HD de thi chuyen HV-Phu Tho -2007

Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm
học 2006-2007
Thi vào Chuyên Hùng Vơng
Vòng 1 (Ngày 3 tháng 7 năm 2006)
Bài 1 Cho biểu thức
;
2
4)(
2
ab
abba
ba
abba
M
+

+
+
=
Với a>0;b>0
/aRút gọn M

22
22
2
2
)(
)(
2
4)(
22

babababa
baM
ab
baab
ba
ba
ab
abba
ba
abba
M
+
=
+
=
+
+=
+

+
+
=
+

+
+
=
b/Tính giá trị M khi
;200622007
+=

a
;200622007
=
b
ta có
2
)12006(200622007
+=+=
a
;
2
)12006(200622007
==
b
vậy
2006
2
1200612 006
=
++
=
M
Bài 2 Giải phơng trình
12
1
)1(
1
)2(
1
2

=
+

+
x
xx
(*)
ĐKXĐ : x0;x-1; x-2
đặt x
2
+2x=y
012)1(12)1(12
12
1
1
11
(*)
2
=++=+=
+
yyyyyy
yy
=49;y
1
=3;y
2
=-4
Với y=3 ta có x
2
+2x-3=0 nhẩm Vi-ét x

1
=1;x
2
=-3 ĐKXĐ
Với y=-4 ta có x
2
+2x+4= 0 vô nghiệm vì
/
=-3 <0
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
=1;x
2
=-3
Bài 3 Gọi số xe của đội là x (xe) xN;x>2
Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo kế hoạch là
x
120
(tấn)
Khi 2 xe bị hỏng mỗi xe phải chở
2
120
x
(tấn)
Vì mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng nên ta có PT
16
120
2
120
=

xx
(*)
Giải PT (*)120x-120(x-2)=16x(x-2)16x
2
-32x-240=0
x
2
-2x-15=0 ;
/
=16;x
1
=5>0 thoả mãn;x
2
=-3 <0 (loại)
Trả lời :số xe của đội là 5 xe
Bài 4 Cho hệ phơng trình
)(
1
1
I
ayx
yax



=+
=
a/Tìm nghiệm của hệ
GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao

1
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm
học 2006-2007



+=+
=




+=+
=




=+
=




=+
=

)2(1)1(
)1(1
1

1
1
1
1)1(
1
)(
222
aax
axy
axax
axy
axax
axy
axax
axy
I
Vì a
2
+1 >0 mọi a từ (1) ta có
1
1
2
+
+
=
a
a
x
thay vào (2)
1

1
2
+

=
a
a
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1
1
2
+
+
=
a
a
x
;
1
1
2
+

=
a
a
y
b/Tìm Min;Max của tổng x+y
Ta có

11
1
)1(
1
112
1
2
2
2
2
22
2

+
+
=
+
++
=
+
=+=
a
a
a
aaa
a
a
yxT
Min (T)=-1 khi a=-1;mặt khác áp dụng BĐT A
2

+B
2
2AB (dấu "=" xảy ra khi A=B)
Ta có
1
2
2
=
a
a
T
;Max(T)=1 khi a=1
Cách khác: (Sử dụng phơng pháp miền giá trị)
Gọi T
0
là giá trị tuỳ ý của T ta có T
0
(a
2
+1)=2aT
0
a
2
-2a+T
0
=0(*)
Với T
0
=0 thì a=0
Với T

0
0 ;PT(*) chỉ có nghiệm a khi
/
0 ta có
/
=1-T
0
2
0-1T
0
1
Vậy giá trị lớn nhất của x+y=1 khi a=1;giá trị nhỏ nhất của x+y=-1 khi a=-1
Câu 5
Thi vào Chuyên Hùng Vơng
Vòng 2 (Ngày 4 tháng 7 năm 2006)
Bài 1Cho a,b,c ,x,y,z là các số thực a,b,c khác 0
a/Từ giả thiết
0
0
222222
222
=
++
=
++
++
=

=

=

=

=

=

cbacba
bcxacyabzbcxacyabz
c
cbxcay
b
bazbcx
a
acyabz
c
bxay
b
azcx
a
cybz
GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao
2
A
B
O
M
H
I

K
a/Chứng minh OI=OM
xét 2Tam giác AOM;BOI có
OAM=OBI (cạnh tơng ứng )
OA=OB(gt); AOM=BOI=90
0
Nên AOM=BOI (c.g.c)OI=OM( )
b/Ta có tứ giác AOHB nội tiếp nên
OHA=OBA=45
0
nên OHK=45
0
vậyOHK vuông cân tại K OK=KH( )
c/*Phần thuận:
Ta có OKB=90
0
không đổi OB cố định
theo quỹ tích cung chứa góc K thuộc đờng
tròn đờng kính OB
Giới hạn MO thì KO;khi MB thì KC (C là trung điểm cung OKB)
*Phần đảo lấy K
/
cung OC ,nối OK
/
trên K
/
B lấy H
/
sao cho OK
/

=K
/
H
/
ta phải
chứng minh AH
/
K
/
B.Ta có OH
/
A=OBA=45
0
nên tứ giác AOH
/
B nội tiếp
suy ra AH
/
K
/
B
*Kết luận : tập hợp K là cung OC của đờng tròn Đờng kính OB
CK
/
H
/
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm
học 2006-2007
Vì a,b,c khác 0 nên bz-cy=0;cx-az=0;ay-bx=0
Suy ra

c
z
b
y
a
x
==
( )
b/
(*)
222
333333
222
cba
baaccb
c
ab
b
ca
a
bc
M
++
=++=
Mặt khác ab+bc+ac=0 ab+bc=-ac(ab+bc)
3
=(-ac)
3
a
3

b
3
+b
3
c
3
+3ab
2
c(ab+bc)=-a
3
c
3
a
3
b
3
+b
3
c
3
+ a
3
c
3
=3a
2
b
2
c
2

thay vào (*) ta có M=3
Bài 2 a/ Chữ số trăm nghìn có 3 cách chọn sau khi chọn chữ số hàng trăm nghìn chữ
số hàng chục nghìn còn 2 cách chọn chữ số hàng nghìn còn 1 cách chọn. Chữ số trăm
có 3 cách chọn, sau khi chọn chữ số hàng trăm chữ số hàng chục có 2 cách chọn chữ số
đv còn 1 cách chọn vì chọn 3 chữ số một cặp
Vậy có tất cả 3.2.1.3.2.1.3= 108 số thoả mãn bài toán
b/Tìm nghiệm nguyên thoả mãn hệ






++
=++
=






++
=++
=
)3(01242
)2(0)3(4)3(2
)1(01526
01242
0)3(2)3(

1526
22
2
2
22
2
2
zyyx
zyxx
yxx
zyyx
zyxx
yxx
PT(1) cộng PT(2)+PT(3) ta có
x
2
-6x-2y-15+2x
2
y-6xy+4z+12+x
2
y
2
+2y-4z+120
(x
2
y
2
+2x
2
y+x

2
)-6(xy+x)+90(xy+x)
2
-6(xy+x)+90(xy+x-3)
2
0
vì x,y,z nguyên nên (xy+x-3)
2
=0xy+x=3x(y+1)=3 ta có các hệ sau



=+
=



=+
=



=+
=



=+
=
11

3
;
11
3
;
31
1
;
31
1
y
x
hoac
y
x
hoac
y
x
hoac
y
x
suy ra



=
=

=
=



=
=



=
=
2
3
;
0
3
;
4
1
;
2
1
y
x
hoac
y
x
hoac
y

x
hoac
y
x
thay các cặp (x;y) vào PT(3) tìm z sau đó
thay vào PT(3) chỉ có cặp x=-1;y=-4;z=5 thoả mãn
Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-1;-4;5)
Bài 3 Giải phơng trình
1612244
2
+=++
xxxx
(*) ĐKXĐ: x4
(*)
12)44(12)4)(4(4444
2
++=++++=++
xxxxxxxx
Đặt
0:;44
>=++
yDKyxx
Ta có PT: y=y
2
-12y
2
-y-12=0(y-4)(y+3)=0 y=4 vì y+3>0
Với y=4 ta có

DKXDxxx

xxxxxxx
===
+=+=+=++
514848
448164444444
Vậy phơng trình có nghiệm x=5
Bài 4
GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao
3
A
B
P
a/Tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP
là giao trung trực MN &MP vì BMN
CMP cân tại B&C nên trung trực
MN;MP chính là phân giác ABC;
ACB giao 2 phân giác này chính là
tâm đờng tròn nội tiếp ABC ( )
b/Tìm vị trí N;P để độ dài NP nhỏ
nhất
Lời giải tóm tắt đề thi môn toán trờng chuyên hùng vơng Phú thọ năm
học 2006-2007
Bài 5 Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá
7
)154(
+
Đặt
nn
nn
n

baS +=++= )154()154(
ta có
nnnnnn
baSbaS .)154(.)154(;)154()154(
22
21
++=++=
++
[ ]
)()154()154(8
).11532().115832(
2
2
nnnnn
nnn
babaS
baS
+++=
++=
+
+
Vậy S
n+2
=8.S
n+1
-S
n
Ta có S
1
=8

S
2
=62 ;S
3
=8.62-8=488 ;S
4
=8.488-62=3842 ; S
5
=8.3842-488=30248
S
6
=8.30248-3842=238142; S
7
=8.238142-30248=1874888
Vì
1)154(0
7
<<
nên 1874887<
7
)154(
+
<1874888
Vậy số nguyên lớn nhất không vợt quá
7
)154(
+
là 1874887
GVHD: Nguyễn Minh Sang Trờng THCS Lâm Thao
4

C
N
M
O
Xét tứ giác ANOP có A;O cố định NAO không đổi;NOP=2.NMP
NMP=180
0
-M
1
-M
2
=180
0
-
2
90
2
180
2
180
0
00
NAPACBABC
=



NOP=180
0
-NAP nên NOP +NAP=180

0
-NAP+NAP=180
0
do vậy tứ giác ANOP nội tiếp NAP không đổi AO cố định dây NP nhỏ nhất
khi đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác này nhỏ nhất khi đó AO là đờng
kính suy ra N;P;M là chân đờng vuông góc kẻ từ O tới AB,AC,BC
1
2
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141
gmail:
Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP;
ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến
nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và
cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc
với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về