Cac bai Tap Giai Tich Phăng và Khong Gian

Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Phần I: hình học giải tích trong mặt phẳng
ch ơng I: đ ờng thẳng
I) các khái niệm cơ bản:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n
2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n

n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)
1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ABC.

3) Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp của ABC.
II) ph ơng trình đ ờng thẳng:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua điểm A(1; 1) có hệ số góc k = 2.
2) Đi qua điểm B(1; 2) và tạo với hớng dơng của trục Ox 1 góc 30
0
.
3) Đi qua C(3; 4) và tạo với trục Ox một góc 45
0
.
Bài2: Viết phơng trình các cạnh và đờng trung trực của ABC biết trung điểm của 3
cạnh AB, AC, BC theo thứ tự là M(2; 3) N(4; -1) P(-3; 5).
Bài3: Cho ABC với trực tâm H. Biết phơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0, các đờng
cao qua đỉnh A và B lần lợt là (d
1
): x + 2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0.
1) Xác định toạ độ trực tâm H và phơng trình CH.
2) Viết phơng trình cạnh BC.
3) Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đờng thẳng AB, AC và Oy.
Bài4: Lập phơng trình các cạnh của ABC. Biết đỉnh C(3; 5) đờng cao và đờng trung
tuyến kẻ từ đỉnh A có phơng trình là: (d
1
): 5x + 4y - 1 = 0 (d
2
): 8x + y - 7 = 0
Bài5: Phơng trình hai cạnh của một tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0. Viết
phơng trình cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H

3
32
0;
.
Bài6: Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lợt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đờng thẳng d.
3) Viết phơng trình đờng thẳng d' đối xứng với d qua O.
Bài7: Cho ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phơng trình các cạnh ABC.
Nguyn Ngc Ton 0943898
1
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
2) Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến BI của ABC.
2) Lập phơng trình đờng thẳng qua A và BI.
III) chùm đ ờng thẳng:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): x + 3y - 9
= 0 và (d
2
): 3x - 2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4).

Bài2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): 3x + y -
0 = 0 và (d
2
): 3x + 2y - 5 = 0 và đồng thời song song với đờng thẳng (d
3
): x - y + 4 =0
Bài3: Viết phơng trình đờng thẳng () đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): x+ y -
2 = 0 và (d
2
): 3x - 4y + 1 = 0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.
Bài4: Cho ABC có phơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0 đờng cao qua đỉnh A và B lần
lợt là (d
1
): x + 2y - 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y - 49 = 0. Lập phơng trình AC, BC và đờng cao
thứ ba.
IV) góc và khoảng cách:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng () qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45
0
với đ-
ờng thẳng (d) có phơng trình: y = 2x + 1.
Bài2: Cho 2 đờng thẳng (d
1
): x + 2y + 1 = 0 ; (d
2

): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phơng trình đờng phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ABC, các cạnh có phơng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ABC.
2) Tìm phơng trình đờng phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phơng trình đờng thẳng qua A sao cho khoảng
cách từ B tới đờng thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đờng thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đờng
thẳng qua P cắt (d
1
), (d

2
) lần lợt tại A, B. Viết phơng trình của (d) biết 2PA = PB.
Bài6: Cho 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình (d
1
): 2x + y + 1 = 0; (d
2
): x + 2y - 7 =
0. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ sao cho đờng thẳng (d) tạo với (d
1
)
và (d
2
) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d
1
) và (d
2
). Tính diện tích tam giác cân
đó.
Nguyn Ngc Ton 0943898
2
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
V) điểm liên quan đến đ ờng thẳng và một số bài toán khác:
Bài1: Cho ABC. A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC.
b) CMR: I, G, H thẳng hàng.
c) Tính diện tích ABC.

Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A và B
là nhỏ nhất với:
1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phơng trình: x - 2y - 2
= 0, 2x + 5y + 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh ABC.
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần t thứ
nhất.
2) Viết phơng trình 2 đờng chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
tâm I






0
2
1
;
, phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các
đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ABC vuông tại A, ph-
ơng trình đờng thẳng BC là:
033 = yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán
kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.
ch ơng II: đ ờng bậc hai

I) đ ờng tròn:
Bài1: Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.
2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I nằm trên trục tung.
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I nằm trên đờng thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x - 2y - 2 = 0.
6) Đờng kính AB với A(1; 1) B(3; 3).
Bài2: Lập phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và đi qua A(4; 2).
Bài3: Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC. Biết AB: 2x - y + 4 = 0
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0
Nguyn Ngc Ton 0943898
3
Các Bài tập Hình Học Giải tích Phẳng và Không gian
Bµi4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn cã t©m thuéc ®êng th¼ng (d): 2x + y + 2 = 0 vµ vu«ng
gãc víi hai tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C
1
): x
2
+ y
2
- 4 x = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2y = 0 t¹i giao
®iÓm cña (d) víi (C
1

) (C
2
).
Bµi5: 1) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua ®iÓm A(1; -2) vµ c¸c giao cña ®êng th¼ng (d):
x - 7y + 10 = 0 víi ®êng trßn (S): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 20 = 0.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn qua giao ®iÓm cña hai ®êng trßn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x +
4y - 4 = 0 vµ (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 vµ ®i qua M(0; 1)
3) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn qua giao ®iÓm cña hai ®êng trßn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x +

2y - 2 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 6y = 0 vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d: x + y + 1 = 0
II) tiÕp tuyÕn ® êng trßn:
Bµi1: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 6y - 6 = 0 biÕt:
1) TiÕp tuyÕn ®i qua M(1; -1).
2) TiÕp tuyÕn ®i qua M(4; -1)
Bµi2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2y + 1 = 0 biÕt:
1) TiÕp tuyÕn // (d): x + y = 0.
2) TiÕp tuyÕn ⊥ (d): x + y = 0
3) TiÕp tuyÕn t¹o víi (d): x + y = 0 mét gãc 60
0

Bµi3: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn sau:
1) (C
1
): x
2

+ y
2
- 1 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 4x - 4y - 1 = 0
2) (C
1
): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bµi4: Cho ®êng trßn (C): x
2
+ y
2
= 4 vµ mét ®iÓm M(2; 4). Tõ M kÎ 2 tiÕp tuyÕn MT
1
,
MT

2
víi ®êng trßn, trong ®ã T
1
, T
2
lµ tiÕp ®iÓm.
1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng T
1
T
2
.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi T
1
T
2
.
Nguyễn Ngọc Toản 0943898
4
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
III) elíp:
1) lập phơng trình elíp
Bài1: Cho (E) có phơng trình: 9x
2
+ 4y
2
= 36.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tìm tâm sai của (E) đó.
2) Cho M(1; 1). Lập phơng trình đờng thẳng qua M cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho
MA = MB.
Bài2: Lập phơng trình chính tắc của (E) biết:

1) Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6, trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 6. Tiêu cự e = 4.
3) Độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e =
8
5
, hai tiêu điểm thuộc Ox.
4) Đi qua M
( )
233 ;
và N
( )
323;
. Tìm M (E) sao cho MF
2
= 2MF
1

2) tiếp tuyến của elíp, quỹ tích điểm
Bài1: Cho (E):
1
49
2
2
=+
y
x
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (): x - y + 6 = 0

4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của:
(E
1
):
1
45
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1
54
2
2
=+
y
x

Bài3: Biết (E):
1
2
2

2
2
=+
b
y
a
x
nhận các đờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5
= 0 làm tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2
=+
y
x

. Viết phơng trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E).
Bài5: Cho (E
1
):
1
36
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1
4
2
2
=+
y
x
Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của hai Elíp.
Nguyn Ngc Ton 0943898
5
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Bài6: CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một
Elíp bằng bình phơng nửa độ dài trục nhỏ của Elíp.
Bài7: Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của Elíp (E):
1
2

2
2
2
=+
b
y
a
x
, sao cho mỗi tiêu
điểm F
1
, F
2
của (E) nhìn đoạn MN dới một góc vuông. Hãy xác định vị trí của M, N trên
tiếp tuyến ấy.
Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình:
1

916
2
2
=+
y
x
. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao
cho đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ
dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài10: Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phơng
trình: 4x
2
+ 3y
2
- 12 = 0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng
với các trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Bài11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
49
2
2
=+
y
x
và đờng
thẳng d
m
: mx - y - 1 = 0.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng d
m

luôn cắt elíp (E) tại hai
điểm phân biệt.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3)
Bài12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
14
2
2
=+
y
x
, M(-2; 3),
N(5; n). Viết phơng trình các đờng thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong
số các tiếp tuyến của (E) đi qua N và có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2

Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F
1
(
03;
);
( )
03
2

;F
và một đờng chuẩn có ph-
ơng trình: x =
3
4
.
1) Viết phơng trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức:
P =
MF.MFOMMFMF
21
22
2
2
1
3 +
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm
A, B sao cho OA OB.
Nguyn Ngc Ton 0943898
6
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Bài14: Cho Elíp (E):
1
14
2
2
=+
y
x
; Trục lớn AA' = 2a. Hai tiêu điểm là F và F'. D là một

tiếp tuyến chuyển động của elíp. D cắt các tiếp tuyến của elíp tại A và A' ở M và M'.
1) Chứng minh: AM.A'M' không đổi.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ F và F' tới D không đổi.
3) Tìm quỹ tích giao điểm N của A'M và AM'.
4) Chứng minh rằng khi D chuyển động đờng tròn đờng kính MM' luôn đi qua các
tiêu điểm F và F'.
IV) hypebol:
1) lập phơng trình hypebol
Bài1: Cho Hypebol (H): 25x
2
- 20y
2
= 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x =
8
và tính khoảng cách
từ điểm đó đến hai tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đờng thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol
trên.
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x
2
- 9y
2
= -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phơng trình đờng tròn (C) đờng kính F
1
F
2

và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Viết phơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H)
và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
Bài3: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3
4
.
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đờng tiệm cận có phơng
trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đờng tiệm cận vuông
góc với nhau
Nguyn Ngc Ton 0943898
7
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
2) tiếp tuyến của hypebol, quỹ tích điểm
Bài1: Cho (H):
1
49
2
2
=
y
x
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) biết:
1) Tiết tuyến đi qua điểm A(3; 0).
2) Tiếp tuyến đi qua B(2; 2).
3) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (): x - y + 6 = 0.
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của Hypebol (H):
1
169
2
2
=
y
x
biết tiếp tuyến tạo với
đờng thẳng (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài3: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hai Hypebol:
(H
1
):
1
45
2
2
=
y
x
(H
2
)
1
54
2
2

=
y
x

Bài4: Biết rằng Hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
nhận các đờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và
(d
2
): 2x +
3
y - 5 = 0 là tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (H).
2) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua A(2; 0).
3) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua B(0; 4)

Bài5: Cho Hepebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
.
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) nào đó nằm trên (H) cắt hai đờng tiệm cận
tại A và B. Tính toạ độ của A và B.
2) CMR: M
0
là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
0
.
V) parabol:
Bài1: Cho (P): y
2
= 8x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.

1) Vuông góc với đờng thẳng (
1
): x - 2y + 6 = 0.
2) Song song với đờng thẳng (
2
): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2).
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P
1
): y = x
2
+ 2x + 2 và (P
2
): y = -x
2
+ 4x - 5
2) Parabol (P
1
): y
2
= 2px và (P
2
): x
2
= 2qy
Nguyn Ngc Ton 0943898
8
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
3) Elíp (E):

1
49
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y
2
= 2x
4) Elíp (E):
1
94
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
5) Hypebol (H):
1
94
2
2
=
y
x
và Parabol (P): y

2
= 8x
Bài3: Cho Parabol (P): y = x
2
- 2x + 2 và đờng thẳng (d) là đờng thẳng cùng phơng với
đờng thẳng (d
1
): y = x sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
1) Viết phơng trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với
nhau.
2) Viết phơng trình của (d) khi độ dài AB = 4.
I) mở đầu và các khái niệm cơ bản:
Bài1: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho A(1; 2; 2) , B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1)
D(-1; 6; 2).
1) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện.
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
3) Tính diện tích BCD và đờng cao của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
II) ph ơng trình mặt phẳng:
Bài1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và
1) // Ox và Oy 2) // Ox và Oz 3) // Oy và Oz
Bài2: Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) và // Ox
Bài3: Cho (P): 3x + 2y + z - 6 = 0 Hãy chỉ ra một cặp VTCP của (P)
Bài4: Viết phơng trình mặt phẳng qua AB và // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Bài5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và (P); (Q)
III) đ ờng thẳng trong không gian:
Bài1: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đờng thẳng (d):
1
3

32
2

+
=

=
z
y
x


Nguyn Ngc Ton 0943898
9
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Bài2: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):



=+++
=++
05
010632
zyx
zyx
(P): y + 4z + 17 = 0
b) (d):

+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
(P): y + 4z + 17 = 0
c) (d):



=
=++
01
03
y
zyx
(P): x + y - 2 = 0
Bài3: Lập phơng trình đờng thẳng d qua A(1; 2; 3) và với (d
1
):

=+
=+
032
022
zx
yx

(d
2
):



=+
=++
0642
0104
zyx
zyx

Bài4: Cho (d):



=+++
=++
0732
0143
zyx
zyx

(P): x + y + z + 1 = 0
Viết phơng trình đờng thẳng () qua A(1; 1; 1) song song (P) và (d).
IV) các bài toán khác:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đờng thẳng
(d
1
):



=+
=
01
012
yx
zx
(d
2
):



=
=+
02
023
zy
yx

Bài2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d

1
) và (d
2
)
(d
1
):
z
y
x
=
+
=

1
2
8
1
(d
2
):



=+
=++
01
02
x
zyx

Bài3: Viết phơng trình đờng thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d
1
và cắt đờng thẳng
d
2
d
1
:
zy
x
=+=

2
3
1
d
2
:



=+
=++
01
02
x
zyx

Bài4: Viết phơng trình đờng thẳng d (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đờng thẳng:

(d
1
):





=
=
+=
tz
ty
tx
2
1
2
(t R) (d
2
):



=
=+
03
022
y
zx

Bài5: Cho (d
1
):





=
=
+=
tz
ty
tx
5
1
25
(d
2
):





=
=
+=
1
1

1
1
3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
R)
Nguyn Ngc Ton 0943898
10
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
CMR: (d
1
) // (d
2
). Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách
giữa (d
1
) và (d
2
)
Bài6: Cho hai đờng thẳng (d
1

):



=+
=++
01
012
zyx
yx
(d
2
):



=+
=++
012
033
yx
zyx
1) CMR: (d
1
) cắt (d
2
). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua (d
1
) và (d

2
)
Bài7: Cho hai đờng thẳng (d
1
):





=
=
+=
tz
ty
tx
2
23
31
(t R) (d
2
):



=+
=
01225
0823
zx

yx
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
Bài8: Cho hai đờng thẳng (d
1
):



=+
=++
0104
0238
zy
zx
(d
2
):



=++
=
022
032
zy
zx

1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)
3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d
1
), mặt phẳng (Q) chứa (d
2
) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phơng trình đờng thẳng (d) // Oz và cắt (d
1
) và (d
2
).
Bài9: Cho (d):



=+
=+
01523
05
zyx
zyx

(P): -2x - 3y + z - 4 = 0
Hãy viết phơng trình hình chiếu của (d) lên (P)
Bài10: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8)
1) CM: SB OA.
2) CMR: hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (OAB) OA. Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với OA. Hãy xác định toạ độ điểm K.
3) Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh SO, AB. Tìm toạ độ của điểm M trên
SB sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài11: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0
Bài12: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và (P).
2) Viết phơng trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K
đối xứng với A qua (P).
Bài13: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện
với đỉnh O của hình hộp đó.
1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu của C xuống (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để
hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng xOy.
Nguyn Ngc Ton 0943898
11
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Bài14: Cho (d):



=
=
017322
0322

zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài15: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phơng trình tham số của BC. Hạ AH BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phơng trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BCD).
Bài16: Cho A(2; 3; -1) (d):
1
3
42

==
z
y
x
Lập phơng trình đờng thẳng qua A (d) cắt (d).
Bài17: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài18: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d):
2
2
1
1
1
1 +
=

=
+ z
y
x
Tìm điểm M (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
V) mặt cầu:
Bài1: Cho tứ diện ABCD với A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1; -1).
1) CMR: tứ diện ABCD có các cặp đối vuông góc với nhau.
2) Tính góc giữa đờng thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
3) Thiếp lập phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài2: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
1) Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).
3) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
Bài3: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D': A O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1).
Gọi M là trung điểm của AB và N là tâm hình vuông ADD'A'.
1) Viết phơng trình của mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D', M, N.
2) Tính bán kính đờng tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A' , B, C, D.
3) Tính diện tích thiết diện của hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cắt bới mặt phẳng
(CMN).
Bài4: Cho (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):

=+
=+
032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).
Nguyn Ngc Ton 0943898
12
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
VI) ph ơng pháp giải tích giải các bài toán hình học không gian:
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông
góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) M, N lần lợt cà trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách
từ MN đến (SBD).
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Biết
rằng số đo góc nhị diện (B, SC, D) bằng 150
0
.
1) Tính SA.
2) Tính số đo của các góc phẳng nhị diện: (S, BC, A) ; (S, BD, A) và (SAB, SCD).
3) Tính khoảng cách giữa SC và BD.
4) Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA = a, AD = 2a;
SA (ABCD).

1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung
điểm I của cạnh SC đến mặt phẳng (SBD).
2) Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).
Bài4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và IS =
2
3a
. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
BC, SD, SB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1) NP và AC 2) MN và AP
Bài5: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3a
, SO =
3
6a
và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD).
1) CMR: ASC vuông.
2) CMR: (B, SA, D) là nhị diện vuông.
3) Tính số đo góc phẳng nhị diện (S, BC, A).
Bài6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a,
AD = DC = a, SA = a
2
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1) (SBC) và (ABC) 2) (SBC) và (SAB) 3) (SBC) và (SCD)
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với DC =
2a, AB = AD = a, SD = a và vuông góc với đáy.
1) CMR: SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đờng tròn đờng
kính AB = 2a, SA = a
6
và vuông góc với đáy.
Nguyn Ngc Ton 0943898
13
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng song song với
mặt phẳng (SAB) và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông
góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC).
3) Tính khoảng cách giữa AM và SC.
4) Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB = a, SA =
a
2
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài đoạn vuông góc chung
của SM và BC.
Bài11: Cho ABC có đờng cao AH = a
3
, đáy BC = 3a, BC chứa trong mặt phẳng (P).

Gọi O là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi OBC vuông tại O, tính góc giữa mặt
phẳng (P) và (ABC).
Bài12: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Gọi
D, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'. Tính khoảng cách giữa:
1) A'B và B'C 2) A'B và B'C' 3) DE và AB' 4) DE và A'F
Bài13: Cho hình lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' cạnh đáy bằng a. Góc giữa AC' và đáy
bằng 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
Bài14: Trong mặt phẳng cho ABC vuông tại A có BC = 2a, góc ACB = 60
0
. Dựng hai
đoạn BB' = a, CC' = 2a cùng vuông góc với và cùng một phía đối với . Tính khoảng
cách từ:
1) A đến mặt phẳng (A'BC). 2) A' đến mặt phẳng (ABC').
3) B' đến mặt phẳng (ABC'). 4) C' đến mặt phẳng (ABB').
5) Trung điểm của B'C đến mặt phẳng (ACC').
6) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB'C').
Nguyn Ngc Ton 0943898
14