Ôn tập hình học lớp 12

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 1 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

b
c
a
A
B
C
HÌNH HỌC
ÔN TẬP :
1) Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Cho
ABC

vuông tại A , AH là đường cao . Ta có :


2 2 2
BC AB AC
 
( Pitago )


. .AH BC AB AC




2
.AB BH BC
,
2
.AC CH CB



2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 
,
2
.AH HB HC

2
BC
AM 
( trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )
2) Các hệ thức lượng trong tam giác thường :
a) Định lí hàm số cosin :


2 2 2
2 cosa b c bc A  



2 2 2
2 cos
b a c ac B
  



2 2 2
2 cosc a b ab C  



2 2 2
cos
2
b c a

A
bc
 




2 2 2
cos
2
a c b
B
ac
 




2 2 2
cos
2
a b c
C
ab
 



b) Định lí hàm sin :

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
( R là bk đường tròn ngoại tiếp của
ABC
)

A
B
C
H

M
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 2 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi

ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

b
c
a
A
B
C
B
A
C
A
B
C
M
N
N
K
M
A
B
C
a
h

 Công thức tính diện tích của tam giác :
 S=
1 1 1
2 2 2

a b c
ah bh ch 


1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ac B  


4
abc
S
R

,
.S p r


( )( )( )S p p a p b p c   
( Với
2
a b c
p
 

, r là bán kính đường tròn nội tiếp
ABC
)
c) công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác :

2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM

 


2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BN

 


2 2 2
2
2 4
CA CB AB
CK

 

3) Định lí Talet :

//MN BC

AM AN MN
k
AB AC BC
   

 Chú ý :
2
2
AMN
ABC
S
AM
k
s AB


 
 
 
 

4) Diện tích của đa giác :
a) Diện tích của tam giác vuông:
S =
1
2
tích hai cạnh góc vuông

ABC


vuông tại A

1
.
2
ABC
S AB AC

 


b) Diện tích tam giác đều :
2
( ) 3
4
canh
S 

Chiều cao của tam giác đều : h =
( ) 3
2
canh



ABC

đều có cạnh a :
Diện tích :

2
3
4
a
S 

Chiều cao :
3
2
a
h 

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 3 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

B

A
C
D
A
D
C
B
H
c) Diện tích của hình vuông :

2
( )S canh

Đường chéo hình vuông =(cạnh)
2


Hình vuông ABCD có cạnh a
Diện tích :
2
S a


Đường chéo : AC = BD =
2a

d) Diện tích hình chữ nhật :

S 
dài x rộng

e) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

1
2
S 
tích hai đường chéo
Tứ giác ABCD có hai đường chéo
vuông góc
AC BD
thì
1
.
2
S AC BD





f) Diện tích hình thang :
S=
1
2
(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

.
2
AD BC
S AH




Ghi Nh
ớ

1/ Ch
ứng minh đường thẳng

// ( )d mp 
( v
ới
( )d 
)
 Chứng minh
//d d

và
( )
d




2/ Ch

ứng minh
( )// ( )mp mp 

 Ch
ứng minh
( )

ch
ứa hai đường thẳng cắ
t nhau song song v
ới
( )


3/ Ch
ứng minh hai đường thẳng song song
: Áp d
ụng một trong các định lí sau

 Hai mp
( ) , ( ) 
có đi
ểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song a , b

thì
( ) ( ) // //Sx a b
  


( )// , ( ) ( ) ( ) //a a b a      

 Hai m
ặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với
đường thẳng đó
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 4 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

a
b
a'
b'
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P
P d P

d


 



  


 

 M
ột mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song

 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
 S
ử dụng phương pháp hình học phẳng : đường trung bình , định lí Talét đảo , ….

4/ Ch
ứng minh đường thẳng
( )d mp


 Ch
ứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )

 Ch
ứng minh

//d d

và
( )d 



 Ch
ứng minh
( )d

mà
( )//( )
 

 Hai m
ặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao
tuy
ến của chúng
vuông góc v
ới mặ
t ph
ẳng th
ứ 3



 Có hai m
ặt phẳng vuông góc
nhau, đư

ờng thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến , cũng vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
d a
a
a d
 
  






   









5/ Ch
ứng minh đường thẳng
d d




 Ch
ứng minh
( )
d

và
( ) d




6/ Ch
ứng minh
( ) ( )mp mp
 

 Ch
ứng minh
( ) d
 
và
( )d


( ch
ứng minh mp này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia )

GÓC VÀ KHO

ẢNG CÁCH

1/ Góc gi
ữa hai đường thẳng
:

/ / '
( , ) ( ', ')
/ / '
a a
a b a b
b b

 



2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 5 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S

ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

b
a
d
M
d'
d
M
Là góc t
ạo bới đường thẳng đó

và hình chi
ếu của nó trên mặt phẳng


( ,( )) ( , ')d d d 
v
ới d’ là hình chiếu vuôn
g góc c
ủa d lên
( )


3/ Góc gi
ữa hai mặt phẳng
:

( ) ( )
( ), (( ),( )) ( , )
( ),
d
a a d a b
b b d
 
  

 


   


 


4/ Kho
ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Là đ
ộ dài đoạn vuông góc

v
ẽ từ điểm đó đến đường thẳng

5/ Kho
ảng cách

t
ừ một điểm đến
m
ột mặt phẳng :

Là đ
ộ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến
m
ặt phẳng


7/ Kho
ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

 Là đ
ộ dài đoạn vuông góc chung

c
ủa hai đường thẳng đó

 Là kho
ảng cách MH từ một

đi
ểm M trên d đến mp
( )
ch
ứa d’ và song song với d

 Là kho

ảng cách giữa hai mặt phẳ
ng song song
( ), ( ) 
l
ần lượt chứa d và d’

d’
d
M
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 6 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

O
H
A
C

B
S
H
O
C
A
D
S
B
HÌNH CHÓP ĐỀU
 M
ột hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có
đáy là m
ột đa giác đều
và có chân
đư
ờng cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nh
ận xét
:
a) Hình chóp
đều có các mặt bên là
nh
ững tam giác cân bằng nhau . Các mặt bên tạo với
đáy các góc bằng nhau
b) Các c
ạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

 Hai hình chóp

đều thường gặp
:
1) Hình chóp tam giác
đều
:
Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC

 Đáy ABC là tam giác đ
ều

 Các m
ặt bên là các tam giác cân tại S

 Ch
ều cao : SO

 Góc gi
ữa cạnh bên và mặt đáy:
 

SAO SBO SCO 

 Góc gi
ữa mặt bên và mặt đáy :

SHO


2

3
AO AH
,
1
3
OH AH
,
3
2
AB
AH 

Chú ý : Hình chóp tam giác
đều khác với tứ diện đều

T
ứ diện đều có các mặt là các tam giác đều . Như vậy : Tứ diện đều là hình chóp tam giác
đ
ều có cạnh bên bằng cạnh đáy

2) Hình chóp t
ứ giác đều :

Cho hình chóp t
ứ giác đều S.
ABCD
 Đáy ABCD là h
ình vuông

 Các m

ặt bên là các tam giác cân tại S

 Ch
ều cao là SO

 Góc gi
ữa cạnh bên và mặt đáy:
 


SAO SBO SCO SDO  

 Góc gi
ữa mặt bên và mặt đáy :

SHO

Nh
ắc lại :

- Một tam giác đều có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , chiều cao h =
- M
ột hình vuông có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , độ dài đường chéo =

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 7 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn

Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

h
B
A
B
C
D
S
h
h
B
B
a
b
c
a
THỂ TÍCH KH
ỐI ĐA DIỆN

1)Thể tích khối chóp :

V=
1
3
.h .B

B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối chóp














2) Thể tích khối lăng trụ :
V = B.h
B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối
lăng trụ
Ghi chú : Lăng trụ đứng có chiều cao

cũng là cạnh bên









3) Th
ể tích hình hộp chữ nhật







V = a.b.c

4)Th
ể tích khối lập phương
:

V =
3
a

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 8 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718


1) T
ỉ thể tích


' ' '
' ' '
. .
SA B C

SASBC
V
SA SB SC
V SA SB SC
















A
C
B
S
A'
B
'
C
'
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 9 - ThS. Huỳnh Khoa

Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

T
A
C
B
S
T
A
D
C
S
M
ẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1- Nh

ắc lại một số kiến thức cơ bản
:
 Trục của đa giác : là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác và
vuông góc v
ới mặt phẳng chứa đa giác

B
ất kì một điểm nào nằm trên tr
ục của đa giác th
ì cách đều các đỉnh của đa giác đó

 Đư
ờng trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc v
ới đoạn thẳng đó

Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
 Mặt trung trực của một đoạn thẳng l
à mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc v
ới đoạn thẳng đó

B
ất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng


2- Tâm m
ặt cầu ngoại tiếp hình chóp
: Là đi
ểm cách đều các đ

ỉnh của h
ình chóp


3- Cách xác đ
ịnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
:

 D
ạng 1
: Hình chóp có các
đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông










Hình chóp S.ABC có
 
0
90SAC SBC 


Tâm T c
ủa mặt

c
ầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC là trung đi
ểm của SC

Bán kính
2
SC
R 










Hình chóp S.ABCD có

 

0
90SAC SBC SDC  


Tâm T c
ủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD là trung đi
ểm của
SC
Bán kính
2
SC
R 


Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 10 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

 Dạng 2 :
+ Hình chóp có các c
ạnh bên bằng nhau

- G
ọi O là tâm của đáy

SO là tr
ục của đáy

- Trong m
ặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên , dựng đường trun
g tr
ực
c
ủa cạnh bên cắt
SO tại I

I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
+ Hình chóp có m
ột cạnh bên
SA vuông góc v
ới đáy

- Tìm tr
ục

c
ủa đáy

- Trong m
ặt phẳng chứa cạnh bên
SA và ch
ứa

tr
ục

, d
ựng đường trung trực
d c
ủa cạnh
bên
SA c
ắt


t
ại I


I là tâm c
ủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 D
ạng 3
: V
ới hình chóp
có m
ột mặt bên vuông góc với đáy.

- D
ựng trục

c

ủa đáy

- D
ựng
tr
ục d của mặt bên vuông góc với đáy.

-
d I  
I là tâm m
ặt cầu ngoại tiếp hình chóp

BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hình chóp SABC có
đáy là
ABC
vuông cân t
ại A , hình chiếu vuông góc của S lên
(ABC) là trung đi
ểm O của BC , SO = AB = a .

a) CMR
BC SA
, tính SA theo a .
b) Tính th
ể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.


Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy . Biết góc

0
120BAC 
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 3 :
a) Tính th
ể tích của khối
chóp tam giác đ
ều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
2
3
a

b) Tính th
ể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy
m
ột góc 60
0

c) Tính th
ể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằ
ng a , m
ặt bên hợp với đáy
một góc 60
0


Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đỉnh S cách đều A , B , C và
SA tạo với (ABCD) một góc 60
0

. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 11 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABC có
đáy
ABC là tam giác vuông t
ại A , AB = a , AC =
3a
, m
ặt bên
SBC là tam giác đ
ều và vuông góc với mặt đáy . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
kho
ảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
.

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy AB
CD là hình vuông c
ạnh a , mp (SAB) vuông góc với mp
đáy ,SA = SB , góc giữa SC với mp đáy bằng
0
45
.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
(CĐ A-2010) ĐS :
3
5
6
a
V 

Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy
ABCD là hình ch
ữ nhật , các mặt bên ( SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) , cho AB = a , AD = 2a , SC tạo với mặt đáy (ABCD) một
góc 45
0
. Tính th
ể t
ích c
ủa khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 8: Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng

5
2
a
, góc gi
ữa mặt bên và mặt đáy
b
ằng 60
0
. Tính th
ể tích của khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC).

Bài 9 :Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với đáy
.T
ừ A kẻ
các đo
ạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC .Biết AB =
3a
, BC =
a
,SA =
3
a
.
a) Hãy tính th
ể tích khối chóp S.ADE.
ĐS :
3
.

27 3 9
;
104 13
S ADE
a a
V d 

b) Tính khoảng cách từ E đến mp (SAB).

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,


0
90BAD ABC 
, AB = BC = a
,AD =2a ,
( )SA ABCD
, SA = 2a . G
ọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD .Chứng minh
BCNM là hình ch
ữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BC
NM theo a. ( CĐ khối A – 2008 )
ĐS:
3
3
a
V 

Bài 11: Cho hình chóp tứ gác đều S.ABCD có AB = a , SA =
2

a
. Gọi M , N và P lần lượt là
trung đi
ểm của các cạnh SA , SB và CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường
th
ẳng SP . Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP
( CĐ – 2009 )

Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA
( )ABCD
.
Cho AB = a ,
2SA a
. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD .
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 12 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Chứng minh
( )SC AHK
và tính thể tích của khối chóp OAHK
Bài 13 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B . Biết SA vuông góc với đáy
(ABC) . Cho AB = a ,
3BC a
, SA = a . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắt
SB tại K . Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo a.


Bài 14 : Cho lăng tr
ụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,góc
0
30ACB 
,
AA’= 3a , AC = 2a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) M
ặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện . Tính
th
ể tích của
m
ỗi khối đa diện đó


Bài 15 : Cho hình l
ăng trụ đứng ABC . A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

AC = a , góc

0
60BCA 
. Đ
ồng thời đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt

ph
ẳng (AA’C’C) một góc
30
0
.
a) Tính đ
ộ dài đoạn thẳng AC’

b) Tính th
ể tích của khối lăng trụ.


Bài 16 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’ cách
đều các đỉnh A,B,C .Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Bài 17: Cho hình l
ập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1

có c
ạnh a . Gọi O
1
là tâm c
ủa hình vuôngA
1
B
1
C
1
D
1
.
Tính th
ể tích của khối lập phương và thể tích của khối tứ diện A
1
O
1
BD . Ch
ứng minh :
1 1
( )BD ACB


Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy , cạnh bên SB =
3a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Xác đ

ịnh
tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 19:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh bên SA vuông góc với
đáy . Biết AB =
3a
, BC =
a
, SB tạo với mp(ABC) một góc 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC.

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy . M
ặt
(SBD) tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 13 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472

Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD.

Bài 21 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a
a) Tính th
ể tích của khối chóp S.ABC

b) Xác đ
ịnh tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC.

Bài 22 : Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a

a) Tính th
ể tích của khối chóp S.ABCD

b) Xác đ
ịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.


Bài 23 : Cho hình chóp S.ABC có có đáy là
ABC
vuông tại A ,

( )SA ABC
, góc ABC =
0
30
,
AC = a , SA = 4a .
a) Tính th
ể tích khối chóp S.ABC .

b) Xác đ
ịnh tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.


Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có
đáy là
ABC
vuông cân t
ại A , hình chiếu vuông góc của S lên
mp(ABC) là trung đi
ểm O của BC , SO = AB = a .

a) CMR
BC SA

, tính SA theo a.
b) Tính th
ể tích và diện tích xung quanh của hình chóp .

c) Gọi H là trung điểm AB ,
OK SH

.Chứng minh
 
OK SAB
.
d) G
ọi M là trung điểm OC , qua M dựng mp(

) vuông góc AB, c
ắt AB , SA , SC lần lượt tại
N, P , Q .T
ứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNPQ.

e) Xác đ
ịnh tâm và
tính bán kính m
ặt cầu ngoại tiếp hình chóp .



Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S
xu
ống mặt đáy là trung điểm H của AB ,
SAB
đ
ều .

a) Tính góc h
ợp bởi SD , SB với đáy và thể tí
ch c
ủa khối chóp S.ABCD.

b) G
ọi K là trung điểm CD .Chứng minh mp(SHK) là mp trung trực của CD .

c) Gọi I là trung điểm SB .Qua I dựng mp(

) song song mp(SCD) cắt SA , AD , BC lần lượt
t
ại J,M,N .Tứ giác IJMN là hình gì? Tính diện tích
t
ứ giác IJMN theo a .

d) Tính
d[AD,SB];d[AB,(SCD)]
và góc h
ợp bởi SB với mp (SCD).

e) Xác đ
ịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .


Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 14 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L

ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 26 : Cho lăng tr
ụ ABC.A’B’C’ ,đáy là tam giác đều cạnh a , điểm A cách đều A’ , B’, C’ và
AA’ h
ợp với
đáy m
ột góc 60
0
.
a) Tính th
ể tích khối lăng trụ .

b) Ch
ứng minh BB’C’C là hình chữ nhật .Tính
xq
S
lăng tr
ụ .

c) Xác đ
ịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.A’B’C’.

Bài 27 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình
vuông c
ạnh a .Gọi M, N lần lượt là trung
đi
ểm AB , AD .H là giao điểm của CN với DM.Biết SH vuông góc với (ABCD) với SH = a
3

.Tính th
ể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa DM và SC theo a .

(ĐH A-2010) ĐS :
3
5 3 2 3
;
24
19
a a
V d
 

Bài 28:Cho hình l
ăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa 2 mp(A’BC) và (ABC)
b
ằng 60
0
G
ọi G là trọng tâm tam giác A’BC .Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt
c

ầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
(ĐH B-2010) ĐS :
3
3 3 7
;
8 12
a a
V R
 


Bài 29 :Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a, hình chiếu vuông góc
của S lên mp (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
AC
AH =
4
. Gọi CM là đường cao tam giác
SAC .Ch
ứng minh M là tr
ung đi
ểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

(ĐH D-2010) ĐS :
3
14
48
a
V


Bài 30: Cho hình l
ăng trụ đ
ứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, ' 2AB a AA a 
, A’C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ , I là giao điểm của AM và
A’C . Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) theo a.
( ĐH khối D – 2009 ) ĐS :
3
4
9
a
V 
, d(A , (IBC))=
2 5
5
a

Bài 31 : Cho hình l
ăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông
t
ại A , AB = a ,
3AC a
và hình chi
ếu vu
ông góc c
ủa đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của
c
ạnh BC . Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AA’ , B’C’. ( ĐH khối A – 2008 ) ĐS :

3
2
a
V 
,
1
cos
4
 

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 15 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 32 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC)
bằng
0

60
; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC =
0
60
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên
mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a.
(ĐH khối B – 2009 ) ĐS :
3
9
208
a
V


Bài 33 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD = 2a ,
CD = a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0
60
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD .
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo a ( ĐH khối A – 2009 ) ĐS :
3
3 15
5
a
V 

Bài 34 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a , SA = a , SB =

3a
và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần l ượt là trung điểm của các cạnh AB
, BC . Tính theo a th
ể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM
, DN ( ĐH khối B – 2008 ) ĐS :
3
3
3
a
V 
,
5
cos
5
 

Bài 35: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a , cạnh
bên
' 2
AA a

. G
ọi M là
trung đi
ểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và kho
ảng cách giữa hai đường thẳng AM , B’C

( ĐH khối D – 2008 ) ĐS:

3
2
a
V 
, d( AM , B’C)=
7
7
a

Bài 36 : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong m
ặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
( ĐH khối A – 2007 ) ĐS:
3
3
96
a
V 

Bài 37 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN BD
và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
( ĐH khối B – 2007 ) ĐS : d( MN , AC) =
2
4
a

Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là h
ình thang
,góc


0
90ABC BAD 
, BA = BC = a,
Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 16 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a
2
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SB. Ch
ứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng

SCD.
( ĐH khối D – 2007 ) ĐS : d( H , (SCD))=
3
a


Bài 39: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằng chiều cao bằng a .
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a .
Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB ( ĐH khối A – 2006 ) ĐS:
3
3
12
a
V 

Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, SA = a
và SA vuông góc v
ới mặt phẳng
ABCD. G
ọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;

I là giao đi
ểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt

ph
ẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
(ĐH khối B – 2006 )

Bài 41 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc v
ới mặ
t ph
ẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các

đư
ờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

( ĐH khối D – 2006 ) ĐS :
3
3 3
50
a
V 

Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t
ại
B, BA = 3a, BC = 4a; m
ặt phẳng
(SBC) vuông góc v
ới mặt phẳng (
ABC). Bi
ết
SB =
2 3a
và góc
0
30SBC


. Tính th
ể tích khối chóp
S.ABC và kho
ảng cách từ điểm
B đ
ến mặt phẳng (
SAC) theo a.
( ĐH khối D – 2011) ĐS :
3
2 3V a
;
6 7
7
a
d


Bài 43 : Cho hình l
ăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là h
ình chữ nhật , AB = a , AD = a
3

. Hình
chiếu vuông góc của A
1
trên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD .Góc giữa hai mp
(ADD
1
A
1
) và (ABCD) b
ằng
0
60
.Tính th
ể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B
1
đ
ến
mp(A
1
BD) theo a. (ĐH khối B – 2011 ) ĐS :
3
3
2
a
V 
;
3
2
a
d 

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 17 - ThS. Huỳnh Khoa




Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn
Cơ S
ở 1: 612
L
ạc Long Quân , P5, Q11
ĐT : 08.66.572.472
Cơ S
ở 2
: 104 Tô Hi
ến Thành , P15
, Q.10 ĐT: 08.66.570.718

Bài 44 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t
ại
B, AB = BC = 2a; hai m
ặt
ph
ẳng (
SAB) và (SAC) cùng vuông góc v
ới mặt phẳng (
ABC). G

ọi
M là trung đi
ểm của
AB; m
ặt
ph
ẳng qua
SM và song song v
ới
BC, c
ắt
AC t
ại
N. Bi
ết góc giữa hai mặt phẳng (
SBC) và (ABC)
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
. (ĐH khối A – 2011 ) ĐS :
3
3V a

;
2 39
13
a
d 