Đề cương ôn tập vào lớp 10(đầy đủ)

Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
đề cơng ôn tập toán 9
C1: các dạng phơng trình
và bất phơng trình bậc nhất một ẩn
1, PT bậc nhất một ẩn: Là PT có dạng ax +b = 0 (a 0)
ax = -b x = -
a
b

Bi 1: Giải các PT sau
a, 2x +5 = 28 - 3(5x +7 ) b, 4x +
6
43 x
= 8 -
5
97 +x
2x + 15x = 28 -21-5 4x .30 + 5 (3x - 4) = 8.30 - 6(7x +9)
17 x = 2 120x +15 x -20 = 240 - 42x -54
x =
17
2
93x = 206
x =
93
206
2, PT dạng tích: A(x).B(x)

= 0 A(x)

=0
Hoặc B

(x)
= 0
Bi 2 : Giải các PT sau
a, 3x(5 - 7x) = 0
x = 0 ; x =
7
5
b, 4x
2
-9 + 2x +3 = 0 (2x +3)(2x -3) + 2x +3 =0
(2x +3)(2x - 2) = 0



=
=+
022
032
x
x

3
2
1
x
x

=

=

Bi 3: Giải phơng trình:
06132
23
=++ xxx
.
Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp nhẩm nghiệm.(nghiệm thuộc ớc của
6) ta đợc:
3
2
1
2
0)352)(2(
3
2
1
2
=
=
=
=+
x
x
x
xxx
Bài 4: Giải phơng trình
01282
234
=+ xxxx

Bài 5: Giải phơng trình
061132
23
=+ xxx
3, PT chứa ẩn ở mu
B1: Đặt ĐK của ẩn ; Quy đồng khữ mu
B2: Biến đổi PT đa về dạng ax +b = 0 rồi giải
B3: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm
Bài 6 : Giải các Pt sau
a,
2 5 3 7
4
2 2
x x
x x
+
+ =

Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
1
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
K: x 2 ; x -3
2x + 5 + 4(x - 2) = 3 - 7x
2x + 5 + 4x - 8 = 3 - 7x
13x = 6

6
13
x =
(TMK)

b,
)3)(1(
2
22)3(2 +
=
+
+
xx
x
x
x
x
x
ĐK: x -1 ; x 3
x(x+1) + x(x -3) = 4x
2x
2
- 6x = 0
2x(x -3) = 0 x =0 (TMK)
hoc x =3 (loại)
4, PT chứa dấu GTTĐ
Bi 7: Gii phng trỡnh
09372 =++ xx
(1)
GV hớng dẫn HS giải theo hai cách
Cỏch 1: Mở dấu GTTĐ
+) Nu 2x + 7

0 x

7
2

thỡ
2 7 2x +7x + =
(1) 2x + 7 - 3x + 9 = 0 -x = - 16 x = 16 (TMK)
+) Nu 2x + 7 < 0 x <
7
2

thỡ
2 7 (2x +7)x + =
(1) - (2x + 7) - 3x + 9 = 0 - 2x - 7 - 3x + 9 = 0 -5x = -2 x =
2
5
(K
0
TMK)
Vy phng trỡnh cú nghim x = 16
Cỏch 2: Chuyển vế rồi đặt ĐK ở vế phải rồi giải
5, Ph ơng trình vô tỉ:
Bi 8: Giải phơng trình:
21212 =++ xxxx
PP: + ĐKXĐ:
2
1
012 xx
+ Tạo ra bình phơng của một tổng hoặc một hiệu của biểu thức dới căn để đa ra
ngoài căn.

Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phơng trình với
2
.
+ Xét xem biểu thức dới căn dơng hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi
giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 9: Giải phơng trình
31244
22
=++++ xxxx
Bài 10: Giải phơng trình
3232232 =++ xxxx

6, Bất ph ơng trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: BPT bậc nhất một ẩn là BPT có dạng ax+b > 0 hoặc ax+b < 0
VD: a, 2x-5 < 0
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
2
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
b, 27-3x > 0
Cách giải:
Bài 11: Giải BPT sau
a, 2x-5 < 0


2x < 5

x <
2
5
b, 27-3x > 0

-3x > - 27

x <
3
27

x < 9
Bài 12: Giải BPT sau

3
52
5
2
4
6
53 x
x
x +
>+



Giải:
3
52
5
2
4
6

53 x
x
x +
>+



5(3x-5) - 4x.5.6 + 2.6 >(2+5x). 10


15x-25-120x+12 >20+50x

15x-120x-50x > 20+25-12


-155x > 33

x <
155
33

Cđ 2: toán liên quan đến rút gọn biểu thức
I/. Các dạng toán và ph ơng pháp giải
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa(tồn tại hoặc xác định), nếu đề ra cha
có
BT trong căn(dới dấu căn)

0 (tức
A

A

0)
Phơng pháp: áp dụng
BT ở mẫu khác 0
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
Phơng pháp:
- Xem thử tử và mẫu có phân tích thành nhân tử đợc không? để rút gọn.
- Quy đồng hoặc trục căn thức ở mẩu.
* Lu ý: Thực hiện phép biến đổi theo trình tự trong ngoặc trớc, nhân chia - cộng trừ sau.
Dạng 3: Tính giá trị của biến để biểu thức >, =, < một số
Phơng pháp:
- Từ biểu thức đã đợc thu gọn và yêu cầu của đề ta đợc BPT hoặc PT
- Giải BPT hoặc PT tìm đợc giá trị của biến.
- Đối chiếu giá trị của biến với ĐK đầu bài để kết luận.
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức, biết giá trị của biến.
Phơng pháp:
- Biến đổi(Thu gọn) giá trị của biến (nếu đợc)
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn tìm đợc gtrị của biểu thức.
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến (hoặc không nguyên) để biểu thức nhận giá
trị nguyên.
Phơng pháp:
- Biến đổi biểu thức đã đợc thu gọn về dạng: 1 số + 1 biểu thức p(x)
- Nếu biểu thức p(x) là phân thì Mu phải là ớc của Tử.
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
3

Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
Phơng pháp: Có nhiều cách, tuỳ theo biểu thức đã thu gọn. Nhng ở THCS thờng hay
gặp các cách sau:
* Tìm GTLN: Biến đổi biểu thức về dạng: - [p(x)]
2
+ a

a (a

0) suy ra GTLN bằng a
(tức là dấu = xảy ra)
* Tìm GTNN: Biến đổi biểu thức về dạng: [p(x)]
2
+ a

a (a

0) suy ra GTNN bằng a
(tức là dấu = xảy ra)
II/. Bài tập cụ thể:
Bài 1: Cho biểu thức: M = (
aa +

1
1
1
1
)(1-
a
1

), ĐK: x > 0, x

1.
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ Tính giá trị của M khi a =
9
1
.
Bài 2: Cho biểu thức:
P =











1
1
x
xx

+
+
+
1
1
x
xx
, ĐK: x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P < - 2
Bài 3: Cho biểu thức:
M =
11
21
+
+
+

+
x
xx
x
xx
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định và rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để M < 1.
Bài 4: Cho biểu thức:

P =









+
+











1
2
1
1
:
1
1

x
xxxx
x
; x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P > 0 (P <0)
c/ Tính giá trị của P khi x = 3 + 2
x
Bài 5: Cho biểu thức:
A =









x
x
1
:

+

+

xx
x
x
x 11
; x > 0;
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị A biết x =
32
2
+
.
c/ Tìm x thoả mãn: A
436 = xxx
Bài 6: Cho biểu thức:
P =








++
+

+
1
4
1
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
; x

0, x 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:

Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
4
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
M =
( )
1
122
:
11

+








+
+



x
xx
xx
xx
xx
xx

; x > 0 , x 1.
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.
Bài 8: Cho biểu thức:
Q =
2
2x+ x
1
1 x
x x
x x
+

+

a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x Q = 2.
c) Tỡm GTNN của Q và giá trị tơng ứng của x.
Bài 9: Cho biểu thức:
M =
2 2 1
1 :
1
1 1
x x
x
x x x

+
ữ
ữ
ữ

+ +


; x> 0 , x 1.
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tỡm giỏ tr ca x M t max
c) Tìm GTNN của P và giá trị tơng ứng của x.
Bài 10: Cho biểu thức:
C =
( )
2
2 2 2
: ;
1
2 1
1
x x
x
x x
x

+

ữ
ữ

+ +


x

0 , x 1.
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm GTNN của C và giá trị tơng ứng của x.


cĐ 3: hệ Phơng trình bậc nhất hai ẩn
I/. Kiến thức cần nắm:
+ Nếu hệ phơng trình có dạng:
y = ax + b
y' = a' x + b'






thì

hệ có nghiệm duy nhất

a

a

có vô số nghiệm

a = a

, b = b


vô nghiệm

a = a

, b

b


+ Nếu hệ phơng trình có dạng:
ax + by = c
a'x + b'y = c'





thì

hệ có nghiệm duy nhất


'

a
a


'
b
b
có vô số nghiệm


'
a
a
'
b
b
=
'
c
c
=

vô nghiệm


'
a
a
'
b

b
=
'
c
c


+ Giải hệ PT bằng:
- Phơng pháp thế nếu hệ số của ẩn đơn giản ( =

1)
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
5
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
- Phơng pháp cộng đại số
- Phơng pháp t ẩn phụ.
II/. Bài tập
Bi 1: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
1)
2
2 3 9
x y
x y
=


=

2)

=+
=
42
6
yx
yx
3)



=
=+
2
623
yx
yx

4)



=+
=
264
132
yx
yx
5)

2 3 5
5 4 1
x y
x y
+ =


=

6)
3 7
2 0
x y
x y
=


+ =


Bi 2: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.
1)



=+
=
311110
7112
yx

yx
2)



=
=+
72
33
yx
yx
3)



=
=+
032
852
yx
yx
4)



=
=+
323
223
yx

yx
5)



=
=+
736
425
yx
yx
6)



=+
=
564
1132
yx
yx
* Dạng toán biện luận hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Bi 3: Cho h phng trỡnh
2
2 1
x my
mx y
+ =

=

(I)
a) Giải hệ khi m = 2
b) Tìm s nguyờn m để hệ (I) cú nghim duy nht (x; y) m x > 0 v y < 0.
Bi 4: Cho h phng trỡnh
2 5
3 1
mx y
mx y
+ =


+ =

(II)
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ (II) có nghiệm nm trong gúc phn t th nht.
Bi 5: Gii v bin lun nghim h phng trỡnh theo tham s m

2
4 6
mx y m
x my m
=


= +

(III)

Bi 6: Gii h phng trỡnh:
a)
2 2
19
1
x xy y
x xy y

+ + =

+ =

b)
2 2
19
84
xy x y
x y xy
+ + =


+ =




CĐ 4: Dạng toán liên quan đến hàm số.
I/ Một số kiến thức cơ bản cần nắm:
+) Có hai hàm số cơ bản:
y = ax + b (d) (với a

0, a: hệ số góc); y = a

x + b

(d

)
y = ax
2
(P) (với a

0, a: hệ số góc)
+) Tính chất biến thiên.
* y = a x + b đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0
+ Vi a > 0

H/S ng bin khi x > 0, nghch bin khi x < 0
* y = ax
2

Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
6
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
+ Vi a < 0

H/S nghch bin khi x < 0, nghch bin khi x > 0
+) Ví trớ tơng đối của (d) v (d

)

* (d) // (d

)

a = a

; b

b


* (d) Cắt (d

)

a

a

* (d)

(d

)

a = a

; b = b

* (d)

(d

)

a.a

= -1
+) Vẽ y = ax + b (d) (với a

0, a: hệ số góc)
Phơng pháp:
- Xác định 2 iểm bất kỳ của đồ thị (thng cho x = 0

y = b

A(0; b)
v cho x = 1

y = a + b

B(1; a + b) )
- Biểu diễn 2 điểm đó trên h trc ta Oxy và kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
+) Vẽ y = a x
2
(P) (với a

0, a: hệ số góc)
Phơng pháp

- Lập bảng giá trị, ít nhất 6 giá trị của biến x ngoài giá trị 0 ta c 6 im tng
ng.
- Biểu diễn 6 điểm đó trên h trc ta Oxy
- Kẻ đờng cong đi qua 7 điểm đó(K c gc ta )
+) Vị trí tơng đối của:
y = ax + b (d) (với a

0, a: hệ số góc) và
y = ax
2
(P) (với a

0, a: hệ số góc)
- (P) cắt (d) khi và chỉ khi PT: ax
2
= ax + b có 2 nghiệm phân biệt (

> 0)
- (P) tiếp xúc (d) khi và chỉ khi PT: ax
2
= ax + b có nghiệm kép (

= 0)
- (P) không có điểm chung với (d) khi và chỉ khi PT: ax
2
= ax + b vô nghiệm (

< 0)
II/. Bài tập :
Bài 1. cho parabol (p): y = x

2
và đờng thẳng (d): y = -x + 2
a) Vẽ ( P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phộp tớnh.
Bài 2: Định m để hai đồ thị hàm số y = x
2
và y = 2x +m
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau
c) Không có điểm chung.
Bài 3: Cho hàm số y= kx + b có đồ thị là đờng thẳng (d) (k

0). Xác định các hệ số k
và b để:
a) (d) đi qua hai diểm A(0;- 3) và B ( -2; 5) .
b) (d) song song với đờng thẳng (d

) có phơng trình: y = 3x và i qua điểm (2;-1)
c) (d) vuông góc với đờng thẳng (d

) có phơng trình: y = 2x và i qua điểm (2;-2)
d) (d) cắt trục tung tại điểm C có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm D có hoành
độ bằng - 2. Tính độ dài oạn thẳng CD và diện tích tam giác OCD.
Bài 4: Cho Parabol (P): y = -
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(0 ;1) và có hệ số góc là m .

b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng có hai đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P).
Bài 5: Cho Parabol (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d):
12 = mmxy

a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
7
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
c) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)
Bài 6: Cho (P): y = ax
2
và (D): y = (m - 1)x - (m - 1)
a) Tìm a và m biết (P) đi qua điểm A(- 2; 4) và tiếp xúc với (D).
b) Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
c) Vẽ (P) và (D) tìm đợc ở câu a trên cùng một hệ trục toạ độ.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho A(-2;2) và (d
1
): y = -2(x +1)
a) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị là (P) và đi qua A
b) Viết phơng trình (d
2

) qua A và vuông góc với (d
1
)
c) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d
2
), C là giao điểm của (d
1
) với Oy. Tìm toạ độ giao
điểm của B và C và tính diện tích tam giác ABC.
Bài 8: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2
và M(1; - 2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M
b) Chứng minh rằng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với
mọi k
c) Tìm k để F = x
2
A
x
B
+ x
A
x
2
B
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm GTNN đó.
Bài 9: Cho hàm số (P):

2
xy =
và hàm số(d): y = x + m
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Bài10: Cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (
1
d
) y = -2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
1
d
) không ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
Bài 11: Cho Parabol (P): y= x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
a) Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau. Xác định toạ độ điểm chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm, một điểm có hoành độ x=-1.Tìm điểm
còn lại.

c) Giả sử đờng thẳng cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm tập hợp trung điểm I của AB


CĐ 5: Toán liên quan đến phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
I/. Một số kiến thức cơ bản cần nắm:
5.I.1) Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax
2
+ bx = 0
+ Phơng pháp: Phân tích vế trái thành nhân tử, rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
2
3 6 0x x =
(1)
(1)
3x =0 x =0
3 ( 2) 0
x - 2 = 0 x = 2
x x

=


Vy phng trỡnh cú nghim x
1
= 0; x
2
= 2

5.I.2) Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax
2
+ c = 0
+ Phơng pháp: Biến đổi về dạng
mxmx ==
2
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
2
4 8 0x =
(2)
(2)
2
2 2x x = =
Vy phng trỡnh cú nghim
2x =
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
8
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
5.I.3) Cách giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) bằng công thức
nghiệm:
Phơng pháp:
5.I.3.1. Dùng công thức nghiệm TQ và Thu gọn:
5.I.3.2. Cách giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) bằng P
2
đặc biệt:
a) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình
có nghiệm là: x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
b) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có
nghiệm là : x
1
= - 1 và
a
c
x

=
2
5.I.3.3. Dùng Định lý Vi-et và hệ quả:
a. Định lý Vi ét: Nu x
1
, x

2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0(a

0)
thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
P = x
1
x
2
=
a
c
b. o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x

1
x
2
= P thì hai số đó l nghiệm
(nếu có) của pt bậc hai: x
2
S x + P = 0
5.I.3.4. NG DNG CA H THC VI-ẫT TRONG GII TON
Cho phng trỡnh bc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a0) (*)
Cú hai nghim
1
2
b
x
a

=
;
2
2
b
x
a
+
=
Suy ra:
1 2
2

2 2
b b b b
x x
a a a
+
+ = = =
2
1 2
2 2 2
( )( ) 4
4 4 4
b b b ac c
x x
a a a a
+
= = = =
Vy t : - Tng nghim l S : S =
1 2
b
x x
a

+ =
- Tớch nghim l P : P =
1 2
c
x x
a
=
Nh vy ta thy gia hai nghim ca phng trỡnh (*) cú liờn quan cht ch vi

cỏc h s a, b, c. õy chớnh l ni dung ca nh lớ VI-ẫT, sau õy ta tỡm hiu mt s
ng dng ca nh lớ ny trong gii toỏn.
NG DNG 1: NHM NGHIM CA PHNG TRèNH
U1.1. Dng c bit:
Xột phng trỡnh (*) ta thy :
a) Nu cho x = 1 thỡ ta cú (*) a.1
2
+ b.1 + c = 0 a + b + c = 0
b) Nu cho x =

1 thỡ ta cú (*) a.(

1)
2
+ b(

1) + c = 0 a

b + c = 0
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
9
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Như vậy với phương trình (*):
+) Nếu có a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm
1
1x =
và nghiệm còn lại là
2
c
x

a
=
+) Nếu có a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm
1
1x = −
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
= −
Vận dụng hệ thức trên ta có thể làm một số ví dụ sau:
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
2
2 5 3 0x x+ + =
(1) 2)
2
3 8 11 0x x+ − =
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
−
b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x = −
và
2
3
2

c
x
a
− −
= =
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x =
và
2
11
3
c
x
a
−
= =
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2
35 37 2 0x x− + =
2.
2
7 500 507 0x x+ − =
3.
2
49 50 0x x− − =
4.
2
4321 21 4300 0x x+ − =

Đáp án: 1.
1 2
2
1;
35
c
x x
a
= = =
2.
1 2
507
1;
7
c
x x
a
−
= = =
3. x
1
= -1; x
2
=
50
c
a
−
=
4. x

1
= -1; x
2
=
4300
4321
c
a
−
=
U1.2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm
còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Ví dụ: a) Phương trình
2
2 5 0x px− + =
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ
hai.
b) Phương trình
2
5 0x x q+ + =
. Có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
2
7 0x x q− + =
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
2
50 0x qx− + =
, biết phương trình có 2

nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay
1
2x =
vào phương trình ban đầu ta được :
1
4 4 5 0
4
p p− + = ⇒ =
T ừ
1 2
5x x =
suy ra
2
1
5 5
2
x
x
= =
Vậy:
1
4
p =
;
2
5
2
x =

b) Thay
1
5x =
và phương trình ban đầu ta được
25 25 0 50q q+ + = ⇒ = −
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
10
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Từ
1 2
50x x = −
suy ra
2
1
50 50
10
5
x
x
− −
= = = −
Vậy:
50q = −
;
2
10x = −
c) Vì vai trò của x
1
và x
2

bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
11x x− =
và theo VI-ÉT ta có
1 2
7x x+ =
, ta giải hệ sau:
1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x
x x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
Suy ra
1 2
18q x x= = −
d) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
2x x=
và theo VI-ÉT ta có

1 2
50x x =
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x
x
= −

= ⇔ = ⇔

=


Với
2
5x = −
th ì
1
10x = −
Với
2
5x =
th ì

1
10x =
Bài tập áp dụng:
a) Tìm k để phương trình x
2
+ kx + 6 = 0 có hai nghiệm hơn kém nhau 1 đơn vị.
b) Tìm m để phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm x
1
= 1, tìm nghiệm còn lại.
Đáp án: a) k = 5, k= -5
b) m = - 4; x
2
= - 4
ỨNG DỤNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
U2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
1 2
;x x
Ví dụ : Cho
1
3x =
;
2
2x =
. Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai giá trị trên làm
nghiệm.
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1 2
1 2

5
6
S x x
P x x
= + =


= =


Vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a
3. x
1
= 36 vµ x

2
= -104
4. x
1
=
1 2+
vµ x
2
=
1 2−
Đáp án: 1. x
2
- 5x - 24 = 0 2. x
2
- 4ax + 3a
2
= 0
3. x
2
+ 68x - 3744 = 0 4. x
2
- 2x -1 = 0
U2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm
của một phương trình cho trước:
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
11
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Ví dụ : Cho phương trình :
2
3 2 0x x− + =

có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và
2 1
2
1
y x
x
= +
Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
 
+

= + = + + + = + + + = + + = + =
 ÷
 
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phương trình cần lập có dạng:
2
0y Sy P− + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình
2
3 5 6 0x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải phương
trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
1 1

2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn
y thoả mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương
trình đã cho).
3/ Cho phương trình bậc hai:

2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình
bậc hai có các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
Đáp án: 1/
2
5 1
0
6 2
y y+ − =

hay
2
6 5 3 0y y+ − =
2/
2
727 1 0y y− + =
3/ a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =

ỨNG DỤNG 3 : TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình :
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−

3 và ab =
−
4 nên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2
4x = −
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
12
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Vậy a = 1; b =
−
4 hoặc a =
−
4; b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết:
1. S = 3 và P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
Đáp án: 1. a = 1; b = 2 hoặc a = 2; b = 1
2. Không tồn tại a và b
3. a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a

2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2
= 61 và ab = 30
Hướng dẫn:
1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm
tích của a và b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1

2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy: a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đặt c =
−
b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
5 36 0
9
x
x x

x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−
4 thì c = 9 nên b =
−
9
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = −


⇒ + = ⇒

+ =

*) Với
13a b
+ = −
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

Vậy a =
4−
thì b =
9
−
*) Với
13a b

+ =
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
Từ: a
2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab⇒ + = + + = + = =
11
11

a b
a b
+ = −

⇒

+ =

Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
13
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
*) Nếu
11a b
+ = −
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −


Vậy a =
5
−
; b =
6
−
hoặc a =
6
−
; b =
5
−
*) Nếu
11a b
+ =
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

− + = ⇔

=


Vậy a = 5; b = 6 hoặc a = 6; b = 5.
ỨNG DỤNG 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức
nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức
VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
U4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (
1 2
x x+
) và
1 2
x x
Ví dụ 1: a)
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + −
b)
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + − + = + + −
 
c)
( )
2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + = + − = + − −
 
d)
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Ví dụ 2:
1 2
?x x− =
Ta biết
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + −
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.
2 2
1 2
x x−
(
( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= − +

=…….)
2.
3 3
1 2
x x−
( =
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x
 
− + + = − + −
 
=……. )
3.
4 4
1 2
x x−
( =
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+ −
=…… )
4.
6 6
1 2

x x+
( =
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + − +
= …… )
Bài tập áp dụng
5.
6 6
1 2
x x−
6.
5 5
1 2
x x+
7.
7 7
1 2
x x+
8.
1 2
1 1
1 1x x
+
− −
U4.2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình :
2
8 15 0x x− + =

Không giải phương trình, hãy tính
1.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 34 2.
1 2
1 1
x x
+
Đáp số:
8
15
 
 ÷
 
3.
1 2
2 1
x x
x x
+
Đáp số:
34
15
 
 ÷
 
4.
( )

2
1 2
x x+
Đáp số: 46
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
14
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
b) Cho phương trình :
2
8 72 64 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
Đáp số:
9
8
 
 ÷
 
2.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 65
c) Cho phương trình :
2
14 29 0x x− + =

Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
Đáp số:
14
29
 
 ÷
 
2.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 138
d) Cho phương trình :
2
2 3 1 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
Đáp số: 3 2.
1 2
1 2
1 1x x

x x
− −
+
Đáp số: 1
3.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 1 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
Đáp số:
5
6
 
 ÷
 
e) Cho phương trình
2
4 3 8 0x x− + =
có 2 nghiệm x
1
; x
2
, không giải phương trình, tính

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD:
( )
2 2 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x

+ + + − −
= = = =
+
   
−
+ −
 
 
ỨNG DỤNG 5 : TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY
ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
(thường là
a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x
1
+ x
2
và P = x
1
x
2
theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x
1
và x

2
. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ
giữa các nghiệm x
1
và x
2
.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m− − + − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Lập hệ thức
liên hệ giữa
1 2
;x x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Bài giải: Để phương trình trên có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì :
' 2
1
1 0 1
1
4
5 4 0

0 ( 1)( 4) 0
5
m
m m
m
m
m
m m m
≠

− ≠ ≠
≠
 


⇔ ⇔ ⇔
   
− ≥
≥
∆ ≥ − − − ≥

 


Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
15
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Theo hệ thức VI- ÉT ta có :
1 2 1 2
1 2 1 2

2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
 
+ = + = +
 
 
− −
⇔
 
−
 
= = −
 
− −
 
Nhân vào hai vế của pt (1) với số 3 và pt (2) với số 2 ta được:
1 2
1 2
2
3( ) 3(2 )

1
3
2 . 2(1 )
1
x x
m
x x
m

+ = +


−


= −

−


1 2
1 2
6
3 3 6 (1')
1
6
2 . 2 (2')
1
x x
m

x x
m

+ = +


−
⇔


= −

−

Cộng (1') và (2') theo vế ta có: 3x
1
+ 3x
2
+ 2x
1
.x
2
= 8
hay
( )
1 2 1 2
3 2 8 0x x x x+ + − =
Vậy hệ thức liên hệ giữa
1 2
;x x

không phụ thuộc vào m là
( )
1 2 1 2
3 2 8 0x x x x+ + − =
Ví dụ 2: Gọi
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m− − + − =
. Chứng minh
rằng biểu thức
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + + −
không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì :
' 2
1
1 0 1
1
4
5 4 0
0 ( 1)( 4) 0
5

m
m m
m
m
m
m m m
≠

− ≠ ≠
≠
 


⇔ ⇔ ⇔
   
− ≥
≥
∆ ≥ − − − ≥

 


Theo hệ thức VI- ÉT ta có :
1 2
1 2
2
1
4
.
1

m
x x
m
m
x x
m

+ =


−

−

=

−

thay vào A ta có:
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −

Vậy A = 0 với mọi
1m ≠
và
4
5
m ≥
. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m.
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm
sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào
tham số. Hoặc từ hệ thức VI-ÉT ta biến đổi để triệt tiêu tham số, từ đó ta sẽ có được
biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham sốchúng
Bài tập áp dụng:
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
16
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
1) Cho phương trình :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m− + + − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập hệ thức liên
hệ giữa
1 2
;x x
sao cho
1 2

;x x
độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + >
với mọi giá trị
của m
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2
1 2
1 2
2 (1')
2 (1)
1
. 2 1 (2)
(2')
2
m x x
x x m
x x
x x m
m

= + −

+ = +


⇔
 
+
= −
=




Cách 1: Từ (1') và (2') ta có:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ − = ⇔ + − − =
Cách 2: Nhân vào hai vế của pt (1) với số 2 rồi lấy pt (1) trừ cho pt (2) theo vế ta được:

1 2 1 2
2( ) . 5x x x x+ − =
Vậy hệ thức liên hệ giữa

1 2
;x x
không phụ thuộc vào m là
1 2 1 2
2( ) . 5x x x x+ − =
2) Cho phương trình :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + − =
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m∆ = + − − = + >
do đó phương trình đã cho
luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) (1) 4 ( ) 1 (1')

. 2( 4) (2) 4 2 16 (2')
x x m m x x
x x m m x x
+ = − + = − + −
 
⇔
 
= − = +
 

Từ (1') và (2') ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x− + − = + ⇔ + + + =
Với bài này chúng ta cũng có thể làm như cách 2 ở trên bằng cách nhân vào pt (2)
với số 2 rồi cộng hai pt theo vế ta có được hệ thức cần tìm.
ỨNG DỤNG 6 : TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN
BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO.
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
(thường là
a ≠ 0 và ∆ ≥ 0, ∆' ≥ 0)
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
17
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là
tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ 1: Cho phương trình :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m− − + − =
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Bài giải : Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
là :
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
' 9 2 1 9 27 0
' 3 21 9( 3) 0
0
0
' 9 1 0

1
m
m
m m m
m m m
m
m
m
m
≠
≠


 
⇔
 
∆ = − + − + ≥
∆ = − − − ≥ 


 


≠

≠


⇔ ⇔
 

∆ = − ≥
≥ −



Theo hệ th ức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−

+ =



−

=


và từ giả thiết:
1 2 1 2
x x x x+ =

.
Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27
3 21 7
m m
m m m m
m m
m m
− −
= ⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ = ⇔ =

(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Ví dụ 2 : Cho phương trình :
( )
2 2
2 1 2 0x m x m− + + + =
.
Tìm m để 2 nghiệm
1

x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1 2
&x x
là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥
2 2
4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥
7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +



= +

và từ giả thiết
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
.
Suy ra:
2
3( 2) 5(2 1) 7 0m m+ − + + =

2
3 6 10 5 7 0m m⇔ + − − + =
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
18
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010

2
2 ( )
3 10 8 0
4
( )
3
m TM
m m
m KTM
=



⇔ − + = ⇔

=

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:

( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :
( )
2
2 4 7 0mx m x m+ − + + =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
2 0x x− =
2. Cho phương trình :

( )
2
1 5 6 0x m x m+ − + − =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:
1 2
4 3 1x x+ =
3. Cho phương trình :
( ) ( )
2
3 3 2 3 1 0x m x m− − − + =
.
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
3 5 6x x− =
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ
1 và ví dụ 2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm

1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x

nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó
vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa
tổng nghiệm
1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x
rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình
bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0;
15
m m≠ ≤
-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x

m
m
x x
m
− −

+ =



+

=


- Từ
1 2
2 0x x− =
Suy ra:
1 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1
3
2( ) 9
2( ) 3
x x x
x x x x
x x x
+ =


⇒ + =

+ =

(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m+ − = ⇒ = = −

BT2: - ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
- Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ = −


= −

- Từ :
1 2
4 3 1x x+ =

. Suy ra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 3( )
1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1
7( ) 12( ) 1
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= − +

⇒ = − + + −

= + −

⇔ = + − + −
(2)
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
19
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
- Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh :
0
12 ( 1) 0
1

m
m m
m
=

=

=

(tho món KX)
BT3: - Vỡ
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m = + + = + + = +
vi mi s thc m nờn
phng trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit.
- Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


+ =

+

=


- T gi thit:
1 2
3 5 6x x =
. Suy ra:
1 1 2
2 1 2
8 5( ) 6
8 3( ) 6
x x x
x x x
= + +


= +

[ ] [ ]
1 2 1 2 1 2
64 5( ) 6 . 3( ) 6x x x x x x = + + +
2
1 2 1 2 1 2
64 15( ) 12( ) 36 (2)x x x x x x = + +
- Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh:

0
(45 96) 0
32
15
m
m m
m
=


+ =

=

(tho món)
NG DNG 7: XC NH DU CC NGHIM CA
PHNG TRèNH BC HAI.

Cho phng trỡnh:
2
0ax bx c+ + =
(a 0). Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú 2
nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
a. PT (1) có ít nhất một nghiệm dơng


0
S > 0

b. PT (1) có ít nhất một nghiệm âm


0
S < 0





c. PT (1) có nghiệm cùng dấu


0
P > 0





(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)
d. PT (1) có hai nghiệm dơng


0
0
P > 0

S



>




(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)
e. PT (1) có hai nghiệm đều âm


0
0
P > 0
S



<




(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)

f. PT (1) có hai nghiệm trái dấu

P < 0

Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
20
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
g. PT (1) có 2 nghiệm đối nhau


0
S = 0





h. PT (1) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau


0
P = 1





Vớ d: Xỏc nh tham s m sao cho phng trỡnh:
( )
2 2
2 3 1 6 0x m x m m + + =
cú 2 nghim trỏi du.
phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du thỡ
0P

<



2
6
0
2
m m
P

= <


( 3)( 2) 0P m m= + <

2 3m
< <
Vy vi
2 3m
< <
thỡ phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du.
Bi tp tham kho:
1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m + + =
cú 2 nghim cựng du.
2.
( )

2
3 2 2 1 0mx m x m+ + + =
cú 2 nghim õm.
3.
( )
2
1 2 0m x x m + + =
cú ớt nht mt nghim khụng õm.
NG DNG 8: TèM GI TR LN NHT HOC GI TR NH NHT CA
BIU THC NGHIM
p dng tớnh cht sau v bt ng thc: trong mi trng hp nu ta luụn phõn tớch
c:
A m
C
k B
+

=



(trong ú A, B l cỏc biu thc khụng õm ; m, k l hng s) (*)
Thỡ ta thy :
C m
(vỡ
0A
)
min 0C m A = =
C k
(vỡ

0B
)
max 0C k B = =
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( )
2
2 1 0x m x m+ =
Gi
1
x
v
2
x
l cỏc nghim ca phng trỡnh. Tỡm m :
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
cú giỏ tr nh nht.
Bi gii: Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ =


=

Theo bi :
( )

2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x= + = +
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
21
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m
m
= − +
= − +
= − − ≥ −
Suy ra:
min 8 2 3 0A m
= − ⇔ − =

hay
3
2
m =
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2

1 0x mx m− + − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức sau:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =



= −


( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 2( 1) 3 2 1
2 1 ( ) 2 2 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + − + +
⇒ = = = =
+ + + + + + +
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2 1
1
1
2 2
m m m
m
B
m m

+ − − +
−
= = −
+ +
Vì
( )
( )
2
2
2
1
1 0 0 1
2
m
m B
m
−
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+
Vậy
max B=1⇔
m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2

1 1 1 1
2 1 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m
B
m m
m
+ + − + + − +
+
= = = −
+ +
+
Vì
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
2 0 0
2
2 2
m

m B
m
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
Vậy
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2
2
2 1
2 2 1 0
2
m
B Bm m B
m
+
= ⇔ − + − =
+
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có:
2
1 (2 1) 1 2B B B B∆ = − − = − +
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
hay
( ) ( )

2 2
2 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B− + + ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ + − ≤
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
22
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
1
2 1 0
2
1 0 1
1
1
2
2 1 0 1
2
1 0
1
B
B
B B
B
B
B
B
B





+

+

Vy:
max B=1
m = 1
1
min 2
2
B m= =
Bi tp ỏp dng
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + =
.Tỡm m biu thc
( )
2
1 2
A x x=
cú giỏ
tr nh nht.
2. Cho phng trỡnh
2
2( 1) 3 0x m x m =
. Tỡm m sao cho nghim
1 2
;x x
tha món iu
kin
2 2
1 2
10x x+

.
3. Cho phng trỡnh :
2 2
2( 4) 8 0x m x m + =
. Xỏc nh m phng trỡnh cú 2 nghim
1 2
;x x
tha món.
a)
1 2 1 2
3A x x x x= +
t giỏ tr ln nht.
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
t giỏ tr nh nht.
4. Cho phng trỡnh :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
. Vi giỏ tr no ca m, biu thc
2 2
1 2
C x x= +
dt giỏ tr nh nht.
5. Cho phng trỡnh
2
( 1) 0x m m+ + + =
. Xỏc nh m biu thc
2 2

1 2
E x x= +
t giỏ tr
nh nht.

II/. Bài tập :
Bài 1: Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0
a) Gii phng trỡnh khi m = 1
b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú?
Bài 2: Cho phng trỡnh: x
2
+ mx + 3 = 0
a)Tỡm m phng trỡnh cú nghim?
b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 3: Cho phng trỡnh: x
2
2(k 1)x + k 3 = 0
a) Gii phng trỡnh khi k = 2
b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
Bài 4: Cho phng trỡnh: x
2
2x + m = 0
Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li.
Bài 5: Cho phng trỡnh: x
2
+ (m 1)x 2m 3 = 0
a) Gii phng trỡnh khi m = - 3
b) Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.

Bài 6: Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
23
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Bài 8: Cho phơng trình x
2
-2(m+1)x +m- 4=0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức M =x
1
(1-x
2
)+(1-x
1
) x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 9: Cho phơng trình: x

2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 10: Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 11: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 12: Cho phơng trình x
2
- (m- 1)x m
2
+m-2 =0 (1) (m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=-1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S = x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 13: Cho phơng trình x

2
- (m +2)x +m+1 = 0 (1) (m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau
Bài 14: Cho phơng trình x
2
- (m +1)x +m =0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x
1
;x
2
tính S =x
1
2
+x
2
2
theo m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x
1
2
+x
2
2
=5
Bài 15: Cho phơng trình x
2
2(m-1)x m
2

-3m+4=0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho
1
1
x
+
2
1
x
=1
b) Lập một biểu thức giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m



CĐ 6: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
I/. Kiến thức cần nắm:
* Bớc 1: + Lập PT hoặc hệ phơng trình
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập PT hoặc HPT
* Bớc 2: Giải PT hoặc HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.

Cần đọc k bài toán, có kỷ năng dịch từ ngôn ngữ sang ký hiệu toán học
Dạng 1: Toán có nội dung hình học
Bài 1: Một HCN có đờng chéo 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích
HCN đó.
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
24
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
Bài 2: Một khu vờn hcn có chu vi 280m. Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc
đất của vờn) rộng 2m, diện tích còn lại là 4256m
2
. Tính các kích thớc của vờn
(rộng x = 60m, dài = 80m)
Bài 3: Một hỡnh ch nht có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm
chiều dài đi 15m thì ta đợc hỡnh ch nht mới có diện tích bng diện tích hỡnh ch nht
ban đầu. Tính các cạnh của hỡnh ch nht đã cho (rộng x=15m, dài =30m)
Bài 4: Một tha rung hỡnh ch nht. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì
diện tích tăng 100m
2
. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm
68m
2
. Tính kích thc thửa rộng đó (Kq:22m;14m)
Bài 5: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m
2
. Tính chiều dài cạnh đáy thửa
ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích
không đổi (cạnh đáy x=36m)
Bài 6: Một tam giác vuông có chu vi là 30m, cạnh huyền là 13m. Tính các cạnh góc
vuông của tam giác.
Kq: 5m v 12m

Dạng 2: Toán chuyển động
Bài 1: Một ô tô đi từ A n B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi đi đợc
nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút. Tính
vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
Cả quãng đờng AB 120 x (đk: x>0) 120/x
Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2: Một ôtô đi từ A n B dài 250 km với một vận tốc dự định. Thực tế xe đi hết
quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h so với vận tốc dự định nên đến B giảm đợc
50phút. Tính vận tốc dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 3: Một ngời đi xe máy từ A n B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h.
Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ngi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau
với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính S
AB
, biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút.
Kq:
1 5
5
30 3 25 6
x x
+ + =
; S
AB
= 150Km
Bài 4: Một ô tô đi từ A n B trong một thời gian dự định, nếu đi với vận tốc trung bình
là 35km/h thì đến B chậm 2 giờ, nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1
giờ. Tính S

AB
và thời gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
Quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi 1 x 35
Thay đổi 2 x 50

35
x
- 2 =
50
x
+1 Kq: 8 giờ ; 350 km
Bài 5: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h 20 phút, một chiếc ca nô cũng
khởi hành từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách A 20km. Tính vận tốc của thuyền, biết
vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền 12km/h.
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thuyền 20 x (đk: x>0)
Ca nô

20 x+12
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
25