Đề thi thử toán trương ĐHSP HN- 4

9
4 2 2

4
2
0
3
.



THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010
=============================================
TRƯ NG ðHSP HÀ N I
ð THI TH ð I H C L N III NĂM 2010
TRƯ NG THPT CHUYÊN – ðHSP
_______________
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ
==========================================
Ngày thi: 28 – 3 – 2010
Câu 1. ( 2,0 ñi m). Cho hàm s y = x + 2m x + 1 (1).
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s khi m = 1.
2. Ch ng minh r ng ñư ng th ng y = x + 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m
phân bi t v i m i giá tr c a m.
Câu 2. ( 2,0 ñi m)
1. Gi i phương trình: 2sin2(x - ) = 2sin2x - tanx.
2. Gi i phương trình: 2 log3 (x – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 (x – 2)2 = 4.
Câu 3. ( 2,0 ñi m)

1. Tính tích phân: I=

3
∫ cos x
sin x
3 sin
2
x
dx .
2. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n AB = 2a. Trên
ñư ng th ng d ñi qua A và vuông góc m t ph ng (ABC) l y ñi m S sao cho mp( SBC) t o
v i mp(ABC) m t góc b ng 600. Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC.
Câu 4. ( 2,0 ñi m)
x 3 4 y y 16x
1. Gi i h phương trình:
1 y 2 5(1  x 2 )
2. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
f(x) =
x 4− 4 x 3 8x 2− 8x 5
x 2− 2 x 2
Câu 5. ( 2,0 ñi m)
1. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(0;1;3) và ñư ng th ng
x 1 −  t

d: y 2 2  t
z 3
Hãy t m trên ñư ng th ng d các ñi m B và C sao cho tam giác ABC ñ u.
2. Trong m t ph ng Oxy cho elíp (E) có tiêu ñi m th nh t là ( - 3 ; 0) và ñi qua ñi m
M ( 1;
4 33
5
). Hãy xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a (E).

H t
D ki n thi th l n sau vào các ngày 17,18 tháng 4 năm 2010.
==============================================
10
3 2
 x + 2m x − 1 = 0(*)
2 2
(1)
 tan x = − 1

2
⇔ 

⇔ 

(2).
⇔





⇔
0
THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010
=============================================
HƯ NG D N GI I BÀI THI L N 3
Câu 1.
1. T làm.
2. Xét phương trình hoành ñ giao ñi m: x4 +2m2x2 +1 = x + 1 x⇔ 4 + 2m2x2 – x = 0⇔

 x 0  
x( x3 + 2m2x – 1) = 0 ⇔ 3 2            ð t g(x) = x + 2m x – 1 ;
Ta có: g’(x) = 3x + 2m≥ 0 (v i m i x và m i m ) Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr⇒
c a m.
M t khác g(0) = -1≠ 0. Do ñó phương trình (*) có nghi m duy nh t khác 0.
V y ñư ng th ng y = x+ 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m.
Câu 2.

1. Gi i phương trình: 2 sin2 ( x - ) = 2sin2x – tanx
4

ði u ki n: cosx≠ 0 x≠   ⇔ k. (*).
2
(1) 1 – cos (2x -⇔
sin 2 x 1
) = 2sin2x – tan x 1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1) ⇔ ⇔

2x 2 
k.2

x − 
 l.
 4

 x 4 
k.

x − 
 l.
 4


x =  ⇔ k. . ( Th a mãn ñi u ki n (*) ).
4 2
2. Gi i phương trình: 2log3 (x2 – 4) + 3
log 3 ( x 2) 2 - log3 ( x -2)2 = 4
x 2 − 4 0 
ði u ki n:
log 3 ( x 2)
2≥ 0
x 2 − 4 0 
⇔
( x 2) 2≥
 x 2
 x≤−3 (**)
Pt (2) ñư c bi n ñ i thành: log3 (x2 – 4)2 – log3 (x – 2)2 + 3
log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0
log⇔ 3 ( x + 2)2 + 3
log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0 ( log⇔ 3 ( x 2) 2 + 4) ( log 3 ( x 2) 2 - 1) = 0.
log 3 ( x 2) 2 = 1 (x+2)⇔ 2 = 3 x+ 2 = 3 x = - 2 3 .⇔ ⇔   
Ki m tra ñi u ki n (**) ch có x = - 2 - 3 th a mãn.
V y phương trình có nghi m duy nh t là : x = - 2 - 3 .
Chú ý: 1/ Bi n ñ i : 2log3 ( x2 – 4) = log3 (x2 – 4)2 làm m r ng t p xác ñ nh nên xu t
hi n nghi m ngo i lai x = -2 + 3 .
2/ N u bi n ñ i: log3( x – 2)2 = 2log3 ( x – 2) ho c log3( x+2)2 = 2log3(x+2) s
làm thu h p t p xác ñ nh d n ñ n m t nghi m ( L i ph bi n c a h c sinh!)
Câu 3.

1. Tính tích phân: I =
3
∫

cos x
sin x
3 sin
2
x
.dx
ð tt=
3 sin 2 x = 4− cos 2 x . Ta có: cos2x = 4 – t2 và dt =
sin x cos x
3 sin
2
x
dx .
ð i c n: V i: x = 0 thì t =
3 ; x =

3
thì t =
15
2
==============================================
=============================================
 
15 15
I=
3
∫ cos x
sin x
3 sin
2

x
.dx =
3
∫ cos
sin x. cos x
x 3 sin
2
x
dx =
2
∫
3
dt
4−
t
=
1
4
2
∫
3
−
t 2
t− 2
)dt =
=
1 t 2
ln
4 t− 2
15

2
3
=
1
4
(ln
15 4
15−
4
− ln
3 2
3− 2
) = (ln( 15 4)− ln( 3 2)) .
2
2. Ta có SA mp(ABC) SA AB ; SA AC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Tam giác ABC vuông cân c nh huy n AB BC AC BC SC ( ð nh lý 3 ñư ng⇒ ⊥ ⇒ ⊥
vuông góc) . Hai ñi m A,C cùng nhìn ño n SB dư i góc vuông nên m t c u ñư ng kính
SB ñi qua A,C. V y m t c u ngo i ti p t di n SABC cũng chính là m t c u ñư ng kính
SB.
Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; 60∠ 0 là góc gi a m t (SBC) và mp(ABC)
SA = AC.tan600 = a 6 .T ñó SB 2 = SA2 + AB2 = 10a2.
V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC là: S =d 2 = .SB2 = 10 a2.
Câu 4.
x 3 4 y y 16x (1)
1. Gi i h :
1 y 2 5(1  x 2 ) (2)
T (2) suy ra y2 – 5x2 = 4 (3). Th vào (1) ñư c: x3 + (y2 – 5x2).y = y3 + 16x⇔
x⇔ 3 – 5x2y – 16 x = 0 x = 0 ho c x⇔ 2 – 5xy – 16 = 0.
TH1: x= 0 y⇒ 2 = 4 ( Th vào (3)). y = 2.⇔ 
TH2: x – 5xy – 16 = 0 y = ( 4). Th vào (3) ñư c: ( )− 5⇔ x 2 = 4⇔

5x 5x
x⇔ 4 – 32x2 + 256 – 125x4 = 100x2 124 x⇔ 4 +132x2 – 256 = 0 x⇔ 2 = 1 x = 1.⇔ 
Th vào (4) ñư c giá tr tương ng y = 3 .∓
V y h có 4 nghi m: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3).
Chú ý: N u thay giá tr c a x vào (3) trư ng h p 2, s th a 2 c p nghi m!
x 4− 4 x 3 8x 2− 8x 5
2. Tìm GTNN c a hàm s : f(x) = .
x 2− 2 x 2
T p xác ñ nh: R vì x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1 > 0 v i m i x.
1
Bi n ñ i ñư c: f(x) = x2 – 2x + 2 + 2
D u b ng x y ra khi : x2 – 2x + 2 =1 x = 1.⇔
≥ 2 ( B t ñ ng th c Cosi cho hai s dương).
V y: min f(x) = 2 ñ t ñư c khi x = 1.
Câu 5.
1. Tìm các ñi m B,C?
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên d. H d H ( 1-t; 2+2t;3)∈ ⇔ ⇔
AH = ( 1-t; 1+2t; 0). Mà AH d nên⊥ AH⊥ ud ( -1;2;0). T ñó có -1(1-t)+2(1+2t) =0⇔
t = -1/5 H ( 6/5; 8/5; 3).⇔
Ta có AH =
3 5
5
.mà tam giác ABC ñ u nên BC =
2 AH 2 15
3 5
hay BH =
15
5
G i: B ( 1-s;2+2s;3) thì (−− S )2 ( 2S )2
5 5

25s⇔ 2 +10s – 2 = 0 s =⇔
− 1 3
5
V y: B (
6 3 8 2 3∓ 
;
5 5
;3) và C(
6 3 8 2 3 ∓
;
5 5
;3 ) ( Hai c p).
2. Xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a (E)?
11
2
1 1
2
(
0 0
1
3
2
x
2
− 16 x
2
− 16
2



x − 2x + 2
=
.
1 2
15
25
==============================================
Theo bài ra có F1 ( - 3 ; 0) và F2 ( 3 ;0) là hai tiêu ñi m c a (E). Theo ñ nh nghĩa c a (E)
suy ra : 2a = MF1 + MF2 =
(1 3)
2 (
5
) + (1− 3) 2 (
5
) = 10 a = 5.⇒
L i có c = 3 và a2 – b2 = c2 b⇒ 2 = a2 – c2 = 22. V y t a ñ các ñ nh c a (E) là:
A1( - 5;0) ; A2( 5;0) ; B1( 0; - 22 ) ; B2 ( 0; 22 ).
H
t