Cac Chuyen De Ve Ham So

Cac chuyen de ve ham so
Chuyên đề 1: Sự tơng giao của hai đồ thị
I . Bài toán cơ bản :
VD
1
: Cho hàm số y =
1
1

+
x
x
có đồ thị là ( C )
a) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của ( C).
VD
2
: Cho hàm số y = mx
3
x
2
2x + 8m có đồ thị là ( C).
Tìm m để ( C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn: x < -1.
VD
3
: Cho hàm số: y = x
4
(3m + 4 )x
2
+ m
2

có đồ thị là ( C )
a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
b) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
VD
4
: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x
3
m(x 1) 1 tiếp xúc với trục hoành.
VD
5
: Tìm m để (d) : y = m x cắt ( C) : y =
1
13
2

+
x
xx
tại 2 điểm đối xứng với nhau qua đờng phân giác thứ
nhất.
Chuyên đề 2: Tiếp tuyến với đồ thị
I. Bài toán cơ bản:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ).
Dạng 1 : Biết tiếp điểm M(x
o
,y
o
)

( C ) ( Tiếp tuyến tại M của ( C) ).

Phơng trình tiếp tuyến là: y y
o
=
f

(x
o
)(x x
o
) ( y
0
= f(x
o
) ).
Dạng 2 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc.
Cách giải 1: - Giải phơng trình
kxf
=

)(
để tìm hoành độ tiếp điểm x
o
- Thế x
o
vào công thức dạng 1.
Cách giải 2: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b
- (d) tiếp xúc với ( C )

hệ

=

+=
kxf
bkxxf
)(
)(
có nghiệm.
- Giải hệ trên tìm đợc b từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến.
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
),(

M
cho trớc ( hoặc phải tìm).
Cách giải 1: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua M là: y = k(x-

) +

- (d) tiếp xúc với ( C )

hệ



=

+=
kxf

xkxf
)(
)()(

(1) có nghiệm.
- Giải hệ ta tìm đợc k từ đó ta có phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Số nghiệm của (1) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M
Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm là (x
o
,y
o
) khi đó PT tiếp tuyến là: y y
o
=
f

(x
o
)(x - x
o
)
- Vì tiếp tuyến qua M nên ta có
000
))(( yxxf
+

=

(2)
- Giải (2) để tìm x

o
từ đó ta đợc phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Số nghiệm của (2) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M
GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1
Cac chuyen de ve ham so
II. Các ví dụ :
VD
1
: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = x
3
3x
2
+ 2 tại các giao điểm với trục ox.
VD
2
: Cho hàm số y =
1
43
2

+
x
xx
có đồ thị là ( C ).
Viết phơng trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là - 1.
VD
3
: Cho hàm số y = x
3
+ x

2
+ x + 2 . CMR trên đồ thị của hàm số không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
VD
4
: Tìm trên đồ thị của hàm số y = x
3
+ 3x + 2 những điểm mà từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị của
hàm số.
VD
5
: Cho hàm số y =
22
232
2
2
+
+
x
xx
có đồ thị là ( C ). CMR tại các giao điểm của ( C ) với trục hoành , các tiếp
với ( C ) vuông góc với nhau.
VD
6
: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y =
1
2
2

+

x
xx
biết tiếp tuyến đi qua điểm M( 2, 2).
VD
7
: Cho hàm số y =
1
1
2
2
+
+
x
mxx
có đồ thị là ( C ).
a) Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A và B .
b) CMR tại A và B đạo hàm của hàm số thoả mãn công thức
1
2
2
+
+
=

x
mx
y
c) CMR tiếp tuyến của ( C ) tại A và B luôn vuông góc với nhau.
VD
8

: a) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
b) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = - x
3
+ 3x + 2 có hệ số góc lớn nhất.
VD
9
: Cho hàm số y =
2
2

+
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) CMR trên ( C ) có vô số cặp điểm mà ở đó tiếp tuyến song song với nhau và các cặp điểm này đối xứng
nhau qua tâm của ( C ).
VD
10
: Cho hàm số y = x
3
3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến với ( C )
c) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với nhau.
VD
11

: Cho hàm số y =
1
12
2

+
x
xx
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
b) CMR trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) và tạo với
nhau một góc 45
o
.
Chuyên đề 3: Bài toán quỹ tích.
I. Các ví dụ áp dụng:
VD
1
: Cho đồ thị ( C ) của hàm số y = x
2
4x + 3 và đờng thẳng ( d) : y = mx trong đó m là tham số.
a) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A và B.
b) Tìm quỹ tích trung điểm của AB.
GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1
Cac chuyen de ve ham so
VD
2
: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị của hàm số y =
2
3
+

+
mx
mx

VD
3
: Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x
3
- 3(m -2)x
2
- (m - 1)x + m
VD
4
: Cho hàm số y =
2
32
2

+
x
mxx
với m là tham số.
a) Tìm m để hàm số có cực trị.
b) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
VD
5
: Cho hàm số y =
2
34
2

+
++
x
xx
a) Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt A ,B
b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi.
Chuyên đề 4: Phép đối xứng đồ thị
II. Các ví dụ.
VD
1
: Cho ( C ) : y = x
2
+ 2x +1 và ( C
/
) : y = x
2
6x + 9 . CMR ( C ) và ( C
/
) đối xứng với nhau qua đờng thẳng x
= 1.
VD
2
: Chứng minh ( C ) : y = x
2
+ 2x + 3 và ( C
/
) : y = -x
2
+ 6x - 10 đối xứng nhau qua điểm I

2
1
,1
.
VD
3
: (ĐHQG Hà Nội 95): Xác định hàm số y = f(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y =
g(x) =
2
)1(
2


x
x
qua điểm M(1,1).
VD
4
(ĐHBK Hà Nội 90) : Tìm m để đồ thị của hàm số y =
12
3
22
3
+++
mmxx

x
có ít nhất một cặp điểm đối
xứng qua gốc toạ độ.
VD
5
(ĐHQG-97):Tìm các cặp điểm M
1
và M
2
ở trên đồ thị của hàm số y =
1
2
2

++
x
xx
đối xứng với nhau qua
điểm I(0,
2
5
).
VD
6
:Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị của hàm số y =
1
2

x
x

và đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x 1.
chuyên đề 5 : khoảng cách
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng.
VD
1
(HVKTQS-95). Tìm trên đồ thị của hàm số y =
2
3
2


x
x
điểm M có tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.
VD
2
(HVQY-95). Tìm điểm M thuộc đồ thị của hàm số y =
2
2
+

x
x
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
VD
3
(ĐHAN-97).Tìm M trên đồ thị của hàm số y =
3

12

+
x
x
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm
cận là nhỏ nhất.
GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1
Cac chuyen de ve ham so
VD
4
(HVQHQT-99). Tìm điểm M trên đồ thị y =
3
2

+
x
x
sao cho khoảng cách từ M tới các tiệm cận đứng và ngang
bằng nhau.
VD
5
(ĐHQG Hà Nội 98). Tìm M thuộc đồ thị của hàm số y =
1
22
2
+
++
x
xx

sao cho khoảng cách từ M đến trục
hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.
VD
6
(ĐHQG-HCM-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y =
1
1
2

+
x
xx
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đ-
ờng tiệm cận là nhỏ nhất.
VD
7
(ĐH Ngoại Ngữ-2000). CMR tích các khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị của hàm số y =
2
13
2

+
x
xx

tới hai đờng tiệm cận luôn là một hằng số.
VD
8
(HVKTQS-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) =
2

54
2
+
++
x
xx
có khoảng cách đến đờng thẳng y + 3x + 6
= 0 là nhỏ nhất.
VD
9
(ĐH Ngoại Thơng 2001). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) =
1
22
2

+
x
xx
sao cho khoảng cách từ M đến
giao điểm của hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất.
VD
10
(ĐHSP 2001). Tìm m để hàm số y =
1
22
2
+
++
x
mxx

có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó
đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 (d) bằng nhau.
2)Khoảng cách giữa hai điểm.
VD
1
(ĐH Luật 95). Tìm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị của hàm số y =
1
1
2

+
x
xx
sao cho
đoạn EF ngắn nhất.
VD
2
(ĐH Nông Nghiệp 2000). CMR đờng thẳng (d) đi qua điểm I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị y =
2
12
+
+
x
x
tại 2 điểm phân biệt E và F . Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ nhất.
3)Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đồ thị.
VD
1
(ĐH Mỏ ĐC 99) . Cho đờng cong ( C ) : y = 2x
4

3x
2
+2x +1 và đờng thẳng (d) có PT : y = 2x 1.
a) CMR (d) và ( C ) không có điểm chung.
b) Tìm điểm A trên ( C ) có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất.
CHUYấN 7: BIN LUN S TH I QUA MT IM
Bi 1: CMR th hm s
3 2
( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m= + + +
luụn tn ti ba im c nh thng hng.
Bi 2: Cho hm s
3 2
1y x mx m= +
. Vit pt tt ti im c nh m dths luụn i qua vi mi m
Bi 3 . Cho hs
2
2 (1 ) (1 )
, 1
x m x m
y m
x m
+ + +
=

.Tỡm im c nh m dths luụn i qua vi mi
1m

.
Bi 4: Cho hm s
2 2

2
1
1
x mx m m
y
mx m m
+ +
=
+ +
. Tỡm cỏc im trờn Oy sao cho khụng cú bt k th no ca hm
s i qua.
GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1