Một số bài toán khó thuộc chương trình lớp 10 docx

Pham ngoc hung
Một số bài toán khó
Câu 1:Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể
phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Bài Làm
Giả sử ta có : (x-a)(x-10)+1 =(x-m)(x-n) Với m,n
∈
Z
Vì m,n
∈
Z nên:
10 1 11
10 1 11
10 1 9
10 1 9
m m
n n
m m
n n
 − =  =
 
 
 
− = =
 
 
⇒ ⇒
 
− = − =
 
 

 
− = − =
 
 
 
Thay vào (1) ta được:
11 11 10
11.11 10 1
12
8
9 9 10
9.9 10 1
a
a
a
a
a
a
 + = +



= +
=



⇒



=
+ = +




= +



Vậy với
12
8
a
a
=


=

thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành tích
của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 2:Chứng tỏ rằng nếu ta có:
x
a b c
= =
²- yz y²- xz z²- xy
thì có thể suy ra được:
x y z
= =

a²- bc b²- ca c²- ab
Bài Làm
Đặt:
a b c
= =
x²- yz y²- xz z²- xy
=k (k
∈
R)
; ;a b c
k k k
⇒ = = =
x²- yz y²- xz z²- xy

k k k
x x
    
 ÷  ÷ ÷
    
⇒ =
x²- yz y²- xz z²- xy
²-
a²- bc
ax+10a+1=
10( ) 100 10
(1)
10 1
10( ) 99
10 10 99
10 10 100 1

( 10) 10( 10) 1
( 10)( 10) 1
x x
x x
n m a
mn a
m n mn
mn m n
mn m n
m n n
m n
⇒
⇔
+ = +
 
⇒ ⇔
 
= +
 
⇒ + − =
⇒ − − = −
⇒ − − + =
⇒ − − − =
⇒ − − =
²- 10x- ²- nx- mx+mn
²- (10+a)x +10a+1= ²- (n+m)x +mn
n+m=10+a
mn=10a+1
Pham ngoc hung
³ ³+z³-3xyz

²
x y
x k
+
⇔ =
a²- bc
(1)
Tương tự ta có:
³ ³+z³-3xyz
²
x y
y k
+
=
b²- ac
(2)

³ ³+z³-3xyz
²
x y
z k
+
=
c²- ab
(3)
Từ (1),(2),(3)
⇒
đpcm
Câu 3:Biết rằng ax+by+cz=0, hãy tính gt của biểu thức :
R

ax
=
bc(y- z)²+ca(z- x)²+ab(x- y)²
²+by²+cz²
Bài Làm
Ta có:
ax+by+cz=0
²x²+b²y²+c²z²+2abxy+2acxz+2bcyz=0
²x²+b²y²+c²z²=-2abxy-2acxz-2bcyz (1)
a
a
⇔
⇔
Khai triển tử thức ta có:
( )²+ac(z-x)²+ab(x-y)²
bc(y²-2yz+z²)+ca(z²-2xz+x²)+ab(x²-2xy+y²)
bcy²-2bcyz+bcz²+caz²-2caxz+cax²+abx²-2abxy+aby²
bcy²+bcz²+caz²+cax²+abx²+aby²+ ²x²+b²y²+c²z²
y²(bc+ab+b²)+z²(bc+ac+c²)+x²(ac+ab+a²)
bc y z
a
−
⇔
⇔
⇔
⇔
²b(c+a+b)+z²c(b+a+c)+x²a(c+b+a)
( ²b+z²c+x²a)(a+b+c)
( ²b+z²c+x²a)(a+b+c)
R= +b+c

y
y
y
a
ax
⇔
⇔
⇒ =
²+by²+cz²
Vậy R=a+b+c
Câu 4:Cho hai số thực x và y thỏa mãn: xy =1, x >y. Chứng minh
rằng:
²+y²
2 2
x
x y
≥
−
(Đề thi thử chuyển cấp vào lớp 10 trường trung học cơ sở kỳ long )
Giải
Ta có thể viết :
Pham ngoc hung
²+y²-2 2( ) ²+y²-2 2( ) 2 2
²+y²+2 2 2 2 2 2 ( 2)² 0
x x y x x y xy
x xy x y x y
− = − + −
= − − + = − − ≥
Do đó:
²+y² 2 2( )x x y≥ −

. Vì x>y nên x-y>0
Ta suy ra:
²+y²
2 2
x
x y
≥
−
Vậy nếu x.y=1 và
x y>
thì
²+y²
2 2
x
x y
≥
−
Câu 5: Giải phương trình:
2 2 2
1 1 2x x x x x x+ − + − + + = − +
ĐK:
5 1 5 1
2 2
x
− +
≤ ≤
Đặt:
(1;1)a
→
=

2 2
( 1; 1)b x x x x
→
= + − − + +

2 2
. 1 1
. 2. 2 2 1
a b x x x x
a b x x x
→ →
→ →
⇒ = + − + − + +
= = ≤ +
Mà
2 2
. . 1 1 1a b a b x x x x x
→ → → →
≤ ⇔ + − + − + + ≤ +

2 2
2
2 1 2 1 0
( 1) 0 1
x x x x x
x x
⇔ − + ≤ + ⇔ − + ≤
⇔ − ≤ ⇒ =