
Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTPT
( , )
n a b

l:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y

2 2
0 0
( ) ( ) 0 a 0, 0
a x x b y y x by c a b

.
Phng trỡnh ng thng theo on chn: i qua hai im
( ;0)
A a
,
(0; )
B b
(
, 0
a b

) l
1
x y
a b

.
Phng trỡnh ng thng theo h s gúc: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú h s
gúc
tan( , )
k Ox Ot

l
0 0
( )
y y k x x y kx m

.
V trớ tng i ca hai ng thng:
1 1 1 1
: 0
a x b y c

v
2 2 2 2
: 0
a x b y c

.
Nu
2 2 2
, , 0
a b c

thỡ:

1

ct
2


1 1
2 2
a b
a b

.

1 1 1
1 2
2 2 2
a b c
a b c


.

1 1 1
1 2
2 2 2
a b c
a b c

.
Vect ch phng (VTCP) ca ng thng l vect khỏc
0

v cú giỏ song
song hoc trựng vi ng thng.
Phng trỡnh tham s ca ng thng: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTCP
( ; )

u a b

l:
0
2 2
0
( 0)
x x at
a b
y y bt






.
Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng: i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTCP
( ; )
u a b

l:
0 0
,( , 0)
x x y y
a b

a b


.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 2
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

B. PHN DNG TON

Dng

: Lp phng trỡnh ng thng
a. Dng phng trỡnh tng quỏt:


. Cỏch 1
Tỡm mt im
0 0
( , )
I x y
thuc ng thng.
Tỡm mt VTPT
( , )
n a b

ca ng thng.
Khi ú, phng trỡnh tng quỏt ca ng thng i qua im
0 0

( , )
I x y
v cú
VTPT
( , )
n a b

l:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y

2 2
0 0
( ) ( ) 0 a 0, 0
a x x b y y x by c a b

.

. Cỏch 2:


Tỡm mt VTPT
( , )
n a b

ca ng thng.


Gi s ng thng ó cho cú dng

2 2
0,(a 0)
ax by c b

.


ng thng i qua im I nờn th vo phng trỡnh trờn tỡm c c.
c bit, gi s ng thng d cú phng trỡnh
: 0
d ax by c

.
Khi ú,
Nu
'
d d

thỡ
'
d
cú phng trỡnh:
': ' 0, '
d ax by c c c

.
Nu
''
d d

thỡ
''
d
cú phng trỡnh:
'': '' 0
d bx ay c

.
b. Dngphng trỡnh tham s, chớnh tc:


Tỡm mt im
0 0
( , )
I x y
thuc ng thng.


Tỡm mt VTCP
( ; )
u a b

ca ng thng.


Khi ú, phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú

VTCP
( ; )
u a b

l:
0
2 2
0
( 0)
x x at
a b
y y bt






.


Nu
, 0
a b

thỡ phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im
0 0
( , )
I x y
v cú VTCP

( ; )
u a b

l:
0 0
x x y y
a b


.
c bit,
d i qua hai im
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
thỡ cú VTCP
( ; )
B A B A
u AB x x y y


.
Gi s ng thng d cú phng trỡnh
: 0
d ax by c

.
Khi ú,
'
d d

thỡ
'
d
cú VTCP
' ( , )
u a b


.

''
d d

thỡ
''
d
cú VTCP
''( , )
u b a


hoc
''( , )
u b a


.
d cú h s gúc k thỡ d cú VTCP
(1; )

u k

.

. Chỳ ý:
ng thng ct 2 trc ta thỡ chn dng phng trỡnh on chn.
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 3
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
Nu ng thng d cú VTPT
( , )
n a b

thỡ ng thng d cú VTCP
( , )
u b a


hoc
( , )
u b a


.
Ngc li, nu ng thng d cú VTCP
( , )
u a b

thỡ ng thng d cú VTPT
( , )

n b a


hoc
( , )
n b a


.
Cú vụ s VTCP (VTPT) v chỳng cựng phng vi nhau nờn ta cú th chn
ta t l v tha iu kin vect khỏc
0

.

1. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng bit d:
a. i qua
(1;2)
M
v cú VTPT
( 2;1)
n

.
b. i qua
(2; 3)
M

v cú VTCP
(4;6)

u

.
c. i qua
(2;0)
A
v
(0; 3)
B

.
d. i qua
( 5; 8)
M

v cú h s gúc
3
k

.
2. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d:
a. i qua
( 1; 4)
M

v song song vi ng thng
': 3 5 2 0
d x y

.

b. i qua
(1;1)
N
v vuụng gúc vi ng thng
2 3 7 0
x y

.
3. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d:
a. i qua hai im
(2;1)
A
v
( 4;5)
B

.
b.
3 5
2
x t
y t





c.
5 1
2 7

x y



.
4. Lp phng trỡnh tham s, chớnh tc (nu cú) ca ng thng d:
a. i qua im
(2;1)
M
v cú VTCP
(3; 2)
u


.
b. i qua im
(1; 2)
M

v cú VTPT
( 5;3)
n

.
c. i qua im
(3;2)
M
v cú h s gúc
2
k

.
d. i qua im
(3; 4)
A
v
(4;2)
B
.
5. Vit phng trỡnh tham s, chớnh tc (nu cú) ca ng thng:
a.
: 2 3 6 0
d x y

. b.
: 4 5
d y x

.
c.
: 3
d x

d.
2 1
:
5 3
x y
d

.
6. Cho hai im
(4;0)
P
v
(0; 2)
Q

. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng
thng:
a. i qua im
(3; 2)
R
v song song vi ng thng PQ.
b. Trung trc ca PQ.
7. Cho im
( 5;2)
A

v ng thng
2 3
:
1 2
x y
d

.
Vit phng trỡnh ng thng d:
a. Qua A v song song vi d.
b. Qua A v vuụng gúc vi d.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 4
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

8. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca
ABC

bit
( 1;1)
M

,
(1;9)
N
,
(9;1)
P
ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AC, BC.
9. Mt ng thng d i qua im
(5; 3)
M

ct trc Ox, Oy ln lt ti A v B
sao cho M l trung im ca AB. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng
d.

10. Vit phng trỡnh ng thng d i qua
(2;5)
M
v cỏch u hai im
( 1;2)
P

v
(5;4)
Q
. (HD: Xột 2TH d song song v khụng song song vi ng
thng PQ)
11. Cho ng thng
1
: 2 2 0
d x y

;
2
: 2 0
d x y

v im
(3;0)
M
. Vit
phng trỡnh ng thng

i qua M, ct
1 2

,
d d
ln lt ti im A v B sao
cho M l trung im ca AB.
12. Lp phng trỡnh ng thng

i qua
(2;3)
Q
v ct tia Ox, Oy ti hai
im M, N khỏc O sao cho
OM ON

nh nht.


Dng

: V trớ tng i, tng giao ca hai ng thng:
xột v trớ tng i ca hai ng thng
1 1 1 1
: 0
a x b y c

v
2 2 2 2
: 0
a x b y c

ta xột s nghim ca h phng trỡnh:

1 1 1
2 2 2
0
(I)
0
a x b y c
a x b y c





.
Nu h (I) cú mt nghim thỡ
1

ct
2

.
Nu h (I) vụ nghim thỡ
1 2


.
Nu h (I) cú vụ s nghim thỡ
1 2

.
c bit, Nu

2 2 2
0
a b c

thỡ:

1

ct
2


1 1
2 2
a b
a b

.

1 1 1
1 2
2 2 2
a b c
a b c


.

1 1 1
1 2

2 2 2
a b c
a b c

.
tỡm giao im ca 2 ng thng
1

,
2

ta gii h phng trỡnh (I).
Hai ng thng
1 2
1 2
1 2
. 0
. 0
n n
u u









.

Ba ng thng
1 2 3
, ,
d d d
ng quy khi v ch khi giao im A ca
1 2
,
d d

thuc ng thng
3
d
.


Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 5
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
13. Xột v trớ tng i v tỡm giao im nu cú ca 2 ng thng:
a.
: 2 5 3 0
d x y

v
': 5 2 3 0
d x y

.
b.
: 3 4 0

d x y

v
1 3
' : 4 0
2 2
d x y

.
c.
:10 2 3 0
d x y

v
3
': 5 0
2
d x y

.
14. Xột v trớ tng i v tỡm giao im nu cú ca 2 ng thng:
a.
1 5
:
2 4
x t
d
y t

v
6 5 '
':
2 4 '
x t
d
y t





.
b.
1 4
:
2 2
x t
d
y t





v
': 2 4 10 0

d x y

.
c.
2
:
2 2
x t
d
y t





v
3
':
1 2
x y
d



.
15. Bin lun theo tham s m v trớ tng i ca hai ng thng:
: 2 0
d mx y

v

' : 1 0
d x my m

.
16. Vi giỏ tr no ca tham s m thỡ hai ng thng sau õy vuụng gúc:
1
: 8 0
mx y

v
2
: 0
x y m

.
17. Tỡm m ba ng thng sau õy ng quy:
1
: 2 4 0
d x y

;
2
: 5 2 3 0
d x y

v
3
: 3 2 0
d mx y

.
18. Cho ng thng
2 3
:
x t
d
y t





v
(2;1)
B
.
a. Tỡm giao im ca d vi hai trc Ox, Oy.
b. Tỡm trờn d im M sao cho on BM ngn nht.
19. Cho hai ng thng
1
3 2
:
4
x t
d
y t

v
2
'
:
10 '
x t
d
y t





.
a. Vit phng trỡnh tng quỏt ca
1 2
,
d d
.
b. Tỡm giao im ca
1 2
,
d d
.
20. Cho ng thng
2 2
:
3
x t

d
y t





.
a. Tỡm im M trờn d v cỏch im
(0;1)
A
mt khong bng 5.
b. Tỡm ta giao im ca d vi ng thng
1 0
x y

.
21. Cho hai ng thng:
1
: ( 1) 2 1 0
m x y m

v
2
2
: ( 1) 0
x m y m

.
a. Tỡm giao im I ca

1

v
2

.
b. Tỡm iu kin ca m I nm trờn trc Oy.


Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 6
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

22. Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im M ca hai ng thng
1
: 2 5 0
x y

,
2
: 3 2 3 0
x y

v
a. d i qua im
( 3; 2)
A

.

b. d cựng phng vi ng thng
' : 9 0
d x y

.
c. d vuụng gúc vi ng thng
": 3 1 0
d x y

.
23. Vit phng trỡnh ng thng

i qua im
(3;1)
M
v ct 2 tia Ox, Oy ln
lt ti A v B sao cho:
a.
OA OB

nh nht.
b.
OAB
S

nh nht.
c.
2 2
1 1
OA OB

nh nht.


Dng

: Tỡm hỡnh chiu H ca im A trờn ng thng d.


.Cỏch 1:
Vit phng trỡnh ng thng d i qua A vuụng gúc vi d.
Hỡnh chiu H l giao im ca d v d.


Cỏch 2: Dựng im tng quỏt



(;)
H d H

.


H l hỡnh chiu ca A trờn d
. 0
AH u AH u

(;)
H

.

.Chỳ ý: Tỡm im tng quỏt thuc ng thng.
Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tng quỏt
: 0
d ax by c

thỡ
;
at c
H d H t
b





hoc
;
bt c
H t
a





.
Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh tham s

0
0
: ( )
x x at
d t
y y bt







thỡ


0 0
;
H d H x at y bt

.
Nu ng thng d cho di dng phng trỡnh chớnh tc
0 0
':
x x y y
d
a b


thỡ

0 0
;
H d H x at y bt

.

.Dng

: Tỡm im i xng A ca A qua ng thng d.
Tỡm im H l hỡnh chiu ca A trờn d (xem dng 3).
A i xng vi A qua d

H l trung im ca AA


'
'
2
;
2
A A
H
A A
H
x x
x
H

y y
y












.

Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 7
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.

.Dng

: Tỡm ng thng d i xng ca ng thng d qua im I cho
trc.


.Cỏch 1:
Ly mt im c th A thuc d.
Tỡm im B i xng vi A qua I thỡ B thuc d.
Vit phng trỡnh ng thng d i qua I v nhn VTPT ca d lm VTPT.

.Cỏch 2:
Ly
( ; )
M x y
bt k thuc d.
Gi
'( '; ')
M x y
l im i xng ca M qua I
'
2 '
2
' 2 '
2
I
I
I
I
x x
x
x x x
y y y y y
y

.
Th x, y vo phng trỡnh ng thng d ta c phng trỡnh ng
thng d.

.Dng

: Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi d qua

.


.Cỏch 1:
* Trng hp nu d ct



Tỡm giao im I ca d v

.

Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua I.

Vit phng trỡnh ng thng d i qua I, A.
* Trng hp nu
d





Ly mt im c th A thuc d ri tỡm im A i xng vi A qua

(xem
dng 4).


Vit phng trỡnh ng thng d i qua A v nhn VTCP ca d lm
VTCP ( hoc nhn VTPT ca d lm VTPT).

.Cỏch 2:
Ly hai im c th
,
A B d

.
Tỡm A, B i xng vi A, B qua

( xem dng 4).
Vit phng trỡnh ng thng d i qua 2 im A, B.

24. Cho ng thng
: 2 4 0
d x y

v im
(4;1)
A
.
a. Tỡm ta hỡnh chiu H ca A lờn d.
b. Tỡm ta im A i xng vi A qua d.
25. Tỡm hỡnh chiu ca
(3;1)
M
lờn ng thng
2 2
:
1 2
x t
d
y t





.
26. Tỡm hỡnh chiu ca im
(3; 2)
P

lờn mi ng thng:
a.
:
1
x t
d
y





b.
1
:
3 4
x y
d



c.
: 5 12 10 0
d x y

.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 8
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

27. Vi iu kin no thỡ cỏc im
1 1
( ; )
M x y
v
2 2
( ; )
N x y
i xng vi nhau qua
ng thng
: 0
ax by c

.
28. Tỡm ta im I i xng vi im
(1;2)
I
qua ng thng
: 5 2 0
d x y

.
29. Cho ng thng
: 2 1 0
x y

v im
(1;2)
I

. Vit phng trỡnh ng
thng d i xng vi

qua I.
30. Cho hai ng thng
1
: 1 0
d x y

v
2
: 3 3 0
d x y

. Vit phng trỡnh
ng thng d i xng vi
1
d
qua
2
d
.
31. Cho ng thng
: 0
d ax by c

. Vit phng trỡnh ng thng
'
d
i

xng vi ng thng d:
a. Qua trc honh b. Qua trc tung c. Qua gc ta .


.Dng

: Cỏc yu t ca tam giỏc, t giỏc.
Tam giỏc ABC cú ta 3 nh. Khi ú:
Phng trỡnh cnh BC: i qua B v C.
Phng trỡnh ng cao AH: i qua A v vuụng gúc vi BC.
Phng trỡnh trung tuyn AM: i qua A v trung im M ca BC.
Phng trỡnh trung trc ca BC: i qua trung im M ca BC v vuụng
gúc vi BC.
Phng trỡnh phõn giỏc AD: i qua A v D vi D l im chia on BC
theo t s
AB
k
AC


;
1 1
B C B C
D D
x kx y ky
D x y
k k

.

.Chỳ ý:
Khi cho:
- Phng trỡnh ng phõn giỏc : t 1im c th dng vuụng gúc vi
ng phõn giỏc.
- Phng trỡnh ng trung tuyn: dựng im tng quỏt.
- Phng trỡnh ng cao: ta vit c phng trỡnh ng thng.

32. Cho
ABC

cú phng trỡnh 3 cnh
: 2 3 1 0
AB x y

,
: 3 7 0
BC x y

,
: 5 2 1 0
CA x y

. Vit phng trỡnh ng cao BH.
33. Cho
ABC

bit
(1;4)
A
,
(3; 1)
B

,
(6;2)
C
.
a. Vit phng trỡnh cỏc ng thng AB, BC, CA.
b. Vit phng trỡnh ng cao AH v phng trỡnh trung tuyn AM.
34. Cho
ABC

bit
: 3 11 0
AB x y

, ng cao
: 3 7 15 0
AH x y

, ng cao
: 3 5 13 0
BH x y

. Vit phng trỡnh cỏc ng thng AC, BC.

35. Cho
ABC

cú
( 2;3)
A

v hai ng trung tuyn
: 2 1 0
BM x y

,
: 4 0
CN x y

. Vit phng trỡnh 3 ng thng cha cỏc cnh ca tam giỏc.
36. Cho
ABC

cú trng tõm
(3;5)
G
v phng trỡnh
: 2 3 1 0
AB x y

,
: 4 5 0
AC x y

. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc.
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 9
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
37. Vit phng trỡnh ng thng i qua im
( 2; 4)
M

v ct trc Ox, Oy ln
lt ti A v B sao cho OAB l tam giỏc vuụng cõn.
38. Cho
ABC

vi
(2;4)
A
,
(4;8)
B
,
(13; 2)
C
. Vit phng trỡnh ng phõn giỏc
trong ca gúc A.
39. Cho
ABC

, bit
(1;1)
A

v trng tõm
(1;2)
G
, cnh AC v ng trung trc ca
nú ln lt cú phng trỡnh
2 0
x y

v
2 0
x y

. Gi M, N ln lt l
trung im ca BC v AC.
a. Tỡm ta cỏc im M v N.
b. Vit phng trỡnh hai ng thng cha 2 cnh AB v BC.
40. Cho
ABC

cú
: 2 6 3 0
AB x y

,
2
:
x t
AC
y t

v
( 1;1)
M

l trung im ca
BC. Vit phng trỡnh cnh BC.
41. Vit phng trỡnh 3 cnh ca
ABC

bit
(4;3)
C
v trung tuyn
: 4 13 10 0
AM x y

, phõn giỏc
: 2 5 0
AD x y

.
42. Cho
ABC

vi
( 2;0)

A

,
(2;4)
B
,
(4;0)
C
.
a. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca tam giỏc. Xỏc nh ta tõm I v
bỏn kớnh R ng trũn ngoi tip
ABC

.
b. Vit phng trỡnh cỏc ng cao. T ú, suy ra ta trc tõm H ca
ABC

.
c. Chng minh 3 im H, I, G thng hng vi G l trng tõm
ABC

.
43. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú
(4; 1)
A

v phng trỡnh 2 cnh
: 3 0
BC x y

,
: 2 5 6 0
CD x y

. Tỡm ta cỏc nh cũn li.
44. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú tõm i xng
(3;5)
I
v
: 3 6 0
AB x y

,
: 2 5 1 0
AD x y

. Vit phng trỡnh 2 cnh cũn li.
45. Cho hỡnh bỡnh hnh AOBC vi
( 3;0)
A

v giao im
(0;2)
I
ca hai ng
chộo AB v OC.
a. Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha cỏc ng chộo.
b. Vit phng trỡnh ng thng cha cỏc cnh.
46. Cho
( 1;3)

A

v ng thng
: 2 2 0
x y

. Dng hỡnh vuụng ABCD sao
cho hai nh A, B nm trờn

v cỏc ta ca nh C u dng. Tỡm ta cỏc
nh B, C, D.
47. Vit phng trỡnh cỏc ng thng cha bn cnh ca hỡnh vuụng ABCD bit
( 1;2)
A

v phng trỡnh ca mt ng chộo l
1 2
2
x t
y t





.

Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 10
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.



. KHONG CCH V GểC
A. KIN THC C BN

Khong cỏch t im
0 0 0
( ; )
M x y
n ng thng
: 0
ax by c

c
cho bi cụng thc
0 0
0
2 2
( ; )
ax by c
d M
a b

.
V trớ ca hai im
( ; ), ( ; )
M M N N
M x y N x y
i vi ng thng
: 0
ax by c

(
( , )
M N

:
M, N nm cựng phớa i vi


( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c

.
M, N nm khỏc phớa i vi


( )( ) 0
M M N N

ax by c ax by c

.
Phng trỡnh hai ng phõn giỏc ca cỏc gúc to bi hau ng thng
ct nhau
1 1 1 1
: 0
a x b y c

v
2 2 2 2
: 0
a x b y c

l:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0
a x b y c a x b y c
a b a b




Gúc to bi hai ng thng
1

v
2

cú vect phỏp tuyn
1
n

v
2
n

c
tớnh bi cụng thc:
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
os( , ) os( , )
.
a a b b
c c n n
a b a b




.
B. PHN DNG TON


.Dng

: Tớnh gúc v khong cỏch
Gúc gia hai ng thng song song hoc trựng nhau thỡ bng
0
o
.
Gúc gia hai ng thng ct nhau l gúc nh nht

trong bn gúc to
thnh. Gi
1 2
,
u u

l cỏc VTCP;
1 2
,
n n

l cỏc VTPT thỡ:
1 2 1 2 1 2
os( , ) os( , ) os( , )
c c u u c n n


.
Gúc A ca
ABC

l gúc gia hai vect
,

AB AC

.
Khong cỏch gia hai im
( ; ), ( , )
A A B B
A x y B x y
l:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y

.
Khong cỏch t im
0 0 0
( ; )
M x y
n ng thng
: 0
ax by c

c
cho bi cụng thc
0 0
0
2 2
( ; )
ax by c
d M

a b



.

.Chỳ ý:
tớnh khong cỏch t im
0 0 0
( ; )
M x y
n ng thng

thỡ ng thng


phi vit di dng phng trỡnh tng quỏt.





Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 11
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
48. Tỡm gúc gia hai ng thng:
a.
: 4 2 5 0
d x y

v
': 3 1 0
d x y

. b.
: 3 1 0
d x y

v
' : 0
d x

.
c.
: 3 2 1 0
d x y

v
': 2 3 8 0
d x y

. d.
:
3 2
x t
d
y t

v
1 3 '
' :
'
x t
d
y t





.
e.
4 2
:
x t
d
y t





v
': 2 6 0
d x y

.
49. Cho hai ng thng
1
: ( 1) ( 1) 5 0
d m x m y

v
2
: 2 0
d mx y

.
a. Chng minh rng
1 2
,
d d
luụn ct nhau vi mi giỏ tr ca m.
b. Tớnh gúc gia
1 2
,
d d
.
50. Cho hai ng thng
: 2 5 0
d x y

v
' : 3 0
d x y

. Tỡm giao im v tớnh
gúc gia d v d.
51. Cho
ABC

cú
(4; 1)
A

,
( 3; 2)
B

v
(1;6)
C
. Tớnh gúc A v gia hai ng
thng AB, AC.
52. Tỡm cỏc gúc ca tam giỏc
ABC

bit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc l:
: 2 0, : 2 0, : 1 0
AB x y AC x y BC x y

.
53. Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng
: 1 0
d mx y

hp vi ng thng
': 2 9 0
d x y

mt gúc bng
30
o
.
54. Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a gúc to bi hai ng thng
2
:
1 2
x at
d
y t





v
': 3 4 12 0
d x y

bng
45
o
.
55. Tỡm khong cỏch t cỏc im n cỏc ng thng tng ng sau õy:
a.

(3;5), : 4 3 1 0
A x y

. b.
(1; 2), :3 4 26 0
B x y

.
c.
(3; 2), : 3 4 11 0
C x y

.
56. Tớnh khong cỏch t im
(4; 5)
M

n cỏc ng thng:
a.
4
:
2 3
x t
d
y t

b.
1 2
':
2 5
x t
d
y t





.
57. Tỡm bỏn kớnh ca ng trũn tõm
( 2; 2)
C

v tip xỳc vi ng thng
: 5 12 10 0
x y

.
58. ng thng
: 2 5 9 0
x y

ct 2 trc ta ti A, B. Tớnh chiu cao OH
ca
OAB

.
59. Tỡm khong cỏch gia hai ng thng song song:
a.
1
: 48 14 21 0
x y

v
2
: 24 7 28 0
x y

.
b.
1
: 0
Ax By C

v
2
: ' 0
Ax By C

.
60. Tỡm giỏ tr ca m khong cỏch t
(1;1)
A
n ng thng
: (2 1) 3 0
mx m y

bng 2.
Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 12
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.



.Dng

: Phng trỡnh ng thng liờn quan n gúc v khong cỏch.
tỡm phõn giỏc trong AD ca
ABC

, ta lp phng trỡnh 2 cnh AB, AC
ri tỡm phng trỡnh 2 ng phõn giỏc ca gúc to bi 2 ng thng AB,
AC. Chn ng phõn giỏc trong tng ng vi 2 im B, C nm khỏc
phớa.
tỡm phng trỡnh ng thng l tp im cỏch u hai ng thng
(ct nhau hoc song song), cỏch ng thng cho trc mt on khụng
i, ta gi
( ; )
M x y
tha iu kin ri dựng quan h khong cỏch lp
phng trỡnh.

61. Vit phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc gia hai ng thng:
a.
1

: 2 4 7 0
x y

v
2
: 2 3 0
x y

.
b.
1
: 0
x

v
2
: 0
y

.
62. Tỡm qu tớch cỏc im cỏch u hai ng thng:
a.
1
: 5 3 3 0
x y

v
2
: 5 3 7 0
x y

.
b.
1
: 4 3 2 0
x y

v
2
: 3 0
y

.
63. Tỡm qu tớch cỏc im cỏch ng thng
: 2 5 1 0
x y

mt khong cỏch
bng 3.
64. Vit phng trỡnh ng thng song song v cỏch ng thng
: 0
ax by c

mt khong bng h cho trc.
65. Vit phng trỡnh ca ng thng i qua gc ta v cỏch u hai im
(2;2)
A
v
(4;0)
B

.
66. Vit phng trỡnh ng thng qua
(10;2)
P
v cỏch u hai im
(3;0)
A
v
( 5; 4)
B

.
67. Cho hai im
(1;1)
A
v
(3;6)
B
. Vit phng trỡnh ng thng i qua A v
cỏch B mt khong bng 2.
68. Cho
ABC

cú
(2;6)
A
,
( 3; 4)
B

v
(5;0)
C
. Vit phng trỡnh cỏc phõn giỏc
AD, BE.
69. Vit phng trỡnh phõn giỏc d ca gúc nhn to bi 2 ng thng
1
: 2 5 0
d x y

v
2
: 2 2 0
d x y

.
70. Vit phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc trong v ngoi xut phỏt t nh A ca
ABC

bit
(1;1)
A
,
(10;13)
B
v
(13;6)
C
.
71. Bit cỏc cnh ca

ABC

cú phng trỡnh
: 4 0
AB x y

,
: 3 5 4 0
BC x y


v
: 7 12 0
AC x y

.
a. Vit phng trỡnh ng phõn giỏc trong ca gúc A.
b. Hóy cho bit gc ta O nm trong hay nm ngoi
ABC

.


Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 13
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
72. Cho im
(2;5)
M
v ng thng

: 2 2 0
d x y

.
a. Tỡm ta im M i xng vi im M qua d.
b. Vit phng trỡnh ng thng d i xng vi d qua M.
73. Vit phng trỡnh ng thng qua
( 2;0)
A

v to bi ng thng
: 3 3 0
d x y

mt gúc
45
o
.
74. Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm
(4; 1)
I

v phng trỡnh cnh
: 2 1 0
AB x y

. Lp phng trỡnh hai ng chộo ca hỡnh vuụng.
75. Vit phng trỡnh ng thng ng thng d i qua
(3;1)
P

v ct 2 ng
thng
1
: 2 3 0
x y

,
2
: 3 2 0
x y

ti A, B sao cho d to vi
1 2
,

thnh
mt tam giỏc cõn cú ỏy l ng thng AB.
76. Cho
ABC

cõn ti A, bit phng trỡnh ng thng
: 2 1 0
AB x y

v
: 3 5 0
BC x y

. Vit phng trỡnh ng thng AC bit rng ng thng AC
i qua im

(1; 3)
M

.



. BI TP TNG HP
77. Tỡm im M trờn ng thng
: 2 0
d x y

, cỏch u hai im
(0;4)
E
v
(4; 9)
F

.
78. Cho ng thng
2 2
:
1 2
x t
y t

v im
(3;1)
M
.
a. Tỡm im A trờn

sao cho A cỏch M mt khong bng
13
.
b. Tỡm im B trờn

sao cho on MB ngn nht.
79. Cho hai im
(3; 1)
A

,
( 1; 2)
B

v ng thng
: 2 1 0
d x y

.
a. Tỡm ta im C trờn d sao cho
ABC

cõn ti C.
b. Tỡm ta im M trờn d sao cho
AMB

vuụng ti M.
80. Cho hai im
(1;6)
P
,
( 3; 4)
Q

v ng thng
: 2 1 0
x y

. Tỡm ta
im N trờn

sao cho
NP NQ

ln nht.
81. Cho im
(1;2)
P
v
(3;4)
Q
. Tỡm im M trờn trc honh sao cho

MP MQ

bộ
nht.
82. Chng t rng h ng thng
( 1) 2( 1) 3 0
m x m y

luụn i qua mt im
c nh.
83. Cho ng thng
: ( 2) ( 1) 2 1 0
m
m x m y m

v im
(2;3)
A
. Tỡm M
khong cỏch t im A n ng thng
m

l ln nht.
84. Cho im
(4;6)
M
. Vit phng trỡnh ca ng thng i qua M v ct cỏc
trc Ox, Oy theo th t ti
( , 0)
A a

v
(0, )
B b
vi
, 0
a b

sao cho:
a.
60
OAB
S


. b. M l trung im ca AB. c.
OAB
S

bộ nht.
85. Cho ng thng
: 2 0
x y

v im
(2;0)
A
.
a. Chng t rng hai im A v gc O nm v cựng mt phớa i vi ng thng

.

Created by Nguyễn Văn Rin Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Page 14
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết và
hiểu rõ những gì mình đã biết.

Tỡm im O i xng vi O qua

.
b. Tỡm im M trờn

sao cho di ca on gp khỳc OMA ngn nht.
86. Cỏc cnh ca
ABC

c cho bi
: 4
AB x y

,
: 3 0
BC x y

v
: 3 8 0
AC x y

.
a. Tớnh cỏc gúc ca
ABC

.
b. Tớnh chu vi v din tớch
ABC

.
c. Tớnh di cỏc bỏn kớnh r, R ca ng trũn n tip v ng trũn ngoi tip
ABC

.


. THI TUYN SINH
87. (H KHI D-2009) Cho
ABC

,
(2;0)
M
l trung im ca AB. ng trung
tuyn v ng cao k t A ln lt cú phng trỡnh:
7 2 3 0
x y

v
6 4 0
x y

.
Vit phng trỡnh ng thng AC.
(S:

: 3 4 5 0
AC x y

)
88. (H KHI A-2009) Cho hỡnh ch nht ABCD cú
(6;2)
I
l giao im ca hai
ng chộo AC v BD. im
(1;5)
M
thuc ng thng AB. Trung im E ca
cnh CD nm trờn ng thng
5 0
x y

. Vit phng trỡnh cnh AB.
(S:
: 5; 4 19 0
AB y x y

)
89. (CSP HN-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho
ABC

cú nh
(1;2)
A , ng trung tuyn BM v ng phõn giỏc trong CD cú phng trỡnh
tng ng l
2 1 0; 1 0

x y x y

. Hóy vit phng trỡnh ng thng BC.
(S:
: 4 3 4 0
BC x y

)
90. (C BTRE-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy, bit nh
(4; 1)
A

,
phng trỡnh mt ng cao, mt ng trung tuyn v t cựng mt nh ln lt
l
2 3 12 0;2 3 0
x y x y

. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc.
(S:
: 3 7 5 0
AB x y

,
: 3 2 10 0
AC x y

,
: 9 11 5 0
BC x y

).
91. (H HPHềNG-2004) Trờn mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng
thng
1
: 1 0
d x y

;
2
: 2 1 0
d x y

v im
(2;1)
P
. Vit phng trỡnh ng
thng qua P v ct
1 2
,
d d
ln lt ti A, B sao cho P l trung im ca AB.
(S:
: 4 7 0
AB x y

)
92. (CSP VLONG-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho
ABC

vi
(1;3)
A
v hai ng trung tuyn xut phỏt t B v C ln lt cú phng trỡnh l
2 1 0
x y

v
1 0
y

. Lp phng trỡnh cỏc cnh ca
ABC

.
(S:
: 2 0, : 4 1 0, : 2 7 0
AB x y BC x y AC x y

)
93. (H KHI B-2008) Cho
ABC

, bit hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AB l
( 1;1)
H

. ng phõn giỏc trong ca gúc A cú phng trỡnh
2 0
x y

, ng
cao k t B cú phng trỡnh
4 3 1 0
x y

. Tỡm ta nh C.
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Created by Nguyễn Văn Rin
Page 15
Vinh quang nhất không phải là không bao giờ ngã mà là biết đứng dậy sau mỗi lần ngã.
(S:
10 3
;
3 4
C




)
94. (C KHI A-2009) Cho
ABC

cú
( 1; 2)
C

. ng trung tuyn k t A v
ng cao k t B ln lt cú phng trỡnh l
5 9 0

x y

v
3 5 0
x y

.
Tỡm ta cỏc nh A, B.
(S:
(1;4), (5;0)
A B
)
95. (H KHI A-2004) Trong mt phng Oxy cho
(0;2)
A
v
( 3; 1)
B

.
Tỡm ta trc tõm v tõm ng trũn ngoi tip
OAB

.
(S:
( 3;1), ( 3;1)
I H
)
96. (H KHI B-2004) Trong mt phng Oxy cho
(1;1), (4; 3)

A B

. Tỡm ta
im C thuc ng thng
: 2 1 0
d x y

sao cho khong cỏch t C n AB bng
6.
(S:
43 27
(7;3), ;
11 11
C C




)
97. (H KHI B-2007) Trờn mt phng ta cho im
(2;2)
A
v hai ng
thng
1 2
: 2 0, : 8 0
d x y d x y

. Tỡm B, C tng ng trong
1 2

,
d d
sao cho
ABC

vuụng cõn ti A.
(S:
(3; 1), (5;3)
B C

;
( 1;3), (3;5)
B C

)
98. (H KHI A-2006) Trong mt phng vi h ta Oxy cho cỏc ng thng
1 2
: 3 0, : 4
d x y d x y

v
3
: 2 0
d x y

. Tỡm ta im M nm trờn
3
d
sao
cho khong cỏch t M n

1
d
bng 2 ln khong cỏch t M n
2
d
.
(S:
( 22; 11), (2;1)
M M

)
99. (H KHI A-2005) Trong mt phng cho hai ng thng
1
: 0
d x y

v
2
: 2 1 0
d x y

. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit A thuc
1
d
, C
thuc
2
d
, cũn B, D thuc trc honh.
(S:

(1;1), (1; 1)
A C

(0;0), (2;0)
B D
;
(2;0), (0;0)
B D
)
100. (H KHI B-2009) Cho
ABC

nh
(1;4)
A
, hai nh B, C nm trờn ng
thng
: 4 0
x y

. Bit rng din tớch
ABC

bng 18. Tỡm ta cỏc nh B,
C.
(S:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C

;
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C




)


HT

Tài liệu lu hành nội bộ Nguyễn Văn Rin - ĐHSP Huế.