Cac chuyên đề về giới han

P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
I. lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đa ra những phơng pháp
mới giúp cho việc giải bài toán đó ngắn gọn hơn là rất cần thiết. Từ đó
tạo sự lý thú cho học sinh khi học tập môn toán. Trong bài viết này tôi
xin đợc trình bày một phơng pháp mới để tính giới hạn của hàm số đó
là phơng pháp Dùng đạo và phơng pháp tách bộ phận kép để tìm một
số bài toán giới hạn đặc biệt.
II. Mục đích:
Giúp cho học sinh nắm đợc một phơng pháp mới để tính giới hạn .
III. Đối tợng nghiên cứu:
Phơng pháp này có thể phù hợp cho các đối tợng là học sinh lớp 11 và
12 sau khi đã đợc học về định nghĩa đạo hàm của hàm số và hàm số
mũ và hàm số loga (tùy mức độ nhận thức của học sinh).
IV. Cơ sở lý luận:
Dựa vào thực tế giảng dạy.
Vận dụng các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tợng
học sinh.
Dựa vào một số tài liệu có sẵn.
Trờng THPT Phù Cừ 1 Năm học 2007 - 2008
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Nội DUNG
Bài toán tính giới hạn của hàm số thơng gặp trong các kỳ tuyển
sinh học sinh thờng sử dụng các phơng pháp khử dạng vô định đã
học ngoài ra, còn một phơng pháp khác mà sách giáo khoa không
đề cập đến, đó là dùng định nghĩa đạo hàm và phơng pháp tách bộ
phận kép để tính giới hạn, phơng pháp này dùng cho một lớp bài
toán khá rộng trong chơng trình. Xin đa ra và phân tích một số bài
tập minh họa cho hai phơng pháp này.
Phần một

dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Bài toán 1: tính giới hạn:

1
75
lim
2
3 2
1

+
=

x
xx
L
x
( ĐHTC-Kế toán, Hà nội, 2001)
Lời giải
Đặt
( )
3
2
75 += xxxf

( )
01 = f
tính
( )
( )

3
2
2
/
73
2
52
1
+



=
x
x
x
xf

( )
12
5
6
1
4
1
1
/
== f
suy ra
( ) ( )

( )
=
+


=


1lim
1
1
lim
1
1
x
x
fxf
L
x
x
( )
24
5
2
1
/
=
f
Nhận xét: Nếu dùng phơng pháp gọi số hạng vắng để khử dạng vô
định, ta đi đến 2 bài toán mới nhng lời giải dài dòng

1
72
lim
1
25
lim
2
3 2
1
2
1

+
+


=

x
x
x
x
L
xx
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
2
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán 2: tính giới hạn
x

xx
L
x
sin
112
lim
3 2
0
++
=

(ĐHQG Hà nội, 2000)
Lời giải
đặt
( )
3
2
112 ++= xxxf

( )
00 = f
Ta viết lại
( ) ( )
x
x
x
fxf
L
x
sin

0
0
lim
0


=

vì
1
sin
lim
0
=

x
x
x
,
suy ra L=
( )
0
/
f
.

( )
3
22
/

)1(3
2
12
1
+

+
=
x
x
x
xf

( )
10
/
= f
.
Vậy L = 1
Nhận xét. Nếu sử dụng phơng pháp gọi số hạng vắng, ta có bài toán
mới khá phức tạp:

x
x
x
xx
L
x
sin
.

)11()112(
lim
3 2
0
+++
=

Bài toán 3: tính giới hạn:

xx
xx
L
x
+
++
=

243
sin121
lim
0
( ĐH GTVT, 1998 )
Lời giải
Đặt
( )
xxxf sin121 ++=

( )
00 = f
và

( )
00
/
=
f
.

( )
xxxg += 243

( )
00 = g
và
( )
4
1
0
/
=g
Ta viết lại
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
lim

/
/
0
==




=

xg
xf
x
gxg
x
fxf
L
x
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
3
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải
phải biến đổi dài dòng.
( )
( )
( )
( )
[ ]
2
2

0
24312sin1
24312sin2sin1
lim
xxxx
xxxxx
L
x
++++++
++++++
=

Bài toán 4: tính giới hạn:

x
ee
L
xx
x
sin
lim
sin2sin
0

=

(ĐH Hàng hải - 1999)
Lời giải
Đặt
( )

xx
eexf
sin2sin
=

( )
00 = f
Ta viết lại
x
x
x
ee
L
xx
x
sin
0
lim
sin2sin
0


=

vì
1
sin
lim
0
=

x
x
x
,
suy ra L=
( )
10
/
=f
.
Nhận xét: Có thể giải bằng cách khác:











=

x
e
x
e
xL

xx
x
sin
1
2sin
1
cos2lim
sin2sin
0
Dùng định lí
1
1
lim
0
=


x
e
x
x
cũng đi
đến kết quả L = 1
Bài toán 5: tính giới hạn:

1sin2
1tan
lim
2
3

4


=

x
x
I
x

Lời giải
Đặt:
( )
1tan
3
= xxf

0
4
=








f

( )
1sin2
2
= xxg

0
4
=








g

Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
4
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Suy ra
3
1
2
3
2
4
4

/
/
==












=


g
f
L

Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải
phải biến đổi dài dòng.
Bài toán 6 : tính giới hạn:

( )
x
xx
L

x
2008512008
lim
9
2
0
+
=

Lời giải
đặt
( )
( )
2008512008
9
2
+= xxxf

( )
00 = f
( )
( )
( )
9
7
2
9
/
519
20085

512
x
x
xxxf

+
=
Ta lại có
( ) ( )
( )
9
2008.5
0
0
0
lim
/
0

==


=

f
x
fxf
L
x
Nhận xét: Nếu bài toán trên không dung định nghĩa đạo hàm ta

viết lại:

( )






+
+
=

x
x
xx
L
x
1512008
lim
9
2
0
( 1 )
Ta phải chứng minh bài toán quen thuộc sau đây:

n
a
x
ax

n
x
=






+

11
lim
0
bằng cách đặt
n
axt += 1
.Từ đó
áp dụng vào ( 1 ) để có kết quả.
Thật khó khăn phải không các bạn !
Bài tập tham khảo
Tính các gới hạn sau:
1)
( )
0lim >



a
ax

xa
ax
ax
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
5
P han TuÊn Anh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
2)
xx
xx
x
−−
−
→
−
−+
1
3
2
22
622
lim
3)
x
xxx
x
3 33 2
0
11
lim
+−++

→
3)
2
cos3
lim
2
x
x
x
ax
−
→
( §H SP Hµ néi || - 2000 )
4)
2
3
0
3121
lim
x
xx
x
+−+
→
( §H Thñy lîi - 2001 )
Trêng THPT Phï Cõ N¨m häc 2007 - 2008
6
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Phần hai
Phơng pháp tách bộ phận kép để tìm giới hạn

của phân thức chứa căn
Phơng pháp ;
Muốn tìm giới hạn
( ) ( )
( )
( )
*lim
k
nm
ax
ax
xgxf
T


=

có dạng
0
0
(m, n, k
là các số tự nhiên,
{ }
nmk ,min1
)
Ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức
( )
( )
k
ax

xh

vào phân
thức để tìm giới hạn:
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
xQax
xg
xQax
xf
ax
xhxgxh
ax
xhxhxf
ax
xgxf
g
k
f
k

k
n
n
k
m
m
k
nm

+

=
=

+
+

+
=


11
11
)(
Trong đó
( ) ( )
xQxQ
gf
,
theo thứ tự là biểu thức liên hợp của

( ) ( )
xhxf
m

và
( ) ( )
n
xgxh
Lúc đó
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
xQax
xg
xQax
xf
T
g
k
ax
f
k
ax

+

=

11

lim
.
lim

điều quan trọng là chọn đợc h(x) sao cho các giới hạn
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
xQax
xg
xQax
xf
g
k
ax
f
k
ax


11
lim;
.
lim
có dạng xác định hay dạng quen thuộc.
Dới đây là các ví dụ minh họa.
Bài toán 1: tính giới hạn:

3

3 223
0
27279968
lim
x
xxxxx
T
x
+++++
=

Lời giải
Đặt
( ) ( )
2
323
38968 ++=+++= xxxxxxf
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
7
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
( ) ( )
3
32
327279 +=++= xxxxxg
ở đây h(x) = x + 3
Viết lại

( ) ( ) ( ) ( )
( )
1

33
lim
3
3
3
0








+
+
+
=

x
xgx
x
xxf
T
x

Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4
3
8
lim
3
8
lim
3
3
lim
3
lim
0
3
3
0
3
2
0
3
0
1
=

++
=
++
=
=
++
+
=
+
=


xxfxxfx
x
xxfx
xxf
x
xxf
T
xx
xx

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
27

1
33
1
lim
33
3
lim
3
lim
3
2
3
2
0
3
2
3
2
3
3
0
3
3
0
2
=
++++
=
=
++++

+
=
+
=


xgxgxx
xgxgxxx
xgx
x
xgx
T
x
xx
Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ta có
27
37
27
1
3
4
=+=T
Lu ý: Biểu thức h(x) đợc xác định từ các biểu thức
( ) ( )
xgxf ,
và
đợc gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*). một vài số
hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong
( ) ( )
xgxf

11
,
ta phải tìm
chúng để xác định chính xác biểu thức h(x).
thí dụ:
Bài toán 2: tính giới hạn:

( )
x
xxxxx
T
x
3
4
3
0
4
1lncos33cos
2
312cos
lim
++

++
=

Lời giải
Đặt
( )
2

131
cos
2
312cos
3
2
3
+
+=
++
=
x
x
xx
xf

Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
8
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
( )
( )
( )
;1lncos
4
1lncos33cos
3
4
xx
xxx
xg +=

++
=

ở đây h(x) = cosx ta viết lại
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
coscos
limlim
3
0
3
0









+

=

=

x
xgx

x
xxf
x
xgxf
T
xx

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5
4
1
cos2
1
.
131
lim
cos2
131
lim
cos
cos
lim

cos
lim
3
0
3
0
2
00
1
=
+
+
=
+
+
=
=
+

=

=


xxg
x
x
xxgx
x
xxfx

xxf
x
xxf
T
xx
xx
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
6
6
1
coscos
1
.
1ln
lim
.
coscos
1ln
lim

coscos
cos
lim
cos
lim
3
2
3
2
0
3
2
3
2
0
3
2
3
2
3
0
3
0
2
=
++
+
=
=
++

+
=
=
++

=

=



xgxgxx
x
x
xgxgxxx
x
xgxgxxx
xgx
x
xgx
T
x
x
xx
Từ (4), (5), (6) có
12
7
=T
.
Bài toán 2: tính giới hạn:

2
4
2
0
42122cos
lim
x
xxxx
T
x
+
=

Lời giải
Đặt
( )
( )
xxxxxxf
22
2
2
sin2122cos ==

hay
( )
( )
xxxxf
22
2

2
sin21 =

( ) ( )
2234
4
2
211641421 xxxxxxxxg +++=+=

hay
( ) ( )
,21)164(1
2234
4
xxxxxgx +++=

ở đây h(x) = 1 x
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
9
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Ta viết lại
( ) ( ) ( ) ( )
( )
7
11
lim
2
4
2
0

+

=

x
xgx
x
xxf
T
x

Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
8

2
3
1
sin
21
lim
1
sin2
lim
1
1
lim
1
lim
2
0
2
22
0
2
2
0
2
0
1
=
+

=
+

=
=
+

=

=


xxf
x
x
xxfx
xx
xxfx
xxf
x
xxf
T
xx
xx
( ) ( )
( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
9
4
5
111
211
64
lim
]111[
1
lim
111
21164
lim
1
lim
4
3
4
2
4
23
2
2
2

0
4
3
4
2
4
23
2
4
0
4
3
4
2
4
23
2
2234
0
2
4
0
2
=
+++

+
+
=
=
+++

=
=
+++
+++
=

=



xgxgxxgxx
x
x
xx
xgxgxxgxxx
xgx
xgxgxxgxxx
xxxx
x
xgx
T

x
x
xx
Từ (7), (8), (9) có
4
1
=T
.
Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:
1)
2
3
0
3121
lim
x
xx
T
x
++
=

(ĐH thủy lợi Hà nội 2001)
2)
2
4
232
0
21422cos223

lim
x
xxxxxx
T
x
+++++
=

3)
( )
2
3
0
3
311ln521
lim
x
xxxx
T
x
++++
=

4)
( )
( )
( )
( )
3
22

3
0
3131121
lim
xxxx
x
T
x
++++
=

Bài học kinh nghiệm và kết quả
Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
10
P han Tuấn Anh Sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi đa ra phơng pháp trên vào dạy cho học sinh, học sinh lúc
đầu còn bỡ ngỡ nhng sau đó các em đã nắm đợc phơng pháp và sử
dụng khá thành thạo, qua đó các em có một t duy sáng tạo trong toán
học, đặc biệt là các em học sinh khá và giỏi.
Tuy nhiên bài viết trên mới chỉ đề cập tới hai phơng pháp. Bằng ph-
ơng pháp t duy các em có thể mở rộng sang phơng pháp khác về tìm
giới hạn ví dụ nh phơng pháp nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử
hoặc đổi biến số để đa về bài toán quen thuộc, hoặc dùng phơng pháp
gọi số hạng vắng
Trên đây là kinh nghiệm của tôi. xin các đồng nghiệp đóng góp ý
kiến để bài viết hoàn thiện hơn.

Phù Cừ, ngày 19 5 2008
Ngời viết
PHAN TUấN ANH

Trờng THPT Phù Cừ Năm học 2007 - 2008
11