HD giai de thi HV Phu Tho -2009

Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
kì thi tuyển sinh THPTchuyên hùng vơng
Năm học 2009-2010
Môn Toán ( không chuyên)
Thời gianl àm bài 120 phút-ngày thi 25 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức
2
1
1
1
23
2
2

+

+
+
=
xx
xx
x
P
ĐKXĐ: x

2;
a)Rút gọn P
b)Tìm x để P+x=7 ta có
H ớng dẫn
a)
2

3
)1)(2(
)1)(3(
)1)(2(
32
)1)(2(
12
2
1
1
1
)1)(2(
222

+
=

+
=

+
=

++
=

+

+

=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxxx
x
P
b)Tìm x để P+x=7 ta có
HD:



=
=
=
=+=+=

+
=+

+
=+
)(2
5
0)5)(2(

01077733
1
3
1
3
22
2
loaix
x
xx
xxxx
x
x
x
x
x
xP
Vậy x=5 thì P+x=7
Câu 2(2 điểm): Cho PT bậc 2: x
2
+2(m-1)x+m
2
-m+1=0 (1)
a)Giải phơng trình với m=-1
b)Tìm m để phơng trình(1) có 2 nghiệm x
1
;x
2
thoả mãn
4

21
=+ xx
H ớng dẫn
a)ta có x
2
+2(m-1)x+m
2
-m+1=0

x
2
-4x+3=0
Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-4)+3=0 PT có 2 nghiệm phân biệt x
1
=1;x
2
=3
b)
ta có
/

=(m-1)
2
-( m
2
-m+1)=m
2
-2m+1-m
2
+m-1=-m

0 khi m

0 với m

0 Theo Vi-ét
ta có



+=
=+
1.
)1(2
2
21
21
mmxx
mxx
từ GT ta có
16.216)(
21
2
2
2
1
2
21
=++=+
xxxxxx

(*)
vì
0
4
3
)
2
1
(1.
22
21
>+=+= mmmxx
nên
2121
xxxx =
( )
03216)12(416(*)
22
2
21
==+=+ mmmmxx
Nhẩm Vi-ét a-b+c= 1-(-2)+(-3)=0; m
1
=-1;m
2
=3 >0 loại vậy m=-1 thì
4
21
=+ xx
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail

1
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
Câu 3(2 điểm):a) Vẽ đồ thị y=2x+3; y=x
2
trên cùng hệ trục toạ độ
b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm của hệ sau
H ớng dẫn
Câu 4 (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=60
0
gọi D; E là chân đ-
ờng cao kẻ từ B;C tới AC;AB;I là trung điểm BC
a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác IDE đều
c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC .Chứng minh

AHO cân
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
2
b) Toạ độ giao điểm 2 đồ thị trên là nghiệm
của hệ sau

=
=



=
=




+=
=




+=
=
9
3
1
1
32
032
32
22
y

x
y
x
xy
xx
xy
xy
Tọa độ A(-1;1); B(3;9)
c)
)(204).91(
2
1
).(
2
1
DVDTCDBCADS
ABCD
=+=+=
K
I
H
E
D
C
O
B
A
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
a)Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp ta có

BEC=

BDC=90
0
theo quy tích cung
chứa góc tứ giác BEDC nội tiêp đờng tròn tâm I đờng kính BC
b)Chứng minh tam giác DIE đều Ta có tam giác BEC,BDC vuông tại E ;D có EI;DI là
trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên DI=EI ( cùng bằng nửa BC)
mặt khác

AED=

ACB (cùng bù

BED) ;

BAC chung
nên

AED đ d với

ACB suy ra
2
1
60sin
0
=== Co
AB
AD
BC

DE
nên DE=
2
1
BC vậy DE=DI=EI nên

DIE đều
c)Chứng minh tam giác AHO cân
Kẻ đờng kính AK ta có tứ giác BHCK là hình bình hành nên H;I;K thẳng hàng
Trong tam giác AHK có OI là đờng trung bình nên AH=2.OI
Trong tam giác vuông IOC (vuông tại I ) có

IOC=
2
1

BOC=

BAC=60
0

nên OC=2.OI mà OC=OA nên AH=AO suy ra tam giác AHO cân tại A (đpcm)
Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z là các số thực dơng sao cho xyz=x+y+z+2
Chứng minh rằng:
2
3111
++=
zxyzxy
P
H ớng dẫn

Từ giả thiết ta có (1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)=(1+x)(1+y)(1+z)
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+

zyx

Đặt
)1:(;
1
1
1
1
1
=++
+
=

===
+

cbavi
a
cb
a
a
a
xa
x
Tơng tự
c
ba
yc
zb
ca
yb
y
+
==
+
+
==
+ 1
1
;
1
1
Nên
))(())(())(( bacb
ac
caba

bc
cacb
ab
P
++
+
++
+
++
=
áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số dơng ta có






+
+
+

++ ca
a
cb
b
cacb
ab
2
1
))((

;
;
2
1
))((






+
+
+

++ ca
c
ab
b
caba
bc






+
+
+

++ ba
a
cb
c
bacb
ac
2
1
))((
Vậy
2
3
2
1
=






+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+

ca
c
ca
a
ba
b
ba
a
cb
c
cb
b
P
Dờu = xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=2
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
3
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng
Môn Toán (Chuyên Toán)
Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 26 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm): Cho hệ phơng trình



=+
=

)2(;5
)1(;2
myx
ymx
(m là tham số)
a) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5
H ớng dẫn
a)



+=+
=




=+
=




=+
=
)2(;52)1(
)1(;2
;5)2(
;2

;5
;2
2
mxm
mxy
mxmx
mxy
myx
ymx
Ta có
01
2
>+m
với mọi m nên PT(2) có nghiệm duy nhất với mọi míuy ra hệ có
nghiệm duy nhất với mọi m
b)Từ (2)
1
52
2
+
+
=
m
m
x
thay vào (1) ta đợc
1
25
2
+

=
m
m
y
Vì x+y=5 nên
02755
1
37
2
2
=+=
+
+
mm
m
m
Nhẩm Vi-ét a+b+c=5+(-7)+2=0
5
2
;1
21
== mm
Câu 2(1 điểm): Tìm các số nguyên dơng x;y;z thoả mãn x
3
-y
3
=z
2
trong đó y

nguyên tố (z;3)=(z;y)=1
H ớng dẫn
từ GT ta có
( ) ( )
[ ]
2
2
3 zx yyxyx =+
Ta có (x;y)=1 vì nếu (x;y) khác 1
Thì
( ) ( )
[ ]
yzyxyyxyx
2
2
3 +
trái GT (z;y)=1
Ta cũng có (x-y) không chia hết cho 3 Vì x-y chia hết cho 3 thì z chia hết cho 3
trái GT
đặt x-y=k
2
;x
2
+xy+y
2
=t
2
( k;t

Z) thì z=k.t

Ta có 4t
2
=4x
2
+4xy+4y
2


3y
2
=4t
2
-4x
2
-4xy -y
2
=(2t+2x+y)(2t-2x-y) vì y nguyên tố
nên

=
=++



=
=++
)2(
322
122
)1(
122
322
2
2
yyxt
yxt
yxt
yyxt
(1)

3y
2
-1=2(2x-y)=2(k
2
+3y)

k
2
+1=3(y

2
-k
2
+2y)

3 suy ra k
2
+1

3 vô lý vì k
2
+1
không chia hết cho 3
(2)

y
2
-3=2(2x+y)=2(2k
2
+3y)

(y-3)
2
-4k
2
=12

(y-3+2k)(y-3-2k)=12
Từ đó tìm đợc y=7 thay vào ta có x=8;z=13
Câu 3 (3điểm):

GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
4
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
a)Gải phơng trình :
(x+1)
2009
+(x+1)
2008
(x+2)+(x+1)
2007
(x+2)
2
++(x+1)(x+2)
2008
+(x+2)
2009
=0
b)Cho x;y là các số thực thoả mãn điều kiện
4
5
=+
yx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
A
4
14
+=
H ớng dẫn
a)Đặt x+1=a;x+2=b ta có

a
2009
+a
2008.
.b+a
2007
.b
2
++a.b
2008
+b
2009
=0

(a-b)( a
2009
+a
2008.
.b+a
2007
.b
2
++a.b
2008
+b
2009
)=0

a
2010

-b
2010
=0

a
2010
=b
2010


a=b hoặc a=-b
Với a= b ta có x+1=x+2 vô nghiệm
Với a=-b ta có x+1=-x-2

2x=-3

2
3
=x
b)áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky cho 2 dãy

yx;
và
yx 2
1
;
2
ta có
( )
5

4
14
4
25
2
1
2
4
14
2









+=






+

++
yxyx
yx
Min(A)=5 khi





=
=








=
=+
4
1
1
2

2
4
5
y
x
y
x
yx
Cách khác : áp dụng BĐT Cô-Si ta có
;24.
4
1
24
4
1
;84.
4
24
4
=+=+ y
y
y
y
x
x
x
x
Ta có
5)(41010)(4 =+++ yxAyxA
Min (A)=5 khi

=
=










=+>
=
=
4
1
1
4
5
;0;
4
4
1
4

4
y
x
yxyx
y
y
x
x
Câu 4: (3 điểm) Cho

nhọn ABC nội tiếp (O) điểm P nằm trong

sao cho

BAP=

PBC;

CAP=

PCB.AP cắt BC tại M
a)Chứng minh M là trung điểm BC
b)Gọi H là trực tâm

ABC .Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp
)(

c)Đờng trung trực AP cắt BC tại Q.Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O);QP
tiếp xúc với
)(

a)Ta có

ABM đd

BPM (gg) nên
)1(.
2
PMAMBM
BM
AM
PM
BM
==
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
5
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010

Ta có

ACM đd

CPM (gg) nên
)2(.
2
PMAMCM
CM
AM
PM
CM

==
Từ (1) và 2 ta có BM=CM hay M là trung điểm của BC
b)Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp đờng tròn
)(

Theo tính chất trực tâm

BHC+

BAC =180
0
(3) theo tính chất tổng ba góc trong
tam giác

BPC+

PBC+

PCB=180
0
mà

PBC=

BAP;

PCB=

CAP nên

BPC+

PBC+

PCB=

BPC+

PAB+

PAC=

BPC+BAC=180
0
(4)
Từ (3) và (4) ta có

BPC=

BHC theo QT cung chứa góc thì minh tứ giác BHPC
nội tiếp đờng tròn
)(

(đpcm)
c)Gọi trung trực AP cắt AP tại I
Ta có QB.QC=(QM-BM)(QM+BM)=QM
2
-BM
2
Ta có

ABM đd

BPM (gg) nên
222
))((. IPMIIPMIIPMIPMAMBM
BM
AM
PM
BM
=+===
áp dụng định lý Pi ta go cho cho tam giác vuông QMI ta có QM
2
=QI
2
+IM
2

Vậy QB.QC= QI
2
+IM
2
-MI
2
+IP
2
= QI
2
+IP
2

= QI
2
+IA
2
mà theo Pitago cho tam giác
vuông QIA ta có QI
2
+IA
2
=QA
2
nên AQ
2
=QB.QC hay QA là tiếp tuyến của (O)
Ta có QA=QP nên AQ
2
=QB.QC suy QP là tiếp tuyến của đờng tròn
)(

(đpcm)
Cách khác:
kẻ tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại Q
1
;kẻ tiếp tuyến tại P của
)(

cắt BC tại Q
2

Q

1
AB đ d

Q
1
CA (gg) nên
)1(
2
2
1
1
1
1
1
1
AC
AB
CQ
BQ
AC
AB
CQ
AQ
AQ
BQ
===
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
Q1
Q2
Q

I
H
M
O
B
C
A
P
6
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010

Q
2
PB đ d

Q
2
CP (gg) nên
)2(
2
2
2
2
2
2
2
2
PC
PB
CQ

BQ
PC
PB
CQ
PQ
PQ
BQ
===
Ta có

ABM đd

BPM (gg) nên
)3(
BP
AB
PM
BM
=
Ta có

ACM đd

CPM (gg) nên
)4(
CP
AC
PM
CM
=

Mà BM=CM (5) Từ (3);(4);(5) ta có
)6(
PC
PB
AC
AB
=
Từ (1);(2);(6) ta có
CQ
BQ
CQ
BQ
2
2
1
1
=
mà Q
1
;Q
2

thuộc tia CB nên Q
1
trùng Q
2


Măt khác từ (1) ta có Q
1

A
2
=Q
1
B.Q
1
C; từ (2) ta có Q
2
P
2
=Q
2
B.Q
2
C;
Nên Q
1
A=Q
1
P nên Q
1
thuộc trung trực của AP hay
QQQ
21
Câu 5(1 điểm): Cho các số thực không âm a;b;c sao cho ab+bc+ca=3 .Chứng minh
rằng
1
2
1
2

1
2
1
222

+
+
+
+
+
=
cba
P
HD:
222
23
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
c
c

b
b
a
a
P
áp dụng BĐT Bunhiacôpsky cho 2 dãy
2;2;2
222
+++ cba
Và
2
;
2
;
2
222
+++ c
c
b
b
a
a
Ta có
( )
2
2
2
2
2
2

2
222
)(
222
6 cba
c
c
b
b
a
a
cba ++








+
+
+
+
+
+++
Thay 6=2(ab+bc+ca) ta có a
2
+b
2

+c
2
+6=(a+b+c)
2

nên
11
)(
)(
23
2
2
=
++
++
P
cba
cba
P
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng
Môn Toán (Chuyên Tin học)
Thời gianl àm bài 150 phút-ngày thi 27 tháng 6 năm 2009
Câu 1(2 điểm):
Cho phơng trình bậc 2: x
2
-2(m-1)x+2m-4=0 ( trong đó m là tham số)
a)Chứng minh phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
7

Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
b)Gọi x
1
,x
2 là
2 nghiệm của phơng trình .Tìm m để
2
2
2
1
xxP
+=
đạt min
H ớng dẫn
a) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m thì
m
>
;0
/
Ta có
mvoimmmmm
>+=+==
01)2(54)42()1(
222/
( đpcm)
b)Vì
m
>
;0
/

theo Vi-ét ta có



=
=+
42.
)1(2
21
21
mxx
mxx
ta có
33)32(12124
)42(2)1(42)(
22
2
21
2
21
2
2
2
1
+=+=
=+=+=
mmmP
mmxxxxxxP
Vậy Min(P)=3 khi
2

3
=m
Câu 2(2 điểm):
a)Giải phơng trình:
xxxxxxx 223233
2223
+++=++++
b)Giải hệ phơng trình:





=+
=+
134
144
22
22
yxyx
yxx
H ớng dẫn
a) TXĐ :
0x
( ) ( )
( )
( )

=+
=





=+
=+





=+
=+

=++=+++
+++=++++++=++++
)(;032
;0
23
11
023
011
02311023231
)1(232)3)(1(223233
2
22
222

222223
vonghiemxx
Thoamanx
xx
x
xx
x
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
Vậy phơng trình có nghiệm x=0
b)










=+
=



=+
+=

=+
=+






=+
=++






=+
=+
134
12
134
12
134
)12(
134
144

134
144
22
22
22
22
22
22
22
22
yxyx
xy
yxyx
xy
yxyx
yx
yxyx
yxx
yxyx
yxx
Với y=2x+1 thay vào phơng trình 2 ta có
4x
2
-3x(2x+1)+(2x+1)
2
=1

4x
2
-6x

2
-3x+4x
2
+4x+1=1

2x
2
+x=0

x(2x+1)=0
x=0 hoặc x=
2
1
với x=0 thì y=1;với x=
2
1
thì y=0
Với y=-(2x+1) thay vào phơng trình 2 ta có
4x
2
+3x(2x+1)+(2x+1)
2
=1

4x
2
+6x
2
+3x+4x
2

+4x+1=1

14x
2
+7x=0

7x(2x+1)=0
x=0 hoặc x=
2
1
với x=0 thì y=-1;với x=
2
1
thì y=0
Hệ có 3 nghiệm (x;y)=(0;1);(
)0;
2
1
;(0;-1);
Cách khác:
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
8
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
(1)
0144
22
=++
yxx
(*) coi PT(*) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số y GPT theo
CT nghiệm

04444
22/
=+= yy
PT(*) có 2 nghiệm



=
+=








=
+
=








=
+

=









=
+
=
12
12
2
1
2
1
2
1
2
1
4
42
4
42
2
2
xy

xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

sau đó giải nh trên
Câu 3(2 điểm):
a)Chứng minh rằng với mọi số a.b.c đôi một phân biệt thì
1
))(())(())((
=

+

+
bcac
ab
abcb
ca
caba
bc

b) Cho ba số a.b.c đôi một phân biệt .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2
2
2
2
2
2
)()()( ba
c
ac
b
cb
a
P

+

+

=
H ớng dẫn
a)
1
))()((
))()((
))()((
))((
))()((

))(()()(
))()((
)(
))()((
)()()(
))(())(())(())(())(())((
22
2222
=


=

+
=

++
=

++
=

+
=

+



=

+

+

cacbba
cacbba
cacbba
acababccb
cacbba
cbcbacbacbbc
cacbba
abbaaccacbbc
cacbba
baabcacacbbc
cbca
ab
bacb
ca
caba
bc
bcac
ab
abcb
ca
caba
bc
b)
02)(;2
)()()(

0
))(())(())((
2
)()()(
0
))(())(())((
2
)()()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=

+

+

=

+

+












+

+



+

+

+

+

+

+

+

=







+

+

ba
c
ac
b
cb
a
PMin
ba
c
ac
b
cb
a
abcb
ac
baca
bc
acbc
ab
ba
c
ac
b
cb
a
bacb
ac

baac
bc
accb
ab
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Câu 4(3 điểm):Cho 2 đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B
đờng thẳng vuuông góc với AB tại B cắt (O
1
) tại C cắt (O
2
) tại D một đờng thẳng quay
quanh B cắt (O
1
) và (O
2

) tại E và F
a)Chứng minh tỉ số
AF
AE
không đổi
b)Các đờng thẳng EC ;DF cắt nhau tại G .Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp
c) Chứng minh rằng khi EF quay quanh B thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ gíac
AEGF luôn thuộc đờng tròn cố định
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
9
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
H ớng dẫn
a)Chứng minh tỉ số
AF
AE
không đổi
xét 2 tam giác
EAFCAD ;
có

ACD=

AEF;

ADC=

AFE
nên
CAD
đồng dạng

EAF
(g.g) nên
AD
AC
AF
AE
AF
AD
AE
AC
==
( không đổi)
a) Vì CD

AB nên A;O
1
C thẳng hàng A;O
2;;
D thẳng hàng nên

AEG=

AFG=90
0
vậy

AEG+

AFG=180
0

nên tứ giác AEGF nội tiếp đờng tròn tâm I
đờng kính AG
c)Tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF thuộc trung trực của AE;AF mà AE;AF
là 2 day của (O
1
);(O
2
) nên trung trực của AE;AF đi qua O
1
;O
2
gọi trung trực AE;à
cát nhau tại I thì I là trung điểm AG ta có

O
1
IO
2
+

EAF=180
0
mà

EAF=

CAD suy ra

O
1

IO
2
=180
0
-

CAD (không đổi) O
1
O
2

cố định nên I chuyển động
trên cung chứa góc 180
0
-

CAD dựng trên O
1
O
2
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
10
I
G
F
D
C
B
A
O1

O2
E
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán vào tr ờng chuyên hùng v ơng phú tho năm học 2009-2010
Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là
đỉnh của một tam giác có diện tích không vợt quá 1 .Chứng minh rằng 2009 điểm đã
cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
H ớng dẫn
Gọi A;B;C là 3 điểm bất kỳ trong 2009 điểm đã cho sao cho S
ABC

lớn nhất và
1

ABC
S
qua các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các ờng thẳng // với các cạnh của
tam giác ABC chúng cắt nhau tạo thành tam giác MNP ta có S
MNP
=4.S
ABC


4
ta
chứng minh 2009 điểm trên luôn nằm trong tam giác MNP giả sử có diểm Q nằm
bên ngoài

MNP ta có S
ACQ

>S
ABC
> 1 vô lý vì S
ABC

Max
Vậy Chứng minh rằng 2009 điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không
lớn hơn 4
GVHD: Nguyễn Minh Sang trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ; gmail
11
F
M
N
A
C
B
Q