Tài liệu toán 12 " giới hạn - liên tục - đạo hàm" doc

lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
1

2
2
0
ln(cos )
lim (?)
ln(cos )
x
ax a
T
bx b

 
SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA
TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN

Trần Công Diêu
Phan Công Tuân Du


Quản Trị Viên Diễn Đàn MS
www.forum.mathscope.org



Năm học 2008 - 2009


lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
2








BÀI VIẾT NÀY DÀNH TẶNG
TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG
11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN
CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT!

lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
3



Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số

 Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )
 Giới hạn
0
( )
lim
( )
x x

f x
g x

, trong đó
( ); ( )
f x g x
cùng dần tới 0 khi x dần tới
0
x
được gọi là giới hạn
dạng
0
0
. Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!
@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài
viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi
đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn
thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha,
bình thường thôi!
 Khái niệm giới hạn dãy số:


1 2
( ) , , , ;
n n
a a a a có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ
số nào đó, mọi số hạng
n
a
đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận

hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim
n
n
a a



Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông
hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này

 Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên:
x a

thì
( ) ( )
f x f a


hay
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:

0
sinx
lim 1
x

x


;
0
1
lim 1
x
x
e
x





0
ln(1 )
lim 1
x
x
x



;
1
0 0
1
lim 1 lim(1 )

x
x
x x
x e
x
 
 
   
 
 


2
2
0 0
sin 1 cos
lim 1;lim , , 0
ax 2
x x
ax ax a
a R a
x
 

   
( * )( cái này có được vì sao? )
@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn
 Thí dụ 1. Tìm giới hạn
3
0

2 1 8
lim
x
x x
T
x

  
 ( ĐHQGHN 1997 )
Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ )
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau
3
0 0
2( 1 1) (2 8 )
lim lim
x x
x x
T
x x
 
   
  tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009

……………………………  mùa thi 2009  Trang
4

Đặt
3
1 ; 8
u x v x
   
thì
2 3
1; 8 ; , 2
x u x v u v
    
. Như vậy chúng ta có thể viết:


2 3 2
2 2 2 2
2 1
2 2 1 2 1 3
lim lim lim lim
1 8 1 4 2 3 12 4
u v u v
u
v
T
u v u v v
   



      
    
(cách giải này có cái hay là
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu
điểm hơn qua bài toán sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn
5
4
1
2 1 2
lim
1
x
x x
T
x

  


( ĐHSPHN 1999 )
ĐS:
7
10
T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!
Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem
bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé:
( ) ( )
lim

n m
x a
f x g x
T
x a




số bạn cần tìm là:
( ) ( )
n m
f a g a
 nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó
hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.

 Thí dụ 3. Tìm giới hạn
2
0
1 cos cos2
lim
x
x x
T
x



Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * )
2 2 2 2

0 0 0
1 cos 1 os2 1 cos 1 os2
lim( cos . ) lim limcos .
x x x
x c x x c x
T x x
x x x x
  
   
   
2 2
1 2 5
2 2 2
  

Tổng quát:
2 2 2
2
0
1 cos 2 cos 1 2
lim
2
x
xco x nx n
x

   

 Thí dụ 4. Tìm giới hạn
cos os3

2
0
os2
lim
x c x
x
e c x
T
x




Lời giải. Biến đổi như sau
cos os3
2 2
0
1 1 os2
lim( )
x c x
x
e c x
T
x x


 
  bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé!
Vậy
1 2

T T T
 
với
cos os3 cos os3
1
2 cos os3 2
0 0
1 1 cos os3
lim lim .
x c x x c x
x c x
x x
e e x c x
T
x x
 

 
 
  
 
 
 

cos os3
cos os3 2 2
0
1 1 os3 1 cos
lim
x c x

x c x
x
e c x x
x x



  
 
 
 
 

o
 
cos os3
cos os3
0 0
1 1
lim lim 1; cos os3
x c x t
x c x
x t
e e
t x c x
t


 
 

   

 Thí dụ 5. Tính giới hạn
0
ln(sinx cos )
lim
x
x
T
x



Lời giải. Biến đổi
2
0 0
ln(sinx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2
lim lim( . )
2 sin 2 2
x x
x x x
T
x x x
 
 
  ( nhớ học công thức nhan
các anh em )
lim
x


CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
5

o
0 0
ln(1 sin2 ) ln(1 )
lim lim ; sin 2
sin 2
x t
x t
t x
x t
 
 
 
o
0 0
sin 2 sin
lim lim ; 2
2
x u
x t
u x
x t
 
 

Vậy
1.1 1
T
 
( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví
như ko được viết
0
sin 2
lim 0
2
x
x
x


)

 Thí dụ 6. Tìm giới hạn
3
lim
1
x
x
x
T
x


 


 

 

Lời giải. Thực hiện phép biến đổi
3 2
lim lim 1
1 1
x x
x x
x
T
x x
 

   
  
   
 
   

Đặt
2 1
1
x t


, ta có 2 1;x t x t
      

vì vậy
2
2 1 1
2
1 1 1
lim 1 lim 1 1
t t
t t
T e
t t t
 
 
 
     
     
 
     
 
     
 


 Thí dụ 7. Tìm giới hạn


3
3 2 2
lim 3 1
x
T x x x x


    

Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản


3
3 2 2
lim ( 3 ) ( 1 )
x
T x x x x x x

       (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó
mang đẳng cấp cao hơn rùi)
o


 
2
3 3 2
3
3 2 3 2 2
3
3
lim 3 lim
3 3
x x
x
D x x x
x x x x x x

 
   
   
2
3
3
3
lim 1
3 3
1 1 1
x
x x

 
 
   
 
 

o
2
2
1
lim ( 1 ) lim
1
x x
x
Du x x x
x x x
 

 
    
  
2
1
1
1
lim
2
1 1
1 1
x
x
x x

 

 
  

Vậy
3
2
T D Du
  

 Thí dụ 8. Tìm giới hạn T=
0
sin(sinx)
lim

x
x

( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp
Lời giải.
0 0
sin(sinx) sinx sin(sinx)
lim lim . 1
sinx
x x
x x
 
 


lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
6



 Thí dụ 9. Tìm giới hạn
 
2

0
1 cos
lim
1 1
x
x
T
x



 

Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau
   
2 2 2 2
2 2
2
0 0
2sin (1 1 ) 2sin (1 1 )
2 2
lim lim
1 1 1 1
x x
x x
x x
T
x
x x
 

   
 
   
2 2
2
0
2sin (1 1 )
2
lim 1
4
2
x
x
x
x

 
 
 
 
 
( bạn
trình bày chỗ này rõ ra nhé! )

 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau
2
0
1 os 2
lim
sin

x
c x
T
x x


 ( ĐN 1997 )
Lời giải.
2
2 2
0 0 2 0
1 os 2 sin 2 sin 2 4
lim lim lim . 4
sinx
sin sin 2
x x x
c x x x
T
x x x x x
x
  

 
   
 
 
 
 
 

Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!

 Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau
0
1
lim . os
x
T x c
x

 ( ĐH Giao Thông 1997 )
Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách
giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )
Tóm tắt pp: Giả sử ta có :
o ( ) ( ) ( );
u x f x v x x D
   
( tập xác định của ba hàm số này )
o lim ( ) lim ( ) ;
x a x a
u x v x Dieu a D
 
  

Thì lim ( ) ;
x a
f x Dieu a D

 

( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi …
măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )
Tiếp nè:
 
1 1 1
cos os cos 1
x x c x x x x
x x x
     
   
0 0 0
1
lim lim cos lim 0
x x x
x x x
x
  
 
    
 
 
0
1
lim cos 0
x
x
x

 
 

 
 


 Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau
0
1 1 sin3
lim
1 cos
x
x
T
x

 


( ĐHQG HN 1997 )
Lời giải. Biến đổi như sau
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
7

0 0

1 1 sin3
1 1 sin3
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x
x
T
x x
 
 
 
 
 
( vì
1 sin3 0
x
 
)
3 2
2
2
0 0 0
4sin 3sin sinx 4sin 3
1 os
lim lim lim 4sin 3
1 co s
1 os 1 cos
x x x
x x x

c x
x
a x
c x
  
 

   

 
2
0
lim 1 cos 4sin 3 3 2
x
x x

   

 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau
sinx
lim
sinx
x
x
T
x





( ĐHGT 1998 )
Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào
sinx
sinx 1 1 sinx 1 sinx
; 0 lim 0
x
x
x x x x x x x


        
( các bạn nên thuộc giới hạn này
nhé )
Vì vậy
sinx
sinx
1
1
sinx
lim lim lim 1
sinx
sinx
sinx
1
1
x x x
x
x
x
x

T
x
x
x
x
  
 


 

 
   

 


 
 


 Thí dụ 14. Tính giới hạn sau
3 2
0
2 1 1
lim
sinx
x
x x
T


  
 ( ĐHQG HN 2000 )
Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không?
3 2
0
( 2 1 1) ( 1 1)
lim
sinx
x
x x
T

    

3 2
0 0
( 2 1 1) ( 1 1)
lim lim
sinx sinx
x x
x x
 
   
 
A B
 

o





   
0 0
2 1 1 2 1 1
1 2
lim lim . 1
sinx
2 1 1 sinx 2 1 1
x x
x x
A
x x
x
 
   
  
   

o








3 32 2 2 2

3
0 0
3 32 2 2 2 2 2
3 3
1 1 ( 1) 1 1
1
lim lim 0
sinx
( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1
x x
x x x
x
B
x x x x
x
 
 
     
 
  
 
       
 
 

o Vậy
1
T

.

Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không?
Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều
), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản

 Thí dụ 15. Tính giới hạn
2
2
0
3 cos
lim
x
x
x
T
x


 ( ĐHSP HN 2000 )
Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy
ngay, hehe!
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
8

2 2
ln3
2 2
0 0
3 cos ( 1) (1 cos )
lim lim
x x
x x
x e x
T
x x
 
   
  ( hehe khá khéo léo nhá )
 
2
2
ln3
2
2
0 0
2sin
1
1
2
lim .ln3 lim ln3
.ln3 2
4
2

x
x x
x
e
x
x
 

   
 
 
 
( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một
bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước )
@ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá
rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! (
11h55 am, 29 – 3 – 2009 ).
Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!

 Thí dụ 16. Tính giới hạn sau
2
0
1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
T
x




Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe,
còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé!
Đs:
7
2
T

( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua )
@ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )

 Thí dụ 17. ( Một bài toán cực kì quan trọng )
Tính giới hạn sau
0
1 ax 1
lim
n
x
T
x

 
 với n nguyên dương
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê:
Đặt
1 ax
n
y
 
Khi ấy

0
x

thì
1
y

vì thế em có :
 
 
1 2
1 1
1 1
lim lim
1
1 1
n
n n
y y
y y
T a a
y
y y y y
 
 
 
 

    
1 2

1
1
lim
1
n n
y
a
a
y y y n
 

 
   

Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n:
1 0
( )
n
n
p n a x a x a
   
nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )

 Thí dụ 18. Tính giới hạn sau
3
4
0
1 2 1 3 1 4 1
lim
x

x x x
T
x

   

Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên
tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có
chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc.
Ta sử dụng biến đổi sau đây

3
4
1 2 1 3 1 4 1
x x x
   
=
3
1 2 1 2 1 2 1 3
x x x x
     
3 3
4
1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1
x x x x x
       


lim
x


CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
9

Từ đây là ngon ăn quá rồi nha!

3
4
3
0 0
0
1 2 1 1 3 1 1 4 1
lim lim 1 2 lim 1 2 1 3
x x
x
x x x
T x x x
x x x
 

 
     
     
 
 
 

3
4
0 0 0
1 2 1 1 3 1 1 4 1
lim lim lim
x x x
x x x
T
x x x
  
 
     
  
 
 
 
2 3 4
2 3 4
  

@ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản,
thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!

 Thí dụ 19. Tính giới hạn sau
4
lim tan2 .tan( )
4
x
T x x




 
( ĐHSPHN 2000 )
Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế
4
x


vào thì
T
không xác định. Để cho gọn ta đặt
4
a x

 

2
0 0 0 0
os2 sin os2 1
lim tan 2 .tana limcot2 .tan lim lim
4 sin 2 cos 2cos 2
a a a a
c a a c a
T a a a
a a a

   
 
      

 
 



Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số

 Hàm số liên tục tại điểm
0
x x

khi và chỉ khi


0 0
0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x f x
 
 
 
 Đạo hàm của hàm số
( )
y f x

tại điểm
0
x x


là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x



, kí hiệu là
0
'( )
f x
. Chú ý đạo hàm tồn tại khi
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
x x x x
f x f x f x f x
x x x x
 
 
 

 

( bạn hãy hiểu thật rõ về
đạo hàm nhé )
Định lí: Nếu hàm số
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải
lúc nào cũng đúng )

@ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ
nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử
(he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những
bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn
về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi
đại học thường có!

 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm
1
x

:
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009

……………………………  mùa thi 2009  Trang
10
 
 
3
2 2 1
( ) ; 1 1
1
; 1 2
x x
y f x x
x
m x

  

  






Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày
trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!
 Hàm số liên tục tại điểm
0
x x

khi và chỉ khi



0 0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x
x x
f x f x f x f x
 
 

  

Bài toán chúng ta đang xét ứng với
0
1
x

, bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần
xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi
1
x

đồng nghĩa với
x
chưa bằng
1

hay

1
x

. Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau:
Xét giới hạn
3 3
1 1 1
2 2 1 2 1 2 1 1 4
lim ( ) lim lim
1 1 1 3
x x x
x x x x
f x
x x x
  
 
      
   
 
 
  
 
(?) với những gì
bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con!
Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “
tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số
này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với
1
lim ( ) (1)
x

f x f


4
3
m
 
. Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên
tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!

 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm
3
x



t anx 3cot
3
( ) ;
3
;
3
x
x
y f x x
m x









  






Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau
Xét giới hạn
3 3
t anx 3cot
lim ( ) lim
3
x x
x
f x a
x
 

 

 

( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha )
Vì hàm số liên tục tại
3

x


nên :
3
lim ( ) ( )
3
x
f x f




a m
 
( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới
đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém )

@ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu
mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn
đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa
mới mong có solution đẹp!
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang

11


 Thí dụ 22. Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm
0
x


tanx sinx
2
1
( ) ; 0
0; 0
e
y f x x
x
x




  





Lời giải. Bạn có thật sự hiểu mình cần làm gì không?
Xét giới hạn
tanx sinx tanx sinx

3 3
0 0 0
( ) (0) 1 1 tanx sinx 1
lim lim lim .
0 tanx sinx 2
x x x
f x f e e
T
x x x
 
  
   
   
 
( chú ý đổi
cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên
nghen )
Vậy
1
'(0)
2
f


@ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không
mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó
chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ).

 Thí dụ 23. Tính đạo các hàm số sau
a.

2
0; 0
( )
1
sin ; 0
x
f x
x x
x








tại điểm x=0
b.
0; 0
( )
1 cos
; 0
x
f x
x
x
x









tại điểm x=0
Lời giải. a.
0 0
( ) (0) 1
'(0) lim lim sin 0
0
x x
f x f
f x
x x
 

  

(?)
Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11
b. thí dụ này các bạn làm tương tự.

@ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm,
vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được. Chúc các
bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!

 Thí dụ 24. Tìm a, b để hàm số :
2

( ) ; 0(1)
( )
ax 1: 0(2)
bx
x a e x
f x
bx x


 



  


có đạo hàm tại
0
0
x


Lời giải. Giả sử
( )
f x
có đạo hàm tại
0
0
x


thì
( )
f x
liên tục tại
0
0
x


0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
f x f x f
 
 
  
2
0 0
lim(ax 1) lim( )
bx
x x
bx x a e a
 

 
     
( chú ý x dần tới phía trái
‘
0


’ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải ‘
0

’ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong
lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen )
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
12
1
a a
  
1
a
 
thay vào hàm số ban đầu ta được


2
1 ; 0
( )
1; 0
bx
x e x
f x

x bx x


 



  



Điều kiện cần và đủ để
( )
f x
có đạo hàm tại
0
0
x

( xem lại phần lí thuyết ) :
0 0
( ) (0) ( ) (0)
lim lim
0 0
x x
f x f f x f
x x
 
 
 


 


2
0 0
1 1
1 1
lim lim
0 0
bx
x x
x e
x bx
x x
 

 
 
  
 
 
1
b b
  
(?) ( các
bạn tính ra nghen )
1
2
b

 

Vậy
1
1;
2
a b
 

@ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin
dành cho các bạn. Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo
hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn
cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ )


 Thí dụ 25. Tìm a, b để hàm số
a)
2
2
2 ; 2 1
( )
ax ; 1
x x
f x
x b x

   




  


có đạo hàm tại
0
1
x


b)
2
; 1
( )
; 1
x x
f x
ax b x




 

có đạo hàm tại
0
1
x


Gợi ý. Với hai bài toán này cách giải hoàn toàn tương tự, toán học đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ

thật nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây
xin nêu lên đáp số cho các bạn kiểm tra giúp
a.
3; 3
a b
  

b.
1 1
;
2 2
a b
 

@ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người
yêu người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình
tạo ra!

 Thí dụ 26. Chứng minh rằng hàm số
1
x
y
x


liên tục tại
0
0
x


nhưng không có đạo
hàm tại
0
1
x


Lời giải.  Trước tiên chúng ta chứng minh hàm số này liên tục tại
0
0
x


 
0
0
limf( ) lim 0 0
1
x
x
x
x f
x


  

Vậy



0
limf( ) 0
x
x f

 nên đại ca này liên tục tại
0
0
x


 Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại
0
0
x


lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
13

0 0
0
lim lim
0 1
x x
xf x f
x x x











0 0 0
0
1
lim lim lim 1
0 1 1
x x x
xf x f
x x x x

0 0 0
0
1
lim lim lim 1
0 1 1
x x x
xf x f
x x x x







Vy rừ rng hm s ny khụng cú o hm ti
0
0
x

Thớ d 27. Cho hm s
3 2
1 sin 1; 0
( )
0; 0
x x x
f x
x








Tỡm o hm ca hm s ti
0
x

(HSG
Tnh Bng A Ngh An 2008 2009 )
Li gii. cng ging nh nhng vớ d trc
3 2
2
0 0
( ) (0) 1 sin 1
'(0) lim lim
x x

f x f x x
f
x x




2
0
2
32 2
3
sin
'(0) lim
1 sin 1 sin 1
x
x x
f
x x x x x







2
0
3 2
3

sinx 1
'(0) limsinx. 0
1 sin 1 sin 1
x
f
x
x x x x



. Vy


' 0 0
f

.
Nhn xột v bi toỏn ny: tuy l thi hsg nhng rt mm, khụng quỏ khú khn!

Thớ d 28. Cho hm s
2
1
1 os ; 0
( )
0; 0
x c x
f x
x
x

tớnh o hm ca hm s ti
0
x

( Hu
2003 2004 )
Li gii. Cng khụng khú khn gỡ
0 0 0 0
( ) (0) 1 1
'(0) lim lim 1 os lim lim . os 0
0
x x x x
f x f
f x c x x c
x x x

(?). Vy
'(0) 0
f

.

Phn 3. ng dng nh lớ lagrange trong vic gii phng trỡnh
( Dnh cho cỏc bn hc cỏc lp bi dng )

I) Định lý Roll : là trờng hợp riêng của định lý Lagrăng
1.Trong chơng trình toán giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh sau
: ( rt tic
chng trỡnh mi nh lớ ny ó c gim ti )
nh lớ : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại
một điểm c

(a; b) sao cho:
f
/
(c) =
a
b
)a(f)b(f



lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
14
ý nghĩa hình học của định lý nh sau
: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ
của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)).
Hệ số góc của cát tuyến AB là:
k =
a
b
)a(f)b(f



Đẳng thức : f
/
(c) =
a
b
)a(f)b(f



nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm C(c; f(c)) của cung AB bằng hệ số góc của đờng
thẳng AB. Vậy nếu các điều kiện của định lý Lagrăng đợc thoả mn thì tồn tại một điểm C
của cung AB, sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.

2.
Nếu cho hàm số y = f(x) thoả mãn thêm điều kiện
f(b) = f(a) thì có f
/
(c) = 0.
Ta có định lý sau đây có tên gọi là : Định lý Roll.


Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f
/
(x) trên (a; b) và có

f(a) = f(b) thì tồn tại điểm x
o

)
b
,
a
(

sao cho f (x
o
) = 0

Nh vậy định lý Roll là một trờng hợp riêng của định lý Lagrăng. Tuy nhiên có thể chứng
minh định lý Roll trực tiếp nh sau:

Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] nên đạt các giá trị max, min trên đoạn [a; b]
gọi m = min f(x) , M = max f(x)

x ],[ ba

x ],[ ba


Nếu m = M thì f(x) = C là hằng số nên

x
o

)
b
,
a
(

đều có f(x
o
) = 0
Nếu m < M thì ít nhất một trong hai giá trị max, min của hàm số f(x) đạt đợc tại điểm nào đó
x
o

(a; b).
Vậy x
o
phải là điểm tới hạn của f(x) trên khoảng (a; b)

f (x
o

) = 0.
Định lý đợc chứng minh .

ý nghĩa hình học của định lý Roll : Trên cung AB của đồ thị hàm số
y = f(x), với A(a; f(a)) , B(b; f(b)) và f(a) = f(b), tồn tại điểm C ( c; f(c) ) mà tiếp tuyến tại C
song song với Ox.
Nhận xét : Từ định lý Roll có thể rút ra một số hệ quả quan trọng nh sau :
Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b] và có đạo hàm tại
)
b
;
a
(
x


.
Hệ quả 1 : Nều phơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì:
phơng trình f (x) = 0 có ít nhất n 1 nghiệm phân biệt .
phơng trình f
)k(
(x) = 0 có ít nhất n k nghiệm phân biệt, với k = 2, 3, 4
Hệ quả 2 : Nếu phơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì phơng
trình : f(x) +

f (x) = 0 có ít nhất n-1 nghiệm phân biệt , với
R

lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
15
mà
0


.

Thớ d 29. Chng minh rng vi mi s thc
, ,
a b c
thỡ phng trỡnh
cos3 cos2 cos sinx 0
a x b x c x

(1) luụn cú nghim trong khong


0;2


Li gii. Ln u tiờn tụi gp bi toỏn ny vo nm lp 10, tht s li gii lm cho tụi thớch nht

ca bi toỏn ny l dựng nh lớ lagrange
Xột hm s
1 1
( ) 3 a sin3 2 sin 2 sin cos
f x x b x c x x

trờn on
[0;2 ]

. Rừ rng hm s ny
xỏc nh v liờn tc trờn
[0;2 ]

, cú o hm ti mi im thuc


0;2

. Ngoi ra
(0) (2 ) 1
f f


. Theo nh lớ lagrange, tn ti


0;2
d

sao cho

2 0
1 ( 1)
' 0
2 0 2
f f
f d






cos3 cos2 cos sin 0
a d b d c d d

iu ny cú
ngha d l mt nghim ca phng trỡnh (1) suy ra pcm. ( chỳ ý bi toỏn ny cũn cú cỏch gii
khỏc )
Thớ d 30. Gii phng trỡnh




cos cos
1 cos 2 4 3.4

x x
x
Li gii. V bi toỏn ny trc ht ta phi thc hin t n ph


cos 1;1
x y Khi ú pt ó
cho cú dng

1 2 4 4.4
1 1
y
y
y
y







(1) ti õy cụng vic cng cha hng l ó n gin hn.
Chỳng ta s dựng ý tng ca nh lớ lagrange gii phng trỡnh ny, t nh lớ lagrange chỳng
ta thy rng phng trỡnh o hm cp 1
' 0
f

cú khụng quỏ k nghim thỡ phng trỡnh
0

f


cú khụng qua k+1 nghim, ri t ú bng cỏch oỏn nghim ta suy ra cỏc nghim ca phng
trỡnh. Nhng phng trỡnh dựng ti nh lớ ny thng cú mt trong cỏc kỡ thi hsg!
Ta cú

2
6.4 ln4
'( ) 1
2 4
y
y
f y


( cỏc bn kim tra li phộp tớnh o hm ny nhộ )


2
'( ) 0 2 4 6.4 ln4 0
y y
f y

nu ta coi phng trỡnh ny l phng trỡnh vi bin l
4
y

thỡ rừ rng nú l mt pt bc hai nờn nú s cú khụng quỏ 2 nghim. T ú (1) s cú khụng quỏ 3
nghim, ta oỏn c

1 2 3
1
0; ; 1
2
y y y

l ba nghim ca (1). Ri t y gii cỏc pt lng giỏc
c bn
1
cos 0;cos ;cos 1
2
x x x

suy ra kt qu!

Thớ d 31.

Cho n là số nguyên dơng , còn a, b, c là các số thực tuỳ ý thoả mn hệ thức :

2
n
a

+
1
n
b

+
n

c
= 0 (1)
CMR phơng trình :
a
2
x
+ bx + c = 0
có ít nhất một nghiệm trong ( 0; 1) .
lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
16

Giải :
Xét hàm số: f(x) =
2
n
ax
2n


+
1
n
bx

1n


+
n
cx
n
.
Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại

x

R .
Theo giả thiết (1) có f(0) = 0 , f(1) = 0
n
c
1
n
b
2
n
a





Theo định lý Roll tồn tại x
o

(0; 1) sao cho f(x
o
) = 0 mà:
f(x) = a
2nn1n
cx
bx
x




f(x
0
) = 0 0cxbxax
1n
o
n
o
1n
o




o
2
o
1n
o

bxax(x

+c) = 0 ( 0x
o

)
0cbxax
o
2
o

Vậy phơng trình a
0
c
bx
x
2



có nghiệm )1;0(x
o

. (đpcm) .
Thớ d 32.
Giải phơng trình :
xxxx
5
4
6

3




Giải :
Phơng trình đ cho tơng đơng với :

xxxx
3
4
5
6



(2).
Rõ ràng 0x
o

là một nghiệm của phơng trình (2) .
Ta phõn tớch nh sau, phng trỡnh tng ng vi

5 1 5 3 1 3
x x
x x

, vỡ phng trỡnh
cú bc l bin nờn chỳng ta s dựng mt th thut x lớ nh sau:
Ta gọi

là nghiệm bất kỳ của phơng trình (2). Xét hàm số :
f(x) =

x)1x( , với x > 0, chỳ ý X ny l X ln nhen!
Hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( 0; +

) và có đạo hàm :
f (x) =
1
)1x(

-


1
x


=

[
11
x)1x(

]
Từ (2) có f(5) = f(3) . Vậy tồn tại c

( 3; 5) sao cho f(c) = 0, hay là :

[
11
c)1c(

] = o




= o ,

= 1 .
Thử lại thấy
1 2
0; 1
x x

đều thoả mn phơng trình (2).
Vậy phơng trình đ cho có đúng 2 nghiệm là :
1 2
0; 1
x x



@ hichic, 3 ting ri edit trong p hn nhiu ri! 3h30, 3.4.2009

Phn 4. S dng o hm tớnh gii hn ca hm s ( bom nguyờn
t )

lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
17
 Thí dụ 33. Tính giới hạn sau
3 5
3
0
1 2 1
lim
3 8 2 1
x
x x
T
x x

  

  

Lời giải. Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè!
Chúng ta giải bằng cách dùng đạo hàm
Đặt
3 5
( ) 1 2 1

f x x x
   
dễ thấy
(0) 0
f


Đặt
3
( ) 3 8 2 1
g x x x
   
dễ thấy
(0) 0
g

, chính những nhận đinh này gợi cho ta ý nghĩ về
đạo hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến đổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa
về dạng đạo hàm như sau
0 0
( ) (0)
( )
0
lim lim
( ) (0)
( )
0
x x
f x f
f x

x
T
g x g
g x
x
 


 


0
0
( ) (0)
lim
0
( ) (0)
lim
0
x
x
f x f
x
g x g
x








'(0)
'(0)
f
g

1
4
15
3
45
4

 



Việc tính đạo hàm tại
0
x

của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn!
@ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa,
thật sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này!
 Thí dụ 34. Tính giới hạn sau
tan2 os16
8
lim
os12

x c x
x
e e
T
c x



 ( thầy Phú Khánh )
Lời giải. Đặt
tan2
( )
x
f x e dễ thấy
( ) 1
8
f


;
os16
( )
c x
g x e dễ thấy
( ) 1
8
g


, tại sao chúng ta lại

tính các giá trị tại
8

? với nhận định này ta thực hiện biến đổi như sau
tan 2 os16 tan 2 os16 tan2 os16
8 8 8 8 8
1 ( 1) 1 1
8
lim lim (lim lim ).lim
os12 os12 os12
8 8
x c x x c x x c x
x x x x x
x
e e e e e e
T
c x c x c x
x x
    

 
    

     
   
 

tan2
8
1

lim '( )
8
8
x
x
e
f
x







(?) ;
os16
8
1
lim '( )
8
8
c x
x
e
g
x








;
8
1
8
lim
os12 12
x
x
c x




 (? ) các bạn tự tính nha, sau
những gì các bạn được học thì việc tính là dễ dàng!
Vậy
3
e
T


 Thí dụ 35. Tính giới hạn sau
2
2
3
2 2

0
ln(1 )
lim
1
x
x
x
T
e x




 
( Đề thử sức số 3 tạp chí TH & TT )
Lời giải. Chúng ta biến đổi như sau
2
2 2
3
2 2 2 2 2
2 2
3 32 2 2 2
0 0 0
ln(1 ) ln(1 ) 1
lim lim . 1:lim
1 1
x
x x
x x x
x x x e x

T
x x
e x e x

 
  
   
  
   

lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
18
Lúc này ta đặt
2
2
3 2
( ) (0) 1
( ) 1 (0) 1
x
f x e f
g x x g

  

   
rồi bằng cách làm như các ví dụ trên các bạn sẽ tính ra
được kết quả sau
3
7
T


 Thí dụ 36. Tính giới hạn sau
3 2
0
2 1 1
lim
sinx
x
x x
T

  
 ( thầy Trần Phương )
Lời giải. Đặt
3
2
( ) 2 1 1
f x x x
   
dễ thấy
(0) 0
f


vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau


(?)

 Thí dụ 37. Tính giới hạn sau
2
ax 2
2
0
.cos 1
lim
x
e ax
T
x


 với a là hằng số cho trước
Lời giải. Biến đổi bài toán như sau
2 2
ax 2 ax 2
2 2
0
0
.cos 1 .cos 1
lim lim
x
x
e ax e ax

T a
x ax


 
 
Đặt
2
ax 2
( ) .cos 1
f x e ax
 
dễ thấy
(0) 0
f

Vì vậy
0
( ) (0)
lim '(0)
0
x
f x f
T f a
x


  

. Vậy

T a

, rất mong các bạn kiểm tra lại kết quả để tự các bạn
là người hoàn thiện bài toán.

@ Rõ ràng sự kết hợp của đạo hàm và các giới hạn cơ bản đã tạo nên một công cụ cực mạnh,
theo tôi nghĩ là có thể giải được khá nhiều bài giới hạn trong chương trình, bạn có thử suy nghĩ
như tôi không, khi ra đề người ra đề xuất phát từ đâu, tôi xin nhắc nhỏ cho bạn chỉ từ các giới
hạn cơ bản, đạo hàm và những phép biến đổi khéo léo!







 Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian
là có hạn và mùa thi đã đến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đề của Giới hạn,
liên tục và đạo hàm. Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm
tốt hơn về phần này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ để chuẩn bị cho việc
học đội tuyển. Chúng tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý định như ý muốn là viết thêm phần
5, một phần chúng tôi rất tâm đắc, đó là sử dụng tính liên tục để giải phương trình, bất phương
trình, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số
…Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt
trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này. Dù đã rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh
khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đóng góp từ các ban. Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến
3 2
0 0 0 0
(0) 0
2 1 1 ( ) (0) sinx ( ) (0) sinx

lim lim : lim :lim '(0) 1
sinx 0 0
x x x x
f
x x f x f f x f
T f
x x x x
   

    
 
    
 
 
 
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
19
thức về toán sơ cấp của bản thân ngày càng vững vàng hơn. Xin chào và hẹn gặp lại các bạn ở
những chuyên đề khác khi chúng tôi rời ghế nhà trường THPT ……………

Hết
………….$
8h43’pm- 3.4.2009

Gởi lời đến Phương Trang: anh chúc em học thật giỏi, luôn xinh đẹp và dễ thương, chúc em mọi
điều hạnh phúc. Em hãy vững tin trên cuộc sống nha! ♥