10 Đề Thi vào chuyên toán

Đề :1

Bài 1:Cho biểu thức A=
ab
ba
aab
b
bab
a +


+
+
a) Rút gọn A (1,25đ)
b) Tính giá trị của A khi a=
526 +
; b=
526
(0,75đ)
Bài 2;: Cho phơng trình x
4
-2mx
2
+m
2
-3=0
a) Giải phơng trình khi m=
3
(1đ)
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt (1,5)
Bài 3: Cho parabol (P): y=

2
2
1
x

và điểm A(2;-3) cùng thuộc một mặt phẳng toạ độ
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua A (0,5đ)
b)Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi k (1đ)
Bài 4: Cho điểm M ở ngoài đờng tròn (O;R) ,qua M kẻ 2 tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn
(P;Q là 2 tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn tại I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O)
Tại Avà B ( A nằm giữa M và B)
a) Chứng minh rằng I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25đ)
b) Tìm tập hợp các điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ là hình vuông (1,75đ)
c) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ khi M thay đổi ? (1đ)
P
M J I O
A

K
B d

Đề: 2
Bài 1:(2đ) 1) Chứng minh rằng với mọigiá trị dơng của n , ta luôn có

1
11
1)1(
1
+
=

+++ nnnnnn
2)Tính tổng S=
1009999100
1

4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
Bài 2:(1,5đ) Tìm trên đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức
y
2
-3y
02 =+ xx

Bài 3:(1,5đ) Cho 2 phơng trình sau : x
2
-(2m-3)x +6=0 và 2x
2
+x+m-5=0 (m là tham số )
Tìm m để 2 phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Bài 4:(4đ)Cho đờng tròn (O;R) 2 đờng kính AB và MN .Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A cắt
các đờng thẳng BM và BN tơng ứng tại M
1
và N
1
.Gọi P là trung điểm của A M
1
, Q là trung điểm
của AN
1
1) Chứng minh tứ giác MM
1
N
1
N nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2) Nếu M
1
N
1
=4R thì tứ giác PMNQ là hình gì ? tại sao ?
3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ
khi MN thay đổi ?
1
Bài 5:(1đ) Cho đờng tròn (O;R) hai điểm A;B nằm ở phía ngoài (O) ; OA=2R. Xác định vị trí của
điểm M trên đờng tròn (O) sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ
nhất đó . N
1

N
Q

D A O B
I

M
P

Đề:3
Bài 1: 1) Cho 2 số a; b dơng thoả mãn a
2
-b > 0 hãy chứng minh

22
22
baabaa
ba

+
+
=+
2)Không sử dụng máy tính hãy chứng tỏ rằng :
322
32
322
32
5
7


+
++

+
<
<
20
29
Bài 2: Giả sử x;y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y=
10
Tìm các giá trị của x; y để P=(x
4
+1)(y
4
+1) đặt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: Giải hệ phơng trình







=

+

+

=

+

+

0
)()()(
0
222
xz
z
zy
y
yx
x
xz
z
zy
y
yx
x
Bài 4: Cho

ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I bất
kỳ ở phía trong

ABC và gọi x;y;z lần lợt là khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB của tam giác
Chứng minh rằng
R
cba
zyx
2
222

++
++
Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp đợc nối với nhau bằng đoạn thẳng .
Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A .
Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đợc 2 điểm trong tập P có cùng bậc
2

Đề:4
Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) P=
nm
mnnm
nm
nm
+
++
+

2
với mọi m;n
0

; m

n
b) Q=
ba
ba
ab
abba

+

:
22
với mọi a>0; b>0
Bài 2: Giải phơng trình
226 =+ xx
Bài 3: Cho các đờng thẳng (d
1
): y=2x+2 (d
2
): y=-x+2 (d
3
): y=mx ( m là tham số)
a) Tìm toạ độ các giao điểm A;B;C theo thứ tự của (d
1
) với (d
2
) ; (d
1
)với trục hòanh và
(d
2
) với trục hoành
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d
3
)cắt cả 2 đờng thẳng (d
1
); (d
2

)
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d
3
)cắt cả 2 tia AB và AC
Bài 4; Cho

ABC đều nội tiếp trong đờng tròn (O), D là điểm nằm trên cung BC không chứa
điểm A.Trên tia AD lấy điểm E sao cho AE=DC
a) Chứng minh

ABE =

CBD
b) Xác định vị trí D sao cho tổng DA+DB+DC lớn nhất
Bài 5: Tìm x; y dơng thoả mãn





=++
=+
5
1
)(8
1
44
xy
yx
yx

Đề: 5

Bài 1: 1) Rút gọn biểu thức P=
xxxx
x
xx ++
+

1
:
1
2
(0,5đ)
2) Chứng minh rằng
)
1
11
(
2
1
)1(
1
22
+
<
++ nnnn
(0,75đ)
Ap dụng chứng tỏ rằng:
2
1

20072006
1

13
1
5
1
22
<
+
+++

Bài 2: 1)Giải hệ phơng trình





=+
=+
yxyyx
xyxyyx
2)1()1(
11
(1đ)
2) Cho xy=1 và x>y Chứng minh rằng
22
22

+
yx
yx
(0,75đ)
Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x
2
-3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ)
2) Giải phơng trình x
2
+3x +1=(x+3)
1
2
+x
(1đ)
Bài 4: (4đ) Cho hình vuông ABCD ; M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng B )và N
điểm thay đổi trên cạnh DC ( N không trùng D ) sao cho

MAN=

MAB+

NAD
1) BD cắt AN và AM tơng ứng tại P và Q . Chứng minh rằng 5 điểm P,Q,M,C,n cùng
nằm trên một đờng tròn
2) Chứng minh rằng MN luôntiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M và N thay đổi
3)Gọi diện tích tam giác APQ là S
1
và diện tích tứ giác PQMN là S
2
c/m rằng

2
1
S
S
không đổi
khi M và N thay đổi
3
Bài 5: Cho a;b;clà độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phơng trình
x
2
+(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 vô nghiệm (1đ)
Đề : 6

Bài 1:(2đ) Cho biểu thức P=
x
(
11
)
1
1
1
1
2


+
++

+
+

+
x
xxx
xx
xx
xx
với x
1;0 x
a)Rút gọn P
b)Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài 2:(2đ) Trong 1 hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x
2
(P) và đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d)
a)Khi m=3 .Tìm hoành độ giao điểm của (d) và (P)
b)Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m
c)Giả sử đờng thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) .
Tìm m sao cho thoả mãn x
1
y
2
+ x
2

y
1
=1
Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng tròn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C là điểm chính giữa của cung AB,
M thuộc cung AC (M

A và C ).Kẻ tiếp tuyến (d) của (O;R) tại M ; Gọi H là giao điểm của
BM và OC .Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) tại E
1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc một đờng tròn
2)Chứng minh EH =R
3)Kẻ MK

OC tại K.Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp

OBC luôn đi qua tâm đờng
tròn nội tiếp

OMK
Bài 4: a) Giải hệ phơng trình (1đ)






=++
++=++
4
3
)1)(1(42

xyyx
yxyx

b) Giải phơng trình (1đ) 8
)1(
2
+xx
=3(x
2
-x+1)
Bài 5:(1đ) Cho 2 số x;y thay đổi thoả mãn x
2
+y

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=y
2
+(x
2
+2)
2
4
Đề: 7

Câu 1: (2,5đ)
1)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :
12
1
1
+

>+
n
nn
Từ kết quả trên hãy chứng minh :
262
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
<++++
2) Giải phơng trình : 2
121645
4
1
54
222
+=+++ xxxxxx
Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp

ABC, với A;B;C theo thứ tự là các tiếp điểm trên
các cạnh BC;AC;AB
1)Kí hiệu góc ACB là C , chứng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg
2
C

2)Giả sử điểm M di động trên cung nhỏ BC của đờng tròn (I;r) sao cho M khác Bvà C
Tiếp tuyến tại tiếp điểm M của đờng tròn (I;r) cắt AB và AC thứ tự tại E và F.Đờng thẳng BC
cắt IE và IF theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh rằng tỉ số
EF
PQ
có giá trị không đổi
Câu 3: (1,5đ) Cho đờng tròn (O;R) và 2 điểm phân biệt A;B cố định nằm trên đờng tròn (O;R)
sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O .Gọi d và d theo thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại
các tiếp điểm A và B.Điểm M thay đổi trên cung nhỏ AB của (O;R) sao cho M

A và B.
Kẻ MH

d ; Kẻ MK

d.Hãy tìm vị trí của M để
MkMH
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x
2
+bx +c =0 (1) trong đó a;b;c là các hệ số ; ac

0
1) Khi a=1 , hãy tìm b và c là các số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2
3
là nghiệm
2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k là một nghiệm .Chứng minh rằng tồn tại số thực d để
phơng trình a

3
x
2
+dx+c
3
=0 nhận x=k
3
là nghiệm
Câu 5: (2,0đ)
1) Cho các số dơng a;b thoả mãn
2+ ba
. Chứng minh rằng :
baba ++
33
2)Tìm tất cả các bộ số thực x;y;z thoả mãn hệ sau





=+
=+
=+
xxz
zzy
yyx
)1(
)1(
)1(
2

2
2
5

Đề: 8
Bài 1: (3,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức P=
3612324 ++
2)Cho biểu thức C=
11
1
1
1
3


+
+
+
x
xx
xxxx
( Với x>1 )
a) Rút gọn C
b)Tìm x để C>0
c) Tính giá trị biểu thức C khi x=
729
53

Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình



=
=
12
2
myx
mymx
a) Giải hệ phơng trình khi m =-2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x-y=1
Bài 3; :(1,5đ)Cho phơng trình x
2
(m -1)x m
2
+m - 2=0
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
;x
2
thoả mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC) đờng cao AH .Trên nửa mặt phẳng có bờ là
BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E và vẽ nửa đờng tròn đờng kính CH
cắt AC tại F
a)Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh FE là tiếp tuyến chung của 2 nửa đờng tròn
Đề : 9
Bài 1:(2đ) Cho biểu thức M =
1
2
1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx

a, Rút gọn M
b,Tìm x đẻ M=2
d,Tìm x đẻ M có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: ( 2,5đ) Cho Parabol (P): y=
4
2
x
và điểm M (1;-2)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc m , tiếp xúc Parabol (P) và đi qua M
b) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi
m thay đổi
c) Giả sử x
1
;x
2
lần lợt là hoành độ của A và B . Xác định m sao cho E=x
1
2
.x
2

+x
1
.x
2
2
đạt giá
trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: (1đ) Giải phơng trình
24624612
2
+=+ xx
Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm D ,vẽ đờng tròn (O) đờng
kính CD , đờng tròn đờng kính BC cắt (O)tại E , AE cắt (O) tại F
a) c/m tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
6
b) c/m

ACB =

ACF
c) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua dờng thẳng BC. c/m tứ giác
BMCN nội tiếp đợc trong một đờng tròn
d) Xác định vị trí của D để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kình nhỏ nhất.


Đề : 10
Bài 1:(2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức A =
1
223
1
223
1

+



2) Cho biểu thức B = (
x
x

+
1
1
3
) :

+

1
1
3
2
x
với -1<x<1
a, Rút gọn B
b,Tính giá tri của B khi x= 4
52

Bài 2: ( 2đ) Cho Parabol (P): y= x
2
và đờng thẳng (d) : y= 2m x+m
2
+1
a) Chứng tỏ đờng thẳng (D) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B khi
m thay đổi
b) Giả sử x
1
;x

2
lần lợt là hoành độ của A và B . Xác định m sao cho
2
5
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài 3: (1đ) Giải phơng trình
341 =++ xx
Bài 4 :(1,5đ)Cho phơng trình (m-1)x
2
2(m +1)x +m =0 (1)
a) Giải và biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
.
b
1
) Tìm m để
21
xx

2
b
2
) Tìm một hệ thức liên quan giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m
Bài 4 :(3,đ) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ; điểm E,D là giao điểm của tia phân giác trong và
ngoài góc B và C ; ED cát BC ở I cắt cung nhỏ BC ở M .C/m
a)3 điểm A ,E,D thẳng hàng
b) Tứ giác BECD nội tiếp
c) Các tam giác BEM , MBD cân tại M và M là trung điểm của ED

7

Đề :11
Bài 1: (3đ) 1)Tính giá trị biểu thức M=
( )
116
63
12
26
4
16
15
+

+
+

2) Cho biểu thức A=
x
x
x
x
xx
x
+
+



+
+

3
32
1
23
32
1115

a, Rút gọn A
b, Tìm gía trị của x để A=0,5
c, Tìm x để A nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 2: (2,5đ)
Cho Parabol (P): y=x
2

a)Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB vuông tại A
b)Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c)Cho đờng thẳng (d
2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x
1
và
x
2
thoả mãn
2
2

2
1
11
xx
+
=11
Bài 3(1,5đ); 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày .họ làm chung với
nhau 8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành phần
việc còn lại trong 3 ngày rỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong
công việc trên?
Bài4:(3đ) Cho tam giác ABC nhọn , góc A =45
0
các đờng cao BD,CE cắt nhau tại H . C/m
a) Tứ giác ADHE;BEDC nội tiếp
b) HD=DC
c) Tính tỉ số
BC
DE

d) Gọi O là tâm đ/tr ngoại tiếp tam giác ABC .C/M rằng OA

DE
c) BEDC nội tiếp
=>DEC=DBC
Mà AEH=AED+ DEC =90
0
=> AED=DCB (1)
DCB + DBC =90
0
Mà A chung =>

AED=

ACB (gg)
=>
AC
AE
BC
ED
=
Mà AE=AC. Sin 45
0
=>AC=AE:
2
2
=AE.
2
2

AC
AE
BC
ED
=
=
2
2
.AE
AE
=

2
2
8
B
C
A
D
E
H

9