Bài tập ôn vào 10 (hơi khó)

A, Biến đổi đồng nhất
Bài 1:
( ) ( )
( )
5 5 3 3 2 2
1. :Cho ab CMR a b a b a b a b= + = + + +
Bài 2: Cho a > b > 0 thoả mãn: 3a
2
+ 3b
2
= 10ab. Tính giá trị biểu thức
a b
P
a b

=
+
Bài 3: Cho x > y > 0 thoả mãn: 2x
2
+ 2y
2
= 5xy. Tính giá trị biểu thức
x y
P
x y
+
=

Bài 4: a, Cho x + y + z = 0. CMR:
3 3 3
3x y z xyz+ + =

b, Cho
1 1 1
0
a b c
+ + =
. Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
ab ca bc
P
c b a
= + +
Bài 5: Cho
3 3 3
3a b c abc+ + =
. Tính giá trị của biểu thức:
1 1 1
a b c
P
b c a

= + + +
ữ ữ ữ

Bài 6: Cho
2 2 2
0; 14a b c a b c+ + = + + =
. Tính giá trị của các biểu thức:
a,
A ab bc ca= + +
b,

2 2 2 2 2 2
B a b b c c a= + +
c,
4 4 4
C a b c= + +
Bài 7: Cho a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn:
1ab bc ca
+ + =
. Tính giá trị các biểu thức:
1,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
A
a b c
+ + +
=
+ + +
2,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1a bc b ca c ab
B
a b b c c a
+ + +

=

Bài 8: Cho
, 1, 0n n x > Ơ
. CMR:
1 1
1 1
1 1 1 1
n n n
n n n
x x x x
x x x x
+
+

+ = + + +
ữ ữ ữ

Bài 9: Cho x > 0 và
2
2
1
7x
x
+ =
. Tính giá trị các biểu thức sau
a,
1
A x
x

= +
b,
3
3
1
B x
x
= +
c,
4
4
1
C x
x
= +
d,
5
5
1
D x
x
= +
Bài 10: Cho
1
0;x x a
x
+ =
(a: hằng số). Tính theo a các biểu thức sau:
a,
3

3
1
A x
x
= +
b,
6
6
1
B x
x
= +
c,
7
7
1
C x
x
= +
Bài 11: Cho x,y,z thoả mãn:
2 2 2 2
0;x y z x y z a+ + = + + =
. Tính
4 4 4
P x y z= + +
theo a
Bài 12: Cho
1 1 1
1; 0a b c
a b c

+ + = + + =
. CMR:
2 2 2
1a b c+ + =
Bài 13: Cho các số:
; ; ; 0x by cz y ax cz z ax by x y z= + = + = + + + =
. Tính
1 1 1
1 1 1
P
a b c
= + +
+ + +
Bài 14: Cho
4 4
2 2
1
; 1
x y
x y
a b a b
+ = + =
+
. Chứng minh rằng:
a,
2 2
bx ay=
b,
( )
2000 2000

1000
1000 1000
2x y
a b
a b
+ =
+
Bài 15: Cho
( )
2
4 4 4 2 2 2
1
0. :
2
a b c CMR a b c a b c+ + = + + = + +
Bài 16: Cho
( ) ( )
5 5 5 2 2 2
0. : 2 5x y z CMR x y z xyz x y z+ + = + + = + +
Bài 17: Cho a,b,c là 3 số khác nhau. CMR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2b c c a a b
a b a c b a b c c a c b a b b c c a

+ + = + +

1
Bài 18: CMR nếu xyz = 1 thì:
1 1 1
1

1 1 1x xy y yz z zx
+ + =
+ + + + + +
Bài 19: Cho a,b,c là 3 số thực khác nhau. CMR:

. . . 1
a b b c a c b c a c b a
a b b c c a b c c a a b
+ + + + + +
+ + =

Bài 20: Cho a,b,c đôi một khác nhau. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ab bc ca
P
b c c a c a a b a b b c
= + +

Bài 21: Cho a,b,c là các số thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ + +
= =
. Tính giá trị biểu thức:
1 1 1
b c a
P
a b c

= + + +

ữ ữ ữ

Bài 22: Cho
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2; . : 2a b c abc CMR
a b c a b c
+ + = + + = + + =
Bài 23: Cho 3 số x,y,z thoả mãn:
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

Tính giá trị biểu thức:
2007 2007 2007
P x y z= + +
Bài 24: Cho các số thực dơng x,y,z thoả mãn:

3
8
15
xy x y
yz y z
zx z x
+ + =


+ + =


+ + =

Tính giá trị biểu thức:
3 2A x y z= + +
Bài 25: Cho
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
. : 0CMR a b b c c a
a b c a b c
+ + = + + + =
+ +
Bài 26: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thoả mãn:
3 3 3
3 0a b c abc+ + =
. CMR: tam giác
ABC là tam giác đều.
Bài 27: Cho a,b,c là độ dai 3 cạnh của tam giác thoả mãn:
( ) ( ) ( )

8a b b c c a abc+ + + =
. CMR tam giác
ABC là tam giác đều.
B, Biến đổi căn thức
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a,
( ) ( )
2 2
2 3 3 5A = +
h,
4 10 2 5 4 10 2 5H = + + +
b,
8 2 15 8 2 15B = +
i,
4 15 4 15 2 3 5I = + +
c,
5 2 6 5 2 6C = + +
j,
1 1 1 5 1
12
3 3 2 3 6
J = + +
d,
2 3 2 3D = +
k,
( )
2 6 2 3K = +
e,
4 7 4 7E = +
l,

13 160 53 4 90L = +
g,
1 1
7 3 7 3
F = +
+
m,
4 4
49 20 6 49 20 6M = + +
2
Bài 2: Chứng minh rằng, các số sau đây đều là các số nguyên:
( )
( ) ( )
( )
3
3
3
3 3
, 5 3 29 12 5
2 3 5 13 48
,
6 2
, 4 5 3 5 48 10 7 4 3
, 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128
5 2 6 49 20 6 5 2 6
,
9 3 11 2
2 1
, 2 1
3

125 125
, 3 9 3 9
7 7
a A
b B
c C
d D
e E
f F
g G
=
+ +
=
+
= + + +
= + + +
+
=


= +
= + + + +
Bài 3: Cho
3 3
9 4 5 9 4 5x = + +
a, Chứng minh rằng x là nghiệm của phơng trình:
3
3 18 0x x =
b, Tính x
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau

a,
3 3
2 5 2 5 1+ + =
c,
3 3
20 14 2 20 14 2 4+ + =
b,
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ =
d,
3 3 3 3 3
2 20 25 3 5 4+ =
Bài 5: Đặt
3 3
1 8 1 1 8 1
3 3 3 3
a a a a
x a a
+ +
= + +
. Chứng minh rằng, với mọi
1
8
a >
thì x là số
nguyên dơng
Bài 6: Rút gọn biểu thức
1 1 1 1
...
2 1 1. 2 3 2 2 3 2007 2006 2006 2007 2008 2007 2007 2008

S = + + + +
+ + + +
Bài 7: Cho a > 0; b > 0 và a
2
b

0. Chứng minh rằng
2 2
2 2
1,
2 2
2,
2 2
a a b a a b
a b
a a b a a b
a b
+
+ = +
+
=
3,
Rút gọn:
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
P
+
= +
+ +
Bài 8: Cho

1 1 2 1. : 2b c a CMR b c a+ + + = + +
Bài 9: Tính giá trị biểu thức:
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2
x x
P
x x
+
= +
+ +
với
3
4
x =
3
Bài 10: Cho
( )
2
2 1 2 1 1
1
1
4 1
x x x x
P
x
x x
+ +

=
ữ

a, Tìm điều kiện để P có nghĩa
b, Rút gọn P
Bài 11: Rút gọn các biểu thức sau:
( )
( )
( )
( )
2 2
2
4
4 4
2
2
1
, 48 2 75 108 147
7
, 1 1 0, 1
1 1
, 2 1 2 2 1 2 1
2 1
1
1
, 0, 1
1 1
1 1 1 1
, 1 0 1
1 1

1 1
a A
a a a a
b B a a
a a
c C x x x x x x x
a
a a a
a
d D a a
a a a
a a
e E a
a a
a a
a a
= +

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+

= + +
+ +

+
= + >
ữ

ữ
+


+
= + < <
ữ ữ
ữ ữ
+
+ +

Bài 12: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1P x x x x= +
a, Tìm điều kiện để P có nghĩa
b, Tính giá trị của P khi
2x
Bài 13: Cho biểu thức:
2
1 1
:
x
P
x x x x x x
+
=
+ +
a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b, Rút gọn P
Bài 14: Cho

2; 4x x x a> + =
. Tính giá trị biểu thức:
2
2 4
2
x x
P
x

=

theo a
Bài 15: Cho biểu thức
3
1 1
1 1 1
x x
P
x x x x x

=
+
a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b, Tìm x để P > 0
Bài 16: Cho biểu thức
( ) ( )
1
2 1 2
1 .
1

1 2 1
x x x
x x x x x x
P
x
x x x


+ +
= +
ữ
ữ

+

a, Tìm điều kiện để P có nghĩa
b, Rút gọn P
Bài 17: Cho
, , 0; 1.x y z xy yz zx> + + =
Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
. .
1 1 1
y z z x x y
P x y z
x y z
+ + + + + +

= + +
+ + +
Bài 18: Rút gọn:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1 1
2 3 3 4 2006 2007 2007 2008
P = + + + + + + + + + + + +
4
c,ph ơng trình bậc hai và định lý viète
Bài 1: Cho phơng trình
( )
2
2 1 3 0x m x m =
(1)
a, CMR: phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
b, Tìm m sao cho
2 2
1 2
10x x+ =
Bài 2: Cho phơng trình:
2
2 2 1 0x mx m + =
(1)
a, CMR: phơng trình (1) luôn có nghiệm x
1

, x
2
với mọi m
b, Đặt
( )
2 2
1 2 1 2
2 5A x x x x= +
. Tìm m sao cho A = 27
c, Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
d, Tìm m để phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Bài 3: Cho phơng trình:
( ) ( )
2 2
2 3 3 0 1x m x m m + =
a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b, Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 1<x
1
<x
2
<6
c, Tìm hệ thức liên hệ giữa x

1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 4: Tìm m để 2 phơng trình sau có nghiệm chung:
( )
( )
2
2
0 1
1 0 2
x x m
x mx
+ + =
+ + =
Bài 5: Gọi a,b là 2 nghiệm của phơng trình
2
1 0x px+ + =
và c,d là 2 nghiệm của phơng trình
2
1 0x qx+ + =
. Chứng minh các hệ thức sau:
a,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a c a d b c b d p q =
b,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a c b c a d b d q p + + =

Bài 6: Tìm m để phơng trình:
2
4 1 0x x m + + =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho
2 2
1 2
10x x+ >
Bài 7: Tìm m để pt:
2
3 2 0x mx + =
có 2 nghiệm thoả mãn:
1 2 2
3 2 2x x x=
Bài 8: Cho phơng trình:
( ) ( )
2
2 1 0 1x m x m =
a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b, Với m

0, lập phơng trình bậc 2 ẩn t nhận t
1

và t
2
làm nghiệm với:
1 1 2 2
2 1
1 1
;t x t x
x x
= + = +
Bài 9: Tìm m để phơng trình
2
3 5 0x x m + =
có 2 nghiệm thoả mãn:
2 2
1 2
5
9
x x =
Bài 10: Cho phơng trình:
( ) ( )
2 2
2 4 8 0 1x m x m + + =
a, Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
b Tìm m để
1 2 1 2
3A x x x x= +
đạt GTLN

c, Tìm m để
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
đạt GTNN
d, Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 11: Cho phơng trình:
( )
( )
2 2
4 3 0 1x x m m + =
a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
b, Tìm m để:
( )
2 2
1 2 1 2
4x x x x+ = +
c, Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
sao cho

1 2
1 2 1 2
2 1
; 3
1 1
y y
y y x x
y y
+ = + + =

5