đề thi và đáp án tuyển sinh 10 tỉnh quảng ninh năm 2010 - 2011

1
Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Quảng ninh Năm học 2010 2011
Đề thi chính thức
Môn : toán
(Dành cho mọi thí sinh dự thi )
Ngày thi : 02/7/2010
Thời gian làm bài : 120 phút
( Không kể thời gian giao đề )
(Đề này có 01 trang )
Bài 1 . (1,5 điểm)
a) So sánh 2 số : 3
5
và
29
.
b) Rút gọn biểu thức : A =
3 5 3 5
3 5 3 5
+
+
+
Bài 2 . (2,0 điểm)
Cho hệ phơng trình :
2 5 1
2 2
x y m
x y
+ =

=

(m là tham số)
a) Giải hệ phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn : x
2
2y
2
= 1
Bài 3 .(2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình :
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc thì sau 12 giờ bể đầy . Nừu từng vòi
chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 làm đầy bể là 10 giờ .
Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ?
Bài 4 . (3 điểm)
Cho đờng tròn(O;R) , dây cung BC cố định (BC<2R) và điểm A di động trên cung
lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Các đờng cao BD và CE của tam giác cắt
nhau tại H .
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp .
b) Giả sử góc BAC = 60
0
, hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R
c) Chứng minh đờng thẳng kể qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố
định
Bài 5 . (1,0 điểm)
Cho biểu thức : P = xy(x 2)(y + 6) + 12x
2
24x + 3y
2
+ 18y + 36.

Chứng minh P luôn dơng với mọi x;y thuộc R .
Hết.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
hớng dẫn chấm
I) H ớng dẫn chung:
- T/sinh làm bài theo cách riêng nhng đáp ứng đợc với yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đợc thống nhất trong H.đồng chấm.
- Sau khi cộng toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) Đáp án và thang điểm:
Câu Phần Đáp án Điểm
Câu I
1,5 điểm
1
(0.5 điểm)
3
5
=
9.5 45=
0.25
45 > 29
45 29 >
vậy 3
5
>
29
0,25
Chữ ký GT 1 :

Chữ ký GT 2:

2
2
(1 điểm)

( ) ( )
( )
2 2
2
2
3 5 3 5
3 5 3 5
3 5 3 5
3 5
A
+ +
+
= + =
+

0,5
14 6 5 14 6 5
4
+ +
=
0,25
28
7
4
= =

0,25
Câu II
2 điểm
1
(1 điểm)
Thay m = 1 ta có hệ :
2 4 4 2 8
2 2 2 2
x y x y
x y x y
+ = + =



= =

0,25
Cộng từng vế ta có phơng trình : 5x = 10 => x = 2
Thay x = 2 vào phơng trình x 2y = 2 ta có :
2 2y = 2 => 2y = 0 => y = 0
0,25
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x ; y) = (2 ; 0) 0,25
2
(1 điểm)
Giải hệ :
( )
( )
2 5 1 1
4 2 10 2
2 2

2 2 2
x y m
x y m
x y
x y
+ =
+ =




=
=



0,25
Cộng từng vế ta có : 5x = 10m => x = 2m
Thay vào ph/ trình (2) ta có : 2m 2y = 2 => y = m
1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x ; y) = (2m ; m-1)
0,5
Thay vào hệ thức : x
2
2y
2
= 1 Ta có :
(2m)
2
2(m 1)

2
= 1

4m
2
- 2m
2
+ 4m 2 1 = 0

2m
2
+4m 3 = 0
Có
'

= 2
2
2.(-3) = 10 > 0
0,25
+
= =
1 2
2 10 2 10
m ; m
2 2
Vậy với
+
=
2 10
m

2
và

=
2 10
m
2
thì thoả mãn
hệ thức
0,25
Câu III
2,5 điểm
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (h) x
>12 . vậy một giờ vòi thứ nhất chảy đợc
1
x
(bể). Vòi thứ
nhất chảy đầy bể ít hơn vỏi thứ hai là 10 giờ nên thời
gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là : x + 10 (h) vậy
một giờ vòi 2 chảy đợc là :
1
10x +
(bể)
1,0
Hai vòi chảy chung 12 giờ đầy bể ,vậy một giờ chảy đ-
ợc :
1
12
(bể) .Theo bài ra ta có:
+ =

+
1 1 1
x 10 x 12
0,75
( ) ( )
+ + = +
+ + = +
=
2
2
12x 12 x 10 x x 10
12x 12x 120 x 10x
x 14x 120 0
0,25
Có
'

= 7
2
(-120) = 169 > 0
'
169 13 = =
x
1
= 7 + 13 = 20 (thoả mãn) ; x
2
= 7 13 = - 5 (loại)
0,25
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 20 giờ
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 20 + 10 = 30 giờ

0,25
3
Câu IV
3 điểm
Hình vẽ đúng
P
N
I
K
O
H
E
D
C
B
A
0,25
1
0,75 điểm
Từ giả thiết:
ã
=
0
BEC 90
,
ã
=
0
BDC 90
0,5

Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đờng tròn 0,25
2
1,0 điểm
ã
=BAC
ã
BAC
( góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng
chắn một cung)
0,25
Kẻ OI vuông góc với BC =>
ã
ã
=
1
BOI BOC
2
0,25
Vậy
ã
=BAC
ã
=
0
BOI 60
=>
ã
=
0
OBI 30

0,25
=> OI =
1
2
OB =
R
2
0,25
3
1,0 đ
Kẻ OA cắt ED tại K Ta có
ã
ã
=EAK HAC
(Vì nằm ở hai
tam giác vuông có góc nội tiếp chắn
ằ
AB
)
0,25
ã
ã
=AEK ACB
( Vì tứ giác BEDC nội tiếp ). 0,25
Mà
ã
=
0
ANC 90
Nên

ã
=
0
AKE 90
=> OA

ED
Vậy đờng thẳng qua A vuông góc với ED đi qua O cố
định
0,5
Câu V
1 điểm
P = xy(x 2)(y + 6) + 12x
2
24x + 3y
2
+ 18y + 36.
= xy(x 2)(y + 6) + 12x(x 2) + 3y(y + 6) + 36
0,25
=x(x 2).
( ) ( )
6 12 3 6 12y y y y+ + + + +

0,25
=
( ) ( )
2 2
6 12 2 3y y x x+ + +
0,25
Mà

( )
2
2
6 12 3 3 0y y y+ + = + + >

( )
2
2
2 3 1 2 0x x x + = + >
Vậy P > 0 với mọi x;y thuộc R
0,25