chuyen de so hoc 6

Đ 1- Tập hợp. Tập hợp con
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
Đ.2- Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 3- Phép cộng và phép nhân
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 4- Phép trừ và phép chia
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 5- Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ6. Thứ tự thực hiện phép tính
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ7 Tính chất chia hết của một tổng
I/ Kiến thức cơ bản

II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ8 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
Đ 8 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1.
Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ sốhoặc
cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ
lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số
lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
Nếu a > b thì a
n
> b
n
(n > 0)
Nếu m > n thì a
m
> a
n
(a >1)

2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính
chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0)
Bổ xung kiến thức nâng cao:
1. Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
m
)
n
= a
m.n
2. Luỹ thừa của một tích: ( a.b)
n
= a
n
b
n
.
Ví dụ: 2
5
.5
5
= (2.5)
5
= 10
5
= 100 000.
3. Luỹ thừa một thơng: a
n
:b
n
= (a:b)

n
, hay
:
n
n n
a
a b
b

=
ữ

Ví dụ : 14
7
: 7
7
= (14 : 7)
7
= 2
7
= 128
4. Luỹ thừa tầng:
( )
n
n
m
m
a a=
Ví dụ :
( )

3
3
2
2 8
2 2 2 256= = =
Bài 1: So sánh các số sau:
a) 27
11
và 81
8
b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
Bài 2: So sánh các số sau:
a) 5
23
và 6.5
22
b) 7.2
13
và 2

16
c) 21
15
và 27
5
.49
8
.
Bài 3: So sánh các số sau.
a) 199
20
và 2003
15
b) 3
39
và 11
21
Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
a) 72
45
72
43
và 72
44
72
43

Bài 5. Tìm xN, biết:
a) 16
x

< 128
4
b) 5
x
.5
x+1
.5
x+2
100 0 :2
18
18 chữ số 0
Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 2
2
+ 2
3
+ + 2
9
.
So sánh S với 5.2
8
.
Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m và 10.9
8
.
Bài 8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với điều kiện mỗi chữ
số dùng một và chỉ một lần.
Bài tập bổ sung
Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa:

I/ Lý thuyết
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.
- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa .
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ (khác 0 )
vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n đều có tận
cùng là 1.
3
4n
= 1 7
4n
= 1 9
4n
= 1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n 0) đều
có tận cùng là 6.
2
4n
= 6 4
4n
= 6 8
4n
= 6
( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ thừa lẻ
đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần l-
ợt là 6 và 1.)
II/ Bài tập

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
74
30
; 49
31
; 87
32 ; 58
33 ; 23
35.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5
n
.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.
a) A = 98.96.94.92 91.93.95.97
b) B = 405
n
+ 2
405
+ m (m , n N ; n 0)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)
7
6
5
234
b)
5
7
6
579

Bài 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?
Bài 6: Tích 2.2
2
.2
3
2
10
. 5
2
.5
4
.5
6
5
14
.
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ + 3
30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phơng.
Bài tập bổ sung
Chuyên đề 3
Số nguyên tố. Hợp số

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Xác định số lợng các ớc của một số:
Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố đợc M = a
x
.b
y
c
z
thì số các ớc của M là
(x+1)(y+1) (z+1).
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố.
Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a
M
p hoặc b
M
p.
Đặc biệt nếu a
n
M
p thì a
M
p
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
2. Cho A = 5 + 5
2

+5
3
+ +5
100
.
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số
b) Số A có phải là số chính phơng không?
3. Số 54 có bao nhiêu ớc? Viết tất cả các ớc của nó?
IV/ Bài tập
114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20
b = 147.247.347 13
116. Cho nN
*
. Chứng minh rằng số 111 1 2111 1 là hợp số
n chữ số1 n chữ số1
117. Tìm số bị chia và thơng trong phép chia:
9**:17 = **, biết rằng thơnglà một số nguyên tố.
118. Cho a,nN
*
, biết a
n

M
5. Chứng minh a
2
+150
M
25

119. a) Cho n là số không chi hết cho 3. Chứng minh rằng n
2
chia 3 d 1.
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p
2
+ 2003 là số nguyên tố hay
hợp số.
Bài 120. Cho n> 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n
2
1 và n
2
+ 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
b) Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số
Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p 3). Hỏi p + 100 là số nguyên tố
hay hợp số?
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Bài 123: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lý nhất:
a) 700; 9000; 210 000
b) 500; 1600; 18 000
Bài 124: Mỗi số sau có bao nhiêu ớc:
90 ; 540 ; 3675.
Bài 125: Tìm các ớc của số:
a) 119 b) 625 c) 200.
Bài 126: Tính cạnh của một hình vuông biết diện tích của nó là:
a) 5929m
2
; b) 32400m
2

.
Bài 127: Tính cạnh của hình lập phơng biết thể tích của nó là 1728cm
3
.
Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số
lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài129: Tìm n N
*
biết:
a) 2 + 4 + 6 + + 2n = 210
b) 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = 225
Bài tập bổ sung
1. Chứng tỏ các số sau là hợp số:
A. 676767 B. 10
8
+ 10
7
+ 7 C. 17
5
+ 24
4
+
13
21

D. 311141111 E. 10
100
- 7
2. Cho số 360
a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.

b) Số 360 có bao nhiêu ớc.
c) Tìm tất cả các ớc của 360
3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 10
25
b) 11
3
+ 12
3
+ 13
3
+ 14
3

4. Chứng minh rằng bình phơng của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12
đều d 1.
5. Tìm số n N
*
, sao cho n
3
- n
2
+ n - 1 là số nguyên tố.
Đ 13. Ước chung và ớc chung lớn nhất
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
IV. Bài tập
Bài 130: Cho A là tập hợp các số nguyên tố

B là tập hợp các hợp số
M là tập hợp các ớc của 20
N là tập hợp các ớc của 50
a) Tìm A B
b) Tìm M N
Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C D.
Bài 132: Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504 và 720.
Bài 133: Một căn phòng hình chữ nhật kích thớc 630 x 480 (cm) đợc lát loại gạch
hình vuông. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tờng liên tiếp
không bị cắt xén thì kích thớc lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn
phòng đó cần bao nhiêu viên gạch?
Bài 134: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a) Hai số lẻ liên tiếp.
b) 2n + 5 và 3n + 7 (n N)
Bài 135: Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a) (a, a b) = 1
b) (ab, a + b) = 1
Bài 136: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau,
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n N).
Tìm (a, b).
Bài 137: ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18.
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN
của chúng là 15.
Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27.
Bài 141: Cho a + 5b
M
7 (a, b N). Chứng minh rằng 10a + b

M
7. Mệnh đề
đảo lại có đúng không?
Bài 142: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số nh nhau. Chứng
minh rằng a : 9.
Bài 143: Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi và loại 7
chỗ ngồi. Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?
Bài tập bổ sung
1. Tìm số tự nhiên a, b để A =
4a1b
chia hết cho 12
2. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
4. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng
nhau hoặc có một ớc chung là 19
5. Cho hai số nguyen tố cùng nhau. Chứng inh rằng tích ab và tổng a + b của
chúng cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
6. Tìm các số tự nhiên a và b để A =
25a2b
chia hết cho 36 và số B =
a378b
chia
hết cho 72.
7. Trong một buổi sinh họat ngoại khoá có 252 em học sinh khối lớp 6 ; 210 em
khối 7; 126 em khối 8. Ngời ta chia đều số học sinh mỗi khối vào từng nhóm. Mỗi
nhóm đều có đủ học sinh 3 khối.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm, mỗi
nhóm có bao nhiêu ngời và số học sinh mỗi khối trong một nhóm là bao nhiêu.
Đ 14. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
2. Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thơng của chúng là những số nguyên tố
cùng nhau.
3. Nếu a
M
m và a
M
n thì a
M
BCNN(m,n). Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích
của chúng.
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó chia hết
cho tích của chúng.
III/ Ví dụ:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số d lần lợt là:
8 ; 20; 35.
Giải
Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hết cho 18; 30; 45.
Vậy a + 10 BC (18,30,45).
BC (18,30,45) = 2.3
2
.5 = 90.
Suy ra a + 10 = 90k ( kN*).
Hay a = 90k 10.
Với k = 1 thì a = 80 (mới có 2 chữ số)
Với k = 3thì a = 170 (có 3 chữ số)

Vậy số cần tìm là 170
IV. Bài tập:
Bài 144: Một xe lăn dành cho ngời tàn tật có chu vi bánh trớc là 63cm, chu vi
bánh sau là 186cm. Ngời ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe này.
Hỏi bánh trớc và bánh sâuphỉ lăn ít nhất bao nhiêu vòng thì hai điểm đợc đánh
dấu lại cùng tiếp đất một lúc.
Bài 145: Ba học sinh, mỗi ngời mua một loại bút. Giá ba loại lần lợt là 1200
đồng, 1500 đồng, 2 000 đồng. Biết số tiền phải trả là nh nhau, hỏi mỗi học
sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?
Bài 146: Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhng nhỏ hơn 10000 của các số
126 ; 140 ; 180.
Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều d 5. Tìm số đó biết rằng nó
xấp xỉ 1000.
Bài 148: Khối 6 của một trờng có cha tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15
đều d 3 nhng nếu xếp hàng 11 thì không d. Tính số học sinh khối 6.
Bài 149: Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15
Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của
chúng là 210.
Bài 151: Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.
Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì d 5,
chia cho 13 thì d 8.
Bài 153: Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
a
2
1 : 6.
Bài 154: Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
Bài tập bổ sung
1.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều d 1.
2. Tìm các số tự nhiên a, b biết

ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15 d 13
và cxhia hết co 23.
4. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thơng của số lớn
chia cho số nhỏ là bội của 6.
5. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?
6. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều d 1. Tìm A biết
A < 400.
7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trờng có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia
cho 3 d 2, chia cho 4 thì d 3, chia cho 5 d 4, chia cho 6 d 5, chia 10 d 9. tìm số học
sinh của khối 6
Chuyên đề 4
Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết
Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai
số có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 154: Cho dãy số : 10; 10
2
; 10
3
; ;10
20
.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 d 1.
Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số
bằng 19.
Bài 159: Cho ba số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng các chữ số
bằng 19.
Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có
tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn chọn đợc hai số có
tổng chia hết cho 4.
Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon đợc ba số
có tổng chia hết cho 4.
Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn đợc ba số
có tổng chia hết cho 3.
Bài 164: Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn đợc bốn số có
tổng chia hết cho 4.
Bài 165*: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi
ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm
đợc một hay nhiều măt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.
Bài tập bổ sung
Ôn tập chơng I
Bài 166: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý nhất.
a) 19 + 19 + +19 + 77 + 77 + +77
23 số hạng 19 số hạng
b) 1000! . (456.789789 789.456456)
Bài 167: Cho biểu thức 252 84: 21 + 7
a) Tính giá trị biểu thức đó
b) Nếu dùng dấu ngoặc thì có thể có những giá trị nào khác.
Bài 168: Tìm x biết:
a) x + (x + 1) + (2+x) + +(x+30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 + +x = 210
Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978. Trong hệ đếm CAN
CHI năm đó là năm nào?
Bài 170: Chứng minh:
a) 10
n
+ 5
3

M
9 b) 43
43
-17
17

M
10
c) 555 5 chia hết cho 11 nhng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 d 5 ; chia nó cho 9 d
12
Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.
a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
23
+ 4
24
. Chứng minh :
A
M
20 ; A
M
21 ; A

M
420
Bài 174: Cho n = 29k với k N. Với giá trị nào của k thì n là :
a) Số nguyên tố.
b) Là hợp số.
Bài 175: Tìm x, y N biết (x+1)(2y-5) = 143.
Bài 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai số
nguyên tố khác nhau p
1
và p
2
. Biết a
3
có tất cả 40 ớc hỏi a
2
có bao nhiêu -
ớc ?
Bài 177: Tìm a N biết 355 chia a d 13 và 836 chia cho a thì d .
Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì d 5, chia cho 13 thì d 4. Nếu đem số
đó chia cho 91 thì d bao nhiêu?
Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1?
Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 d 10 ; chia 18 d 16 ; chia 27 d 25?
Chơng II. Số nguyên
Đ 1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1

IV. Bài tập:
Bài 180.
Bài 180
Bài 183: Cho A = {x Z | x > -9}
B = {x Z | x < - 4}
C = {x Z | x - 2}
Tìm A B ; B C ; C A
Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.
Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát có 2 chữ số có
phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau không?
Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a)
a00
> -111
b)
a99
> - 600
c)
cb3
<
cba
d)
-cba<c85
Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0. biết a là một số âm và a<b. Hãy sắp xếp 3 số đó
theo thứ tự tăng dần.
Bài 188: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Nếu a = b thì | a | = | b |
b) Nếu | a | = | b | thì a = b
c) Nếu | a | < | b | thì a < b
Bài 189: Tìm x biết:

a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54
Bài 190: Tìm x, y, z Z biết : | x | + | y | + | z | = 0
Bài 191: Tìm x Z, biết:
a) | x |< 10 c) | x | > -3
b) | x | > 21 d) | x | < -1
Đ 2. Phép cộng hai số nguyên.
Tính chất phép cộng hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149
IV. Bài tập:
192. Cho x {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10}
y { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}
Biết : x + y = 3.
193. Tính nhanh :
a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78
194. Tính tổng các số nguyên x biết:
a) 17 x 18
b) |x| < 25
195. Cho S
1
= 1 + (-3) +5 +(-7) + +17
S
2
= -2 +4 +(-6) + +(-18)
Tính tổng S

1
+ S
2

196. Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của tổng x + y.
197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng.
198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y
199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biết |x| + |y| = 10.
200. Tính tổng :
a) S
1
= a + |a| với a Z.
b) S
2
= a + |a| + a + |a| + + a với a Z
-
và có 101 số hạng.
201*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một
số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài toán còn đúng
không nếu thay 18 số bằng 19 số.
Đ 3. Phép trừ hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:

IV. Bài tập:
202. Cho a và b các giá trị trong bảng sau. Tìm hiệu a b. Không cần thực hiện phép
tính cho biết b a.
a b a-b b-a

77 55
-29 1
-13 -6
0 -19
203. Tìm x biết (x + 153) (48 193) = 1 2 3 4.
204. Cho |x| = 7 ; |y| = 20 với x, y Z. Tính x y
205. Cho |x| 3; |y| 5 với x,y Z. Biết x y = 2.
Tìm x và y ?
206. Tìm x Z biết :
a) |x + 8| = 6 b) | x+ a | = a với a Z.
207. Tìm x Z , biết:
1 < | x 2| < 4.
208. Tìm x, y Z, biết | x + 35 40 | + | y + 10 11| 0.
209*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100. Tính x y
210. Cho x {-2 ; -1; 0 ; 1; ; 11}
y { -89; -88; - 87; ; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất của x y.
211. Cho x, y Z.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN
đó.
b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN
đó.
c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
C = | x 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.
4.Quy tắc chuyển vế. Quy tắc dấu ngoặc
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
IV. Bài tập:
212. Tính hợp lý:
a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 ( 374 + 1125) + (-65 +374)

213. Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:
a) 942 2567 + 2563 1942
b) 12 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 5 - 4 + 3 + 2 -1
214. Tìm x biết:
a) 416 + ( x 45) = 387
b) 11 (x + 84) = 97
c) - (x + 84) + 213 = - 16
215. Chứng minh đẳng thức:
a) - (- a + b + c) + ( b + c 1) = (b c + 6) ( 7 a + b) + c
216. Cho A = a + b 5; B = - b c + 1
C = b c 4; D = b a
Chứng minh A + B = C D
217. Cho a > b ; Tính |S| biết:
S = - ( a b c ) + ( - c + b + a) ( a + b)
218. Cho M = a + b 1 và N = b + c 1. Biết M > N hỏi hiệu a c dơng hay âm ?
219. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của hai số
tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng 6. Tìm 5 số nguyên đó?
5. Phép nhân hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một số nguyên dơng.
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số nguyên âm.
2. a b ac ab nếu c > 0
a b ac ab nếu c < 0
3. Giá rị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
| a. b| = |a|.|b|
4. Với a Z thì a
2
0 ( dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 0 )
III/ Ví dụ:

Tìm a, b Z biết a,b = 24 và a + b = - 10.
Giải
Ta thấy ab > 0 nên a, b cùng dấu
a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm
Do đó a. b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6)
Trong các trờnghợp trên thì chỉ có (-4) + (-6) = -10
Vậy a = - 4; b = -6 hoặc a = - 6; b = - 4
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải
Gọi hai số cần tìm là x và y
Ta có xy = x + y
xy x y = 0
xy x y + 1 = 1
x(y 1) (y 1) = 1
(y 1)(x 1) = 1
1 1 1
1 1 1
y x
y x
= =


= =


2; 2
0; 0
x y
x y
= =

= =

IV. Bài tập:
220. Tìm x Z biết:
a) x(x+3) = 0
b) (x 2)(5 x) = 0
c) (x-1)(x
2
+ 1) = 0
221. Thu gọn các biểu thức sau:
a) 7x 19x + 6x b) ab ba
222. Cho A = (5m
2
8m
2
9m
2
)(-n
3
+ 4n
3
)
Với giá trị nào của m và n thì A 0
223. Tìm x biết:
a) 12(x 5) + 7(3 x) = 5
b) 30(x + 2) 6(x 5) 24x =100
224. Tìm x Z biết:
a) | 2x 5 | = 13

b) 7x + 3| = 66
c) | 5x 2| 0
225. Tìm x Z biết:
a) (x 3) (2y + 1) = 7
b) (2x + 1) (3y 2) = - 55.
226. Tìm x Z sao cho :
(x- 7) (x + 3) < 0
227. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợ lý:
a) 125.(-61).(-2)
3
.(-1)
2n
(n N*)
b) 136.(-47) + 36.(-304)
c) (-48).72 + 36.(-304)
228. Tìm x Z biết:
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = 0
b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 0
229. Cho m và n các số nguyên dơng:
A =
2+4+6+ +2m
m
B =
2+4+6+ +2n
n
Biết A < B hãy so sánh m và n
230*. Cho 16 số nguyên. Tích của 3 số bất kì luôn là một số âm. Chứng minh rằng tích
của 16 số đó là một số dơng.
231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b)

b) (a b)(a b)
c) (a + b)(a b)
232. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa hn tich
hai số kia đúng 1 đơn vị.
233. Cho a = - 20 ; b c = - 5, hãy tìm A biết
A
2
= b(a c) c(a b)
234. Biến đổi tổng thành tích:
a) ab ac + ad b) ac + ad bc bd
235. Cho a, b , c Z. Biết ab ac + bc c
2
= -1
Chứng minh a và b là hai số đối nhau.
236*. Tìm x, y Z biết :
a) xy + 3x 7y = 21
b) xy + 3x 2y = 11
Đ 6. Bội và ớc của một số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Các tính chất về chia hết (hay không chia hết) đối với số tự nhiên vẫn đúng với
số nguyên.
2. Nếu alà bội của b thì - a cũng là bội của b. Nếu b là ớc của a thì -b cũng là ớc
của a. Do đó nếu số nguyên m có k ớc tự nhiên thì có thêm k ớc âm (đó là các số đối
của các ớc tự nhiên).
3. Chú ý:
- Trong tập hợp số Z , một số chia 3 d 1; d 2 đợc biểu diễ bởi công thức 3k + 1;
3k + 2 hoặc gộp lại là 3k 1.
- Số lẻ đợc viết là 2k + 1 hoặc 2k 1
III/ Ví dụ:

1
IV. Bài tập:
237. Các số sau có bao nhiêu ớc?
a) 54 ; b) 196.
238. Chứng minh rằng nếu a
M
b thì |a|
M
|b|
239. Với n Z, các số sau là chẵn hay lẻ?
A = (n 4)(n 15) B = n
2
n 1
240. Co a, b , x , y Z trong đó x , y không đối nhau. Chứng minh rằng nếu ax by
M
x+ y thì ay bx
M
x + y
241. Tìm các giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho
3x 4y = -21 (Phơng trình Điôphăng)
242. Cho S = 1 3 + 3
2
3
3
+ + 3
98
3
99
.
a) Chứg minh rằng S là bội của 20

b) Tính S, từ đó suy ra 3
100
chia cho 4 d 1.
243. Tìm số nguyên dơng n sao cho n + 2 là ớc của 111 còn n 2 là bội của 11.
244. Tìm n Z để;
a) 4n 5
M
n
b) -11 là bội của n 1
c) 2n 1 là ớc của 3n + 2.
245. Tìm n Z sao cho :
n 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n 1
246*. Tìm n Z để:
a) n
2
7 là bội của n + 3
b) n + 3 là bội của n
2
7
Đ 7. Ôn tập chơng II
Ví dụ: Tìm x, y, z biết :
x y = - 9 ; y x = 10 ; z + x = 11
Ví dụ: Cho x Z hãy so sánh x
2
và x
3

Chú ý: để so sánh A và B ta thờng xét hiệu A B .
Nếu A B > 0 thì A > B ; Nếu A B < 0 thì A < B
Bài tập:

247. Tính giá trị của biể thức A với x = - 43; y = 17
A = - 125(x + x + + x y y y)
(x có 8 số hạng, y có 8 số hạng)
248. Cho biểu thức B = 1 10 100. Hãy điền vào cá ô trống dấu của các phép tính
cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B là số nguyên lớn nhất, số
nguyên nhỏ nhất.
249. Tìm x Z biết 2 |x| 5
250. Tìm x Z
a) 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1|
= 20
251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a b với a A; b B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
252. Số (-3)
20
+ có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp không ?
253. Tìm x Z biết (x + 5)(3x 12) > 0
254. Tìm x Z biết (x
3
+ 5)(x
3
+ 10)(x
3
+ 30) < 0
255. Tìm x, y Z biết (x 7)(xy + 1) = 9
256. Cho a, b, c, d Z .
Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d.
Chứng minh rằng a = b
257. Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng hiệu của chúng.

Chuyên đề Phơng trình Điôphăng
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Ví dụ:
1
Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x và y sao cho
2x + 5y = 19
Cách 1: Vì x,y N 5y 19 y < 4
Mặt khác vì 19 là số lẻ nên 2x + 5y là số lẻ
2x là số chẵn và 5y là số lẻ:
Do đó y = 1 hoặc y = 3.
Với y = 1 ta có: 2x + 5.1 = 19
2x = 14
x = 7
Với y = 3, ta có: 2x + 5.3 = 19
2x = 4
x = 2
Vậy với x = 7 và y = 1 ; x = 2 và y = 3
Cách 2: Từ (1) ta có:
x =
19 - 15y
2
= 10 - 3y +
y - 1
2

Để x N thì
y-1
2
N hay y = 2n + 1 với n N, do đó x = 7 5n 0
n = 0 hoặc n = 1. Tơng ứng ta đợc x, y.

Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, ba
con một bó. Hỏi số trâu mỗi loại?
Chơng III. Phân số
Bài 1. Mở rộng khái niệm về phân số. Hai phân số bằng nhau.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
Tìm x, y Z biết :
x 3
=
15 y
và x < y < 0
IV. Bài tập:
258. Trong các số sau, số nào là phân số:
-5
7
;
43
1
;
5
a - 3
(a Z) ;
2
9
a 5
(a Z) ;
7: 2a
10
(a Z)

259. Cho n N, hỏi sau n giờ thì kim gìơ quay đợc bao nhiêu vòng? Với giá trị nào
của n thì vòng quay là số tự nhiên.
260. Viết các phân số dới đây dới dạng phân số có mẫu số dơng, biết a Z
3
-4
;
- 5
a - 3
với a < 3 ;
2
6
- a - 1
261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có 1 số đợc dùng hai lần hãy viết các cặp phân số
bằng nhau
262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?
15 -17 6 28 3
; ; ; ;
60 5 15 -20 12
263. Tìm x Z , biết :
a)
111 91
< x <
37 13
b)
-84 108
< 3x <
14 9
264. Cho A =
3n - 5
n + 4

Tìm x Z để A có giá trị nguyên.
265. Tìm n Z để các phân số sau có giá trị nguyên:
15 8
12
; ;
n
n-2 n+1
266. Tìm x Z, biết :
a)
8
x - 1
=
9
3
b)
- 4
- x
=
9
x
c)
18
x
=
4
x + 1
267. Tìm x, y Z biết:
a)
9
x

=
7
y
và x > y b)
y
- 2
=
x
5
và x < y < 0
268. Tìm x, y Z biết:
4
x - 4
=
y - 3
3
và x y = 5
Bài 2. Tính chất cơ bản của phân số. Rút gọn phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số. So sánh phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Đ 4. Chuyên đề

Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
Bài 5. Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản phép cộng phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 6. Phép trừ phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 8. Chuyên đề : Tổng các phân số viết theo quy luật
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 9. Phép chia phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1

IV. Bài tập:
Bài 10. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 11. Ba bài toán cơ bản về phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Đ 12. Chuyên đề

Toán công việc làm đồng thời
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Bài 13. Chuyên đề
Toán về tính tuổi.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
1
IV. Bài tập:
Đ 14. Ôn tập chơng
1. Cho A =

2x
5 x
+
+
. Tìm x để :
a) Có giá trị là một số nguyên b) A có giá trị lớn nhất
2. Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;
a)
2y
1
3
1
9
1-x
+
=+
b)
9
2
12
y2
18
13x
=+
+
và x - y = -1
3. Cho A =
12x
5 2x

+
. Tìm x Z để:
a) A là phân số ? b) A là một số nguyên
c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?
4. Tìm số nguyên x biết;
a)
8
3
6
12x
4
1x
3
2
2
x
=
+
+
+
++
x
b)
26
12
36x
6
24
10
12x

3
=
+

+
+
+ x
5. Chứng minh
a)
1
100
1

52
1
51
1
2
1
<+++<
b)
6
5
40
1

22
1
21
1

12
7
<+++<
6. Cho S =
19
6

16
6
15
6
+++
a) Chứng minh rằng 1 < S < 2
b) Từ câu a hãy suy ra S Z
7. Cho A =
32
1 4n
+
+
n
. Tìm n Z để:
a) A là một số nguyên
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A?
8. Tìm hai số nguyên a và b biết rằng :
1b
1
2
1
7
a

+
=
.
9. a) Chứng minh:
n)a(a
n
na
1
a
1
+
=
+

S
1
=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
S
2
=
2005.2001
4

9.5
4
5.1
4
+++
S
3
=
1000.999
2

14.12
2
12.10
2
+++
10. Tìm xN sao cho

2006
2005
)65)(15(
5

11.6
5
6.1
5
=
++

+++
xx
11. Cho P =
)32)(12(
2

5.3
2
3.1
2
++
+++
nn
Chứng minh P < 1, n N
*
12. a) Chứng minh n N, n > 1 ta có
n
1
1-n
1
n
1
n
1
1-n
1
2
+>>

b) áp dụng câu (a) hãy chứng minh

202
99
100
1

3
1
2
1
100
99
222
>+++>
13. Tính giá trị biểu thức : S =
2005.2002
1

7.4
1
4.1
1
+++
áp dụng tính:
P =
101.96
3

11.6
3
6.1

3
+++
Q =
100.99.98
1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++
14. Tính giá trị biểu thức sau:
A = 1+
200632
2
1

2
1
2
1
2
1
++++
B =
10110032
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
+++
C =
1.999
1
3.997
1

997.3
1
999.1
1
999
1

5
1
3
1
1
++++
++++
15. Chứng minh rằng:
a)

4
1
2007
1

6
1
5
1
232
<+++
b)
5
1
2007
1

6
1
5
1
232
>+++
Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006
Môn Toán 6 - thời gian 120 phút
Bài 1( 4đ):
Tính nhanh:
A = 1 + 3 - 5 -7 + 9 + 11 - 397 - 399
B = 2
100

- 2
99
- 2
98
- - 2
2
- 2
1
- 1
Bài 2 (4đ):
Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi a. Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi
a. Lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Cuối cùng đợc số -a. Tìm số a?
Bài 3(3đ):
Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a,bN). Chứng minh 10a + b chia hết cho
13.
Bài 4 ( 3đ):
Cho phân số
85357
57643
. Hãy tìm một số nguyên sao cho khi tử số cộng với số
đó và mẫu số trừ đi số đó ta đợc phân số bằng
6
7
.
Bài 5 ( 6đ):
Cho góc BOC bằng 75
0
. A là một điểm nằm trong góc BOC. Biết góc BOA
bằng 40
0

.
a) Tính góc AOC.
b) Vẽ OD là tia đối của OA. So sánh hai góc BOD và COD.
1) Cho biểu thức A =
42
22

+
n
n
với n Z.
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.
2. Rút gọn phân số :
a) M =
248
4654
8.234.81.3
3.3.27.9
b) N =
11124
956
63.8
120.69.4

+
3. Cho hai phân số
n
1
và

1n
1
+
(n Z n > 0). Chứng tỏ rằng;
n
1
.
1n
1
+
=
n
1
-
1n
1
+
.
áp dụng tính:
a)
2.3
1
+
3.4
1
+
4.5
1

99.100

1
b) B =
30
1
+
42
1
+
56
1
+