Đề thi vào chuyên Toán 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU, ĐHQG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2002 – 2003
Đề 1:
Câu 1: Cho phương trình:
x + 2 x – 1 - m
2
+ 6m – 11 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x+ y + m(x
3
+ 2x
2
y + 2xy
2
+ y
3
) = 1 – m
x y = - 6
Câu 3: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD.
Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8+2√3 và
tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho góc DAI = 45
0
, IDA = 30
0
.
a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính diện tích tam
giác NKH.
Câu 4: Tam giác ABC có góc ABC =30

0
và góc ACB = 15
0
. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC.
a) Tính góc PON. Chứng minh A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN
Câu 5:
a) Tìm tất cả số thực a và b sao cho 2x + a = |bx + 5| với mọi số thực x.
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện :
| ax + b | + | cx + d | = | ex + f | với mọi số thực x. Biết a, c và e khác 0, chứng
minh rằng : ad = bc
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU, ĐHQG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2001 – 2002
Đề 2:
Câu 1:
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 1000.a là số chính
phương.
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho ( b -1 ) không là bội của 9, b là bội của
bốn số nguyên liên tiếp và 2002.a là số chính phương.

Câu 2: Cho x, y là các số thực sao cho x +
1
y
và
y
1
+ x đều là số nguyên.
a) Chứng minh rằng: x
2

y
2
+ 1 là số nguyên
x
2
y
2

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: x
n
y
n
+ 1 là số nguyên.
x
n
y
n
Câu 3: a) Cho các số dương a,b thỏa mãn điểu kiện ab = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của
biểu thức A = ( a + b + 1 ) ( a
2
+ b
2
) + 4
a + b

b) Cho m, n là số nguyên thỏa mãn điều kiện: 1 +

1

= ⅓.Tìm giá trò lớn nhất

của B = m.n 2m n


Câu 4: Cho 2 đường tròn ( C
1
) và ( C
2
) lần lượt có tâm O
1
, O
2
và các bán kính tương
ứng R
1
, R
2
, hai đường tròn tròn này tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Hai điểm B, C lần
lượt di động trên ( C
1
) và ( C
2
) sao cho góc BAC vuông.
a) Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn luôn thuộc một đường tròn cố đònh.
b) Hạ AH vuông vuông góc BC. Tìm tập hợp các điểm H. Chứng minh rằng độ dài
2R
1
R
2
đoạn AH không lớn hơn R
1

+ R
2

c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường
hợp ( C
1
) và ( C
2
) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A.
Câu 5: Giải hệ phương trình:
x + y + x
2
+ y
2
= 80

x + 1 + x + 3 + x + 5 = y – 1 + y -3 + y – 5
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2000 – 2001
Câu 1: Chứng minh:
A + a + B + b + B + b + C + c C + c +A +a
A + a +B + b + c + d B + b + C + c + a + d C + c +A + a +b +d
Câu 2: Cho x, y > 0 và x + y ≤ 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :

A = 1 + 2 + 4xy
x
2
+ y
2
xy

Câu 3: Một số nguy6en dương N có đúng 12 ước số ( dương ) khác nahu kể cả chính
nó và 1, nhưng chỉ có 3 ước số nguyên tố khác nhau. Giả sử tổng của các ước số
nguyên tố là 20, tính giá trò nhỏ nhất có tểh có của N.
Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa phương trình:
3x
2
+ 6y
2
+ 2z
2
+ 3y
2
z
2
– 18x – 6 = 0
Câu 5: Diện tích tam giác ABC là 1. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm BC, CA,
AB. Trên các đoạn AB
1
, CA
1
, BC
1
lần lượt chọn các điểm K, L, M. Tìm giá trò nhỏ
nhất của diện tích phần chung của hai ∆ KLM và ∆ A

1
B
1
C
1
.
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Ban A, B) năm học 2000 – 2001
Câu 1: Cho phương trình : x
2
– 2( m + 1)x + m
2
-4m + 5 = 0 ( có ần số là x )
a) Đònh m để phương trình có nghiệm.
b) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm đều dương.
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 b) x – y = 3
x
3
– y
3
= 9
Câu 3: Với a > 0, b > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ab + bc ≥ 2b b ) ab + bc + ca ≥ a +b + c
c a c a b
c) a

3
+ b
3
+ b
3
+ c
3
+ c
3
+ a
3
≥ a + b + c
2ab 2bc 2ca
Câu 4: Cho đường tròn ( O, R) có đường kính AB và một điểm C bất kì thuộc đường
tròn khác A và B. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cung nhỏ AC và CB.
a) Kẻ ND vuông góc với AC ( D thuộc AC ). Chứng minh ND là tiếp tuyến của đường
tròn ( O )
b) Gọi E là trung điểm của đoạn BC. Đường thẳng OE cắt đường tròn ( O ) tại điểm K
( khác điểm N ). Chứng minh tứ giác ADEK là một hình bình hành.
c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường tròn ( O ) thì MN luôn luôn tiếp xúc
với một đường tròn cố đònh.
Câu 5: Cho hai tam giác ABC và DEF có các góc đều nhọn và có:
góc ABC = DEF, BAC = EDF, AB = 3DE
Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng ba lần bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2000 – 2001
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên x thỏa: x
3
+ 8 = 7 8x + 1

Câu 2: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:
1 + 2 + 3 +… + n 3
3 3
2
3
3
3
n
4
Câu 3: Tìm tất cả các số thực x thỏa:

4
( x-2) ( 4 – x) +
4
x -2 +
4
4 – x + 6x
4
3x ≤ x
3
+ 30
Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a
2
+ b
2
+ c
2
= 2
Tìm giá trò nhỏ nhất của S = a
3

+ b
3
+ c
3
Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. D là một điểm trên đoạn BC. Đặt BC = a,
CA = b, AB =c, AD = d, DB = m, DC = n
1. Chứng minh : d
2
a = b
2
m

+ c
2
n - amn
2. Cho biết AD là phân giác trong góc A. Chứng minh: AD
2
< AB.AC
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2004 – 2005
Câu 1: Giải hệ: 3 6 = -1
2x – y x + y
1 1 = 0
2x – y x + y
Câu 2: Cho x > 0 thỏa : x
2
+ 1 = 7. Tính x
5
+ 1
x

2
x
5
Câu 3: Giải phương trình: 3x = 3x + 1 - 1
3 x + 10
Câu 4:
a) Tìm giá trò nhỏ nhất của P = 5x
2
+ 9x
2
– 12xy + 24x – 48y + 82
b) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa hệ : x + y + z = 3
x
3
+ y
3
+ z
3
= 3
Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O ( AB <
AC ). Vẽ đường tròn tâm I qua 2 điểm A, C cắt đoạn AB, BC lần lượt tại M, N. Vẽ
đường tròn tâm J qua 3 điểm B, M, N cắt đường tròn ( O ) tại điểm H ( khác B ).
a) Chứng minh : OB vuông góc với MN
b ) Chứng minh: từ giác IOBJ là hình bình hành.
c) Chứng minh : BH vuông góc với IH.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Qua một điểm S trong hình bình hành ABCD kẻ
đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tại M, P và cũng qua S kẻ đường
thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CD tại N, Q . Chứng minh 3 đường thẳng AS,
BQ, DP đồng quy.
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Ban A,B) năm học 2005 – 2006
Câu 1: Cho phương trình ( có ẩn số là x ) : 4x
2
+ 2(3 – 2m)x + m
2
– 3m + 2 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m.
b) Tìm m để có tích của 2 nghiệm đạt giá trò nhỏ nhất.
Câu 2: Giải các phương trình và hệ phương trình:
a) x
2
+ y
2
= 2(xy + 2 ) b) x
2
+ 25x
2
= 11
x + y = 6 ( x + 5)
2
Câu 3:
a) Cho a> c , b >c , c > 0. Chứng minh : c(a – c ) + c(b – c ) ≤ ab
b) Cho a> 0, b > 0 . Chứng minh : 2 ab ≤ ab

a + b
Câu 4: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng them mỗi chữ số một đơn
vò thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương.
Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R), số đo góc
C bằng 45
0

. Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh MN vuông góc với OC.
b) Chứng minh MN = AB
2
Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O,R) . Điểm M di
động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với
AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC)
a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau.
b) Tìm vò trí của M đẻ độ dài đoạn HK lớn nhất.
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005 – 2006
Câu 1: a) Đònh m để hai phương trình: x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0 có ít nhất một
nghiệm chung
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình:
b
2
x
2
+ ( b
2
+ c
2
– a
2
)x + c
2

= 0 vô nghiệm
Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x
3
+ y
3
= 3( x – y ) b) 2 x + 13x = 6
x + y = -1 3x
2
– 5x + 2 3x
2
+ x + 2
Câu 3:
a) Chứng minh 2(a
4
+ b
4
) ≥ ab
3
+ a
2
b + 2a
2
b
2
với mọi a,b
b) Chứng minh: a
2
+ b
2

+ 2ab – b
2
> a, với a> b > 0
Câu 4: Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội số của tích 2 chữ số
của chính số đó.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB < AD. Tia phân giác của góc
BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N. Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
MCN.
a) Chứng minh DN = BC và CK MN
b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp.
Câu 6: Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B . Chứng minh rằng:
BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Chúc các em thi tốt. Thầy sẽ rất nhớ các em!