Ấp dụng định lý Viét để giải hệ phương trình

phòng gd&đt .
trờng thcs

sáng kiến kinh nghiệm
áp dụng định lý viét giải hệ phơng trình
Giáo viên :
Tổ : Khoa học tự nhiên
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
Năm học 200 200
2
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
A. đặt vấn đề
Trong chơng trình Toán đại số lớp 9, phần hệ phơng trình là một phần kiến
thức trọng tâm và cơ bản.
Trong quá trình giải các bài tập phần này học sinh rất ngại khi nhìn thấy
hệ phơng trình, học sinh rất lúng túng không biết phân biệt dạng bài tập và cách
giải nh thế nào.
Các bài tập về hệ phơng trình rất phong phú và đa dạng, để giải đợc các
bài tập đòi hỏi phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết của
đầu bài và phần yêu cầu của đề bài, đặc biệt hơn nữa là phần bài tập đa số phải
sử dụng định lý Viét Do đó phải dựa vào đặc thù riêng của đề bài mà chúng ta
linh hoạt biến đổi cho phù hợp.
Chính vì thế tôi phân dạng các bài tập về hệ phơng trình có sử dụng định
lý Vi ét nhằm định dạng cách giải giúp cho học sinh khi gặp các bài tập tơng tự
học sinh có thể giải đợc, biết cách biến đổi từ điều kiện đề ra để vận dụng định
lý Viét cho hợp lý.
Trong quá trình xây dựng nội dung chuyên đề, mặc dù tôi đã đầu t thời
gian cũng nh vận dụng thực tế nhng khả năng còn hạn chế. Do vậy không tránh
đợc những thiếu sót. Tôi kính mong các đồng chí đồng nghiệp đóng góp ý kiến,
giúp tôi xây dựng chuyên đề đợc chất lợng hơn, để có hiệu quả học tập của học
sinh chúng ta ngày càng tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn./.
, ngày tháng năm 200
Ngời thực hiện
3
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
B. nội dung
I. áp dụng định lý Viét vào giải hệ phơng trình
1. Dạng I:
Giải hệ phơng trình



=
=+
Pyx
Syx
.
(1)
Theo định lý Viét đảo: x và y là nghiệm của phơng trình bậc hai:
X
2
SX + P = 0 (1) (*)
Điều kiện có nghiệm: = S
2
4P 0
Với điều kiện (*) phơng trình (1) có nghiệm x
1
, x
2
do vậy nghiệm x

1
, x
2
là
nghiệm hệ (I).
(Đây là dạng cũng khá quen thuộc tìm hai số biết tổng và tích của chúng)
2. Dạng II:
Giải hệ phơng trình:



=+
=+
222
kyx
Syx
(II)
Hệ phơng trình tơng đơng với






=
=+

=+
=+
2
2)(
22
22
kS
xy
Syx
kxyyx
Syx
Hệ phơng trình trở lại dạng (I). Cách giải nh trên
3. Dạng III:
Giải hệ:



=+
=
222
kyx
Pxy
(III)
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với hệ phơng trình sau:
)(
2
)(
2
222)(
2

2
2
1
222222
IIIb
PkSyx
Pxy
IIIa
PkSyx
Pxy
PkS
Pxy
kPS
Pxy
kxyyx
Pxy





+==+
=






+==+

=




+=
=




=
=




=+
=
4
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
Với điều kiện k
2
+2P 0
a) Giải hệ (IIIa), (IIIb) (Giải nh hệ I)
b) Tập nghiệm của hệ đã cho là tập nghiệm của (IIIa), (IIIb)
4. Dạng IV:
Giải hệ:

=+
=++
qxyyx
yxxy
22
1
Gọi S = x+y; P = xy, ta có



=
=+
qPS
lSP
Nh vậy P và S là nghiệm của phơng trình:
X
2
lX + q = 0 (1)
Điều kiện P và S tồn tại là: l
2
4q 0 với điều kiện này, (1) có nghiệm là
X
1
và X
2
Nếu X
1
= X
2

thì P = S = l/2 = h (h R)
Suy ra x và y là nghiệm phơng trình: t
2
+ ht + h = 0
Điều kiện x và y tồn tại là: h
2
4h 0 h 0, hoặc h 4.
Với điều kiện này, ta có nghiệm của hệ (IV) là:



=
=




=
=
1
2
2
1
ty
tx
ty
tx
Nếu X
1
X

2
: Ta có



=
=




=
=
1
2
2
1
XS
XP
XS
XP
Do đó x và y là nghiệm của các phơng trình:
z
2
X
1
z + X
2
= 0 (IVa)
z

2
X
2
z + X
1
= 0 (IVb)
Điều kiện để z
2
X
1
z + X
2
= 0 (IVa) có nghiệm là
04
2
2
1
XX
Điều kiện để z
2
X
2
z + X
2
= 0 (IVb) có nghiệm là
04
1
2
2
XX

Ví dụ 1:
5
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
Tìm kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi và diện tích của hình là
28m và 48m
2
.
Giải:
Gọi x và y theo thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho:
x > y > 0.
Ta có:



=
=+




=
=+
48.
14
48.
28)(2
yx
yx
yx
yx

Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình bậc hai:
X
2
- 14X + 48 = 0 (1)
= b
2
- ac = 49 - 48 = 1
1' =
Phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
= 8, x
2
= 6
Vì x > y > 0 nên ta chọn x = 8(m), y = 6(m)
Ví dụ 2:
Giải hệ phơng trình:



=+
=+
34
8
22
yx
yx
Giải
Ta có:

=
=+





=+
=+




=+
=+
15
8
342)(
8
34
8
222
xy
yx
xyyx
yx
yx
yx

Suy ra x và y là nghiệm của phơng trình
X
2
8X + 15 = 0
X= 5 hoặc X = 3 do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:



=
=
5
3
y
x
hoặc



=
=
3
5
y
x
Ví dụ 3:
Giải hệ phơng trình:
6
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình

=+
=+
19
1
33
yx
yx
Giải:
Ta có:



=+
=+
19
1
33
yx
yx



=
=+




=+

=+




=+
=+




=++
=+

6
1
193)(
1
19)(
1
19))((
1
2
2222
xy
yx
xyyx
yx
yxyx
yx

yxyxyx
yx
Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình:
X
2
+ X 6 = 0 X = -3, X = 2
Do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:



=
=




=
=
3
2
2
3
y
x
y
x
Ví dụ 4:
Giải hệ phơng trình:

=+
=+
)2(257
)1(5
44
yx
yx
Giải
Ta biến đổi phơng trình (2) của hệ:
x
4
+ y
4
= 257 (x
2
+ y
2
)
2
2x
2
y
2
= 257
[(x+y)
2
-2xy]
2
-2x

2
y
2
= 257
Thay x+y = 5
[25-2xy]
2
- 2x
2
y
2
-257 = 0
625 100xy + 4x
2
y
2
2x
2
y
2
- 257 = 0
2x
2
y
2
100xy + 368 = 0
x
2
y
2

50xy + 184 = 0
Đặt P = x, y ta có:
P
2
50P + 184 = 0 P = 46 v P = 4
7
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
Do đó hệ phơng trình đã cho tơng đơng với:
)(
4.
5
)(
46.
5
b
yx
yx
a
yx
yx



=
=+




=

=+
Nghiệm của hệ (a) là nghiệm của phơng trình: X
2
5X + 46 = 0
Hệ (a) vô nghiệm vì S 4P <0
Nghiệm của hệ (b) là nghiệm của phơng trình: X
2
5X + 4 = 0
x
1
= 1; y = 4 hoặc x
1
= 4; y =1
Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:



=
=




=
=
1
4
4
1
y

x
y
x
Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau:
a)





=+
=++
17
3
44
22
yx
yxyx
b)



=+
=+
3
9
33
yx
yx

Bài 2: Tổng bình phơng các chữ số của một số gồm hai chữ số bằng 10.
Tích của số phải tìm với số viết ngợc lại của nó bằng 403. Tìm số đó.
8
áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình
C. Kết luận:
Thông qua một số dạng bài tập giải hệ phơng trình có áp dụng định lý Viét
tôi đã trình bày trên đây, đối chiếu với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học
sinh qua quá trình giảng dạy. Tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
Chuyên đề áp dụng đợc cho nhiều đối tợng học sinh từ trung bình đến khá
giỏi.
Học sinh nhận dạng nhanh các dạng bài tập đã phân loại, biết cách tìm,
biến đổi phù hợp để áp dụng định lý Viét.
Vận dụng định lý Viét vào giải hệ phơng trình, học sinh có thể t duy, suy
luận đợc các trờng hợp có thể xảy ra trong quá trình giải bài tập.
Tổng hợp tất cả các bài tập đã nêu ở trên, học sinh có thể làm đợc một số
bài tập có nhiều ý nhỏ.
Tuy nhiên cũng không thể tránh đợc những thiếu sót, mặc dù tôi cũng có
đầu t thời gian nghiên cứu và vận dụng.
Một lần nữa kính mong các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để
chuyên đề của tôi đợc tốt hơn.
9