Bai tap on tap kiem tra 1 tiet hh 10

Nguyn Kinh Hong
Chơng I
VEC TƠ
A. Khái niệm véc tơ
1. Cho ABC. Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác
0

2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :

MQ
=

NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phơng với

MN
b/ Xác định các vectơ bằng

NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ

EH
và

FG

bằng

AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ

CI
=

DA
. CMR :
a/ I là trung điểm AB và

DI
=

CB
b/

AI
=

IB
=

DC
4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

MK
=

CP
và

KL
=

BN
a/ CMR :

KP
=

PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :

AL
=
0

B. Phép toán véc tơ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

AC
+

BD
=

AD
+

BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR :

AB
+

CD
+

EA
=

CB
+

ED
6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR :

AD
+

BE
+

CF

=

AE
+

BF
+

CD
1
Nguyn Kinh Hong
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR :

AC
+

BF
+

GD
+

HE
=

AD
+

BE

+

GC
+

HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/

DO
+

AO
=

AB
b/

OD
+

OC
=

BC
c/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

d/

MA
+

MC
=

MB
+

MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :

OD
+

OC

=

AD
+

BC
10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý

'AA
,

'BB
,

'CC
CMR :

'AA
+

'BB
+

'CC
=

'BA
+

'CB

+

'AC
.
11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính

+ADAB
theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính

+ADAB

b/ Dựng
u

=

+ACAB
. Tính
u


13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng
v

=

+ACAB

.
b/ Tính
v

.
14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng nhau và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0.
Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :

AM
+

BN
+

CP
=
0

b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
=

OM
+

ON
+

OP
15. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho

BM
= 2

MC
a/ CMR :

AB
+ 2

AC
= 3

AM
2

Nguyn Kinh Hong
b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
= 3

MG
16. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

c/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
= 4

MO
(với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho

MA
+

MB

+

MC
+

MD
nhỏ nhất
17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :

AF
+

BG
+

CH
+

DE
=
0

b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
=

ME
+

MF
+

MG
+

MH
c/ CMR :

+ACAB
+

AD
= 4

AG
(với G là trung điểm FH)
18. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.
CMR :

AD
+

BE
+

CF
= 3

GH
19. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

b/

EA
+

EB
+ 2

EC
= 3

AB
c/

EB
+ 2

EA
+ 4

ED
=

EC
3. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :

AB


CD
=

AC
+

DB
20. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/*

CD
+

FA


BA


ED
+

BC


FE
=
0

b/

AD


FC

EB
=

CD


EA


FB
c/

AB


DC


FE
=

CF


DA
+

EB

21. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/

MA


MB
+

MC
=
0

b/

MB


MC
+

BC
=
0

3
Nguyn Kinh Hong
c/

MB

MC
+

MA
=
0

d/

MA


MB


MC
=
0

e/

MC
+

MA


MB

+

BC
=
0

22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính

AD


AB

b/ Dựng
u

=

CA


AB
. Tính
u


23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính

ACAB

b/ Tính

BA


BI

24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.
Tính

ACAB

4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :

AM
+

BN
+

CP
=
0

b/ CMR :

OA

+

OB
+

OC
=

OM
+

ON
+

OP

5. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho

BM
= 2

MC
a/ CMR :

AB
+ 2

AC
= 3

AM
b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
= 3

MG
25. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
b/ CMR :

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

c/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
= 4

MO
(với M tùy ý)
26. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :

AF
+

BG
+

CH
+

DE
=
0

b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
=

ME
+

MF
+

MG
+

MH
c/ CMR :

AB
+

AC
+

AD
= 4

AG
(với G là trung điểm FH)
4
Nguyn Kinh Hong
27. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H.
CMR :

AD
+

BE
+

CF
= 3

GH
28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

b/

EA
+

EB
+ 2

EC
= 3

AB

c/

EB
+ 2

EA
+ 4

ED
=

EC
29. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính
, ,AI AJ theo AB AC
uur uur uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
6. Cho ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho

AN
=
2

1

NC
. Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :

AK
=
4
1

AB
+
6
1

AC
b/ CMR :

KD
=
4
1

AB
+
3
1

AC

30. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho

AD
= 2

DB
,

CE
= 3

EA
. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC.
CMR :
a/

AM
=
3
1

AB
+
8
1

AC
b/

MI

=
6
1

AB
+
8
3

AC
31. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2

AB
+ 3

AC
= 5

AD
CMR : B, C, D thẳng hàng.
32. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho

MB
= 3

MC
;

NA
+3

NC
=
0

và

PA
+

PB
=
0

a/ Tính

PM
,

PN
theo

AB
và

AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
33. Cho tam giác ABC.Gọi A là điểm đối xứng với A qua B, B là điểm đối xứng với B qua C, C là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và
ABC có cùng trọng tâm.
34. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A, B, C lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
35. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :
a/
MA MB=
uuur uuur
.
5
Nguyn Kinh Hong
b/
MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c/ |
C + = +
uuuur uuuur uuuur uuuur
d/
C
3
+ =
2
uuuur uuur uuuur uuuur

e/ |
C + =
uuuur uuur uuuur uuuur

C. Trục Toạ độ trên trục:
7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của

AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2

MA
+ 5

MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= 1
36. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA
+

MB


MC
=
0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA
3

NB
=

NC
37. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
38. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=

AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC =
D. Toạ độ trên mặt phẳng:
8. Viết tọa độ của các vectơ sau :
a

=
i

3
j

,
b

=
2
1
i

+
j

;
c

=
i

+
2
3
j

;
d

= 3
i

;
e

= 4
j

.
39. Viết dới dạng
u

= x
i

+ y
j

, biết rằng :
u

= (1; 3) ;
u

= (4; 1) ;
u

= (0; 1) ;
u

= (1, 0) ;
u

= (0, 0)
6
Nguyn Kinh Hong
40. Trong mp Oxy cho
a

= (1; 3) ,
b

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/
u

= 3

a

2
b

b/
v

= 2
a

+
b

c/
w

= 4
a


2
1
b

41. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ

AB
,

AC
,

BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :

CM
= 2

AB
3

AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :

AN
+ 2

BN
4

CN
=
0

42. Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
43. Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
44. Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó.
45. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M.
46. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
47. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ABC.
9. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
7
Nguyn Kinh Hong
a/ CMR : 2

IA
+

IB
+

IC
=
0

b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2

OA
+

OB
+

OC
= 4

OI
48. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2

AI
= 2

AO
+

AB
b/ CMR : 3

DG
=

DA
+

DB
+

DC
49. Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho

BC
= 3

BN
. Tính

AN
theo

AB
và

AC
50. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :

AI
=
2
1

(

AD
+ 2

AB
)
b/ CMR :

OA
+

OI
+

OJ
=
0

c/ Tìm điểm M thỏa :

MA


MB
+

MC
=
0

51. Cho ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho

MD
=

MC
+

AB
,

ME
=

MA
+

BC
và

MF
=

MB
+

CA
. CMR các điểm D, E, F

không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :

MA
+

MB
+

MC
=

MD
+

ME
+

MF
52. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/

MA
=

MB
b/

MA
+

MB
+

MC
=
0

c/

MA
+

MB
=

MA


MB

d/

MA
+

MB
=

MA

+

MB

e/

MA
+

MB
=

MA
+

MC

53. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi

AD
= 2

AB
,

AE
=
5
2

AC
a/ Tính

AG
,

DE
,

DG
theo

AB
và

AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
54. Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi

AD
=
5
2

AC
và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính

AM
theo

AB
và

AC
.
b/ AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và
AI
AM
8
Nguyn Kinh Hong
55. Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm OAB.
d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
9