Toán Cao cấp C 1 docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
Y  Z



ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI






TOÁN CAO CẤP C1
(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ
Y Đà Lạt 2008 Z
Mục lục
I. Các kiến thức cơ bản
1. Tậphợp 1
1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cácphép toán trêntập hợp 1
2. ánhxạ 2
2.1 Cácđịnh nghĩa 2
2.2 ảnhvà nghịchảnh 3
2.3 Đơnánh-Toàn ánh-Song ánh 4
3. Quanhệtrêntậphợp 6
3.1 Quan hệ hai ngôi 6
3.2 Quan hệ t-ơngđ-ơng 6
3.3 Quan hệ thứtự 7
4. Cáccấutrúcđạisố 8
4.1 Phép toán hai ngôi 8
4.2 Cáccấu trúcđại số cơbản 10
5. Tr-ờngsốphức 8
5.1 Địnhnghĩa sốphức 11
5.2 Biểudiễn số phức 15
6. Đathức 15
6.1 Vành đa thức mộtbiến 15
6.2 Phép chia Euclid 16
6.3 Nghiệm của đa thức 20
6.4 Sơ đồ Horner . . . . . . . .20 6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức . . . . . . . .20
6.6 Đa thứctrêntr-ờngsố thực 21
6.7 Đa thứctrêntr-ờngsố hữutỉ 22
6.8 Giải ph-ơng trình đại số bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7. Phânthức 27
7.1 Tr-ờng các phân thức 27
7.2 Phân tíchphâh thức 28
II. Đại số tuyến tính
1. Matrận 31
1.1 Địnhnghĩa matrận 31
1.2 Cácma trậnđặc biệt 31
1.3 Cácphép toán trênmatrận 33
1.4 Biếnđổi sơcấp trên matrận 36
2. Địnhthức 37
2.1 Hoán vị 37
2.2 Nghịch thế-Ký số 37
2.3 Địnhnghĩa địnhthức 38
2.4 Cáctính chấtcủa địnhthức 40
2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Hạng của ma trận 47
2.8 Hệ ph-ơngtrìnhtuyếntính 48
3. Khônggianvector 53
3.1 Địnhnghĩa vàvídụ 53
3.2 Khônggian vectorcon 55
3.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Cơsở- Số chiều-Tọađộ 58
4. Tổng, tích, th-ơng các không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
4.2 Tích cáckhônggian vector 62
4.3 Khônggian th-ơng 63
5. ánhxạ tuyếntính 64
5.1 ánhxạ tuyếntính 64
5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Đẳng cấu tuyến tính 68
5.4 ánhxạ tuyếntínhvà matrận 68
6. Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1 Đổicơ sở -Côngthức đổitọađộ 70
6.2 Ma trậnđồngdạng -Chéo hóa 71
6.3 Giá trịriêng-Vectorriêng 72
6.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 72
6.5 Thuật tóanchéo hóa 73
6.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1 Dạng song tuyến tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 Dạng toàn ph-ơng 76
7.4 Dạng chính tắc của dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
7.5 Dạng xác định 79
III. Phép tính vi phân hàm một biến thực
1. Sốthực 81
1.1 Số hữutỉ 81
1.2 Số thực 82
1.3 Cácphép tóan số học 83
1.4 Cận trêncậnd-ới 83
2. Dãysốthực 84
2.1 Kháiniệmdãy số 84
2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 84
2.3 Giới hạndãy số 85
2.4 Cáctính chấtvàphép toán 86
2.5 Cácđiều kiệnhộitụ 87
2.6 Số e vàlogarithmtựnhiên 88
3. Hàmmộtbiếnthực 89
3.1 Kháiniệmhàm số 89

3.2 Cácphép toán 89
3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 91
3.5 Cáchàm sơ cấp 92
4. Giớihạnhàmsố 93
4.1 Kháiniệmgiới hạnhàmsố 93
4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Giới hạnmộtphía 97
4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5 Vô cùngbé, vôcùng lớn 98
5. Hàmliêntục 99
5.1 Kháiniệmhàm liêntục 100
5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6. Đạohàm 102
6.1 Kháiniệmđạo hàm 102
6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
7. Vi phân 106
7.1 Địnhnghĩa viphân 106
7.2 ứng dụngcủa viphân 106
7.3 Cácqui tắctínhviphân 107
7.4 Đạo hàm và viphâncấp cao 107
8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2 Khai triểnTaylor 112
9. ứngdụngđạo hàm đểkhảo sáthàm số 113
9.1 Tínhđơn điệu-Cực trị 113
9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 115
IV. Phép tính tích phân hàm một biến

1. Nguyênhàm-Tíchphân bấtđịnh 117
1.1 Nguyên hàm 117
1.2 Bảng tính tích phân các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.3 Cáctính chất 119
1.4 Các ph-ơng pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2. Tích phân một số lớp hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.1 Tích phâncác hàmhữu tỉ 120
2.2 Tích phâncác hàmvôtỉ 123
2.3 Tích phân các hàm l-ợng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3. Tíchphânxácđịnh 126
3.1 Bài toán diện tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
3.2 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3 Cáclớp hàmkhả tích 127
3.4 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
3.5 Công thức Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4. Tíchphânsuy rộng 133
4.1 Tích phânsuy rộngloại 1 133
4.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Sự hộitụtuyệt đối 136
4.4 Tích phânsuy rộngloại 2 138
V. Phép tính vi phân hàm nhiều biến
1. Không gian R
n
141
1.1 Không gian R
n
141

1.2 Tích vô h-ớng, chuẩn, khoảng cách trong R
n
142
1.3 Dãy trong R
n
142
1.4 Các tập hợp trong R
n
144
2. Hàmnhiềubiến 146
2.1 Hàm nhiều biến 146
2.2 Giới hạnhàmnhiều biến 147
2.3 Tínhliên tục 151
3. Đạohàmvàviphân 154
3.1 Đạo hàm riêng 154
3.2 Sự khảvi 155
3.3 Cáccông thứccơ bản 158
3.4 ý nghĩacủa sự khảvi 159
3.5 Định lý giá trị trung bình, Định lý phần gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4. Đạohàmvàviphân cấp cao 162
4.1 Đạo hàm riêngcấp cao 162
4.2 Côngthức Taylor 165
5. Hàmng-ợc,hàmẩn 167
5.1 Định lý hàm ng-ợc địa ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
5.2 Địnhlý hàmẩn 171
6. Cựctrịhàmnhiềubiến 174
6.1 Cực trị 174
6.2 Cực trịcóđiềukiện 176
VI. Tích phân bội
1. Tíchphântrênhìnhhộp 181

1.1 TồngRiemann 181
1.2 TổngDarboux 183
1.3 Thể tíchkhông 185
2. Tíchphântrêntập giớinội 186
2.1 Tập đo đ-ợc 186
2.2 Tích phântrêntập giớinội 188
3. Cáccôngthứctínhtíchphân 189
3.1 Côngthức Fubini 189
3.2 Côngthức đổibiến 192
VII. Tích phân đ-ờng - Tích phân mặt
1. Tíchphânđ-ờng 195
1.1 Đ-ờngcong 195
1.2 Tích phânđ-ờngloại 1 198
1.3 ý nghĩa của tích phân đ-ờng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
1.4 Các tính chất của tích phân đ-ờng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
1.5 Tích phânđ-ờngloại 2 202
1.6 Các tính chất của tích phân đ-ờng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1.7 ý nghĩa của tích phân đ-ờng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
2. Tíchphânmặt 205
2.1 Mặt cong 205
2.2 Tích phânmặt loại1 209
2.3 ý nghĩa của tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.4 Tích phânmặt loại2 213
3. Métsèc«ng thøc 216
3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.2 C«ngthøc Green 217
3.3 C«ngthøc Ostrogradsky 221
3.4 C«ngthøc Stokes 223
1
I. Một số kiến thức cơ bản

1 Tập hợp
1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể
nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định.
Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử.
Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó
A = {a
1
,a
2
, ,a
n
},
hai là mô tả đặc tính của các phần tử thuộc tập hợp
A = {a | a có tính chất E}.
Nếu a là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a A. Nếu a không là một
phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a/ A. Tập hợp không chứa phần tử nào
gọi là tập rỗng, ký hiệu là .
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là
tập con của X, ký hiệu A X. Rõ ràng ta có X với mọi tập hợp X. Các
tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2
X
, và gọi là tập hợp các tập con
của X.
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A B và B A.
Nếu A B và A = B, thì ta nói A là tập con thực sự cuả B, khi đó ta viết
A B.
1.2 Các phép toán trên tập hợp
Định nghĩa 1. Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B, là tập hợp gồm các
phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử vừa
thuộc A vừa thuộc B. Nếu A B = , thì ta nói A và B rời nhau.
2
Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc
A nh-ng không thuộc B. Nếu A là tập con của X thì hiệu X \ A gọi là phần
bù của A trong X.
Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ì B,là
tập hợp gồm tất cả các cặp (x, y) với x A và y B.
Mệnh đề 1. Cho A,B,C,X là các tập hợp bất kỳ. Khi đó
1) A, A A.
2) Nếu A B và B C, thì A C.
3) (A B) = (B A), (A B) = (B A).
4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C).
5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C).
6) Qui tắc De Morgan
X \(A B)=(X \A) (X \B),X\(A B)=(X \ A) (X \B).
Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên
tập hợp. Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan. Thật vậy ta có
x X \ ( A B) x X và x/ ( A B)
x X và (x/ A và x/ B)
(x X và x/ A) và (x X và x/ B)
x ( X \A) và x (X \B)
x ( X \A) (X \B).

2 ánh xạ
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui
tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x X với duy nhất một phần tử y Y . Phần tử
y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f(x),vàx đ-ợc gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp X
đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền

giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau
f : X Y
x y = f(x).
3
Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập
nguồn X và f(x)=g(x) với mọi x X.
Ví dụ. a) T-ơng ứng f : R R, x
3

x, là một ánh xạ.
b) T-ơng ứng Id
X
: X X, x x, là một ánh xạ gọi là ánh xạ đồng nhất
trên X.
c) Cho ánh xạ f : X Y và U X. Khi đó t-ơng ứng f |
U
: Y xác định
bởi f |
U
(x)=f(x) với mọi x U là một ánh xạ, gọi là hạn chế của ánh xạ f
lên bộ phận U.
2.2 ảnh và Nghịch ảnh
Định nghĩa 3. Cho ánh xạ f : X Y và U X, V Y là các tập con. Khi
đó tập hợp
f(U)={f(x) | x U}
gọi là ảnh của tập U qua ánh xạ f, và tập hợp
f
1
(V )={x X | f(x) V }
gọi là nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ f.

Nếu V = {y}, thì ta viết f
1
(y) thay cho f
1
({y}).
Mệnh đề 2. Cho ánh xạ f : X Y và A, B X, U, V Y . Khi đó
1) Nếu A B, thì f(A) f(B).
2) Nếu U V , thì f
1
(U) f
1
(V ).
3) f(A B)=f(A) f(B), f(A B) f(A) f(B).
4) f
1
(U V )=f
1
(U) f
1
(V ), f
1
(U V )=f
1
(U) f
1
(V ).
Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh,
chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4). Thật vậy, ta có
y f(A B)=x (A B):f(x)=y
= (x A và x B):f(x)=y

= (x A : f(x )=y) và (x B : f(x)=y)
= y f(A) và y f(B)
= y f(A) f(B).
Từ đó suy ra f(A B) f(A) f(B). T-ơng tự, ta có
x f
1
(U V ) f(x) U V
f(x) U và f(x) V
x f
1
(U) và x f
1
(V )
x f
1
(U) f
1
(V ).
4
Vậy f
1
(A B )=f
1
(A) f
1
(B).
Nhận xét. Đẳng thức f(A B)=f(A) f(B) nói chung không đúng. Chẳng
hạn, với ánh xạ f : R [1, 1] , f(x) = sinx,vàA =[0,/2], B =[/4,].
2.3 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh
Định nghĩa 4. Cho ánh xạ f : X Y . ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu với mọi

x
1
,x
2
X sao cho f(x
1
)=f(x
2
), thì suy ra x
1
= x
2
. Nh- vậy, với mỗi phần tử
y Y tồn tại không quá một phần tử x X sao cho y = f(x).
ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y , tức là, với mỗi phần tử y Y tồn tại
ít nhất một phần tử x X sao cho y = f(x).
ánh xạ f gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Tức là, với mỗi phần
tử y Y tồn tại đúng một phần tử x X sao cho y = f(x).
Ví dụ. a) ánh xạ f : R R, x x
3
, là một song ánh. Thật vậy, với mỗi
y R, ph-ơng trình y = x
3
có duy nhất nghiệm x =
3

y.
b) ánh xạ f : R R, x x
2
, không phải là đơn ánh, vì với 1 R có hai số

thực 1, 1, là tạo ảnh của 1.
2.4 Các phép toán trên ánh xạ
2.4.1 Hợp hai ánh xạ
Định nghĩa 5. Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Hợp của f và g,ký
hiệu g f, là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g f(x)=g(f(x)).
Ví dụ. Với f : R R, f(x)=x
2
và g : R R, g(x)=x +2, ta có
(g f)(x)=g(f(x)) = g(x
2
)=x
2
+2,
(f g)(x)=f(g (x )) = f(x +2)=(x +2)
2
.
Nhận xét. Nói chung g f = f g.
Mệnh đề 3. Cho các ánh xạ f : X Y , f : Y Z, h: Z T. Khi đó
1) f Id
X
= Id
Y
f = f,
2) h (g f)=(h g) f.
Chứng minh. 1) là hiển nhiên. 2) suy ra từ
h (g f)(x)=h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x).
5
2.4.2
ánh xạ ng-ợc
Định nghĩa 6. ánh xạ f : X Y gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ánh xạ

g : Y X sao cho
g f = Id
X
và f g = Id
Y
.
ánh xạ g khi đó gọi là ánh xạ ng-ợc cuả ánh xạ f và ký hiệu g = f
1
.
Nhận xét. ánh xạ ng-ợc của f : X Y nếu tồn tại là duy nhất. Thật vậy, giả
sử f có hai ánh xạ ng-ợc là g,g

: Y X. Khi đó ta có
g f = Id
X
và f g

= Id
Y
.
Từ đó suy ra g = g Id
Y
= g (f g

)=(g f) g

= Id
X
g

= g

.
Mệnh đề 4. ánh xạ f : X Y khả nghịch khi và chỉ khi f là song ánh. Khi
đó f
1
: Y X đ-ợc xác định bởi
x = f
1
(y) y = f(x).
Chứng minh. Giả sử f có ánh xạ ng-ợc là f
1
: Y X. f là đơn ánh vì
với mọi x, x

X: f(x)=f(x

)= f
1
(f(x)) = f
1
(f(x

))
= (f
1
f)(x)=(f
1
f)(x

)
= Id
X
(x)=Id
X
(x

)
= x = x

.
Bây giờ, giả sử y là một phần tử bất kỳ cuả Y . Khi đó tồn tại x = f
1
(y) sao
cho f(x)=f(f
1
(y)) = y. Vậy f là toàn ánh. Suy ra f là song ánh.
Ng-ợc lại, nếu f : X Y là một song ánh thì với mỗi y Y có duy nhất x X
sao cho y = f(x). Điều này cho phép ta xác định một ánh xạ g : Y X bởi
x = g(y) y = f(x). Ta dễ dàng kiểm tra rằng (g f)=Id
X
và (f g)=Id
Y
.
Vậy g là ánh xạ ng-ợc cuả f.
Ví dụ. a) ánh xạ f :[/2,/2] [1, 1], f(x)=sinx, là song ánh. ánh xạ
ng-ợc của f đ-ợc ký hiệu là f
1
(x)=arcsinx, tức là ta có
y = arcsinx x = sin y.

b) Ký hiệu R
>0
là tập các số thực d-ơng. Khi đó ánh xạ f : R R
>0
,
f(x)=e
x
, có ánh xạ ng-ợc là f
1
(x)=lnx. Vì ta có
y =lnx x = e
y
.
6
Mệnh đề 5. Cho f : X Y , g : Y Z, là các song ánh. Khi đó f
1
và g f
cũng là song ánh và ta có
1) (f
1
)
1
= f.
2) (g f)
1
= f
1
g
1
.

Chứng minh. f
1
và g f là song ánh là dễ dàng kiểm tra. Đẳng thức 1) là hiển
nhiên. Đẳng thức 2) suy ra từ
(g f) (f
1
g
1
)=g (f f
1
) g
1
= g g
1
= Id
Z
,
(f
1
g
1
) (g f)=f
1
( g
1
g) f = f
1
f = Id
X
.

3 Quan hệ trên một tập hợp
3.1 Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa 7. Quan hệ (hai ngôi) trên tập X đ-ợc định nghĩa là một tập con
R của tích trực tiếp X ìX. Nếu cặp phần tử (x, y) Rthì ta nói x có quan hệ
R với y và ký hiệu là xRy.
Ví dụ. a) Trên tập X bất kỳ ta có quan hệ bằng nhau
R = {(x, y) X ìX | x = y} = {(x, x) X ì X | x X}
b) Cho X là tập bất kỳ. Trên 2
X
ta có quan hệ bao hàm
R = {(A, B) 2
X
ì 2
X
| A B}
3.2 Quan hệ t-ơng đ-ơng
Định nghĩa 8. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ R trên X gọi là quan hệ
t-ơng đ-ơng nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây
1) Phản xạ: xRx, với mọi x X.
2) Đối xứng: Nếu xRy thì yRx.
3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.
Với mỗi x X tập con [x]
R
:= {y X | yRx} gọi là lớp t-ơng đ-ơng của x
(theo quan hệ t-ơng đ-ơng R). Tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng gọi là tập th-ơng
của X đối với quan hệ t-ơng đ-ơng R, ký hiệu là
X/R := {[x]
R
| x X}.

7
ánh xạ X X/R cho bởi x [x]
R
là một toàn ánh đ-ợc gọi là toàn cấu
chính tắc.
Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu để ký hiệu một quan hệ t-ơng đ-ơng trên X và
x y đọc là x t-ơng đ-ơng với y.
Ví dụ. a) Xét ánh xạ f : X Y . Khi đó quan hệ
R(f)={(x, y) X ì Y | f(x)=f(y)}
là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên X. Đặc biệt với Y = X và f = Id
X
, R(Id
X
) là
quan hệ bằng nhau trên tập X.
b) Xét V là tập hợp các vector hình học. Trên V cho một quan hệ xác định bởi
xRy : x = y.
Khi đó R là một quan hệ t-ơng đ-ơng và tập th-ơng X/R chính là tập các vector
tự do.
c) Cho n là một số tự nhiên. Trên tập các số nguyên Z xác định quan hệ đồng
d- modulo n nh- sau
x y mod n x y chia hết cho n.
Dễ kiểm tra rằng đây là một quan hệ t-ơng đ-ơng. Lớp t-ơng đ-ơng của m là
tập con
[m]={m + nk | k Z}.
Tập th-ong của Z đối với quan hệ đồng d- modulo n, th-ờng đ-ợc ký hiệu là Z
n
hay Z/n, gồm n phần tử
Z/n = {[0], [1], ,[n 1]}.
3.3 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 9. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ R trên X gọi là quan hệ
thứ tự nếu và chỉ nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây
1) Phản xạ: xRx, với mọi x X.
2) Phản đối xứ ng: Nếu xRy và yRx thì x = y .
3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.
8
Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự R gọi là tập sắp thứ
tự hay tập đ-ợc sắp. Tập đ-ợc sắp th-ờng đ-ợc viết là (X, R).
Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu để ký hiệu một quan hệ thứ tự trên X. Khi đó
x y đ-ợc đọc là x bé hơn hoặc bằng y. Nếu x y và x = y thì ta viết x<y
và đọc là x bé hơn y.
Ví dụ. a) Quan hệ bé hơn hoặc bằng thông th-ờng trên tập số thực là một quan
hệ thứ tự.
b) Cho X là một tập hợp. Quan hệ bao hàm trên tập hợp 2
X
là một quan hệ
thứ tự.
c) Quan hệ chia hết x | y là một quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên N.
Trong ví dụ a) hai phần tử x, y bất kỳ ta luôn luôn so sánh đ-ợc, tức là luôn luôn
có x y hoặc y x. Một quan hệ thứ tự trên tập X = mà mọi cặp phần tử
của X đều so sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. Trong ví dụ c) không
phải hai phần tử nào cũng so sánh đ-ợc, chẳng hạn 2 và 3, nếu X có nhiều hơn
một phần tử thì điều này cũng xảy ra trong ví dụ b). Một quan hệ thứ tự không
toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
4 Các cấu trúc đại số
4.1 Phép toán hai ngôi
4.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 10. Cho X và Y là hai tập khác rỗng. Một ánh xạ f : X ìX X
đ-ợc gọi là một phép toán (hai ngôi) trên X. Phần tử f(x, y) gọi là cái hợp
thành của x và y.

Nếu f : X ìX X là một phép toán trên X thì ta th-ờng ký hiệu cái hợp thành
f(x, y) bởi xfy. Ng-ời ta hay sử dụng các ký tự đặc biệt nh- : , +, ã, , ,
, để chỉ phép toán. Nếu dùng các ký tự + và ã, thì ta gọi các phép toán t-ơng
ứng là phép cộng và phép nhân. Cái hợp thành x + y, x ã y (th-ờng đ-ợc viết
không có dấu chấm xy) lúc này sẽ đ-ợc gọi là tổng và tích của x và y.
Ví dụ. a) Trên tập số nguyên Z các ánh xạ (x, y) x + y, (x, y) xy
(phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng) là các phép toán. ánh xạ
(x, y) 2x +6xy +5y cũng là phép toán trên Z. Tuy nhiên ánh xạ (x, y) x
y
9
không phải là một phép toán trên Z vì nói chung x
y
không thuộc Z.
b) Các t-ơng ứng ( A, B) A B, (A, B) A B là phép toán trên tập các
tập con 2
X
.
c) T-ơng ứng (f, g) g f là phép toán trên Map(X)={ánh xạ f : X X}.
4.1.2 Các tính chất của phép toán hai ngôi
Tính giao hoán. Phép toán : X ì X X gọi là giao hoán nếu
a b = b a với mọi a,b X.
Tính kết hợp. Phép toán : X ì X X gọi là kết hợp nếu
(a b) c = a (b c) với mọi a,b, c X.
Tính phân phối. Giả sử , : X ì X X là hai phép toán trên X. Phép toán
gọi là phân phối bên trái đối với phép toán nếu với mọi a, b, c X đều có
a (bc)=(a b)(a c).
T-ơng tự, phép toán gọi là phân phối bên phải đối với phép toán nếu với
mọi a, b, c X đều có
(bc) a =(b a)(c a).
Nếu vừa phân phối trái vừa phân phối phải đối với thì ta nói phép toán có

tính chất phân phối đối với .
Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N, phép cộng và phép nhân thông th-ờng có tính giao
hoán, kết hợp, phép nhân phân phối đối với phép cộng. Phép toán (m, n) m
n
không giao hoán cũng không kết hợp.
4.1.3 Các phần tử đặc biệt đối với phép toán hai ngôi
Phần tử đơn vị. Cho : X ìX X là một phép toán trên X. Phần tử e của X
gọi là phần tử đơn vị đối với phép toán nếu với mọi x X đều có
e x = x e = x.
Phần tử khả nghịch. Cho : X ìX X là một phép toán trên X và e là phần
tử đơn vị của X đối với phép toán . Ta nói phần tử a X là khả nghịch nếu
tồn tại một phần tử a

X sao cho
a

a = a a

= e.
10
Khi đó phần tử a

gọi là phần tử nghịch đảo của a.
Ng-ời ta hay gọi phần tử đơn vị đối với phép toán cộng là phần tử không,kí
hiệu 0, và gọi phần tử nghịch đảo của x là phần tử đối của x, kí hiệu x. Nếu
phép toán đ-ợc viết theo lối nhân, thì phần tử đơn vị th-ờng đ-ợc kí hiệu là 1,và
phần tử nghịch đảo của x sẽ đ-ợc kí hiệu là x
1
.
Ví dụ. a) Trên tập 2

X
, phần tử đơn vị đối phép toán hợp là e = , mọi tập
A = đều không khả nghịch. Phần tử đơn vị đối với phép là e = X, mọi tập
A = X đều không khả nghịch.
b) Phần tử đơn vị đối với phép toán hợp trên tập Map(X)={ánh xạ f : X X}
là ánh xạ đồng nhất Id
X
. Mọi song ánh f trong Map(X) đều khả nghịch, và
nghịch đảo của nó là ánh xạ ng-ợc f
1
.
4.2 Các cấu trúc đại số cơ bản
4.2.1 Nhóm
Định nghĩa 11. Một nhóm là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp không
rỗng, còn là phép toán hai ngôi trên G có tính kết hợp, có phần tử đơn vị và
mọi phần tử của G đều khả nghịch.
Một nhóm đ-ợc gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu phép toán trên nó
có tính giao hoán.
Ví dụ. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)với phép cộng các số thông th-ờng là các nhóm
giao hoán, gọi là nhóm cộng các số nguyên, số hữu tỉ, số thực .
2) (Q \{0}, ã), (R \{0}, ã) với phép nhân thông th-ờng là các nhóm giao hoán,
gọi là nhóm nhân các số hữu tỉ và số thực khác không.
3) Cho tập hợp X = đặt S(X)={f : X X | f song ánh}. Khi đó
(S(X), ), với phép hợp các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các hoán vị của X
hay nhóm đối xứng của X. Trong tr-ờng hợp đặc biệt X = {1, 2, ,n} ta viết
S
n
= S({1, 2, ,n}). Mỗi phần tử của S
n
gọi là một hoán vị của {1, 2, ,n}.

4.2.2 Vành
Định nghĩa 12. Một vành là một bộ ba (R, +, ã), trong đó R là một tập hợp
không rỗng, còn + và ã là các phép toán trên R sao cho: (R, +) là một nhóm
giao hoán, phép ã có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng.
Một vành đ-ợc gọi là vành giao hoán nếu phép toán ã có tính giao hoán. Một
vành đ-ợc gọi là vành có đơn vị nếu phép toán ã có đơn vị.
11
Ví dụ. 1) ( Z, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng là
một vành giao hoán gọi là vành số nguyên.
2) Với số nguyên d-ơng p cho tr-ớc đặt
[m]
p
:= {n Z | n = m + pt, t Z} Z
p
:= {[m]
p
,m Z}.
Dễ dàng chứng minh đ-ợc rằng Z
p
là tập hữu hạn gồm p phần tử
Z
p
:= {[0]
p
, [1]
p
, ,[p 1]
p
}.
Trên Z

p
xác định hai phép toán cộng và nhân nh- sau
[m]
p
+[n]
p
=[m + n]
p
, [m]
p
[n]
p
=[mn]
p
.
Khi đó (Z
p
, +, ã) là một vành giao hoán gọi là vành số nguyên đồng d- modulo
p. Chẳng hạn với m =4ta có bảng cộng và nhân trong Z
4
nh- sau, trong đó
[m]
4
đ-ợc viết là m
+

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2
.

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1
4.2.3 Tr-ờng
Định nghĩa 13. Một tr-ờng là một vành giao hoán (K, +, ã) có đơn vị 1 =0và
mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch.
Ví dụ. 1) (Q, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ thông th-ờng là
một tr-ờng, gọi là tr-ờng số hữu tỉ.
2) (Z
p
, +, ã), với p nguyên tố, là một tr-ờng.
5 Tr-ờng số phức
5.1 Định nghĩa số phức
Đặt C = R ì R = {(x, y) | x, y R}. Trên C xác định hai phép toán cộng và
nhân nh- sau
(x
1
,y
1
)+(x
2
,y
2
)=(x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2

)
(x
1
,y
1
) ã (x
2
,y
2
)=(x
1
x
2
y
1
y
2
,x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
12
Khi đó (C, +, ã) là một tr-ờng gọi là tr-ờng số phức.
Nhận xét. Với kí hiệu i =(0, 1) C,tacói
2

= i ã i =(1, 0). Nếu đồng nhất
R với tập con {(x, 0) | x R} của C, tức là xem x R nh- là phần tử (x, 0) của
C, thì khi đó R C và i
2
=(1, 0) 1.
5.2 Biểu diễn số phức
5.2.1 Dạng đại số của số phức
Từ đẳng thức (x, y )=(x, 0) + (0, 1)(y, 0) và từ nhận xét ở trên có thể viết một
số phức z =(x, y) bất kỳ d-ới dạng sau
z = x + iy.
Dạng z = x + iy gọi là dạng đại số của số phức z. Các số thực x, y lần l-ợt gọi
là phần thực, phần ảo của z và đ-ợc ký hiệu là Rez, Imz. Số phức
z = x iy
gọi số phức liên hợp với z. Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau
Mệnh đề 6. .
a) z + w = z + w; zw = z ã w.
b) z + z =2Rez; z z =2iImz; z ãz = x
2
+ y
2
.
c) z =
z z R.
d) Nếu z = x + iy =0, thì z
1
=
x
x
2
+ y

2
i
y
x
2
+ y
2
.
Nhận xét. Cộng, trừ (tức cộng với số đối), nhân , chia (tức là nhân với số nghịch
đảo) các số phức d-ới dạng đại số nh- số thực với chú ý là i
2
=1.
5.2.2 Dạng l-ợng giác của số phức
Có một sự t-ơng ứng một-một giữa tập tất cả các số phức z =(a, b) với tập các
điểm M(a, b) hay vector

OM =(a, b) trong mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy còn
gọi là mặt phẳng phức, với

e
1
=(1, 0),

e
2
=(0, 1) là hai vector cơ sở, trục
hoành gọi là trục thực, trục tung gọi là trục ảo (H.1). Trong cách biểu diễn này
phép cộng các số phức đ-ợc biểu thị bởi phép cộng các vector hình học.
13

O





M
r


ax
b
y

e
1

e
2
H.1
Giả sử (a, b) =(0, 0) , gọi là góc định h-ớng tạo bởi

e
1
và

OM và r là độ dài
của vector

OM. Khi đó ta có các liên hệ sau

a = r sin
b = r cos



r =

a
2
+ b
2
tg =
b
a
Do đó ta có một biểu diễn khác của số phức z =(a, b) nh- sau
z = r(cos + i sin ).
Biểu thức z = r(cos + i sin ) gọi là dạng l-ợng giác của số phức z. Số thực
r gọi là modul của số phức z, ký hiệu là | z |, còn gọi là argument của z,ký
hiệu là Argz. Tất nhiên có vô số argument sai khác nhau k2, k Z. Argument
của nằm trong khoảng (,] gọi là giá trị chính của Argz, kí hiệu là argz.
Nh- vậy ta có
Argz = argz + k2.
Ví dụ. z =1+i

3 = 2(cos

3
+ i sin

3
); z = 1 i =

2(cos
3
4
i sin
3
4
).
Các tính chất sau đây cho thấy sự thuận tiện của cách biểu diễn số phức d-ới
dạng l-ợng giác.
Mệnh đề 7. .
a) | z
1
z
2
|=| z
1
|| z
2
|; Arg(z
1
z
2
)=Argz
1
+ Argz
2

.
b)

r(cos + i sin)

n
= r
n
(cos n + i sinn) (Công thức Moivre).
Chứng minh. a) Giả sử z
1
= r
1
(cos
1
+ i sin
1
), z
2
= r
2
(cos
2
+ i sin
2
). Khi
đó
z
1
,z

2
= r
1
r
2
(cos
1
cos
2
sin
1
sin
2
+ i (sin
1
cos
2
+ cos
1
sin
2
))
= r
1
r
2
(cos(
1
+
2

)+i sin(
1
+
2
)),
14
Từ đó ta có khẳng định a). Khẳng định b) suy ra từ khẳng định a).
Nhận xét. Mệnh đề trên cho thấy về mặt hình học phép nhân số phức z với số
phức w là hợp của phép co dãn vector w theo tỉ số | z | và phép quay góc argz
(H.2).


O



w





zw

argz
H.2
5.2.3 Phép khai căn số phức
Định nghĩa 14. Cho số phức z và n N. Một căn bậc n của z, ký hiệu
n

z,là
số phức w sao cho w
n
= z.
Mệnh đề 8. Mỗi số phức khác không z = r(cos + i sin) có đúng n căn bậc n
đ-ợc cho bởi
n

r(cos + i sin)=
n

r(cos
+ k2
n
+ i sin
+ k2
n
); k =0, 1, ,n 1.
Chứng minh. Giả sử w = (cos +i sin ) là căn bậc n của z = r(cos +i sin ).
Khi đó theo Công thức Moivre ph-ơng trình w
n
= z đ-ợc viết d-ới dạng

n
(cos n + i sinn)=r(cos + i sin ).
Từ đó suy ra

=
n

r
n = + k2
Vậy ph-ơng trình có đúng n nghiệm
w
k
=
n

r(cos
+ k2
n
+ i sin
+ k2
n
); k =0, 1, ,n 1.
Ví dụ. a)

1=

cos + i sin = {cos
+ k2
2
+ i sin
+ k2
2
,k =0, 1} =
{i, i }.
b)
n

1={cos
k2
n
+ i sin
k2
2
,k =0, 1, ,n 1}
= {1,
n
, ,
n1
n
, với
n
= cos
2
n
+ i sin
2
n
}.
15
6 Đa thức
6.1 Vành đa thức một biến
6.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 15. Cho k là một tr-ờng. Đa thức một biến x trên tr-ờng k là một
biểu thức có dạng
P (x)=
n

i=0
a
i
x
i
= a
0
+ a
1
x + ããã+ a
n
x
n
,
trong đó a
0
,a
1
, ,a
n
k gọi là các hệ tử của P(x). Trong tr-ờng hợp
k = Q, R, C, a
0
,a
1
, ,a
n
gọi là hệ số.
Hai đa thức gọi là bằng nhau nếu các hệ tử cùng bậc của chúng bằng nhau. Nếu
a

n
=0thì n gọi là bậc của P(x), ký hiệu là degP (x), khi đó a
n
gọi là hệ tử dẫn
đầu và ký hiệu là lcP(x). Nếu a
i
=0với mọi i thì P (x) gọi là đa thức không,
ký hiệu P(x)=0.
Đa thức P (x)=0không có bậc. Tuy nhiên ng-ời ta qui -ớc deg(0) = ) để
thuận tiện trong nhiều phát biểu về bậc của đa thức.
Nếu không quan tâm đến bậc ta th-ờng viết đa thức d-ới dạng P (x)=

i
a
i
x
i
là tổng vô hạn nh-ng chỉ có một số hữu hạn các hệ tử a
i
khác 0.
6.1.2 Vành đa thức k[x]
Tập hợp các đa thức với hệ tử lấy trong tr-ờng k đ-ợc ký hiệu là k[x]. Trên k[x]
xác định hai phép toán cộng và nhân nh- sau
(

i
a
i
x
i

)+(

i
b
i
x
i
)=

i
(a
i
+ b
i
)x
i
(

i
a
i
x
i
)(

j
b
j
x
j

)=

k
c
k
x
k
, với c
k
=

i+j=k
a
i
b
j
.
Mệnh đề 9. (k[x], +, ã) với phép cộng và nhân ở trên là một vành giao hoán có
đơn vị.
Chứng minh. Kiểm tra từng điều kiện trong định nghĩa vành, chẳng hạn ta
chứng minh tính kết hợp của phép nhân. Giả sử A =

i
a
i
x
i
, B =

i

b
i
x
i
,
16
C =

i
c
i
x
i
. Khi đó hệ tử mang chỉ số k trong tích (AB)C là

i+j=k
(

m+n=i
a
m
b
n
)c
j
=

m+n+j=k
a
m

b
n
c
j
.
T-ơng tự hệ tử mang chỉ số k trong tích A(BC) là

m+l=k
a
m
(

n+j=l
b
n
c
j
)=

m+n+j=k
a
m
b
n
c
j
.
Vậy (AB)C = A(BC).
Vành (k[x], +, ã) gọi là vành đa thức một biến trên tr-ờng k .
6.2 Phép chia Euclid

Định lý 1. Cho hai đa thức F (x) ,G(x) k[x] với G(x) =0. Khi đó tồn tại duy
nhất một cặp đa thức Q(x),R(x) k[x] sao cho
F (x)=G(x)Q(x)+R(x) với R(x)=0 hoặc degR(x) < degG(x) .
Chứng minh. . Sự tồn tại. (Thuật toán chia Euclide)
Nếu F =0, thì chọn Q =0và R =0. Nếu F =0và degF<degG, thì chọn
Q =0, R = F. Ta chỉ còn chứng minh cho tr-ờng hợp : F =0và degF degG.
B-ớc 1: Đặt R
1
= F
lcF
lcG
x
degFdegG
G ( degR
1
< degF).
. Nếu degR
1
< degG, thì đã đã chứng minh xong
Q =
lcF
lcG
x
degFdegG
, R = R
1
.
. Nếu degR
1
degG, thì đi đến b-ớc 2.

B-ớc 2: Đặt R
2
= R
1

lcR
1
lcG
x
degR
1
degG
G ( degR
2
< degR
1
)
. Nếu degR
2
< degG thì đã chứng minh xong.
Q =
lcF
lcG
x
degFdegG
+
lcR
1
lcG
x

degR
1
degG
, R = R
2
.
17
. Nếu degR
2
degG thì đi đến b-ớc 3.
Cứ tiếp tục và qúa trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn b-ớc vì nó gắn liền với
một dãy giảm các số tự nhiên
< degR
3
< degR
2
< degR
1
< degF.
Tính duy nhất. Giả sử có một cặp đa thức Q

(x),R

(x) khác thoả tính chất đã
nêu trong Định lý. Khi đó
G(x)Q(x)+R(x)=G(x)Q

(x)+R

(x) hay G(x)(Q(x)Q

(x)) = R

(x)R(x).
Giả sử R

(x) R(x) =0. Khi đó ta có
deg(R

(x)R(x)) = degG(x)(Q(x)Q

(x)) = degG(x)+deg(Q(x)Q

(x)) degG(x).
Điều này mâu thuẩn với giả thiết degR(x) < degG(x), degR

(x) < degG(x).
Vậy R

(x) R(x)=0và từ đó Q

(x) Q(x)=0.
Định nghĩa 16. Đa thức Q(x) và R(x) trong Định lý trên lần l-ợt đ-ợc gọi là
th-ơng và phần d- của phép chia đa thức F (x) cho G(x). Nếu R(x)=0thì đa
thức F ( x) gọi là chia hết cho G(x), khi đó G(x) gọi là một -ớc của F (x) và
ký hiệu là G(x) | F (x).
Đa thức C(x) đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất của hai đa thức F
1
(x) và F
2

(x),
ký hiệu C(x) = gcd(F
1
(x),F
2
(x)), nếu và chỉ nếu
a) C(x) | F
1
(x) và C(x) | F
2
(x),
b) nếu D(x) | F
1
(x) và D(x) | F
2
(x) thì D(x) | C(x).
Ví dụ. Tìm th-ơng và phần d- của phép chia 2x
4
3x
3
+4x
2
5x +6 cho
x
2
3x +1. Thuật toán chia đ-ợc thực hiện theo sơ đồ sau
2x
4
3x
3

+4x
2
5x +6 |x
2
3x +1
2x
4
6x
3
+2x
2
2x
2
+3x +11
R
1
=3x
3
+2x
2
5x +6
3x
3
9x
2
+3x
R
2
=11x
2

8x +6
11x
2
33x +11
R
3
= 25x 5
Từ đó ta có 2x
4
3x
3
+4x
2
5x +6= (x
2
3x + 1)(2x
2
+3x + 11) 25x 5.