SKKN - Sử dụng hằng ĐT ( HAY )

Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Lời nói đầu
Trong phong trào thi đua phát huy sáng kiến, chắc hẳn ai cũng biết có
nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề cha cao, tuổi đời
còn rất trẻ nhng do suy nghĩ, tìm tòi đã có những sáng kiến tiết kiệm cho
nhà Nớc hàng chục tỉ đồng. Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo. Trong
dạy học toán cũng vậy, chúng ta không chỉ dạy mcho học sinh y nh trong
sách, hoặc chỉ cho học sinh làm một số bài tập lấy ra từ một cuốn sách
nào đó. Nh thế cha đủ, khi dạy hoặc học đến một phần nào đó ta phải suy
nghĩ tìm tòi, suy rộng ra vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và
trên cơ sở liên quan đó có thể rút ra những điều bổ ích.
Trong dạy và học toán nó cũng giống nh trong đời sống nói chung, có
những vấn đề tởng chừng nh đã quá quen thuộc, ta tởng nh chúng đã quá
tõ ràng không có gì đáng suy nghĩ thên nữa, mà thực ra trong đó vẫn chứ
đựng những vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ vẫn còn nhiều điều đáng chú ý,
đáng nghiên cứu. Thí dụ nh trong chơng trình địa số cấp THCS có gì
quen thuộc hơn " Bảy hằng đẳng thức" !?. ứng dụng của nó là không nhỏ.
Tuy nhiên có những ứng dụng của nó mà ta cha may may nghĩ tới, cũng
có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng của nó.
Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu một ứng dụng của

hai hằng đẳng thức đầu tiên dó là
"Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải phơng trình".
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

1
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Mặc dầu trong quá trình tìm tòi tôi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví
dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng dẫu
sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chỉ, đồng

nghiệp góp ý, chỉ bảo.
Xin chân thành cảm ơn!
Đề tài
" Sử dụng hằng đẳng thức
(A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải phơng trình "
Phần 1: Giới thiệu đề tài
A/ lí do chọn đề tài đề tài
Trong chơng trình toán THCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan
trọng đặc biệt, đặc biệt là hai hằng đẳng thức đầu tiên: (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
. Nó không những giúp cho chúng chúng ta một phơng pháp tính
nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử dụng chúng để
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtmà nó còn cho ta một ứng dụng hết sức
độc đáo đó là giải phơng trình nhất là những phơng trình mà tởng chừng

nh học sinh THCS không thể giải nổi mà khi biết vận dụng hai hằng đẳng
thức này thì việc giải phơng trình đó lại không mấy khó khăn.
Tuy nhiên ứng dụng của hai hằng đẳng thức này vào giải phơng trình
tuy cha đợc đa vao một bài dạy cụ thể trong chơng trình chính khoá, song
không ít bài tập trong SGK ( Sách giáo khoa) đã buộc học sinh phải sử
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

2
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
dụng chúng thì mới giải đợc. Tuy vậy ứng dụng của hai HĐT trên đối với
các bài tập trong SGK cũng chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản mà nếu
những HS ở mức trung bình khá mà chú ý đã phát hiện ra ngay. Hơn thế
cũng cha có tài liêu nào giới thiệu cho giáo viên và HS các phơng pháp
biến đổi đẻ ứng dụng hai HĐT này vào giải phơng trình, trong lúc đó ch-
ơng trình toán THCS, giải phơng trình lại là một dạng toán cơ bản và khó,
thờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có
rất nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng ẩn phụ, đa về phơng trình
tích, dùng bất đẳng thức, quy về PT bậc haiTrong đó khá nhiều PT nếu

biết sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
thì việc giải phơng
trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả. Chính vì lẽ đó tôi đã rút ra đợc
một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai hằng đẳng thức này vào
giải một số phơng trính khó thờng gặp đẻ phục vụ cho công tác giảng dạy
của mình.
Sau nhiều năm đa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc
sử dụng HĐT (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
vào giải phơng trình có rất nhiều u
việt đó là: Biến đổi ngắn gọn, học sinh dễ tiếp thu và vận dụng nhất là số
học sinh giải đợc nhiều PT khó trong các kỳ thi ngày càng tăng, do đó tôi
xin phép giời thiệu một số dạng cơ bản của những PT thựôc loai này hy
vọng rằng sẽ giúp ích đợc cho quý đồng nghiệp trong quá trình dạy học.
B/ Mục đích nghiên cứu

Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh
và đồng nghiệp có số cách vận dụng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải phơng trình . Thông qua các ví dụ cụ thể bạn đọc có thể vận
dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể.
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

3
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
C/ Nhiệm vụ và phơng pháp nghiên cứu
1/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trên cơ sở những phơng pháp và dạng toán thờng gặp trong chơng trình
toán THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phơng pháp hiện có
một cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm ra những ph-
ơng pháp mới mẻ mà những phơng pháp cũ không thể giải quyết đợc
hoặc nếu sử dụng các phơng pháp sẵn có sẽ làm cho bài toán trở nên phức
tạp hơn. Đồng thời tác giả cũng đa ra một vài phơng pháp mới lạ, tuy có
khó đối với học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh và tham
khảo.
2/ Phơng pháp nghiên cứu
Đề tài " Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải ph-
ơng trình " đợc nghiên cứu dựa trên những dạng bài tập thờng gặp,
thông qua tìm tòi sáng tạo bản thân tôi đã vận dụng và hớng dẫn học
sinh khối 8;9 vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút ra dạng
toàn cơ bản sau:
Dạng 1: Phơng trình quy về dạng
(A

B)2 = 0

(A

B) = 0
Dạng 2: Phơng trình quy về dạng
(A

B)2 = (C

D)2




=
=
)( DCBA
DCBA
Dạng 3: Pơng trình quy về dạng
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

4
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
(A
B
)
2
+ (C
D
)
2
+ (E

F)
2
= 0







=
=
=
0
0
0
FE
DC

BA
Dạng 4. Nghiệm nguyên quy về dạng
(A

B)
2

p với A,B là các số nguyên và p nguyên dơng.
D/ Giới hạn của sáng kiến kinh nghệm
Sáng kiến kinh nghiệm " Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải phơng trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu những
dạng toán và phơng pháp giải dành cho đối tuợng là học sinh THCS,
tuy nhiên những phơng pháp này vẫn có thể áp dụng cho đối tợng là
học sinh THPT. Đồng thời tác giả cũng mạnh dạn nêu ra một vài ph-
ơng pháp tơng đối khó áp dụng cho học sinh phổ thông nhng nếu
biết cách vận dụng phù hợp chắc chắn sẽ giúp chúng ta giải quyết
một số bài toán gải phơng trình mà nếu sử dụng phơng pháp khác
cha hẳn đã giải quyết đợc.
E/ Phạm vi nghiên cứu và đối tợng áp dụng:
1/ Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên
cứu các dạng biến đổi phơng trình để vận dụng đợc hai HĐT trên phục vụ
cho GPT trên từng PT cụ thể từ đó rút ra 4 dạng biến đổi cơ bản. Do việc

biến đổi củ từng PT khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút
ra một công thức , hay phơng pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả các
phơng trình dạng này mà chỉ thông qua các phơng trình cụ thể đẻ đồng
nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các tơng tự.
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

5
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
2/ Đối tợng áp dụng: Tuy nói việc vận dụng hai HĐT (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
vào giải phơng trình sẽ làm cho cách giải dễ dàng và đơn giản

hơn, nhng để có cách cách biến đổi phù hợp đòi hỏi HS phải có khả năng
t duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao do đó các dạng toán này chỉ
nên áp dụng cho đối tợng HS gỏi cuối cấp THCS và ôn tập cho HS khi đã
có các kỹ năng giải các PT đơn gảin hơn.
1/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trên cơ sở những phơng pháp và dạng toán thờng gặp trong chơng trình
toán THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phơng pháp hiện có
một cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm ra những ph-
ơng pháp mới mẻ và hớng vận dụng phù hợp mà những phơng pháp thông
thờng không thể giải quyết đợc hoặc nếu sử dụng các phơng pháp sẵn có
sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn. Đồng thời tác giả cũng đa ra
một vài phơng pháp mới lạ, tuy có khó đối với học sinh THCS với mục
đích để bạn đọc so sánh và tham khảo.
C/ Danh mục các tài liệu tham khảo
1/ SGK và SGV lớp 8 hiện hành.
2/ Sách "" Toán bồi dỡng nâng cao cho học sinh lớp 9 " của nhà xuất bản
GD do các tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân và Đỗ Quang thiều biên
soạn
3/ SGK và GGV lớp 9 hiện hành.
4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ " do hội toán học Việt
Nam biên soạn.
D/ Tổng quan về nội dung đề tài:
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

6
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2

=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
" Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để giải phơng trình
"
Đề tài đợc đúc rút và thống kê thành 4 dạng biến đổi cơ bản đó là:
Dạng 1: Phơng trình quy về dạng
(A

B)2 = 0

(A

B) = 0
Dạng 2: Phơng trình quy về dạng
(A

B)2 = (C

D)2




=
=
)( DCBA
DCBA
Dạng 3: Pơng trình quy về dạng
(A
B
)
2
+ (C
D
)
2
+ (E

F)
2
= 0

=
=
=
0
0
0
FE
DC
BA
Dạng 4. Nghiệm nguyên quy về dạng
(A

B)
2

p với A,B là các số nguyên và p nguyên dơng.
Mỗi dạng có từ 1 đến 3 ví dụ cơ bản minh hoạ, sau cùng có một số bài
tập để bạn đọc áp dụng các cách giải
Phần 2 Nội dung đề tài
Dạng 1
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

7
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)

2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Phơng trình quy về dạng
(A

B)
2
= 0

(A

B) = 0
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: x
2
( x
4
- 1 )( x
2
+ 2 ) + 1 = 0 (1)
Lời giải:
Phơng trình (1)

x

2
( x
2
+1) ( x
2
- 1) ( x
2
+ 2) + 1 = 0


( x
4
+ x
2
)( x
4
+ x
2
- 2) + 1 = 0


( x
4
+ x
2
)
2
- 2(x
4
+ x

2
) + 1 = 0


( x
4
+ x
2
- 1)
2
= 0


x
4
+ x
2
- 1

= 0
Đây là một phơng trình trùng phơng quen thuộc mat ta đã có phơng pháp
giải.
Đặt x
2
= t điều kiện t

0
Lúc này ta có phơng trình bậc hai ẩn t nh sau:
t
2

+ t - 1 = 0

t
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5
t
1
=
2
51+
> 0 ( Thảo mãn điều kiện); t
2
=
2
51
< 0 ( loại vì không
thoả mãn điều kiện t > 0 ). Lúc này do đặt x
2
= t nên ta có x
2
=
2
51+


x =


2

51+
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt


*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

8
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
x
1
=
2
51+
; x
2
= -
2
51+

Ví dụ 2. Giải phơng trình:
20






+

1
2
x
x
2
+ 5







+
1
2
x
x
2
- 20

1
4
2
2
x
x
= 0 (2)
Lời giải: Điều kiện x

1
Đặt






+

1

2
x
x
=y ;







+
1
2
x
x
= z lúc đó phơng trình (2) có dạng
20y
2
+ 5z
2
- 20yz = 0


5(2y - z)
2
= 0

2y = z dẫn đến 2

+

1
2
x
x
=
1
2

+
x
x


2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )


2x
2
- 6x + 4 = x
2
+ 3x + 2

x
2
- 9x + 2 = 0
Ta dễ dàng tìm đợc x
1
=
2
739 +
; x
2
=
2
739
.
Vậy phơng trình (2) cố tập nghiệm là
{
2
739 +
;
2
739
}
.
Ví dụ 3: Giải phơng trình: x
2
+ 2 = 2
1
3
+x
(3)

Lời giải: Điều kiện: x
1
.
Thêm và bớt x ở vế trái của (3) để xuất hiện hằng đẳng thức, lúc đó (3)

x+1 + x
2
- x + 1 - 2
)1)(1(
2
++ xxx
= 0

(
1+x
)
2
- 2
)1)(1(
2
++ xxx
+ (
1
2
+ xx
)
2

(
1+x

-
1
2
+ xx

)
2
= 0

1+x
=
1
2
+ xx
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

9
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************

x + 1 = x
2
- x + 1

x
2
- 2x = 0

x
1
= 0 và x
2
= 2 ( thảo mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của PT(3) là:
{ }
2;0
Dạng 2
Phơng trình quy về dạng
(A

B)
2
= (C

D)
2

=
=
)( DCBA
DCBA
Ví dụ 4 : Giải phơng trình: x
4
= 24x + 32 (4)
Lời giải: Thêm 4x
2
+ 4 vào hai vế của phơng trình (4) ta đợc:
x
4
+ 4x
2
+ 4 = 4x
2
+ 24x + 36

( x
2
+ 2)
2
= ( 2x + 6 )
2

+=+
+=+
)62(2
622
2
2
xx
xx





==+
=
)(082
)(042
2
2
iixx
ixx
Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = 1
5
.
Phơng trình (ii) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của PT (4) là:
{
51+

; 1+
5
}
Dạng 3
Phơng trình quy về dạng
(A
B
)
2
+ (C
D
)
2
+ (E

F)
2
= 0







=
=
=
0
0

0
FE
DC
BA
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

10
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Ví dụ 5: Giải phơng trình: x + y + z + 4 = 2
2x
+ 4
3y
+ 6
5z
(5)
Lời giải: Điều kiện x
2
; y

3
; z
5
PT(5)

x-2-2
2x
+1 +y - 3 - 4
3

y
+ 4 + z - 5 - 6
5z
+ 9 = 0

(
2x
- 1)
2
+ (
3

y
- 2)
2
+ (
5z
- 3 )
2
= 0

Vế trái của phựơng trình là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng
0 khi và chỉ khi:









=
=
=
035
023
012
z
y
x

=
=
=
35
23
12
z
y
x








=
=
=
95
43
12
z
y
x

=
=
=
14
7
3
z
y
x
(Thoả mãn điều kiện), vậy nghiệm của phơng trình là: (x,y,z)=(3,7,14)
Dạng 4
Nghiệm nguyên quy về dạng (A

B)
2


p với A,B là các số nguyên và p
nguyên dơng.
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x
2
+ 2y
2
- 2xy + x + y - 10 = 0 (6)
Lời giải: PT(6)

2( x
2
+ y
2
) -2xy + x + y - 10 = 0


2( x + y )
2
- 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0


2( x + y )
2
- 6xy + x + y - 10 = 0
Đặt S
1
= x + y ; S
2
= xy thì ta có phơng trình:
2S
1
2
- 6S
2
+ S
1
- 10 = 0

S
2
=
6
1
( 2S
1
2
+ S
1
- 10)
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

11
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Do S
2

Z nên S
1

2 ( S1 là số nguyên chẵn )
Mặt khác ( x - y)
2


0 nên ( x + y )
2
- 4xy

0

S
2



4
2
1
S
Do đó
6
1
( 2S
1
2

+ S
1
- 10)


4
2
1
S
S
1
2
+ 2S
1
- 20

0

( S
1
+1 )
2


21
Vì S
1
là số nguyên chẵn nên ( S
1
+1 )

2

{ }
9;1
Do đó S1 =
{ }
2;0;2;4
Muốn cho S
2
=
6
1
( 2S
1
2
+ S
1
- 10) là một số nguyên thì ta chỉ chọn đợc:



=
=
3
4
2
1
S
S

hoặc



=
=
0
2
2
1
S
S
Do đó



=
=+
3
4
xy
yx
hoặc



=
=+
0
2

xy
yx
Giải hai hệ phơng trình này ta tìm đụơc các nghiệm nguyên (x;y) của
PT(6) là (-1;-3); (-3;-1); (0;2); (2;0)
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

12
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Phần III- Kết luận
Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng trình bày 4
dạng bài giả phơng trình bằng cách sử dụng HĐT (A

B)
2
=A
2

2AB+B

2
.
Mỗi dạng toán nh vậy có ít nhất là hai ví dụ minh hoạ cơ bản. Có những
ví dụ tôi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so sánh và
tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự.
Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trớc hết chúng ta cần
cung cấp cho học sinh một cách tuờng minh các khái niêm mới mẻ mà
trong chơng trình SGK cha đề cập tới . Đồng thời mỗi dạng toán nh vậy
cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen
các dạng toán một cách tự nhiên và hiệu quả. Bên cạnh đó cần phải
thống kê những bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù
hợp.
Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu
bản thân tôi cha thể nêu ra đợc cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các
ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách t duy sáng tạo, tuy nhiên
nếu khi đã quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm ra một phơng pháp cụ
thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng.
Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT này vào chơng trình dạy học tôi
thấy việc giải quyết các bài tập về phơng trình học sinh giải quyết linh
hoạt hơn và có những bài giải ngắn gọn và rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp
thu và vận dụng nhất là số học sinh giải đợc nhiều giải phơng trình tơng
đối khó nhất là trong các kỳ thi . Do đó bản thân tôi mạnh dạn viết sáng
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

13
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2

=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
kiến kinh nghiệm này hy vọng rằng nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp,
các em học sinh và các bạn yêu toán những điều thú vị và bổ ích.
Mặc dầu trong quá trình tìm tòi tôi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví
dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng dẫu
sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chí, đồng
nghiệp góp ý, chỉ bảo.
Xin chân thành cảm ơn!
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

14
Sử dụng hằng đẳng thức (A

B)
2
=A
2

2AB+B
2
để

**************************giải phơng trình****************************
Danh mục các tài liệu tham khảo
1/ SGK và SGV lớp 8 hiện hành.
2/ Sách "" Toán bồi dỡng nâng cao cho học sinh lớp 9 " của
nhà xuất bản GD do các tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân và
Đỗ Quang thiều biên soạn
3/ SGK và GGV lớp 9 hiện hành.
4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ " do hội
toán học Việt Nam biên soạn.
5/ Sách " Toán nâng cao THCS " của tác giả Phan Văn Đức
do NXB Đại học quốc gia TPHCM xuất bản
*********************************************************0O0**********************************************************
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

15