de thi thu DH -CD 2010(A), co dap an

®Ò thi thö ®¹i häc
M«n to¸n - n¨m häc 2009-2010
Thêi gian lµm bµi : 180’
******************
Câu I(2 điểm): Cho hàm số
( ) ( )
5522
224
+−+−+= mmxmxxf
( C )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị thực của m để (C) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
Câu II(2điểm):
1/ Giải bất phương trình :
xxx 25
1
32
1
−
≤
−−+
2/ Giải phương trình:
2
2
tan tan 2
cos
tan 1 2 4
x x
x
x

π
+
 
= −
 ÷
+
 
Câu III (1 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=
2a
. Đáy là tam giác cân, góc
0
120BAC∠ =
, cạnh BC=2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu IV(2 điểm)
1/ Tính tích phân:
ln3
2
ln2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
− + −
∫
2/ Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

các điều kiện:
2 3z i z i− = − −
.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Câu V(2điểm):
1/ Cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình
01=++ yx
. Phương
trình đường cao vẽ từ B là:
022 =−− yx
. Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C.
Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng
( )
2
1
13
2
:
1
−
−
==
+
z
y
x
d
và vuông góc với đường thẳng
( )

2
2 2
: 5
2
x t
d y t
z t
= − +


= −


= +

(
Rt ∈
).
Câu VI ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2 2
1 1
P= x y
y x
 
 
+ +
 ÷
 ÷

 
 
.
……………………. Hết ……………………
Cõu I Kho sỏt hm s ( 2 im )
1
Vi m =1. Khảo sát hàm số
( )
12
24
+== xxyxf
(C) (1.00 điểm )
1* TXĐ: D =
R

2* Sự biến thiên ca h m s :
0.25
* Bảng biến thiên:
( )
( )
1444''
23
=== xxxxyxf

1;1;00' ==== xxxy
x - -1 0 1 +
y - 0 + 0 - 0 +

y + 1 +

0 0
0.5
3* Đồ thị:
* Giao im vi cỏc trc to : A(0; 1), B(-1;0) v C(1; 0)
0.25
2 Tỡm tham s m (1.0
im)
* Ta cú
( ) ( )
mxxxmxxf ===+= 2;00244'
23
0.25
* Hm s cú C, CT khi f(x)=0 cú 3 nghim phõn bit v i du :
m < 2 (1) . To cỏc im cc tr l:

( )
( ) ( )
mmCmmBmmA + 1;2,1;2,55;0
2
0.25
* Do tam giỏc ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi vuụng
ti A:
( )
1120.
3
=== mmACAB
vỡ k (1)
Trong ú
( ) ( )
44;2,44;2

22
+=+= mmmACmmmAB
Vy giỏ tr cn tỡm ca m l m = 1.
0.5
Cõu II Gii phng trỡnh v bt phung trỡnh ( 2.00 im )
1
Gii bpt
xxx 25
1
32
1


+
( 1.00 im )
* K:






<
2
1
2
5
2
x
x

0.25
* Vi
2
1
2 < x
:
025,032 ><+ xxx
, nờn bpt luụn ỳng 0.25
* Vi
2
5
2
1
<< x
:
32151122532
2
++
xxxxxxBpt
Ta cú:





<

<
2
5

2
062
2
5
2
3
2
x
xx
x
0.25
Vy tp nghim ca bpt l:













=
2
5
;2
2

1
;2S
0.25
Cõu V Phng phỏp to trong mp v trong khụng gian ( 2.00 im)
1 To trong mt phng ( 1.00 im )
* Gi D, E ln lt l chõn ng cao k t B, C.
Ta cú to im B(0 ; -1) v
( )
2;2=BM
, suy ra
BCMB
K MN // BC ct BD ti N thỡ BCNM l hỡnh ch nht.
0.25
* Phương trình đường thẳng MN là:
03 =−+ yx

BDMNN
∩=
nên






3
1
;
3
8

N
. Do
BCNC
⊥
nên pt là
0
3
7
=−− yx

0.25
* Toạ độ C là nghiệm của hpt:











−⇒
=−−
=++
3
5
;
3

2
0
3
7
01
C
yx
yx
Toạ độ vectơ






=
3
8
;
3
4
CM
, nên phương trình AB là:
022 =++ yx
0.25
* Một vectơ chỉ phương của BN là vectơ pháp tuyến của AC, nên
phương trình cạnh AC là:
0136 =++ yx
E
D

B
C
A
M
N
0.25
2 Toạ độ trong không gian (1.00 điểm)
* VTCP của d
2
là
( )
1;5;2 −=v
và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và
vuông góc với d
2
. Pt mp(P) là:
0252 =++− zyx
0.25
* Gọi A là giao điểm của d
1
và mp(P) nên
( )
tttA 21;;32 −+−

Thay vào phương trình mp(P) thì
( )
3;1;51 −−⇒−= At
0.25
* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP
( ) ( )

2;2;61;1;3 −−=−= MAdou
Vậy phường trình đường thẳng d là:
1
1
1
1
3
1
−
−
=
−
=
− zyx
(vì d ≠ d
2
)
0.5
III.
(1 điểm)
* Đặt t =
2
x
e −
, Khi x = ln2
⇒
t = 0
x = ln3
⇒
t = 1

e
x
= t
2
+ 2
⇒
e
2x
dx = 2tdt
* I = 2
1
2
2
0
( 2)
1
t tdt
t t
+
+ +
∫
= 2
1
2
0
2 1
( 1 )
1
t
t dt

t t
+
− +
+ +
∫
* = 2
1
0
( 1)t dt−
∫
+ 2
1
2
2
0
( 1)
1
d t t
t t
+ +
+ +
∫

* =
2
1
( 2 )
0
t t−
+ 2ln(t

2
+ t + 1)
1
0
= 2ln3 - 1
0,25
0,25
0,25
0,25
IV.
(1 điểm)
* Áp dụng định lí cosin trong
∆
ABC có AB = AC =
2
3
a

⇒

S
ABC∆
=
1
2
AB.AC.sin120
0
=
2
3

3
a
. Gọi H là hình chiếu của
S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC
⇒
HA = HB = HC

⇒
H là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
* Theo định lí sin trong
∆
ABC ta có:
sin
BC
A
= 2R
⇒
R =
2
3
a
= HA
0,25
0,25

∆
SHA vuông tại H
⇒

SH =
2 2
SA HA−
=
6
3
a
⇒

.S ABC
V
=
1
3
S
ABC∆
.SH =
2
2
9
a
* Gọi h
A
, h
M
lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)

⇒

1

2
M
A
h SM
h SA
= =

⇒
h
M
=
1
2
h
A
.

∆
SBC vuông tại S
⇒

S
SBC∆
= a
2
* Lại có:
.S ABC
V
=
1

3
S
SBC∆
.h
A

⇒
h
A
=
.
3
S ABC
SBC
V
V
∆
=
2
3
a

Vậy h
M
= d(M;(SBC)) =
2
6
a
0,25
0,25

VII.a
(1 điểm)
* Đặt z = x + yi (x; y
∈
R)
|z - i| = |
Z
- 2 - 3i|
⇔
|x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
*
⇔
x - 2y - 3 = 0
⇔
Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là
đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất
⇔
|
OM
uuuur
| nhỏ nhất
⇔
M là hình chiếu của O trên
∆
*
⇔
M(
3
5

;-
6
5
)
⇒
z =
3
5
-
6
5
i
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu VI
(1d)
1 điểm
+) Theo BĐT Côsi ta có
 
≤ ⇒ = ∈


 
2
1 1
0<xy t (xy) 0;
4 16
0,25

+) Ta có
= + + = + +
2
2
1 1
P 2 (xy) t 2
(xy) t

−
 
⇒ = − = < ∀ ∈


 
2
/
2 2
1 t 1 1
P 1 0, t 0;
t t 16
0,25
+) B¶ng biÕn thiªn :
t
0
1
16
P’ -
P

289

16
0,25
+) Từ bbt ta có
289
min P
16
=
tại
1 1
16 2
t x y= ⇔ = =
0,25