PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (125.92 KB, 10 trang )
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Dạng cơ bản
Giải phương trình :
2
4321
x4x2
−=−
2
2
22
2
21
4x
0
0x4
0
x2
4321
2x
x2
2
43421
x4x2
432110
x
x4xx4
x4x2
−
−≥
<≤
≥
−=−⇔⇔⇔⇔=
−=
−=−+
−=−
Giải phương trình :
x6
x6x9x6x9
23
+
+−−−=+
Đặt
2
tx9,t0xt99
=−≥⇒=+≥
Phương trình cho viết lại :
2
2
2
t40
t2
0t3
6t36t3t32t4
t12t320
t8
t3
−=
=
≤<
++−=+⇔⇔=
−+=
=
≥
t2x92x13
t4x94x25
t8x98x73
•=⇔−=⇔=
•=⇔−=⇔=
•=⇔−=⇔=
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm
x13,x25,x73
===
Giải phương trình :
2
2
132xx
x13x
=++−
++−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
10
13
30
+≥
⇔−≤≤
−≥
x
x
x
.
Đặt
()()
2
222
t4
tx13x,2t22t42x13x4232xx32xx
2
−
=++−≤≤⇒=++−=++−⇒+−=
()
()
()
2
232
22t4
132xx1t2t40t2t2t20*
t2
x13x
−
=++−⇔=+⇔−−=⇔−++=
++−
Vì
2
t2t20
++>
nên
() ()()
*t2x13x2x13x0x1,x3
⇔=⇔++−=⇔+−=⇔=−=
Chú ý : Cho hai số
a0,b0
≥≥
nếu
tab
=+thì
()
abt2ab
+≤≤+
( Đại số 9)
Dễ thấy
() ()
AMGM
22
tabtab2ababtab2ab2ababt2ab
−
=+⇔=++⇔+≤=++≤+⇔+≤≤+
AMGM
−
viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân.
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Giải phương trình :
() ()
22
4x1x12x2x11
−+=++
() ()
(
)
2222
4x1x12x2x14x1x12x11
−+=++⇔−+=++
Đặt
2
tx1,t1
=+≥
Phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
14x1t2t2x12t4x1t2x102t1t2x10
⇔−=+−⇔−−+−=⇔−−+=
()
2
2
2
1
1
2x10
x
t1
4
x
2
2
3
x12x1
t2x1
3x4x0
−>
>
=<
⇔⇔⇔⇔=
+=−
=−
−=
Giải phương trình :
()
()
4
222
12xx12xx21x2x4x1
+−+−−=−−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2002
−≥⇔≤≤
xxx.
()
()
4
222
12xx12xx21x2x4x1
+−+−−=−−+
() ()
()
()
(
)
4
222
11x2x111x2x121x2x2x11
⇔+−−++−−−+=−−+−
() () ()()()
2242
11x111x121x2x1*
⇔+−−+−−−=−−
Đặt
()
[
]
[
]
()
2
tx1,x0;2t0;1a
=−∈⇔∈
Phương trình
() ()()
2
*11t11t2t2t1**
⇔+−+−−=−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
()
1
210
2
−≥⇔≥
ttb
.Từ
()()
1
,;1
2
⇒∈
abt
.
Với
1
;1
2
∈
t
, bình phương 2 vế phương trình
(
)
**
ta được
() ()
22
4
4
3
11
1t2t2t122t1
t
tt
+=−⇔+=−
()
4
3
2
11
2
1
;12
2
2212
=+≥
∈⇒⇒==
=−≤
VT
t
tt
tVTVP
VPt
xảy ra khi
12
=⇔=
tx
Vậy phương trình có nghiệm
2
=
x.
Giải phương trình :
242
3
x3x1xx1
3
−+=−++
()()()()
2422222
33
x3x1xx12xx1xx1xx1xx1
33
−+=−++⇔−+−++=−−+++
()
22
22
xx13xx1
210*
xx13xx1
−+−+
⇔+−=
++++
Đặt
2
2
xx1
t,0t1
xx1
−+
=<≠
++
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Phương trình
()
2
22
2
3
t0
3xx13
3
*2tt10x2x10x1
3xx13
3
t
3
=−<
−+
⇔+−=⇔⇔=⇔−+=⇔=
++
=
Vậy phương trình có nghiệm
x1
=
.
Giải phương trình :
()
2
x35
x1
12
x1
+=
−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
1
>
x
.
Đặt
()
1
,101=>⇒<<
xxya
y
() ()
22
22
x35113535
x1y1yy1y2
12y1212
x11y
+=⇔+=⇔+−=−
−−
Đặt
()
2
22
1
113
2
−
=+−⇒−=
t
tyyyy với
0112
<<⇒<≤yt
Phương trình
(
)
2
viết lại :
(
2
2
7
t
35t1
5
t.35t24t350
5
122
t1;2
7
=
−
=⇔−−=⇔
=−∉
()
()
2
2
22242
2
164
49
1
112144144
255
25
110
93
2225625625
255
==±
−
−
−===⇔−=⇔−+=⇔⇔
==±
yy
t
yyyyyyb
yy
Từ
(
)
(
)
à
avb
suy ra
()
5453
;;,;
4535
=
xy
Vậy phương trình cho có nghiệm :
55
,
43
==
xx
Chú ý : Với điều kiện
1
>
xgợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với
1
cos
=x
t
hoặc
1
sin
=x
t
Giải phương trình :
2
x4x3x5
−−=+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
505
+≥⇔≥−
xx
()
2
2
x4x3x5x27x5
−−=+⇔−−=+
Đặt
()
2
y2x5,y2y2x5
−=+≥⇔−=+
Ta có hệ :
()
()
()
()()
()
()
2
2
2
2
2
x2y5
x2y5
x2y5
xy0
529
x
y2x5xyxy30
2
x2y5
x1
y2y2
xy30
y2
−=+
−=+
−=+
−=
+
=
−=+⇔−++=⇔⇔
−=+
=−
≥≥
++=
≥
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Giải phương trình :
2
2x1532x32x20
+=+−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
15
2150
2
+≥⇔≥−
xx.
()
2
2
2x1532x32x202x1524x228
+=+−⇔+=+−
Đặt
()
2
1
4y22x15,y4y22x15
2
+=+≥−⇔+=+
Ta có hệ :
()
()
()()
()
()
()
2
2
2
22
4x22y15
xy
1
4y22x15xy8x8y90
x
2
4x22y15
4x22y154x22y15
9221
8x8y90
x
11
yy
16
22
1
y
2
+=+
=
+=+−++=
=
+=+
+=+⇔+=+⇔⇔
−−
++=
=
≥−≥−
≥−
Dạng tổng hiệu – bình phương
Giải phương trình :
() ()
4
x1x2x1x2x1x1
+−+−−−=
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
0
01
10
≥
⇔≤≤
−≥
x
x
x
.
() () ()
(
)
()
(
)
44
x1x2x1x2x1x1x2x1x1xx2x1x1x0
+−+−−−=⇔−−+−−−−+−=
(
)
(
)
(
)
(
)
22
444444
x1xx1x0x1xx1xx1xx1x0
⇔−−−−−=⇔−−−+−−−+−−=
()
()
44
44
x1xx1x01
x1xx1x02
−−−+−=
⇔
−−+−−=
Phương trình
()
4444
11
x1xx1x011x1xxx0
44
−−−+−=⇔−−−+−−+=
()()
22
444444
11
1xx01xx1xx10
22
⇔−−−−=⇔−−−+−=
()
()
44
44
1xx0a
1xx10b
−−=
⇔
−+−=
()
4444
1
1xx0a1xx1xxx
2
•−−=⇔−=⇔−=⇔=
()
44
23
44444
1xx10b1x1x1x14x6x4xx
•−+−=⇔−=−⇔−=−+−+
(
)
(
)
(
)
444322
44444
xx2x3x20xx1xx20
⇔−+−=⇔−−+=
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
4
4
4
42
4
x0
x0x0
x10
x1
x1
xx20
=
==
⇔−=⇔⇔
=
=
−+>
Phương trình
()
4444
11
x1xx1x02xx1x1x0
44
−−+−−=⇔++−−+−+=
()()
22
444444
11
x1x0x1xx1x10
22
⇔+−−+=⇔−−+−+=
44
44
44
x1x0
1
x1xx1xx
2
x1x10
−−=
⇔⇔=−⇔=−⇔=
+−+>
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm
1
x0,x,x1.
2
===
Dạng dùng bất đẳng thức
Giải phương trình :
222
xx1xx1xx2
+−+−++=−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
xx10
xx10
+−≥
−++≥
.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
()
()
22
22
22
22
22
1xx1xx
xx11.xx1
22
xx1xx1x1
1xx1xx2
xx11.xx1
22
++−+
+−=+−≤=
⇒+−+−++≤+
+−++−++
−++=−++≤=
Phương trình :
()
2
2222
xx2xx1xx1xx2x1x10x1
−+=+−+−++⇔−+≤+⇔−≤⇔=
Vập phương trình cho có nghiệm
x1
=
Giải phương trình :
222
2xx3x3x1x2x3
−+−++=−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
2xx0
3x3x10
−≥
−++≥
.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
()
()
()
2
22
22
22
2
2
22
12xx
2xx1.2xx
2
13x3x13x3x2
3x3x11.3x3x1
22
x1
x3x2
VT2xx3x3x122
22
+−
−=−≤
+−++−++
−++=−++≤=
−
−++
⇒=−+−++≤=−≤
()
2
2
VPx2x3x122
=−+=−+≥
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
2
x10
VTVP2khi12xxx1
113x3x
−=
===−⇔=
=+−
Vậy phương trình có nghiệm
x1
=
.
Dạng khác
Giải phương trình :
22
a)x4x23x4x
+−=+−
()()
b)x1x4x1x45
++−++−=
2
c)4x14x11
−+−=
Hướng dẫn :
22
a)x4x23x4x
+−=+−
Đặt 2;4
2
≤−+= xxxt có 20';
4
1'
2
=⇔=
−
−= xt
x
x
t
t2;22
⇒∈−
Phương trình :
22
x4x23x4x
+−=+−
3
142
,2,00823
2
−−
===⇔=−−⇔ xxxtt
()()
b)x1x4x1x45
++−++−=
Đặt
[
]
tx14x;x1;4t'0t5;10
=++−∈−⇒=⇒∈
()()
x1x4x1x45
++−++−=
305
2
5
2
=∨=⇔=
−
+⇔ xx
t
t
2
c)4x14x11
−+−=
>−+−=
≥
0)(';1414)(
2
1
2
xfxxxf
x
2
1
)
2
1
(1)( =⇒==⇒ xfxf
Nhân lượng liên hợp
Giải các phương trình :
a)
(
)
(
)
x11x12x5x
++++−=
b)
22
2x3x52x3x53x
+++−+=
a)
(
)
(
)
x11x12x5x
++++−=
Nhân cả hai vế phương trình với
x11
+−
ta được phương trình hệ quả
(
)
(
)
(
)
(
)
xx12x5xx11xx12x5x110
++−=+−⇔++−−+−=
()()
x0
x0
x12x5x110
x2
=
=
⇔⇔
++−−+−=
=
Thử lại ta thấy
x2
=
thỏa mãn .
b)
()
22
2x3x52x3x53x1
+++−+=
Nhân cả hai vế phương trình với
22
2x3x52x3x5
++−−+
ta được phương trình hệ quả :
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
(
)
()
22
22
x0
6x3x2x3x52x3x5
2x3x52x3x522
=
=++−−+⇔
++−−+=
Lấy
(
)
(
)
12
+ ta được
(
)
()
2
22
22x3x523x42x3x523x
++=+⇔++=+ phương trình hệ quả
222
x4
8x12x20412x9xx16
x4
=
⇔++=++⇔=⇔
=−
Kiểm tra lại các nghiệm
x4;x4;x0
==−=
ta thấy
x4
=
thỏa mãn
Giải các phương trình :
a)
2
x
x11x2
4
++−=−
b)
22
4x12x11x2x
−−+=+−
a)
2
x
x11x2
4
++−=−
Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá ,
lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp .
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
10
11
10
+≥
⇔−≤≤
−≥
x
x
x
.
Vì
11
−≤≤
x
nên
2
x
20
4
−>
Phương trình cho
()
42
2222
xx
221x4x211xx1
1616
⇔+−=−+⇔−−=−
()() ()
2
2222
x
211x11xx111x
16
⇔−−+−=−+−
(
)
()
2
2
222
2
2
x0
x
2xx111xx0
x
16
2111x
16
=
⇔=−+−⇔⇔=
=−+−
Vì
x0
≠
nên
()
2
2
2
2
x
11
x
16
111x2
16
11x2
−<
⇒−+−<
+−<
Vậy phương trình cho có nghiệm
x0
=
b)
22
4x12x11x2x
−−+=+−
kiện để phương trình có nghĩa :
2
1
410
2
1
210
2
≥
−≥
⇔
+≥
=−
x
x
x
x
•
Nếu
1
2
=−
x thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra
1
2
=−
x là nghiệm phương trình .
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
•
Nếu
1
2
≥
x thì phương trình cho
()()()() ()
212121121212111
⇔+−++−=+⇔−++−=
xxxxxxxx
()
(
)
(
)
()
(
)
211211211211211211
⇔−−=+−+⇔−−−+=+−+−+
xxxxxxxx
() ()
()
()
1
212112111
2212110
=
⇔−=+−+−+⇔⇔=
++−+=
x
xxxxx
xx
Vậy phương trình cho có nghiệm
1
,1
2
=−=
xx
Dùng đạo hàm
Giải phương trình :
6
2
3
x7x2x12
++−+=
3
3
6
2
33
3
3
3
x7x12
x1
x7x2x12x7x12
x7x12
x1
++−=
≥
++−+=⇔++−=⇔
+−−=
<
Trường hợp 1:
3
3
x7x12
x1
++−=
≥
. Xét hàm số
(
)
3
3
fxx7x1
=++−
.
Hàm số
(
)
fx
là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng
y2
=
tại 1 giao điểm ; do đó phương trình
cho có nghiệm duy nhất và
(
)
f12x1
=⇒=
là nghiệm duy nhất của phương trình .
Trường hợp 2 :
3
3
x7x12
x1
+−−=
<
Đặt
3
3
ux7,vx1
=+=−
Hệ
3
3
3
3
33
3
3
x1
u0
x70
v2
uv2
x7x12
x12
x7
uv8
u2
x1
x72
v0
x10
<
=
+=
=−
−=
+−−=
−=−
⇔⇔⇔⇔=−
−=
=
<
+=
=
−=
Vậy hệ cho có nghiệm
x7;x1
=−=
.
Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:
(
)
xxmxxx −+−=++ 4512
Phương trình cho
(
)
(
)
mxxxxx =−−−++⇔ 4512
X ét
()
(
)
()
(
)
()
1254
=++−−−
14424431442443
gxhx
fxxxxxx
;
[
]
4,0∈D
(
)
(
)
12++= xxxxg : đồng biến trong D
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
() ()()()()
11
'0 0;4:
2524
−
=+>∀⇒=
−−
hxxfxgxhx
xx
đồng biến mọi
∈
x
D
⇒
phương
trình có nghiệm khi và chỉ khi
(
)
(
)
(
)
(
)
12453240 ≤≤−⇔≤≤ mfxff .
Bài tập :
Bài tập 1: Xác định m để phương trình :
(
)
(
)
0156
2
=−−++− xxmxx có nghiệm.
Hướng dẫn :
()()
2
tx51x ; 0t4
19
m17
4
mtt5
=−−≤≤
⇒≤≤
=−+
Bài tập 2: Tìm m để phương trình : mxxxx =−+−+
22
sin2sinsin2sin có nghiệm.
Hướng dẫn :
[]
2;0
2
2
'
1|| ; sin
sin2sin
2
2
2
∈⇒
−
−−
=⇒
≤=
−+=
t
z
zz
t
zxz
xxt
[]
31
2;0
)(222
2
2
sin2sin
2
2
2
≤≤−⇒
∈
=−+=
⇒
−
=−⇒ m
t
tfttm
t
xx
Bài tập 3 : Cho phương trình : mxxxx =++++−
22
cossin1sinsin2
1. Giải phương trình khi 22=m
2. Định m để phương trình cho có nghiệm
−∈
2
;
2
ππ
x
Hướng dẫn :
∈⇒−=⇒
≤=
−+=
4
9
;021'
1|| ; sin
sinsin2
2
tzt
zxz
xxt
222
14)(
4
9
;0
≤≤⇒
=+−=
∈
⇒ m
mttf
t
Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình :
444
446
xxmxmm
+++++=
Hướng dẫn :
444
4 ; ()416
txxmfxxxm
=++=−−+=
19
m
>
: vô nghiệm ;
19
m
=
: 1 nghiệm ;
19
m
<
: 2 nghiệm
Tìm m để bất phương trình :
()()
(
)
2
123253
xxmxx
+−>+−+
thỏa mãn
1
;3
2
x
∀∈−
.
Đặt
()()
()()
1541
123 ; ;3 có ',;3
22
2123
−
=+−∈−=∈−
+−
x
txxxtx
xx
5
'0
4
tx
=⇔=
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
x
1
2
−
5
4
3
t’ + 0 –
t
7
2
17
:;30;
22
xt
∈−⇒∈
0 0
Để bất phương trình cho đúng
2
1
;3 thì : 6
2
xttm
∈−+>+
đúng
7
0;
2
t
∈
.
Đặt
2
1
()'()21'()0
2
ftttfttftt
=+⇒=+⇒=⇔=−
t
−∞
1
2
− 0
7
2
f’(t) +
f(t)
0
7
0;
2
6min()(0)0 6
∈
⇒+<==⇒<−
tmftfm
