Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

a - đặt vấn đề
I-Lời mở đầu :

Trong trờng phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan
trọng. Các kiến thức và ph ơng pháp Toán học là công cụ thiết
yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có
hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp
học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn
luyện cho học sinh khả năng t duy tích cực, độc lập, sáng
tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức và thẩm mỹ của
ngời công dân.
ở tròng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình
thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm,
các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan
trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của
phơng pháp dạy học Toán ở tr ờng phổ thông. Đối với học sinh
THCS, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ
yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống
vững chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận
dụng vào làm bài tập thì việc bồi d ỡng học sinh khá giỏi là
mục tiêu quan trọng của ngành giáo dục nói chung và bậc
học THCS nói riêng. Do đó việc h ớng dẫn học sinh kĩ năng
tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và
không thể thiếu đợc.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở tr ờng
THCS tôi đi sâu nghiên cứu nội dung ch ơng trình và qua
thực tế dạy học tôi thấy: trong ch ơng trình Toán THCS "Các
bài toán về cực trị trong đại số" rất đa dạng, phong phú và

1


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học
sinh ở

bậc học này. ở THPT để giải quyết các bài toán về

cực trị đại số ngời ta thờng dùng đến "công cụ cao cấp" của
toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS,
vì không có (hay nói chính xác hơn là không đ ợc phép dùng)
"công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên ng ời ta phải
bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu
hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để
giải quết các bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán
cực trị đại số ở THCS không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu
nào cả, nó đòi hỏi ng ời học phải có một cách suy nghĩ logic
sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách
logic có hệ thống.
Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tôi nhận
thấy: phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong
những phần trọng tâm của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi ở
trờng THCS. Thế nhng thực trạng học sinh tr ờng chúng tôi và
những trờng tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú
với loại toán này, bởi lẽ các bài toán về cực trị đại số ở tr ờng
THCS không theo một ph ơng pháp nhất định nên các em rất
lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không biết bắt

đầu từ đâu và đi theo h ớng nào. Hầu hết học sinh rất ngại
khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải
quyết các bài tập khác.
Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm
thế nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại
toán này". Với trách nhiệm của ng ời giáo viên tôi thấy mình
cần giúp các em học tốt hơn phần này.

2


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế
giảng dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự
tìm tòi thử nghiệm, đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp.
Đặc biệt là những bài học sau những năm ở tr ờng s phạm.
Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "H ớng dẫn học sinh
THCS giải các bài toán cực trị trong đại số".
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ
khi gặp các bài toán cực trị đại số, giúp các em học tốt hơn.
Đồng thời hình thành ở học sinh t duy tích cực, độc lập,
sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,
rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ
khoa học luôn mong muốn làm đ ợc những việc đạt kết quả
cao nhất, tốt nhất.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn
phân công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt

hẩng trớc cách học của học sinh.
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng
nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện t ợng
nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nh ng mang tính
chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để
kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đ a ra một
số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết chứng minh nh
thế nào.
Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều
biện pháp kết quả cho thấy.

Lớp

Sỉ
số

Giỏi
SL

8

49

02

%

Khá
SL

%

06

TB
Sl
31

3

%

Yếu- kém
SL
%
10


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất
mơ hồ, một sô học sinh làm đ ợc chỉ nằm vào một số học
sinh khá- giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém
không biết giải thích bài toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi
vì ngời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng
chỉ tuân theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh
phải t duy tốt và phải thâu tóm đ ợc kiến thức đã học để tận
dụng vào làm bài tập .

Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải
thế nọ mà không đa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn
đề.
Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là
dạng toán mà các em rất ít đ ợc gặp chính vì lí do đó mà
ngời thầy phải tìm ra PP phù hợp nhất để học sinh có hứng
học, bớc đầu học sinh làm quen với dạng bài toán Toán Cực
chỉ nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sai lại phải làm nh
vậy. Nếu không biến đổi thì có tìm đ ợc kết quả không.
Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định
nếu không biến đổi nh vậy thì không trả lời yêu cầu của
bài toán.
Sau đây tôi xin đa ra một số kinh nghiệm h ớng dẫn học
sinh giải các bài toán cực trị trong đại số 8.

4


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

B- giải quyết vấn đề
I - các giải pháp thực hiện

1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z
thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các
(x 0 , y 0 , ...z 0 ) S mà ta có: P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) P(x,

biến

y, ..., z) hoặc P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) P(x, y, ..., z) thì ta nói P(x, y,
..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ) trên miền S.
P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ) S còn
gọi là P đạt cực đại tại

(x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoặc P m a x tại (x 0 ,

y 0 , ...z 0 ). Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , ...z 0 )
S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoặc P m i n tại

(x 0 , y 0 , ...z 0 ).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S
gọi là các cực trị của P trên miền S.

2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu
thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định
nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
5


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z)
trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc:
- Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị
của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z)
trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc:

- Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị
của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không đ ợc thiếu một bớc nào trong hai bớc
trên.
Ví dụ :

Cho biểu thức A = x 2 + (x - 2) 2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh
sau:
Ta có

x 2 0 ; (x - 2) 2 0 nên A 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?

Giải :
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới
chứng tỏ rằng A 0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra
dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể
có đồng thời:
x 2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 .

Lời giải đúng là:
A = x 2 + (x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4x +4 = 2x 2 - 4x +
4
= 2(x 2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2
6

Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

(x - 1) 2

Ta có:

0 ,

x



2(x - 1) 2 + 2

2



A

2

x

x

Do đó A = 2

x = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x
= 1.
3. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần
nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng
minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen
thuộc:
* a2

0, tổng quát: a 2 k 0 (k nguyên dơng)

Xảy ra dấu đẳng thức a = 0

* -a 2

0, tổng quát:

-a 2 k 0 (k nguyên dơng)

Xảy ra dấu đẳng thức a = 0

*

a 0.

( Xảy ra dấu đẳng thức



a = 0)

* - a a a .

( Xảy ra dấu đẳng thức



a = 0)

a + b a+b

( Xảy ra dấu đẳng thức



ab 0)

*

* a b ab
( Xảy ra dấu đẳng thức
* a+

1

2 ,
a

a

>0



và a +

7

a b 0 hoặc a
1
2 ,
a

a

<0

b 0)


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

2

a + b2 a + b

*
ab
2
2



a,b

( Xảy ra dấu đẳng thức



a =

b)
* a



b, ab >0



1
1

a
b

( Xảy ra dấu đẳng thức



a

= b)
II - các biện pháp thực hiện

(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)
Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham
khảo) tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất
về các bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi h ớng dẫn học
sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng
toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản th ờng gặp:
Dạng 1 : bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

của một

biểu thức là tam thức bậc hai.

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x 2 - 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất
kỳ.
H ớng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta
cần phải biến đổi về dạng A(x) k (k là hằng số) với mọi gía
trị của biến và chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức

Lời giải : A(x) = x 2 - 4x+1

8


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

= x 2 - 2.2x+1
= (x 2 - 2.2x+4)- 3
= (x- 2) 2 - 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2) 2 0 nên ta có:
A(x) = (x- 2) 2 - 3 -3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - 3 với x=2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x 2 - 4x+1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
H ớng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần
phải biến đổi đa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi
giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra
khi nào xảy ra đẳng thức
Lời giải : B(x) = -5x 2 4x+1
4
5

= -5 (x 2 + x) +1
2
2

2
2
2 2
= -5 x + 2. x + + 1
5
5 5


2

2
4

5
x
+

=


+1
5
25




2

2 4

= -5 x + + + 1
5 5

9


Hớn g dẫ n h ọc sin h lớ p 8 g iải các b ài t o án c ự c t rị t ro ng đại s ố

2

2
9

= -5 x + +
5
5

2

2

Với mọi giá trị của x: x +
5


2

2

0 nên -5 x + 0
5


2

9
9
2


suy ra: B(x)= -5 x + +
5
5
5


Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)=
Đáp số : B(x) l ớ n n h ấ t =

9
2
, khi x = 5
5

9
2
với x = 5
5

Ví dụ 3 : (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax 2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
H ớng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần
phải biến đổi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau đó xét với từng
trờng hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn
nhất.
Lời giải :
P = a.A 2 (x) + k
= a (x 2 +

b
x) + c
a

2
b
b2
b2
= a x + 2.x. + 2 + c 2
2a 4a
4a

2

b

= a x + + k

2a

10

với

b2
k=c 2
4a