Sáng kiến kinh nghiệm : Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số ppt

Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
a - đặt vấn đề
I-Lời mở đầu :
Trong trờng phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các
kiến thức và phơng pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học
sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi
lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những
năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng t
duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo
đức và thẩm mỹ của ngời công dân.
ở tròng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí;
thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là
một trong những vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học Toán ở
trờng phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài
toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững
chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài
tập thì việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của
ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc
hớng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải
toán là rất cần thiết và không thể thiếu đợc.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở tr ờng THCS
tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chơng trình và qua thực tế dạy học
tôi thấy: trong chơng trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị
trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất
quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở THPT để giải
quyết các bài toán về cực trị đại số ng ời ta thờng dùng đến "công
cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS,
1
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc phép dùng)
"công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên ng ời ta phải bằng
các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và
phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các
bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở THCS
không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi ngời học
phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ
với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận
thấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những
phần trọng tâm của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi ở trờng THCS.
Thế nhng thực trạng học sinh trờng chúng tôi và những trờng tôi
đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi
lẽ các bài toán về cực trị đại số ở trờng THCS không theo một ph-
ơng pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực
trị, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo h ớng nào. Hầu hết
học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận
dụng để giải quyết các bài tập khác.
Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế
nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này".
Với trách nhiệm của ngời giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em
học tốt hơn phần này.
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng
dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử
nghiệm, đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là
những bài học sau những năm ở tr ờng s phạm. Tôi mạnh dạn chọn
nghiên cứu đề tài: "Hớng dẫn học sinh THCS giải các bài toán cực
trị trong đại số".
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi
gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời

2
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
hình thành ở học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa
học luôn mong muốn làm đợc những việc đạt kết quả cao nhất, tốt
nhất.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân
công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng tr ớc
cách học của học sinh.
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng
nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện t ợng nổi bật
học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhng mang tính chất học vẹt chấp
hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành
ứng dụng của học sinh tôi đa ra một số ví dụ thì học sinh lúng
túng không biết chứng minh nh thế nào.
Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện
pháp kết quả cho thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ,
một sô học sinh làm đợc chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số
còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài
toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì ng -
ời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân

theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và
phải thâu tóm đợc kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế
nọ mà không đa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.
3
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán
mà các em rất ít đợc gặp chính vì lí do đó mà ngời thầy phải tìm ra
PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, b ớc đầu học sinh làm
quen với dạng bài toán Toán Cực chỉ nên cảm thấy mơ hồ phân
vân tại sai lại phải làm nh vậy. Nếu không biến đổi thì có tìm đ ợc
kết quả không. Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên
khẳng định nếu không biến đổi nh vậy thì không trả lời yêu cầu
của bài toán.
Sau đây tôi xin đa ra một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh
giải các bài toán cực trị trong đại số 8.
B- giải quyết vấn đề
I - các giải pháp thực hiện
4
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến
(x
0
, y
0
, z
0
)

S mà ta có: P(x
0
, y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) hoặc P(x
0
,
y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ
nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0

, z
0
)

S còn gọi
là P đạt cực đại tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc P
max
tại (x
0
, y
0
, z
0
). Tơng
tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)

S còn gọi là P đạt
cực tiểu tại (x

0
, y
0
, z
0
) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là
các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó
là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không đợc thiếu một bớc nào trong hai bớc trên.

Ví dụ: Cho biểu thức A = x
2
+ (x - 2)
2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau:
Ta có x
2


0 ; (x - 2)
2

0 nên A

0.
5
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải

:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới
chứng tỏ rằng A

0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu
đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2


0 ,

x


2(x - 1)
2
+ 2

2

x


A

2

x
Do đó A = 2

x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3.

Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh
bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a

2


0, tổng quát: a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0
* -a
2


0, tổng quát: -a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0

*
0

a
. (Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0)
* -
aaa

. (Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0)
6
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
*
baba
++
(Xảy ra dấu đẳng thức

ab

0)
*
baba

(Xảy ra dấu đẳng thức

a

b

0 hoặc a

b

0)
*
2
1
+
a
a
,

a >0 và
2
1
+
a
a
,

a <0
*
ab
baba







+

+
2
2
22


a,b (Xảy ra dấu đẳng thức

a = b)
* a

b, ab >0


ba
11

(Xảy ra dấu đẳng thức

a = b)
II - các biện pháp thực hiện
(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo)
tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài
toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hớng dẫn học sinh tìm kiến
thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là
một số dạng cơ bản thờng gặp:
Dạng 1

: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của một biểu thức là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1

: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x
2
- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
H

ớng dẫn giải

:
7
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)

k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và
chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải

: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2

- 2.2x+1
= (x
2
- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)
2
- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)
2


0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)
2
- 3

-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số

: A(x)
nh ỏ n hất
= - 3 với x=2
Ví dụ 2

:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2

- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đa B(x) về dạng B(x)

k (k là hằng số) với mọi giá trị của
biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra
đẳng thức
Lời giải

: B(x) = -5x
2
4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2

5
2
5
2
.2
22
2
+





















++

xx
8
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
=
1
25
4
5
2
5
2
+















+
x
= -5

1
5
4
5
2
2
++






+
x
= -5
5
9
5
2
2
+






+
x

Với mọi giá trị của x:
2
5
2






+
x


0 nên -5
2
5
2






+
x


0
suy ra: B(x)= -5

2
5
2






+
x

+
5
9



5
9
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
5
9
, khi x = -
5
2
Đáp số

: B(x)
lớn n hất

=
5
9
với x = -
5
2
Ví dụ 3

:

(Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải
biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trờng hợp
a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải

:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b
x) + c
9
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

2
2
2
2
2
442
2
a
b
c
a
b
a
b
xxa
+

++=

k
a
b
xa
+






+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
=

Do
0
2
2







+
a
b
x
nên:
+Nếu a>0 thì
0
2
2







+
a

b
xa
do đó P

k
+Nếu a<0 thì
0
2
2







+
a
b
xa
do đó P

k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
Dạng 2

: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn
nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ4

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x
2
+ x + 1)
2
H

ớng dẫn giải

:
(?) Ta nhận thấy A = (x
2
+ x + 1)
2


0, nhng giá trị nhỏ nhất của
A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời

: Mặc dù A

0 nhng giá trị nhỏ nhất của A không
phải bằng 0 vì: x
2

+ x +1 0
Do đó A
min
(x
2
+ x +1)
min

10
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x +1? và tìm giá trị nhỏ
nhất của A?
Trả lời:

Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1

=
2
2
1






+x
+
4
3


4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x + 1 bằng
4
3
với x = -
2
1
Trả lời:

Giá trị nhỏ nhất của A bằng
16

9
4
3
2
=






với x = -
2
1
Ví dụ 5

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
6x
3
+ 10x
2
6x + 9
H

ớng dẫn giải

:

Gợi ý:

-Hãy viết biểu thức dới dạng A
2
(x) + B
2
(x)

0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải

: x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x +9
= x
4
- 2.x
2
.3x + (3x)
2
+ x
2
- 2x.3 +3
2

= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2


0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x
2
3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = 3 x = 3
x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số

: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
11
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Dạng 3

: bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ6

: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x - 1 + x - 3
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý:

Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng
ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối
của một biểu thức.
A Nếu A

0
A =
- A Nếu A

0
Cách 1

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A
trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các
khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 1 thì x - 2 = - (x -2) = 2 - x
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x


A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x >3
+ Trong khoảng 2

x

5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = - (x - 5) = 5 - x

A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì x - 2 = x - 2
x - 5 = x - 5

A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
12
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy
giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Đáp số:

A
min
= 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Cách 2

: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một
tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối.Từ đó tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải:

A = x - 2+
5

x
= x - 2+
x

5

Ta có: x - 2 + 5 - x

x - 2 + 5 - x = 3
x - 2

0
A = 3 (x - 2) (5 - x)

0
5 - x

0
2

x

5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2

x

5
dạng 4

: Bài toán Tìm gtnn, gtln của phân thức có
tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai


Ví dụ 7

: Tìm giá trị lớn nhất của M =
5 4x - 4x
3
2
+

H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Sử dụng tính chất a

b, ab >0

ba
11

hoặc
theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều d-
ơng.
13
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Lời giải:
Xét M =
5 4x - 4x
3
2
+
=
414)2(
3
2
++ xx
=
4 1)-(2x
3
2
+
Ta thấy (2x - 1)
2

0 nên (2x - 1)
2
+ 4

4
Do đó:
4 1)-(2x
3
2
+


4
3
Trả lời:

Vậy M lớn nhất bằng
4
3
khi 2x 1 = 0 => x =
2
1
Đáp số

: M
lớn n hất
=
4
3
với x =

2
1
Ví dụ 8

: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
4 - x-2x
1
2
H

ớng dẫn giải

:
Ta có: B =
4 - x-2x
1
2
= -
4 2x - x
1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2
+
Vì (x - 1)
2

0 => (x + 1)
2
+ 3

3
=>
3 1) -(x
1
2
+



3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+


-
3
1
Vậy B nhỏ nhất bằng -
3
1
khi x 1= 0 => x =1

Đáp số

: M
nhỏ nhất
= -
3
1
với x = 1
Chú ý:

Khi gặp dạng bài tập này các em thờng xuyên lập
luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất
(nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

3
1
2
x
14
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhng với x = 0 thì
3
1
2
x
= -

3
1
không phải là giá trị lớn nhất
của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
x
= 1 > -
3
1
Nh vậy từ -3 < 1 không thể suy ra -
3
1
>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra đợc
a
1
>
b
1
khi a và b cùng dấu .
dạng 5

:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
phân thức có mẫu là bình phơng của nhị thức
Ví dụ 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Cách1

:
Gợi ý:

Hãy viết tử thức dới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi
biến bằng cách viết A dới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của
1
1
+x
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải

: Ta có: x
2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2

- (x + 1) + 1
Do đó A =

+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x
= 1 -
1
1
+x
+
2
)1(

1
+x
Đặt y=
1
1
+x
khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y
2

Ta có: A = 1 - y + y
2
= y
2
2.y.
2
1
+ (
2
1
)
2
+
4
3
15
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
=
2
2
1

y
+
4
3



4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi và chỉ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+

===
x
yy


x + 1 = 2


x = 1
Đáp số

: A
nhỏ nhất
=
4
3
khi x = 1
Cách 2

:
Gợi ý

: Ta có thể viết A dới dạng tổng của một số với một
biểu thức không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
( ) ( ) ( )
2
22
2
2

2
2
14
12363
14
144
1
1
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2
22
)1(4
)1()1(3
+
++

=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+

+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3






+

+=

x
x
A
A=
4
3
+






+

)1(2
1
x
x
2


4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi x-1=0

x=1

Đáp số

: A
nh ỏnh ất
=
4
3
khi x=1
16
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
dạng 6

: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng
2
)(
k
xA

0
(hoặc
2
)(
k
xA


0)
Ví dụ 10

:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
( x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Với x thuộc tập hợp số thực)
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Từ M
( x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx

xx
ta có:
M
( x)
=
32
1963
2
2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho
x
2
+ 2x + 3 đợc không? Vì sao?
Trả lời

: Vì x
2

+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
> 0 với mọi
giá trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x
2
+ 2x + 3 ta đợc
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2)(
1
2
++x
từ đó suy ra giá
trị lớn nhất của M(x)
Trả lời:

Vì (x+1)
2

0 Với mọi x
17
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Nên (x+1)
2
+ 2

2 với mọi x
Do đó
2)1(
1
2
++x



2
1

Từ đó ta có:
M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x

3 +
2
1
= 3
2
1
Dấu = xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3
2
1
khi và chỉ khi x=-1
Đáp số

: M(x)
Lớn nhất
=3
2
1
với x = -1
18
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
C. Kết luận
1. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sauk hi áp dụngcác cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực tế
học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng nh
trớc.
Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở
bảng sau:
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém

SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
2. Kết quả:
Sau khi thực hiện giảng dạy phần Các bài toán cực trị trong
đại số 8 theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu đ ợc khá khả
quan.
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng
khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức
tạp. Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng
minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán cực trị đại số 8 tạo ra khả
năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi
đồng nhất các biểu thức đại số, kĩ năng tính toán, khả năng t duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong
đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết
các bài tập có liên quan kích thích đ ợc sự đam mê học toán nói
chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng.
Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích
cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán
đã đợc học.
Về mặt t tởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với
kíên thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học . luôn
mong muốn làm đợc những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt
nhất.
3. Bài học kinh nghiệm:
19
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
Với đề tài H ớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán
cực trị trong đại số Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản
nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi

có đa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý
và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi
gặp các ví dụ khác các em có thể giải đợc.
Các dạng bài tập đa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài
toán cực trị trong đại số 8. Bên cạnh đó tôi còn đ a ra các ví dụ là
các bài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán, khả năng
t duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê hứng thú học
tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học
sinh còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận
cha có căn cứ, suy diễn cha hợp logic và đặc biệt là một số dạng
cha phù hợp với học sinh trung bình, yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhng do thời gian không
nhiều, do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn
hạn chế lại cha có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa
học nên trong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu
sót . Rất mong nhận đợc sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và và
bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Thiệu Minh, ngày 08 tháng 3 năm 2009
Ngời viết
Nguyễn Thị Huyền
Tài liệu tham khảo:
20
Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số
1. SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân.
2. SBT Toán 8 NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên
3. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo
dục- Nguyễn Văn Lộc.

4.Toán bồi dỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục Trần
San
5. Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên
6. Các bài toán đại số hay và khó NXB Giáo dục Nguyễn Đễ
7. PP dạy học môn toán NXB Giáo dục Phạm Gia Đức.
21