Ôn Tập Đại Số 9 Đầy Đủ

Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Chơng I
Căn bậc hai - căn bậc ba
I. Các kiến thức lý thuyết của chơng.
+) Nếu a 0, x 0,
a
= x <=> x
2
= a
+)
AA =
2
+) Để
A
có nghĩa thì A 0
+)
)0,0(. = BABAAB
+)
B
A
B
A
=
( A 0, B > 0)
+)
)0(
2
= BBABA
+)

=
0,0;
0,0;
2
2
BABA
BABA
BA
+)
B
BA
B
A
=
( A và B cùng dấu, B 0)
+)
B
BA
B
A
=
(A 0, B > 0)
+)
);0,(
)(

CBCB
CB
CBA
CB
A



=
+
+)
);0,(
)(
CBCB
CB
CBA
CB
A


+
=

+)
);0(
)(
2
CBB
CB
CBA

CB
A


=


Lu ý:
CB +
và
CB
đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau,
CB +
và
CB
cũng đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau
II. Các dạng toán về căn bậc hai
A. đối với học sinh tb, yếu
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định
1
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
1. Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức
+ Nếu biểu thức chứa biến nằm trong căn bậc hai .Tìm điều kiện của biển để biểu
thức trong căn không âm.
2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn
- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1)
(1) ax - b (*) ( Chuyển vế)
Nếu a > 0, (*) x
a
b

( Chia cả hai vế cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi chiều)
Nếu a < 0, (*) x
a
b

(Chia cả hai vế cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều)
- Ví dụ: 2x - 1 0 2x 1 x
2
1

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
a)
3x
; b)
12 x
; c)
23 +x
Giải
a) Để
3x
có nghĩa thì x - 3 0 x 3.
b) Để
12 x
có nghĩa thì 2x - 1 0 2x 1 x
2
1
c) Để
2

2
3
+x
có nghĩa thì
2
3
x + 2 0
2
3
x -2 x
3
4

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các biểu thức sau
a)
2+ x
; b)
2
3
1
+ x
; c)
3
2
2 x
; d)
1
2
+x
Giải

a) Để
2+ x
có nghĩa thì -x + 2 0 - x -2 x 2.
Vậy tập xác định của
2+ x
là {x/ x 2}
b) Để
2
3
1
+ x
có nghĩa thì -
3
1
x +2 0 -
3
1
x - 2 x 6
Vậy tập xác định của
2
3
1
+ x
là {x/ x 6}
c) Để
3
2
2 x
có nghĩa thì
3

2
2 x
0 -2x
3
2
x
3
1

Vậy tập xác định của
3
2
2 x
là {x/ x
3
1

}
2
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
d) Do x
2
0 với mọi x nên x
2
+ 1 1 với mọi x, do đó
1
2
+x
luôn có nghĩa với mọi x.
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai

1. Kiến thức cần nắm
- Đa thừa số vào trong dấu căn, đa thừa số ra ngoài dấu căn.
-
baba =
(a, b 0)
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh: a)
15
và 4; b) 2
5
và
23
c) 3
2
và 2
3
Giải:
a) Ta có: 4 =
16
mà
15
<
16
do đó
15
< 4
b) Ta có: 2
205 =
mà
20

<
23
do đó 2
5
<
23
c) Ta có: 3
2

18=
;
1232 =
mà
18
>
12
do đó 3
2
> 2
3
Ví dụ 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần
12; 6
3
; 5
5
; 8
2
Giải:
Ta có: 12 =
144

; 6
3
=
108
; 5
5
=
125
; 8
2
=
128

Mà
108
<
125
<
128
<
144
Vậy ta có: 6
3
< 5
5
< 8
2
< 12
Dạng 3: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn - Rút gọn
1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn

+ Vận dụng chính xác hằng đẳng thức
AA =
2
+) Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu.
+) Quy tắc khai phơng chỉ áp dụng cho tích và thơng(không áp dụng cho tổng và hiệu)
2. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai.
+) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu
+) So sánh các căn bậc hai
+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
-) (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
-) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
-) a
2
- b
2
= (a - b)(a + b)
-) a
3
+ b

3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
)
-) a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
-) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b

+ 3ab
3
+ b
3
3
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
-) (a - b)

3
= a
3
- 3a
2
b

+ 3ab
3
- b
3
+) Tính chất cơ bản của phân số
)0,0(;
.
.
=
mb
b
a
mb
ma
+) Phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:Tính a)
56.14
b)
12.
7
3
3.

2
1
3
c)
50182 +
Giải a)
56.14
=
282.144.144.144.14.1456.14
22
=====

b)
121212.
7
24
.
2
7
12.
7
24
.
2
7
12.
7
3
3.
2

1
3
2
====
c)
50182 +
=
2
+3
2
-5
2
= (1 + 3 - 5)
2
=
2
Ví dụ 2: Rút gọn a)
;)7()5(
22
+
b)
2
)31(
c)
22
)32()32( +
Giải a)
22
)7()5( +
=

75 +
= 5 + 7 = 12
b)
2
)31(
=
31
=
13
c)
22
)32()32( +
=
323232)32()32(3232 ==+=+
Ví dụ 3: Rút gọn
a)
22
21


b)
a
a
+

1
1
( a 0) c)
31
1

31
1
+


, d)
xx
+
+ 1
2
1
2
( 0 x 1)
Giải a)
22
21


=
2
1
)12(2
21
=


b)
a
a
+

1
1
=
a
a
aa
=
+
+
1
1
)1)(1(
(a 0)
c)
31
1
31
1
+


=
2
)31(31
31
31
31
31
)31)(31(

31
)31)(31(
31

+
=




+
=
+


+
+
=
3
2
32
2
3131
=

=

++
d)
xx

+
+ 1
2
1
2
=
)1)(1(
)1(2
)1)(1(
)1(2
xx
x
xx
x
+
+
+
+

=
x
x
x
x

+
+


1

22
1
22
=
xx
xx

=

++
1
4
1
2222
(0 x 1)
4
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

+

x
x
xx 2
4
.
2
1
2
1
Với 0 < x 4
b) B =







+

+
+

1
1
:
11
x
x
x
x
x
x
Với 0 x 1
c) C =
)1(22.
2
1
.
1
1
2
>+


xx

x
x
Giải:
a) Ta có : A =

















+


+
+
x
x
xx
x

xx
x
2
4
.
)2)(2(
2
)2)(2(
2
=
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
2
4
.
4
22
2
4
.
4
2

4
2

++
=





















+
=
1
2

4
.
4
2
=


x
x
x
x
(Với 0 < x 4)
b) Ta có: B =







+








+

+

1
1
:
11
x
x
x
x
x
x
=
1
1
.
)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
+

+

+
+
+
x
x
xx
xx
xx
xx
=
1
2
1
1
.
11 +
=
+

+

+
x
xx
x
x
x
xxx
x
xxx
Với 0 x 1
c) Ta có: C =
)1(1)1(
)1(2
)1)(1)(1(2
)22.(
2
1
.
1
1
2
2
>+=+=

++
=+

xdoxx
x
xxx
x
x
x

Bài tập
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a)
53 +x
b)
3
2
+x
; c)
12 + x
Bài 2: So sánh :
a) 2 và
5
b) 3
2
và
17
c)
6
1
26
2

1
v

Bài 3: Tính :
a)
75.12
b)
25
36
.
25
24
1.
9
7
2
c)
12
21
7
25
d)
0,04.25
;
e)
90.6,4
; f)
25
121
g)

9
1
16
h)
2
18

Bài 4. Tìm x biết:
5
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
a.
2
5x =
; b.
2
10x =
; c.
2
9 6x =
Bài 5: Rút gọn
a)
80205 ++
b)
24.23123 ++
c)
16x4xx +
(x
) 0
Bài 6 . Giải phơng trình
a. 2

2 3 2 2 8x x x + =
b.
1 3 4 4 16 16 6x x x+ + + + =
Bài 7: Tính
a)
2
)21(
b)
3)23(
2
+
Bài 8 : Tính:
a)
22
7)7( +
b)
22
)52()35( +

Bài 9. Phân tích thành nhân tử
a. x
2
- 7; b.
27 18
; c.
15 12
Bài 10: Rút gọn:
a)
55
15

b)
aa
a
+
+1
(với a > 0) c)
1
1
+

a
a
(với a 0)
Bài 11: Rút gọn:
a)
32
1
32
1
+
+

b)
21
2
21
2
+

c)
52
1
32
1

+

Bài 12: Rút gọn:
a)
1
1
1 +
+
xx
1
b)
yxyx

+
11
Bài 13 : Rút gọn:
a)
2
9
.
3
1

3
1








+


x
xx
b)
4
1
:
2
2
2
2

+
+
+

x
x
x
x
x
B. đối với học sinh Khá, giỏi
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định
* Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức
+ Nếu biểu thức chỉ chứa biến ở mẫu. Tìm điêù kiện của biển để mẫu khác 0.
6
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
+ Nếu biểu thức chỉ chứa biến nằm trong căn bậc hai ( Hoặc chẵn). Tìm điều kiện
của biển để biểu thức trong căn không âm.
+ Nếu biểu thức có biến vừa nằm trong dấu căn vừa nằm ở mẫu thì ta tìm điều kiện
của biến để vừa thoả mãn cả mầu khác 0 và biểu thức dới dấu căn không âm.
2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn
-) Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1)
-) Tích a.b âm khi a và b khác dấu, tích a.b dơng khi a và b cùng dấu
( Hay nói cách khác: a.b 0

0
0
0
0
b
a
b
a
; a.b 0

0
0
0
0
b
a
b
a


0
b
a






0
0.

b
ba
;
0
b
a





0
0.
b
ba
-)
a
n
xx ==
n
a
( a
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
a)
3
1
2
3
x

+
12 x
; b)
2
23
+
+
x
x
c)
12
3
+

x
x
Giải
a) Để
3
1
2
3
x
+
12 x
có nghĩa thì
2
1
2
1

9
2
12
3
1
2
3
012
0
3
1
2
3

x
x
x
x
x
x
x
b) Để
2
23
+
+
x
x
có nghĩa thì
2
3
2
2
3
2

2
23
02
023
<





<





>





>+

x
x
x
x
x
x

x
c) Để
12
3
+

x
x
có nghĩa thì




<

<






>












<+




>+


+

2
1
3
2
1
3
2
1
3
012
03
012
03
0
12
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
a)

1
2
x
; b)
)1)(2( + xx
; c)
23
2
+ xx
, d)
32
24
+ xx
Giải
7
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
a) Cách 1: Để
1
2
x
có nghĩa thì x
2
- 1 0 x
2
1 x -1 hoặc x 1
Cách 2: Để
1
2
x
có nghĩa thì x

2
- 1 0 (x-1)(x+1) 0










+




+

01
01
01
01
x
x
x
x

1
1
1
1
1
1
x
x

x
x
x
x
(Theo cách giải 1 thì ta thấy đơn giản hơn nhng Cách giải 2 lại áp dụng cho nhiều bài
tập dạng nh câu b và câu c)
b) Để
)1)(2( + xx
có nghĩa thì ( x - 2)( x+ 1) 0










+




+

01
02
01
02

x
x
x
x


















1
2
1
2
x
x
x
x

1
2
x
x
c) Để
23
2
+ xx
có nghĩa thì - x
2
+ 3x - 2 0 (1 - x)(x - 2) 0

21
2
1
2
1
02
01
02
01

x
x
x
x
x
x
x
x
x

d) Để
32
24
+ xx
có nghĩa thì x
4
+ 2x
2
- 3 0 (x
2
- 1)(x
2
+3) 0 x
2
- 1 0
x 1 hoặc x -1
Ví dụ 3: Tìm điều kiện để

32
2
+ xx
có nghĩa
Giải
Để
32
2
+ xx
có nghĩa thì x
2
- 2x + 3 0 x
2
- 2x +1 + 2 0 (x +1)
2
+ 2 0
Ta thấy (x + 1)
2
0 nên (x +1)
2
+ 2 2
Vậy với mọi x thì
32
2
+ xx
luôn có nghĩa.
Dạng 2: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn
8
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn

+ Vận dụng chính xác hằng đẳng thức
AA =
2
+ Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu.
3. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai.
+) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu
+) So sánh các căn bậc hai
+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) Tính chất cơ bản của phân số
)0,0(;
.
.
=
mb
b
a
mb
ma
+) Phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Rút gọn : a) A=
324
b) B =
)622.(3814
+
;
c) C =
347
+

347 +
d) D =
62725
Giải:
a) A =
1313)13(1323
2
===+
b)B =
)622.(3814
+
=
)622(48214 +
=
)68.(66.828 ++
=
268)68)(68()68()68(
2
==+=+
c) C =
347
+
347 +
=
22
)32()32(32.2732.27 ++=+

= 2-
3
+ 2 +

3
= 4
d)D=
62725
=
627)16(25)16(25162625
2
===+
=
16)16(
2
=
Ví dụ 2: Rút gọn: a) A =
3232 ++
b) B =
3535 +
Giải:
a) * Cách 1: Ta có A
2
=
22
)13()13(324324 ++=++

321313 =++=
A =
6
2
32
=
* Cách 2: Ta có: A

2
=
63234232 =+++
. Do A > 0 nên a =
6
9
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
b) Ta có: B
2
=
222103522235)35(35.352)35(
22
=++=+++

Do B < 0 nên B = -
22210
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với x, y dơng thì biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
x
A =
xy
xyyx
yx
xyyx

+
+ 4)(
2
Giải:
Ta có: A =
yx

yx
xyyx
xy
yxxy
yx
xyxyyx
+
+
++
=


+
++ 2)(42
=
yx +
-
yx +
= 2
y
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A =
33
257257 ++
Giải:
Cách 1: Ta có
21
3
)226 +=+=+++=+
3

3
3
2(1231257
Tơng tự ta có
3
257
= 1 -
2
Do đó: A = (1 +
2
) +(1 -
2
) = 2
Cách 2:Ta có A
3
=
3
))()(3 25725(7257257257257
33
++++++
= 14 - 3A A
3
+ 3A - 14 = 0 (A - 2)(A
2
+ 2A + 7) = 0
A = 2 ( do A
2
+ 2A + 7 6)
Bài tập
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức

a)
42
1
2
x
;
b)
391
2
+ x
; c)
12
12


xx
x
; d)
12
332
+
+
x
xx
Bài 2. Tìm a để các căn thức sau đây có nghĩa
a.
2
3
a
; b.

3
1a
; c.
5
6a

+
; d.
2
1a +
Bài 3 : Tính
a)
6 2 5+
b)
5 2 6
c)
7 2 10 2 +
d)
aa 58
3
3

10
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Bài 4: Rút gọn:
A = (2
3
+ 3
2
):

6
- 2
2
B =
56145614 +
C =
7474 +
D =
5122935
E=
3122113
+
3122113

Bài 5: Tìm x

a)
16 8x =
b)
4 5x =
c)
( )
9 1 21x =
d)
( )
2
4 1 6 0x =
Bài 6: Rút gọn
A =
xx

xx
321
12
+
+
B =
1
22
1
22
1

+
+


a
a
aa
;
C =

+
+
+
+
xx
x
xx
x
xx
xx 2
1
11
:
12
Bài 7 . Tìm ĐKXĐ và Rút gọn
A =
1212 ++ xxxx
; B =
422422 ++ xxxx
C =
2
1
1
1
1

+


a
a
a
a
aa
; D =
12
11


xx

x
Bài 8. a, Cho a =
2
21
,
2
21
=
+
b
Tính S = a
7
+ b
7
b, Cho a = 2 +
3
, b = 2 -
3
, S
n
= a
n
+ b
n
( n là số tự nhiên)
1, Tính S
3
, S
4
, S

5
2, Chứng minh với mọi n ta có S
n + 2
= 4S
n + 1
- S
n
Bi 9 : Cho biu thc
1 2 1
2 3 1 3
x
A
x x x x

= +
+ +
.
a) Rỳt gn A.
b) Tớnh giá tr ca biu thc A khi
11 6 2x =
.
c) T ỡm giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr l mt s nguyờn ?
Bài 10. Cho biểu thức

+
++










+=
3
42
2
5
1
x
xx
x
x
P

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 1 .
11
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Bài 11: Cho ax

3
= by
3
= cz
3
và
1
111
=++
zyx
Chứng minh:
333
3
222
cbaczbyax ++=++
Bài 12: Cho P =
9x
x113
3x
1x
3x
x2






+
a) Với các giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa

b) Rút gọn P
c) Tìm x để P < 1
Bài 13: Rút gọn các biểu thức:
A =
2006
2
1.
2009
2
1
5
2
1.
4
2
1.
3
2
1 +++++
B =
*
;
1
1

43
1
32
1
21

1
Nn
nn

++
++
+
+
+
+
+
Đề kiểm tra chơng I
Đề 1
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức
a)
32 x
b)
3
2
x
Câu 2: Tính
a)
63
2
1
287 +
b)
2
)625(

-5
Câu 3: Cho biểu thức: A =








+










+
+
1
1
1
1
:
1
1

1
1
xxxx
Với 0 x 1
a) Rút gọn A
b) Với giá trị nào của x thì A = 1
Câu 4: Cho biết
1116126
22
=++ xxxx

Tính
116126
22
+++ xxxx
đề 2
Phần trắc nghiệm : (3đ)
Khoanh tròn vào các kết quả mà em cho là đúng
a) Giá trị của biểu thức
121
16
.
81
49
bằng
A.
11
7
B .
9

4
C.
9
7
D .
99
28
12
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
a) Giá trị của biểu thức
2
)32(
bằng
A . 1 B .
23
C .
32
D. 4 -
3
b) Điều kiện xác định của biểu thức
12 x
là
A. x >
2
1
B . x


2
1

C . x <
2
1
D . x


2
1
c) Nghiệm của phơng trình
2
)32( +x
= 5 là
A . 1 ; 4 B . -1 ; 4 C. 1; - 4 D . -1 ; - 4
Phần tự luận :
Bài 1 ( 3đ ) Rút gọn biểu thức
a) A =
200
-
32
+
72

b) B = 4
20
- 3
125
+ 5
45
- 15
5

c)
3
1
3 2 18 4 128
2 4
a
C a a a= +
với a > 0
Bài 2 (1đ) So sánh các số sau.
a)
2001 2000
và
2002 2001
b)
3 7
và
1
260
2

Bài 3 (3 đ)
Cho biểu thức
P =

+


+









1
2
2
1
3
1
:
1
1
1
x
x
x
x
xx

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên
Chơng II
Hàm số bậc nhất một ẩn.
I. Lý thuyết
13
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
1, Định nghĩa:
Hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trớc, a 0. đợc gọi là hàm số bậc
nhất một ẩn.
2, Tính chất:
- Hàm đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
- a gọi là hệ số góc của hàm số.
- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
3, Đồ thị.
a, Hình dạng: Đồ thị là một đờng thẳng
b, Cách vẽ đồ thị:
B ớc 1: Chọn hai điểm thuộc đô thị.
Thông thờng chọn hai điểm đặc biệt: A( 0, b) và B(
)0,
a
b
B ớc 2: Vẽ hệ trục toạ độ và vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó
c, Tính chất đồ thị: Xét hai hàm số y = ax + b và y = ax + b
- Khi a = a, b = b thì đồ thị hai hàm số trùng nhau.
- Khi a = a, b b thì đồ thị hai hàm số song song với nhau
- Khi a a thì đồ thị hai hàm số cắt nhau. Nếu b = b thì cắt nhau tại điểm trên
trục tung có tung độ bằng b
4, Cách xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax + b và y = ax + b(a

a)
* Tìm hoành độ: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax + b = ax + b
(a - a)x = b - b x =
aa
bb


'
'
= x
0
* Tìm tung độ: Thay x = x
0
vào một trong hai hàm số ta đợc y = y
0
Vậy toạ độ giao điểm là A( x
0
; y
0
)
II- các dạng bài toán
A- Đối với học sinh TB, yếu
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2
14
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Ví dụ 2: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x 1 và y =
2
1
x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và

tìm giao điểm của chúng.
+) Gọi C là giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 1 và y =
2
1
x+ 2
Khi đó hoành độ điểm C là nghiệm của phơng trình
x 1 =
2
1
x+ 2 x
2
1
x = 2 + 1
2
1
x = 3 x = 6
Thay x = 6 vào hàm số y = x 1 ta đợc y = 5
Vậy toạ độ điểm C là ( 6; 5)
Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số
15
O
-2
x
y
2
2
y = x - 2
Giải:
Chọn x = 0 thì y = -2
Chọn y = 0 thì x = 2

Đồ thị hàm số y = x 2 là một đ ờng
thẳng đi qua hai điểm ( 0; - 2) và ( 2; 0)
Giải
+) Hàm số: y = x 1:
Chọn x = 0 thì y = -1; Chọn y = 0 thì x = 1
Đồ thị hàm số y = x 1 là một đ ờng thẳng
đi qua hai điểm ( 0;- 1) và ( 1; 0)
+) Hàm số y = x+ 2
Chọn x = 0 thì y = 2; Chọn y = 0 thì x = - 4
Vậy đồ thị hàm số y = x+ 2 là một đ ờng thẳng
đi qua hai điểm ( 0; 2) và (- 4; 0)
O
-1
x
y
- 4
2
1
.C
y = x - 1
y =
2
1
x +2
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Ví Dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)
Giải:
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 1) có nghĩa là: 1 = a.1 + 3 a = - 2.Vậy a = -2
Ví Dụ 2: Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm
A(1;5) và song song với đờng thẳng y = 2x - 1

Giải:
Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x 1 nên a = 2
khi đó hàm số trở thành: y = 2x + b
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: 5 = 2.1 + b b= 3.
Vậy a = 2, b = 3
Ví dụ 3 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1) và cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng 2
Giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2
khi đó hàm số trở thành: y = ax + 2
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: -1 = a.2 + 2 a =
2
3

.
Vậy hàm số là y =
2
3

x + 2
Bài tập:
Bài 1.Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x + 2 b) y = 2x - 3
Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = -
3
1
2
3
+x
a) Với trục tung

b) Với trục hoành
Bài 3: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x - 1 và y = 2x + 3
Bài 4: Xác định hệ số góc của hàm số y = ax + b biết dồ thị hàm số y = ax + b song
song với hàm số y = 2x 1
16
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Bài 5: Cho hàm số y = ax + 2, tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3)
Bài 6: Cho hàm số y =
2
1
x + b, tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(4; 1)
Bài 8: Cho hàm số y = ax + b, tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -2; 1) và song
song với đờng thẳng y = - x +3
Bài 9: Cho hàm số y = ax + b, Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1; -3) và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2
Bài 10: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 2, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -
2
1
.
B- Đối với học sinh Khá, giỏi
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y =
x
- 2
Giải:
Ta có: y = x 2 nếu x 0 ; y = -x 2 nếu x < 0 từ đó ta có đồ thị hàm số y =
x
-
17

O
-2
x
y
2
2
-2
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y =
21 ++ xx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
21 ++ xx
Giải:
a) Ta có y =






<
<+
2 x nếu3 - 2x
2x1 nếu 1
1 x nếu3 2x-
. Từ đó ta có đồ thị
b) Từ đồ thi hàm số y =
21 ++ xx
ta thấy y 1
Vậy A =

21 ++ xx
1 với mọi x
Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 1 x 2
Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số
Ví dụ 1 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và
B(-2; 3)
Giải
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1
Đồ thị hàm số đi qua điểm B( -2; 3) có nghĩa là: 3 = a.(-2) + b -2a + b = 3
Từ đó ta có hệ:



=+
=+
32
12
ba
ba




=
=
1
1
a
b
Vậy hàm số là y = - x + 1

Ví dụ 2 : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;-1) và
cắt đồ thị hàm số y = 2x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5
Giải
Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b 2a + b = -1
18
O
-1
x
1
3
2
y
1
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 tại điểm có tung độ bằng 5 tức là đi qua
điểm có tung độ bằng 5 trên đờng thẳng y = 2x 1.
Điểm đó có hoành độ là x = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm ( 3, 5), hay 5 = a.3 +
b 3a + b = 5
Từ đó ta có hệ:



=+
=+
53
12
ba
ba

=
=
13
6
b
a
Vậy hàm số là y = 6x -13
* Lu ý: Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c có thể đa về dạng hàm số bậc nhất y =
ax + b bằng cách: ax + by = c

by = - ax +c

y =
b
c
x
b
a
+

và có hệ số góc là
b
a
,
ax + by = c cũng đợc gọi là một đờng thẳng.
Dạng 3: Một số dạng khác
Ví dụ 1 : Cho hai điểm A( x
1

; y
1
) và B(x
2
; y
2
), chứng minh rằng nếu đờng thẳng y = ax
+ b đi qua hai điểm A và B thì
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy


=


Giải:
Do đờng thẳng y = ax + b đi qua A( x
1
; y
1
) nên y
1
= ax
1

+ b
Do đờng thẳng y = ax + b đi qua B(x
2
; y
2
) nên y
2
= ax
2
+ b
Suy ra: y y
1
= a(x x
1
)
y
2
y
1
= a(x
2
x
1
)
Từ đó ta có
12
1
12
1
xx

xx
yy
yy


=


Ví dụ 2: Cho hai điểm A( x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
), chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng AB đ-
ợc tính theo công thức
AB =
2
12
2
12
)()( yyxx +
Bài tập
Bài 1 V th các hm s :
19
O x
1
x

2
y
1
y
2
y
A
B
C
Giải
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có AB
2
= AC
2
+ BC
2
Mặt khác AC = , BC =
Suy ra AB
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ ( y
2
y
1
)

2
Hay AB =
x
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
a)
1
2
y x

=
b)
2y x=
Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A(
)1;
3
1
;B(-2;3)
Bài 3: Tìm các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1, 3)
và cắt đờng thẳng y = -
3
1
2
3
+x
tại điểm có tung độ bằng 1
Bài 4: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x -3) = 3x + 1
Bài 5: Cho bốn điểm A(0 ; -5); B(1 ; -1) ; C(2 ; 3); D( 2,5 ; 5). Chứng minh bốn điểm A,
B, C, D thẳng hàng.
Bài 6: Tìm x biết ba điểm A( x; -5), B(-5; 20); C (7; - 16) thẳng hàng
Bài 7: Chứng minh rằng nếu đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ , cắt trục tung tại điểm

có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a thì đờng thẳng có phơng
trình:
1=+
b
y
a
x
Bài 8: Xác định hệ số nguyên a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(4; 3)
cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dơng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
nguyên dơng.
Bài 9: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax 1; y = 1, y = 5 và trục tung tạo
thành một hình thang có diện tích bằng 8.
Để kiểm tra chơng II
20
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Môn: đại số
Thời gian :90 phút
Câu 1: Cho hàm số y = ax + b
a) Vẽ đồ thị hàm số khi a = 1, b = 2
b) Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
3
Câu 2: Xác định giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x 1 và y = - x + 1
Câu 3: Cho ba đờng thẳng d
1
: y = x 2; d
2
y = 2x + 1; d
3
: x + y = -2. Gọi A là giao
điểm của d

1
và d
2
; B là giao điểm của d
2
và d
3
; C là giao điểm của d
3
và d
1
.
a) Xác định toạ độ các điểm A, B, C
b) Tính diện tích tam giác ABC
Hớng dẫn bài tập
và đáp án đề kiểm tra
Chơng i
Căn bậc hai căn bậc ba
A- Đối với học sinh TB Yếu
Bài 1: a)
3
5
x
b) Với mọi x ; c)
2
1
x
Bài 2: a) 2 <
5
b) 3

2
>
17
c)
6
1
26
2
1
>
Bài 3: a)
305.3.225.3.3.475.12 ===

21
§Ò c ¬ng «n tËp häc sinh líp 9
b)
5
14
5
6
.
5
7
.
3
5
35
36
.
25

49
.
9
25
25
36
.
25
24
1.
9
7
2 ===

c)
2
5
4
25
12
21
.
7
25
12
21
7
25
===
d)

0,04.25
= 0,2 . 5 = 1 e)
90.6,4
= 24
f )
25 25 5
121 11
121
= =
g)
9 25 25 5
1
16 16 4
16
= = =
.
h)
2 2 1 1 1
18 9 3
18 9
= = = =
.
Bµi 4: a. x = 5 b. x = 10 c. x = 2± ± ±
Bµi 5: a)
80205 ++
=
5
+ 2
5
+ 4

5
= 7
5
b)
24.23123 ++
=
3
+ 2
3
+ 12
3
= 15
3

c)
16x4xx +−
=
xxxx 342 =+−
(x
) 0 ≥
Bµi 6: a) x = 6 b) x = 1
Bµi 7: a)
2
)21( −
=
1221 −=−

b)
23323233)23(
2

=+−=+−=+−
Bµi 8: a)
22
7)7( +−
= 7 + 7 = 14
b)
22
)52()35( −+−
=
125535235 =−+−=−+−

Bµi 10: a)
5
1
)15(5
15
55
15
=
−
−
=
−
−
b)
aaa
a 11
=
+
+

c)
1
1
1
−=
+
−
a
a
a

Bµi 11: a)
32
1
32
1
+
+
−
=
4
)32)(32(
32
)32)(32(
32
=
−+
−
+
+−

+
b)
4
21
2222
)21)(21(
22
)21)(21(
22
21
2
21
2
−=
−
+−+
=
−+
−
−
+−
+
=
+
−
−
c)
535232
54
52

34
32
52
1
32
1
−=−−+=
−
+
+
−
+
=
−
+
−
Bµi 12:a)
1
2
1
11
)1)(1(
1
)1)(1(
1
1
1
1
−
=

−
−++
=
−+
−
+
+−
+
=
+
+
−
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x xx
1
b)
yx
x
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx

yx
yxyx
−
=
−
−−−
=
+−
+
−
−+
−
=
−
−
+
2
))(())((
11
22
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
Bài 13 : a)
3
2
9
.
9
33
2
9

.
3
1
3
1
=


++
=







+


x
x
xxx
xx

b)
824444)4.(
4
)2()2(
4

1
:
2
2
2
2
22
+=++++=









++
=










+

+
+

xxxxxx
x
xx
x
x
x
x
x
B- Đối với học sinh Khá, giỏi
Bài 1: a) Để
42
1
2
x
có nghĩa thì 2 -
04
2
x
0 x
2
- 4 4 x 2 hoặc x -2
b) Để
391
2
+ x
có nghĩa thì 1 - 9x
2

0
3
1
3
1
x

c) Để
12
12


xx
x
thì

1
2
1
112
2
1
0)112(
2
1
0112212
2
1
012
012

2














>







>+





>

x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
;
d) Để
12
332
+
+
x
xx
thì
2
3
2
1
2
3
012
032

+

x
x
x
x
x
Bài 2: a,
2
3
a
có nghĩa khi a 0
b,
1
3
a
có nghĩa khi a 1 > 0

a > 1

c,
6
5
+

a
có nghĩa khi a < - 6
d,
1
2
+a
có nghĩa với mọi a.
Bài 3: a)
( ) ( )
2 2
2
6 2 5 5 2 5 1 5 1 5 1 5 1+ = + + = + = + = +
.
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 2 6 3 2. 3. 2 2 3 2 3 2 3 2 = + = = =
.
c)
( )
2
7 2 10 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 + = + = + = + =
.
d)
aaaaaaa 3525)2(58

3
3
3
3
===

Bài 4: A = (2
3
+ 3
2
):
6
- 2
2
=
232232 =+

B =
52)53()53(56145614
22
=+=+
( Có thể làm theo cách C
2
= = 20, do C < 0 nên C =
)20
23
Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9
C = -
2
( HD: Cách 1:

2
B = 2; Cách 2: B
2
= 2 do B < 0 nên B = -
2
)
D=
1155)51(55265)523(35
2
2
=+===
E=
3122113
= 1
Bài 5: a)
16 8x =

2
4 8x =

4 8x =

2x =

4x =
.
b)
4 5x =

2

2 5x =

2 5x =

5
2
x =

5
4
x =
.
c)
( )
9 1 21x =

3 1 21x =

1 7x =

1 49x =

50x =
.
d)
( )
2
4 1 6 0x =

( )

2
2 1 6 0x =

( )
2
1 3x =

1 3x =
;

1 3
1 3
x
x
=


=


2
4
x
x
=


=

Bài 6 : A =

xx
xx
321
12
+
+
=
13
1
+

x
x
B =
1
22
1
22
1

+
+


a
a
aa
=
1
1

a

C =












+
+
+
+
xx
x
xx
x
xx
xx 2
1
11
:
12
=

1x
x
Bài 7 . A =
1212 ++ xxxx
Ta có A
2
=
1x2x2+1x22+x2 -2
=
11x21x211x221x2 ++++ -2
=
22
11x211x2 )-()-( ++
Do A
2
=
22
11x211x2 )-()-( ++

điều kiện xác định của A là 2x 1 0 x
2
1
Khi đó A
2
=

=++
<=++
=++
x1nếu1x2211x211x2
1x
2
1
nếu211x211x2
11x211x2
A =






<
x1nếu2x4
1x
2
1
nếu2
B =
422422 ++ xxxx
=
22
22x22x )()( ++
24
§Ò c ¬ng «n tËp häc sinh líp 9
§KX§ : x ≥ 2

B = 2
2
nÕu 2 ≤ x <4
B = 2
2x −
nÕu x ≥ 4
C =
2
1
1
1
1








−
−









+
−
−
a
a
a
a
aa
§KX§:



≠
≥
1a
0a
Ta cã: C =
1
a1
1
aa21
a1a1
a1
a
a1
aa1a1
2
2
=







+
++=








+−
−








+
−
++−
)(
))((

)()(
D =
1x2x
1x1
−+
−+
§KX§: x ≥ 1
D = 1
Bµi 8. a, a + b = -1; a
2
+ b
2
=
2
3
, ; a
2
- b
2
=
2−
, a.b = -
4
1
S = a
7
+ b
7

=

2
21+−
a
6
+
2
21 −−
b
6
=-
)()(
6666
ba
2
2
ba
2
1
−++
=
)]()[()]()[(
22223222222322
baba3ba
2
2
baba3ba
2
1
−+−++−+
=

32
29
2
16
1
38
2
2
2
3
16
1
3
8
27
2
1
=−+−+− )].(.[) (
b) 1, S
1
= 2 +
3
+ 2 -
3
= 4
S
2
= 7 +
34
+ 7 -

34
= 14
S
3
= a
3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a + b) = 4
3
– 3.4 = 52
S
4
= a
4
+ b
4
= (a
2
+ b
2
)
2
– 2a
2
b
2
= 196 – 2 = 194

S
5
= a
5
+ b
5
= a
4
.( 2 +
3
) + b
4
(2 -
3
) = 2(a
4
+ b
4
) +
3
(a
4
- b
4
) =
= 2(a
4
+ b
4
) +

3
(a - b)(a + b)( a
2
+ b
2
) = 2.194 +
3
.2
3
.14 = 472
2, Ta cã S
n + 2
= 2 +
3
= a
n + 1
(2 +
3
) + b
n + 1
(2 -
3
)
= 2(a
n + 1
+ b
n + 1
) +
3
(2 +

3
) a
n
–
3
(2-
3
) b
n
= 2S
n +1
+ (3 + 2
3
) a
n
+ (3 - 2
3
) b
n
=
= 2S
n +1
+ (4+ 2
3
) a
n
+ (4 - 2
3
) b
n

– (a
n
+ b
n
)
= 2S
n +1
+ 2 a
n+1
+ 2 b
n+1
– (a
n
+ b
n
) = 4S
n + 1
- S
n
25