Sáng kiến kinh nghiệm môn Vật Lý

Bài toán cực trị trong vật lý
bài toán cực trị trong vật lý
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
- Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lợng kiến thức mới và
nhiều đòi hỏi các em phải tập trung t duy cao trong bài học. Với vốn kinh
nghiệm giải bài tập còn ít, khả năng nhận thức của học sinh không đều, một số
học sinh còn máy móc dập khuôn những lời giải có sẵn cha phát huy tối đa
năng lực giải bài tập của mình.
- Bên cạnh việc phải đổi mới phơng pháp dạy học phù hợp với chơng
trình và kiến thức sách giáo khoa mới hịên nay thì chúng ta cũng nên chú ý đến
kĩ năng giải các bài tập của học sinh. Cần cho học sinh thấy đợc cái hay trong
các bài toán vật lý.
2. Cơ sở thực tế
- Bằng thực tế giảng dạy, bồi dỡng HSG qua một số năm Tôi nhận thấy
bài toán cực trị trong vật lý là một trong những bài toán mà các em học sinh
rất hay bắt gặp trong các đề thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10
chuyên. Khi gặp bài toán này thực tế cho thấy nhiều học sinh còn gặp khó khăn
vì nó là một trong những bài toán khó, để giải đợc bài toán này không những
học sinh phải nắm tốt các kiến thức vật lý mà bên cạnh đó các em còn phải có
một kiến thức toán tơng đối tốt.
- Mặc dù đây là một dạng toán khó nhng rất ít các cuốn sách tham khảo
viết về dạng toán này, có chăng chỉ đề cập đến một vài bài trong một số đề thi
chứ không phân thành dạng cụ thể.
- Trên cơ sở đó Tôi đã mạnh dạn quyết định lựa chọn đề tài này.
II. Mục đích.
- Giúp các em học sinh khi gặp các bài toán thuộc loại này có thể đa ra
đợc hớng đi để giải quyết một cách nhanh chóng bài toán.
- Là một tài liệu mà các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình ôn
thi học sinh giỏi cũng nh ôn thi vào lớp 10.

B. Giải quyết vấn đề
I. Phơng pháp nghiên cứu.
- Thông qua thực tế giảng dạy, điều tra, trắc nghiệm, thực nghiệm, khảo
sát, phân tích so sánh, tổng hợp
- Qua trao đổi, giao lu, học hỏi các kinh nghiệm của đồng nghiệm, đồng
thời tự học, tự nâng cao, tự bồi dỡng.
- Dự giờ rút kinh nghiệm.
- Trao đổi trực tiếp với các đối tợng học sinh ngoài giờ lên lớp.
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
1
Bài toán cực trị trong vật lý
II. Tiến trình
1. Các kiến thức cần thiết.
1.1 Bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Côsi cho hai số.
Cho hai số dơng bất kỳ a và b ta luôn có:

abba .2+
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai số khi
tích của chúng là một số không đổi.
Dấu = xẩy ra
ba =
Bất đẳng thức Côsi cho 3 số.
Cho 3 số dơng a, b, c ta luôn có:

3
abccba ++
Dấu = xẩy ra
cba
==

Một số dạng khác của bất đẳng thức Côsi.
Dạng 1:
2
2222
2
422






+
+++
ba
abababbaabba
Bất đẳng thức này dùng để tìm giá trị lớn nhất của tích hai số khi tổng của
chúng là một số không đổi.
Dạng 2:
( ) ( )
222222222
2)(222 bababaabbaabba ++++++
1.2. Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 )
Phơng trình có nghiệm
0

( Hoặc
0
,

)
1.3. Các công thức của phần vật lý lớp 8, 9.
2. Một số l u ý trong quá trình t duy tìm lời giải.
Bài toán: Cho một đại lợng vật lý a nào đó biến đổi. Tìm giá trị cụ thể của a để
đại lợng vật lý b (a và b có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất?
H ớng chung để giải
B
1
: Xác định (lựa chọn) một đại lợng vật lý nào đó có mặt trong bài toán
làm ẩn nếu đề bài cha nói rõ. Với bài toán ta đặt ra ở đây ta chọn a làm ẩn.
B
2
: Dựa vào đề bài tìm mối quan hệ giữa a và b dới dạng:
b = f(a)
Trong đó a là ẩn, b là hàm của a.
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
2
a
m
n
b
Bài toán cực trị trong vật lý
B
3

: Dựa vào kiến thức toán (bất đẳng thức Côsi, điều kiện có nghiệm của
phơng trình bậc hai, ) để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của b.
3. Một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1: Cho điện trở AB có R
AB
= 27

,
trên AB ngời ta mắc thêm 2 con chạy M và N.
Nối điện trở AB vào mạch điện theo sơ đồ nh
hình vẽ. Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi và bằng 9V. Khi M và N
dịch chuyển trên AB thì với những giá trị nào của các điện trở R
AM
, R
MN
, R
NB
để
cờng độ dòng điện qua nguồn đạt cực tiểu?
Định hớng tìm lời giải:
+ Chọn đại lợng làm ẩn số: ta nhận thấy khi M, N di chuyển thì R
AM
,
R
MN
, R
NB
thay đổi theo do đó ta chọn R
AM
, R

MN
, R
NB
làm ẩn.
+ Biểu diễn cờng độ dòng điện mạch chính I theo R
AM
, R
MN
, R
NB
.
I = f(R
AM
, R
MN
, R
NB
)
Lời giải chi tiết.
Mạch điện đợc vẽ lại nh hình vẽ.
Đặt: R
AM
= x, R
MN
= y, R
NB
= z
Theo bài ra ta có: x + y + z = 27 (*)
Điện trở tơng đơng của đoạn mạch

zyxR
td
1111
++=
Cờng độ dòng điện mạch chính









++==
zyxR
U
I
td
111
9
Đến đây ta xét bài toán: Cho x, y, z > 0 thoả mãn điều kiện x + y + z = 27.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

++=
zyx
I
111
9
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng
zyx
1
;
1
;
1
ta có:

3
1
z y x
9
3
z y x
33111
3
=
++
=

++
++
xyz
zyx


9
3
9111









++
zyx

3 I
(1)
Vậy I
min
= 3A
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
3

R
AM
R
MN
R
NB
A
N
M
B
Bài toán cực trị trong vật lý
Dấu = xảy ra
zyx
zyx
zyx
==





==
==

111
(2*)
Từ (*) và (2*) ta có x = y = z = 9

Vậy để cờng độ dòng điện qua nguồn đạt giá trị nhỏ nhất là 3A thì ta
phải di chuyển M và N sao cho R

AM
= R
MN
= R
NB
= 9

.
Bài toán 2:
Từ hai bến A và B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành.
Khi nớc chảy do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với bờ
theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, còn chiếc ca nô từ B chạy vuông góc
với bờ có vận tốc là 18 km/h. Quãng đờng AB dài 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ
nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nớc chảy từ A
đến B với vận tốc 6 km/h. Biết rằng sức đẩy của các động cơ không thay đổi.
Định hớng tìm lời giải:
+ Khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động thay đổi theo thời
gian nên ta có thể chọn thời gian làm ẩn.
+ Lựa chọn giải bài toán trong hệ quy chiếu nào (chọn hệ quy chiếu).
+ Gọi khoảng cách gữa hai xe trong quá trình chuyển động là CD. Biểu
diễn độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ giữa CD với t).
Bài giải chi tiết
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với bờ sông.
Vận tốc của mỗi canô đối với bờ sông.

( )
hkmvvv
OAAO
/30624 =+=+=

( )
hkmvvv
BOBO
/10.6618
2222
=+=+=

10
3
10.6
18
===
BO
B
v
v
Sin


10
1
10.6
6
===
BO
O
v
v
Cos

10.6
6
Độ dài quãng đờng hai ca nô đi
đợc trong thời gian t.
Ta có:
ttvAC
AO
.30. ==
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
4
A
B
v
AO

A
v
B
v
BO
v
o
v
A
v
o
B
v
AO

A
v
BO
C
D
H
B
Bài toán cực trị trong vật lý

tttBHCBCH
ttSinBDDH
ttCosBDBH
tACABCB
ttvBD
BO
2416301
18
10
3
106.
6
10
1
106.
301
.106.
=+=+=
==
===
==

==


áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có:
CD
2
= CH
2
+ HD
2
CD
2
=
( ) ( )
22
18241 tt +
CD
2
= 900t
2
48t + 1
y = 900t
2
48t + 1 (1)
(Trong đó CD
2
= y)
Đến đây ta gặp bài toán: Tìm t dơng để y đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có thể trình bày theo hai hớng.
Hớng thứ nhất: Dựa vào điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai

Ta có:
0y-1 48t 900t)1(
2
=+
(2)
Phơng trình (2) có nghiệm
0
'


( ) ( )
( )
kmCDy
y
y
6,036,0
36,0
01.90024
min
min
2
==


Hớng thứ hai: Biến đổi VP
(1)
về dạng A
2
+ B
Ta có:

( )
1
30
24
30
24
.
30
24
.30.230
22
2
+













+= tty


( )

kmCDy
y
ty
6,036,0
36,0
25
9
25
9
5
4
30
minmin
2
==
=
+






=
Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt nớc.
Độ dài quãng đờng mà hai canô đi đợc sau thời gian t lần lợt là:
AA = v
1
t = 24t
BB = v

2
t = 18t
áp dụng định lý Pitago
Trong tam giác vuông ABB ta có:
AB
2
= AB
2
+ BB
2
AB
2
= ( AB AA )
2
+ BB
2
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
5
A
A
B


B
v
A
v
B
Bài toán cực trị trong vật lý
AB

2
= ( 1- 24t )
2
+ (18t )
2
y = 900t
2
48t + 1 (1)
Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu trên ta có thể giải bài toán mà hệ quy
chiếu gắn với một trong hai canô.
Chọn ca nô đi từ A làm mốc khi đó
Dòng nớc chuyển động ngợc lại so với ca nô đi từ A với vận tốc v
1
.
Vận tốc của ca nô B so với ca nô A là:
v
21
=
( )
hkmvv /30
2
1
2
2
=+
tBBS 30'
2
==
Ta có: HB = BB.sin
t

v
v
BB 18'.
21
1
==

t
v
v
BBBBHB 24'.cos'.
21
1
===

áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB ta có:
AB
2
= AH
2
+ HB
2
AB
2
= ( 1-24t )
2
+ ( 18t )
2
y = 900t
2

48t + 1 (1)
Bài toán 3: Cho mạch điện nh hình vẽ.
Biết hiệu điện thế giữa hai đầu mạch không đổi là U = 12V, R = 4

.
Phải điều chỉnh biến trở có điện trở R
b
có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu
thụ trên R
b
lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó?
Định hớng tìm lời giải
+ Do khi điều chỉnh biến trở thì điện trở của biến trở thay đổi kéo theo
công suất tiêu thụ trên nó cũng thay đổi nên ta chọn R
b
làm ẩn.
+ Biểu diễn P
b
theo R
b
.
Lời giải chi tiết.
Công suất tiêu thụ trên biến trở
Ta có:
bbbb
RIRIP
22
==

( )

2
2
4
.144
.
b
b
b
bo
b
R
R
R
RR
U
P
+
=








+
=

( )

2
4
.144
x
x
P
b
+
=
(Với R
b
= x)
Đến đây ta gặp bài toán: Cho biểu thức
( )
2
x4
144.x
b
P
+
=
(với x > 0). Tìm x để P
b

đạt giá trị lớn nhất?
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
6

A
B

B
v
1
v
2
v
21
H
R
b
R
U
Bài toán cực trị trong vật lý
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng 4 và x ta đợc:

( )
( )
WP
P
x
x
x
x
xx
xx
b
b
9

9
9
4
.144
4
.144
44
424
max
22
=

=
+

+
+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 4 hay R
b
= 4

Vậy để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất là 9W thì ta phải
điều chỉnh biến trở sao cho điện trở của biển trở tham gia vào mạch điện là R
b
=
4

.
Bài toán 4: Cho mạch điện nh hình vẽ
Biết R

o
= 6

, hiệu điện thế giữa hai
đầu mạch không thay đổi và bằng 30V,
biến trở có điện trở lớn nhất là R. Vôn kế
có điện trở rất lớn và ampekế có điện trở
không đáng kể. Khi di chuyển con chạy C
của biến trở R ta thấy có một vị trí mà tại
đó ampekế chỉ giá trị nhỏ nhất bằng 1A và
khi đó vôn kế chỉ 12V. Hãy xác định các
giá trị của R
1
và R.
Định hớng tìm lời giải:
+ Bài toán dờng nh có hai ẩn (R
1
và R) nhng thực tế nó còn xuất hiện thêm
một ẩn nữa là x (với x là điện trở đoạn MC của biến trở). Nh vậy ta phải thành
lập đợc 3 phơng trình đại số nói lên mối quan hệ giữa 3 ẩn trên.
+ Ta thấy trong 3 ẩn trên chỉ có x thay đổi còn R
1
, R không đổi.
+ Tìm mối quan hệ giữa x và số chỉ của ampekế.
Lời giải chi tiết
Đặt R
MC
= x (Với
Rx

0
)
Điện trở tơng đơng của đoạn mạch

( ) ( )
1
1
2
1
1
66
Rx
RRxRx
RxR
Rx
xR
R
otd
+
++++
=++
+
=
Cờng độ dòng điện mạch chính

( )
( ) ( )
66
1
2

1
++++
+
=
RRxRx
RxU
I
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
7
A
C
R
R
1
R
o
U
V
M
N
Bài toán cực trị trong vật lý
Số chỉ của ampekế

( ) ( )
66
.
1
2
1
1

1
++++
=
+
=
RRxRx
UR
I
Rx
R
I
A

( ) ( )
66
30
1
2
1
++++
=
RRxRx
R
I
A

( ) ( )
66
30
1

1
+++
=
RRxRx
R
I
A
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng x và (R + 6 + x)
Ta có:
2
2
6
)6(






++
+
xRx
xRx

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
646
120
646
4 30
66
30
6
4
6
6)6(
4
6
)6(
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
+++

+++

+++

++
+
+++
+
+
RRR
R
I
RRR
R
RRxRx
R
RR
R
RRxRx
R
xRx
A
Dấu = xảy ra

x = R + 6 x
2
6+
=
R
x
(1)
Khi đó I

Amin
=
( ) ( )
646
120
1
2
1
+++ RRR
R
= 1 (2)
Theo bài ra ta có:
=== 12
1
12
A
V
I
U
x
Từ (1)
== 1862xR
Thay R = 18

vào (2) ta đợc:

( ) ( )
=
=
+++

24
1
6184618
120
1
1
2
1
R
R
R

Bài toán 5: Một vật sáng nhỏ AB đặt trên trục chính, vuông góc với trục chính
của một thấu kính hội tụ có tiêu cự 20cm. Dịch chuyển AB dọc theo trục chính.
Hỏi khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật của nó là cực tiểu thì ảnh đó lớn gấp
bao nhiêu lànn vật?
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
8
Bài toán cực trị trong vật lý
Lời giải
Đặt OA = d; OA = d
Khoảng cách giữa AB và ảnh AB là L = OA + OA = d + d hay d = L d
Ta có ABO ABO ( g.g )

''''
d
d
OA
OA
BA

AB
==
(1)
Ta lại có OIF ABF ( g.g )

''
'
''
FA
OF
BA
OI
=
Mà: AB = OI
Do đó:
''
'
''
'
''
OFOA
OF
FA
OF
BA
AB

==

fd

f
BA
AB

=
'''
(2)
Từ (1) và (2) ta có:

fdfdd
fd
f
d
d
''
''
)( =

=
Với d = L d
fdLfdLd )()( =

0
2
=+ LfdLd
(*)
Phơng trình (*) có nghiệm
0
Hay:
0 4

2
LfL
0)4( fLL
04 fL
( Do L > 0 )
fL 4
Vậy L
min
= 4f khi đó phơng trình (*) có nghiệm kép
Do đó ta có:
fffdf
L
d 2242
2
'
====
Thay d = 2f và d = 2f vào (1) ta có:

''
1
2
2
'''
BAAB
f
f
d
d
BA
AB

=
===
Vậy khi khoảng cách giữa AB và ảnh thật AB của nó là cực tiểu thì ảnh
AB có chiều cao bằng vật AB.
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
9
A
B
O
A
I
F
F
B
Bài toán cực trị trong vật lý
C. Kết thúc vấn đề
1. Hiện nay qua 5 năm thay sách giáo khoa mới với một chơng trình
kiến thức rộng mở, đối với chơng trình vật lý 8, 9 đã có nhiều học sinh có
những lời giải hay độc đáo và chính xác. Đây cũng là bớc phát triển mới trong
t duy của học sinh.
2. Tuy nhiên vẫn còn nhiều học sinh cha tìm ra đợc các cách giải cho
một bài toán vật lý, chính vì vậy các thầy cô giáo là những ngời tổ chức điều
khiển, lựa chọn phơng pháp vào một lời giải hay, đảm bảo độ chính xác cao,
trình bầy khoa học, phù hợp với những đối tợng học sinh.
3. Trên đây là một số kinh nghiệm của Tôi trong dạy ôn HSG về
chuyên đề bài toán cực trị trong vật lý. Dù đã rất cố gắng đa ra đợc một số
hớng để giải bài toán loại này nhng do tuổi nghề còn trẻ mà kiến thức thì rất
rộng lớn nên đề tài này chắc chắn là còn có hạn chế do đó rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến của các đồng chí, đồng nghiệp và bạn bè để tôi có đợc nhiều
kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy.

Yên Nhân. ngày tháng năm 2009
Ngời thực hiện

Hoàng Quốc Tuấn
Hoàng Quốc Tuấn - giáo viên THCS Yên Nhân
10