ĐÈ & ĐÁP ÁN TOÁN CHUYÊN ĐĂK LĂK 2010-2011

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 THPT
TỈNH ĐĂKLĂK Năm Học 2010- 2011
Đề Chính Thức Môn: Toán –Chuyên
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1:
1) Giải phương trình:
( )
0203694
2
2
2
=+−+− xxxx
2) Giải hệ phương trình:
( )( )



=+++
−=++
123
623
22
yxyx
yxxy
Bài 2:
1) Cho a là số thực dương thỏa mãn a
2

≥
a+2. Chứng minh phương trình:

0422
22
=−++ aaxx
2) Cho phương trình: x
2
+ x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
21
; xx
.
Từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
2
2
1
3
2
3
1
xxxxA −−+=
Bài 3:
1) Cho a,b,c là các số thực.Chứng minh rằng:

100510051005100510051005201020102010
accbbacba ++≥++
, với mọi a,b,c.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
2) Chứng minh biểu thức:
( )
xxxP 45

23
+−=
chia hết cho 5, với mọi x nguyên.
3) Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình:

( )
010272
22
=+++++ yyxx yx
Bài 4:
1) Cho hình vuông ABCD. Điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD ( M không
trung C).Trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho AN vuông góc với AM.
a) Chứng minh MAN vuông cân.
b) Xác định vị trí điểm M trên tia đối của tia CD sao cho tam giác AEC là tam giác đều,
trong đó E là trung điểm của MN.
2) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = 6 cm, BC = 5 cm và
CD = 3 cm . Tính thể tích hình được tạo thành khi quay hình thang ABCD
quanh AD đúng một vòng.
1
Sở Giáo Dục Và Đào Tạo KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐăkLăk Năm Học 2010-2011
Đáp Án Đề Thi Toán – Chuyên ( Năm 2010 -2011 )
Bài 1
(2đ)
Ý NỘI DUNG Điểm
1 + Đặt t = x
2
-4x = (x-2)
2
- 4

≥
-4
+ Phương trình cho trở thành
t
2
+9t +20 = 0 t= -5 ; t = -4
+ Đối chiếu điều kiện t= -4
+ Giải p/t t= - 4 tức x
2
- 4x +4 = 0  x= 2
0,25
0,25
0,25
0,25
2
+ Viết lại hệ phương trình
( ){ ( )
123
623
22
22
=+++
−=++
yyxx
yyxx
+ Đặt u = x
2
+3x =
2
2

3






−x
-
4
9
≥
-
4
9
Và v = y
2
+2y = (y+1)
2
-1
≥
-1
Ta được hệ p/t :



=+
−=
1
6

vu
uv
Lúc này u và v là hai nghiệm của p/t : X
2
–X -6 = 0 X=-2 ;X=3
Đối chiếu điều kiện





−≥
−≥
1
4
9
v
u
ta có hệ





=+
−=+
32
23
2
2

yy
xx
+ Giải hệ ta được 4 nghiệm :



−=
−=



=
−=



−=
−=



=
−=
3
2
;
1
2
;
3

1
;
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài2
(2đ)
1 = Tính
'∆
=a
2
–(2a
2
-4) = 4-a
2
+ Từ giải thiết a > 0 ; a
2

≥

2+a ta có a
2

≥
2
a2
=>a
4

≥
8 => a
≥
2
+ Lúc này
'
∆

≤
0
+Kết luận : phương trình đã cho không có hai nghiệm phân biệt
0,25
0,25
0,25
2 x
2
+x +m =- 0 (1)
P/T (1) có hai nghiệm phân biệt khi x
1
,x
2

khi
∆
= 1- 4m
≥
0  m
4
1
≤
+Theo định lí Vi Et ta có :





=
−=+
mxx
xx
21
21
1
+ A=(x
1
+x
2
)
( )
[ ]
21
2

21
3 xxxx −+
-
( )
[ ]
21
2
21
2 xxxx −+
=5m -2
0,25
0,25
0,25
2
Vì m
4
1
≤
nên A
4
3
−≤
do đó giá trị lớn nhất của A là -
4
3
khi m =
4
1
0,25
Bài 3

( 3đ)
1
Đặt x =a
1005,
y = b
1005
; z = c
1005.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
x
2
+y
2
+ +z
2

≥
xy+yz+zx
2(x
2
+y
2
+x
2
)
≥
2(xy+yz+zx)
( x- y)
2
+ (y-z)

2
+(z-x)
2

≥
0 ,
∀
x, y, z
∈
R và dấu “ =” xảy ra
khi x= y= z hay a =b = c
0,25
0,25
0,25
0,25
2 + Phân tích P =x(x
4
-5x
2
+4) = x(x
2
-1)(x
2
-4)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
- Vì x
∈
Z thì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp do đó P

5 với

∀
x
∈
Z
0,25
0,25
0,5
3
+Viết lại p/t đã cho về dạng (x+y)
2
+ 7(x+y) +y
2
+10 = 0
Đặt t = x+y ta có t
2
+7t +y
2
+10 = 0 (1)
Phương trình (1) có nghiệm theo t khi
∆
= 49 – 4(10+y)
2
> 0 , y
2

≤
4
9

y

≤
2
3
mà y
∈
Z => y = -1; 0;1 .
+Với y = -1 thì phương trình x
2
+5x+5 = 0 ( vô nghiệm)
+ Với y = 0 x
2
+7x +10 = 0  x =-5 ; x= -2
+ Với y = 1 giải tương tự không tồn tại số nguyên x thỏa đề bài .
+ kết luận : p/t đã cho có nghiệm x , y nguyên là



=
−=



=
−=
0
2
;
0
5

y
x
y
x
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Bài 4:
( 3đ)
D
A
B
M
C
N
E
Tứ giác MCAN nội tiếp ( vì góc MAN = góc MCN =90
0
)
Ta có góc AMN = góc CAN ( vì góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mà góc ACN=45
0
nên góc AMN = 45
0
do đó
∆
AMN vuông cân tại A
∆

MAN và
∆
MCN là các tam giác vuông cân nên AE = CE =
2
MN
Để
∆
AEC đều thì chỉ cần AC= CE.
Đặt cạnh hình vuông bằng a ta có AB = a (a> 0) => AC = a
2
=> CE = a
2
 MN = 2a
2
=> AM = 2a.
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của tia đối của tia CD với đường tròn tâm
A, bán kính bằng 2AB.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
3cm
4cm
5cm
3cm
3cm
A

C
D
B
E
Từ C dựng đường thẳng song song với AD cắt AB tại E => EB = 3(cm)
0,25
4
Ta có
∆
CEB vuông tại E nên CE =
)(4
22
cmEBBC =−
Khi quay hình thang ABCD quanh AD đúng một vòng hình thu được là hình
nón cụt có bán kính đáy lớn R = 6 (cm) và bán kính đáy nhỏ R’= 3(cm)
và chiều cao h= 4 (cm) .
Thể tích hình nón cụt là V =
( )
[ ]
''
3
1
2
2
RRRRh ++Π
=
[ ]
3.6364
3
1

22
++Π
= 84
Π
(cm
3
)
0,25
0,25
0,25
B. HƯỚNG DẪN CHẤM
1) Điểm bài thi đánh giá theo thang điểm từ 0 đến 10. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần và
không làm tròn .
2) Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó .
3 ) Đáp án và biểu điểm gồm 04 trang
***Hết **

5