Ôn Tập Toán cao cấp 1- Bài 4 pdf

1
v1.0
BÀI 4
HÀM NHIỀU BIẾN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
2
v1.0
1. Khái niệmhàmsố nhiềubiếnsố,giớihạnvàsự liên tụccủahàmsố nhiều
biếnsố.
2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần.
3. Cựctrị củahàmsố -Cựctrị có điềukiện.
LÝ THUYẾT
3
v1.0
Trong các phầntử sau, phầntử nào là một điểmcủa không gian 3 chiều?
3

a. (1; 2)
b. (1;2;3)
c. (1)
d. (1; 2; 3; 4)
VÍ DỤ 1
4
v1.0
Trong các phầntử sau, phầntử nào là một điểmcủa không gian 3 chiều?
3

a. (1; 2)
b. (1;2;3)
c. (1)
d. (1; 2; 3; 4)

Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1
Định nghĩa:
Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x
1
, x
2
, , x
n
được gọi là một điểm n chiều. Ta ký
hiệu điểm bởi chữ in hoa M(
x
1
, x
2
, , x
n
).
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)




5
v1.0
Một điểmnchiềulà:
a. Một bộ n số thực.
b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.
c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.
d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.
VÍ DỤ 2

6
v1.0
Một điểmnchiềulà:
a. Một bộ n số thực.
b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.
c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.
d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)




7
v1.0
Cho hàm số nbiến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng
định sau:
VÍ DỤ 3
a. Miền xác định của hàm số là
b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của
c. Miền giá trị của hàm số là
d. Miền giá trị của hàm số là tập con của
n

n

n

n

8

v1.0
Hướng dẫn:
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
9
v1.0
Cho hàm số nbiến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng
định sau:
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)




Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộn
giữa miền xác định và miền giá trị.
a. Miền xác định của hàm số là
b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của
c. Miền giá trị của hàm số là
d. Miền giá trị của hàm số là tập con của
n

n

n

n

10
v1.0
Tậpnàosauđây là miềnxácđịnh củahàmsố

xy
zx.1y
xy


a. x y 0, y 1
b. x y 0, y 1
c. x y 0, y 1
d. x y 0, y 1
 
 
 
 
VÍ DỤ 4
11
v1.0
Tậpnàosauđây là miềnxácđịnh củahàmsố
xy
zx.1y
xy


a. x y 0, y 1
b. x y 0, y 1
c. x y 0, y 1
d. x y 0, y 1
 
 
 
 

Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73)
Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay
vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa.
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
Chú ý:
xy0 xy0
1y 0 y1





 





12
v1.0
Tậpnàosauđây là miềnxácđịnh củahàmsố
zln(xy)xarcsin1y 
a. x y 0, y 1
b. x y 0, y 1
c. x y 0, 1 y 1
d. x y 0, 0 y 1
 
 
 
 

VÍ DỤ 5
13
v1.0
Tậpnàosauđây là miềnxácđịnh củahàmsố
zln(xy)xarcsin1y 
a. x y 0, y 1
b. x y 0, y 1
c. x y 0, 1 y 1
d. x y 0, 0 y 1
 
 
 
 
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)




14
v1.0
Giớihạncủadãyđiểmkhilà:
n
2
12n3
M,
n
n








a. (0; 0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
d. (1;1)

n 
VÍ DỤ 6
15
v1.0
Hướng dẫn:
n0
n
n
nnn 00
n0
n
lim x x
M(x;y) M(x;y)
lim y y












Nếu một trong 2 giới hạn không tồn tại thì
cũng không tồn tại
nn
nn
lim x , lim y
 
n
n
lim M

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
16
v1.0
Giớihạncủadãyđiểmkhilà:
n
2
12n3
M,
n
n








a. (0; 0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
d. (1;1)

n 
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)




n
22
nn n
12n3 12n3
lim 0; lim 2 lim M ; (0;2)
nn
nn
  



 


Nhận xét: Việc tính giới hạn của một dãy điểm n biến, thực chất là tính giới
hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm. Chỉ cần 1 trong các
giới hạn đókhông tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó.
17

v1.0
Giớihạncủadãyđiểmkhilà:
2
n
232n
M,
nnn










a. (0; 0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
d.

n 
Không tồn tại.
VÍ DỤ 7
18
v1.0
Giớihạncủadãyđiểmkhilà:
2
n

232n
M,
nnn










a. (0; 0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
d.

n 
Không tồn tại.
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)




2
n
32n
lim
nn





19
v1.0
Cho hàm số .Tìmgiới
hạncủadãysố khi , trong đó
n
21
M,
nn



3
a.
5
b. 0
5
c.
3
d.

n 
Không tồn tại.
22
22
xy
f(M) f(x,y)

xy





n
f(M )
VÍ DỤ 8
20
v1.0
Cho hàm số .Tìmgiới
hạncủadãysố khi , trong đó
n
21
M,
nn



3
a.
5
b. 0
5
c.
3
d.

n 

Không tồn tại.
22
22
xy
f(M) f(x,y)
xy





n
f(M )
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)






22
2
n
222
2/n 1/n
21 3n 3
f(M ) f ,
nn 5
5n
2/n 1/n



 



n
nn
33
lim f(M ) lim
55
 

21
v1.0
23
zxy2y
y
z'(1,2)

Cho hàm số . Khi đó, bằng:
a. 15
b. -20
c. 0
d. 25
VÍ DỤ 9
22
v1.0
23
zxy2y

y
z'(1,2)

Cho hàm số . Khi đó, bằng:
a. 15
b. -20
c. 0
d. 25
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
23
v1.0
Hướng dẫn: Xem định nghĩa đạo hàm riêng (mục 4.2.2.1)
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Đạohàmriêng:
Đạohàmriêngthựcchấtlàđạohàmriêngtheomộtbiếnsố khi tấtcả các
biếncònlạinhậngiátrị cốđịnh. Do đókhitínhđạohàmriêngtheobiếnnào
thì ta coi các biếncònlạinhư là hằng số,vàtínhđạohàmtheobiến đang xét.
24
v1.0
23
zxy2y
y
z'(1,2)

Cho hàm số . Khi đó, bằng:
a. 15
b. -20
c. 0
d. 25
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

23/22
y
/22
y
zxy2y z x 6y
z(1,2) (1) 6.2 25

  




Nhận xét:
Sai lầm thường gặp
: Khi tính đạo hàm riêng, do thói quen thường coi x là
biến, nên khi đạo hàm theo biến y cũng đồng thời tiến hành đạo hàm theo
biến x. Chẳng hạn với,
tính
/2/ 3/ 2
y
/2/2/ 3/ 22
y
z (x ) y (2y ) 2xy 6y
hay z (x ) y x y (2y ) 2xy x 6y


23
zxy2y
25
v1.0

x
ze(cosyxsiny)
y
z'(1,)

Cho hàm số . Khi đó, bằng:
1
1
a. e

b. e
c. e
d. e




VÍ DỤ 10