Lượng giác - Luyện thi đại học pdf

LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos(
π
- x) = - cosx sin(
π
- x) = sinx tg(
π
- x) = - tgx cotg(
π
- x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
cos(
x
2
π
−
) = sinx sin(
x
2
π
−
) = cosx tg(
x
2
π

−
) = cotgx cotg(
x
2
π
−
) = tgx
* Cung hơn kém nhau
π
:
cos(
π
+ x) = - cosx sin(
π
+ x) = - sinx tg(
π
- x) = tgx cotg(
π
- x) = cotgx
2) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tg(a + b) =
tgatgb1
tgbtga
−
+
tg(a - b) =
tgatgb1
tgbtga

+
−
3) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa;
cos2a = 2cos
2
a - 1 = 1 - 2sin
2
a = cos
2
a - sin
2
a;
tg2a =
atg1
tga2
2
−
4) Công thức hạ bậc:
)a2cos1(
2
1
acos
2
+=
;
)a2cos1(
2
1
asin

2
−=
;
a2cos1
a2cos1
atg
2
+
−
=
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =
2
a
tg
22
2
2
t1
t2
tga;
t1
t1
acos;
t1
t2
asin
−
=
+
−

=
+
=
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
ba
cos
2
ba
cos2bcosacos
−+
=+
;
2
ba
sin
2
ba
sin2bcosacos
−+
−=−
2
ba
cos
2
ba
sin2bsinasin
−+
=+
;

2
ba
sin
2
ba
cos2bsinasin
−+
=−
bcos.acos
)basin(
tgbtga;
bcos.acos
)basin(
tgbtga
−
=−
+
=+
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b)
2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)
1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản:
π+=⇔=π+=⇔=
π+±=⇔=




π+−π=
π+=
⇔=
kvugvcotgucot;kvutgvtgu
2kvuvcoscou;
2kvu
2kvu
vsinusin
2) PT bậc nhất, bậc hai, theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
- Cách giải: Chia hai vế cho
22
ba +
. Đặt:
α=
+
α=
+
sin
ba
b
;cos
ba
a
2222
- Điều kiện có nghiệm:
222
cba ≥+

4) Phương trình đẳng cấp:
0ucos.cucosusinbusina
22
=++
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu
0≠
, chia hai vế của phương trình cho cos
2
u
5) Phương trình theo
ucosusin
±
và sinu.cosu:
- Đặt t =
ucosusin
±
, suy ra: sinu.cosu =
2
1t
2
−
±
- Lưu ý:
)
4
usin(2ucosusin
π
±=±
,

2u ≤
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
0gxcot)
5
x(tg =+
π
−
b) cos(115
0
- 2x) = -sin3x c) tgx.cotg3x = 1
Bài 2: Giải các phương trình:
a) cos2x + 9cosx + 5 = 0 b)
0
4
3
xcos2x2sin
22
=+−
c)
2
39
tgx4x2sin =+
d)
2
5
x
6
cos4

3
x2cos =






−
π
+






π
+
e)
0
2
1
tgxx2sin2x2cos =+−+
Bài 3: Giải các phương trình:
a)
2xcos3xsin =+
b)
1)x2sin(3)x2
2

sin(
=−π++
π
c)
2
33
4
xsin
4
xsin2 =






π
−+






π
+
d)
04xsin3
2
x

sin8
2
=−−
Bài 4: Giải các phương trình
a)
2
1
xcos2x2sinxsin
22
=−+
b)
0xcos3xcos.xsin2xsin
323
=−+
c) 8sin
2
x.cosx =
3
sinx + cosx
Bài 5: Giải các phương trình:
a) 2(sinx + cosx ) + 3sin2x - 2 = 0 b)
03)
2
x
cos
2
x
(sin22xsin =−−+
c)
xcosxsin)22(1xcosxsin

33
−+=+
d)
)x2sin2(22x3cosx3sin)xcosx(sin5 +=−++
e) 1 - sin2x = |cosx + sinx|
Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích
hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó.
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về
cùng một góc lượng giác.
2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tan, cot thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy
theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x.
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện
tương ứng).
- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tan2x, cot2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm
lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tanx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng
riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
b) sinx + sin
2
x + sin
3
x + sin
4
x = cosx + cos
2

x + cos
3
x + cos
4
x
c) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
d) (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos
2
x = 3
e) cos
3
x + sin
3
x = sin2x + sinx + cosx
f)
5 7 3 5
1
cos sin (cos sin )sin 2 cos sin
2
x x x x x x x
+ + + = +
g)
03x2sin3)xsinx(cos2x2cos
32
=−−++
h) cos
3
x + cos
2
x + 2 sinx - 2 = 0

Bài 7: Giải các phương trình sau:
a)
0xcosx2cosxsin2
3
=+−
b)
xcos
1
)tgx1(3xcos2xsin3
−+=+
c) tanx.sin
2
x – 2sin
2
x = 3(cos2x + sinx.cosx) d) 5 + cos2x = 2(2 - cosx)(sinx -cosx)
e)
0xcosxsin4xsin
3
=+−

g) 2cos
2
x + 2cos
2
2x + 2cos
2
3x – 3 = (2sin2x + 1)cos4x
h)
4xcosxsin3x2sin3x2cos
+−−−

= 0 i)
0xsinxcos3xsinxcos
23
=−+
Bài 8: Giải các phương trình sau:
a)
x2sin
x2cos1
x2gcot1
2
−
=+
b)
3
1xsinxcos2
xcosxsin2xcos
2
=
−+
−
c)
)x4cos1(16
x2cos
xtgxgcot
22
+=
−
d)
3x2cos
x2sin21

x3sinx3cos
xsin5
+=






+
+
+
e)
x2sin8
1
x2gcot
2
1
x2sin5
xcosxsin
44
−=
+
f)
xcos
x3sin)x2sin2(
1xtg
4
2
4

−
=+
g)
x2sin
2
1
xsin
tgx1
x2cos
1gxcot
2
−+
+
=−
(A-2003) h)
x2sin
2
x2sin4tgxgxcot =+−
(B-2003)
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a)
0
2
3
4
x3sin
4
xcosxsinxcos
44
=−







π
−






π
−++
(D - 2005)
b) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (B - 2005)
c) cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0 (A - 2005)
Bài 10: Giải các phương trình sau:
a)
6 6
2(cos x sin x) sin xcosx
0
2 2sin x
+ −

=
−
(A-2006) b)
x
cot x sin x(1 tan x.tan ) 4
2
+ + =
(B-2006)
c) cos3x + cos2x –cosx –1 = 0 (D-2006) d) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−
−
xx
xx
g) (sin
4
x + cos
4
x) + sin4x – 2 = 0
Bài 11: Giải các phương trình
a) 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2 b)
sin3 sin5
3 5
x x
=

3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Bài 12: Định m để phương trình:
0mx2sin
4
1
x2cosxcosxsin
244
=++−+
có nghiệm
a) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
:
2
4
4tan 5 0
cos
m
x
x
+ + =
b) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc
0;
2

π
 
 ÷
 
:
2
2
4 2
2 cos cos 1
cos cos
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
x m x
x x
c) Định m để phương trình sau có nghiệm:
4 2 2 2 2
( 1)tan 3 (1 tan )tan 4 (1 tan ) 0m x m x x m x+ − + + + =
Bài 13. Giải các phương trình
a)
2
3 cos
x
x=
b)
cos sin
2 2 sin cos
x x
x x− = −

c) sinx + cosx = tanx + cotx d)
2 2
2sin 2 2 sin 3tan 2 2 3tan2 2 0x x x x
− + − + =
e) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin
3
x + 1) = 0
f)
8 8 10 10
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x+ = + +
Bài 14:Giải các phương trình sau :
a) (A-2007)
xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1(
22
+=+++
b) (B-2007)
xxx sin17sin2sin2
2
=−+
c) (D-2007)
2cos3
2
cos
2
sin
2
=+







+ x
xx
d) (A-2008)






−=






−
+ x
x
x 4
7
sin4
2
3

sin
1
sin
1
π
π

e) (B-2008)
xxxxxx cossin3cossincos3sin
2233
−=−
f) (D-2008)
xxxx cos212sin)2cos1(sin2 +=++
g) (D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x
− − =
h) (B-2009)
( )
3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x
+ + = +
i) (A-2009)
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−

=
+ −
k) (D-2010) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
l) (B-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
m) (A-2010)
( )
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
Bài 15. Giải các phương trình sau (các đề thi dự bị)
a) (A-2006)
8
232
sin3sincos3cos
33
+
=−

xxxx
b) (B-2007)
2
3
cos2
42
cos
42
5
sin
xxx
=






−−






−
ππ

c) (B-2007)
xx

x
x
x
x
cottan
sin
2cos
cos
2sin
−=+
d) (A-2007)
)cos3(sin31cossin32cos2
2
xxxxx +=++
e) (A-2007)
x
xx
xx 2cot2
2sin
1
sin2
1
sin2sin =−−+
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Lượng giác trong tam giác:
MỘT SỐ LƯU Ý
- Nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác
- Giữa các góc, ta có:
π=++

CBA
;
22
C
2
B
2
A π
=++
suy ra
CBA;
2
C
22
B
2
A
−π=+−
π
=+
suy ra: sin(A + B) = sinC; cos(A + B) = -cosC;
2
C
cos
2
B
2
A
sin =







+

- Ta thường biến đổi cạnh ra góc, góc ra cạnh bằng định lí hàm số sin và cosin:
a = 2RsinA,
R2
a
Asin =
;
bc2
acb
Acos
222
−+
=
BÀI TẬP
Bài 1: Trong tam giác ABC, chứng minh:
a)
2
C
cos
2
B
cos
2
A

cos4CsinBsinAsin =++
b)
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin41CcosBcosAcos +=++
c)
tgAtgBtgCtgCtgBtgA =++
d)
1
2
A
tg
2
C
tg
2
C
tg
2
B
tg
2
B
tg

2
A
tg =++
e) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC e)
CcosBcosAcos21CcosBcosAcos
222
−=++
Bài 2: Trong tam giác ABC, chứng minh:
a)
R
abc
cba
gCcotgBcotgAcot
222
++
=++
b) S = 2R
2
sinAsinBsinC
c)
)CcoscBcosbAcosa(
2
R
S ++=
d)
)A2sinbB2sina(
4
1
S
22

+=
e)
2
C
cos
2
B
cos
2
A
cos4
p
R =
f)
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
R4
r
=
Bài 3:
a) Cho tam giác ABC không vuông và góc A = 45
0
. Chứng minh:

(1 + cotB)(1 + cotC) = 2
b) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: Nếu: b
4
+ c
4
= a
4
thì: 2sin
2
A = tanB.tanC
c) Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC, nếu : 2b = a + c thì:
3
2
C
gcot.
2
A
gcot =
d) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: Nếu a
2
+ b
2
= c
2
+ 4R
2
thì
Ctg
1tgAtgB
1tgAtgB

2
=
−
+
e) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: nếu cotg
2
C
gcot,
2
B
gcot,
2
A
gcot
lập thành cấp số cộng thì:
3
2
C
gcot.
2
A
gcot =
.
Bài 4:
Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
a) tanA + tanB = 2cot
2
C
b) tanA + 2tanB = tanA.tan
2

B
c)






−=






−
2
C
gcottgBbtgA
2
C
gcota
d)
)BgcotAg(cot
2
1
BsinAsin
BcosAcos
22
22

22
+=
+
+
5
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
e)
)btgBatgA(
2
C
tgba +=+
f)
22
ca4
ca2
Bsin
Bcos1
−
+
=
+
Bài 5: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
a)
CsinBsin
a
Ccos
c
Bcos
b
=+

b)
bc
a
gAcot
Asin
1
−
=+
c) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cos B + cos C d) S =
( )
bca)(cba
4
1
−+−+
Bài 6: Chứng minh tam giác ABC vuông hoặc cân nếu thỏa mãn một trong các hệ thức:
a) acosB - bcosA = asinB - bsinA b)
2
BA
tg)ba(btgAatgB
+
+=+
Bài 7: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa mãn một trong các hệ thức:
a)








=
=−+
4
1
BcosAcos
1
ab
c
a
b
b
a
2
b)





−+
−+
=
=
acb
acb
a
Ccosb2a
333
2
c) 3S = 2R

2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C)
d) 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + c
e) cotgA + cotgB + cotgC =
2
C
tg
2
B
tg
2
A
tg ++
Bài 8: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
> 8
Bài 9: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh:
a
2

+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bài 10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
2
CcosBcoscoaA
CsinBsinAsin
<
++
++
Bài 11: Cho tam giác ABC thỏa:
3
1
2
B
tg
2
A
tg =
. Chứng minh:
2
ba
c
+
=
Bài 12: Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:




=++
<++
0C5sinB5sinA5sin
1CcosBcosAcos
222
Chứng minh rằng tam giác có ít nhất một góc bằng 36
0
Bài 13: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1.
Tính giá trị của biểu thức:
2
22
2
22
2
22
z1
)x1)(y1(
z
y1
)z1)(x1(
y
x1
)z1)(y1(
xM
+
++
+
+
++

+
+
++
=
Bài 14: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa điều kiện:
2
C
cos
2
B
cos
2
A
cosCsinBsinAsin
++=++
Bài 15: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa điều kiện:
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcottgCtgBtgA
++=++
Bài 16: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện:
cos2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3
+ + =
Tính ba góc của tam giác ABC. (A-2004)

6