214 đề luyện thi vào lớp 10 có đáp án

bài tập ôn tập vào lớp 10
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức

Bài 1: Cho biểu thức :

+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức:
P=

+
+
+

+
+

+








+

65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x

x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:
P=








+

+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 4: Cho biểu thức :
P=

+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819 =a
Bài 5: Cho biểu thức;
P=

















+
+

+


+

a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2
1

)
Bài 6: Cho biểu thức:
P=









+

+
+
+










+
+
+

+
12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức:
P=

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P

0
1
Bài 8: Cho biểu thức:
P=









+
+








++

+
a
a
a

aa
a
a
a
1
1
.
1
12
3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a1
Bài 9: Cho biểu thức:
P=
.
1
1
1
1
1
2
:1

+

++
+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức :
P=









+

+








+


a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347
Bài 11: Cho biểu thức:
P=

+


+
+
1
3
22
:
9
33

33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức :
P=








+

+












3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x

xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức :
P=
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
1
c) Chứng minh P

3
2

Bài 14: Cho biểu thức:
P=
2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
2
Bài 15: Cho biểu thức :
P=
1
2
1

2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức
P=








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a=
32
và b=
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 17: Cho biểu thức :
P=








+

+

+

+
+
+



1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:
P=

+

+










1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a

a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức:
P=
( )
ab
abba
ba
abba
+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=
32
và b=
3
Bài 20: Cho biểu thức :
P=
2
1
:
1
1
11

2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0

x
1
Bài 21: Cho biểu thức :
P=

++
+












+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx

a) Rút gọn P
b) Tính
P
khi x=
325 +
3
Bài 22: Cho biểu thức:
P=
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1

+
+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :
P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+

+


2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Bài 24: Cho biểu thức :
P=








++

+
+
+ baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức:

P=
12
.
1
2
1
12
1











+


+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa

a) Rút gọn P
b) Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
3
2
Bài 26: Cho biểu thức:
P=










+
+
+

+

3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức:
P=
( )

( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++










+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức:
P=

+


+







1
2
2
1
:
1
1
1
a
a

a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
6
1
4
Bài 29: Cho biểu thức:
P=
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++

++
+








+
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :
P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x


+

1
1
.
22
2

2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài 31: Thực hiện phép tính.
A =
15:)277512( ++
B =
363:)122273487( +
C =
347347 ++
D =
2179179 +
M =
154)610)(154( +

N =
34710485354 +++
( N = 3 )
P =
222222
100
1
99
1
1
4
1
3
1

1
3
1
2
1
1 +++++++++
Gợi ý: Trớc hết cần chứng minh:
( )
2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
n n n
n


ữ
+ = + +
ữ
ữ




để suy ra
( )
2

2
1 1 1 1
1 1
1
1
n n n
n
+ + = +


Từ đó ta có
P =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 98
2 3 3 4 99 100 2 100

+ + + + + + = +
ữ ữ ữ

= 98
49
100
Q =
2007
2006
2007
2006
20061
2
2

2
+++
Ta có: 20072 = ( 2006 + 1 )2 = 20062 + 2.2006 + 1
suy ra 1 + 20062 = 20072 - 2.2006
=> Q =
2
2
2
2
2006 2006 2006 2006
2007 - 2.2006 2007
2007 2007 2007 2007

+ + = +
ữ

=
2006 2006
2007 2007
2007 2007
+ =
Bài 32: Cho A =
2524
1

43
1
32
1
21

1
+
++
+
+
+
+
+
B =
24
1

3
1
2
1
1
1
++++
Tính A
Chứng minh B > 8
Gợi ý:
Trục từng căn thức để tính giá trị của A = 4.
5
Ta có 2B =
2 2 2 2

2 1 2 2 2 3 2 24
+ + + +
=

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 24 24
+ + + +
+ + + +
>
2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 24 25
+ + + +
+ + + +
= 2.A = 8.
Bài 33: Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q =
25309169
22
+++ xxxx
Bài 34: Cho x, y là các số thực thoả mãn
2 2
1 1 1x y y x + =
. Chứng minh rằng x2 + y2
= 1.
Gợi ý: ĐK -1 x 1; -1 y 1.
Cách 1 :
Bình phơng 2 vế để đa về dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1x y xy x y x y
= =
Suy ra x2 + y2 = 1.

Cách 2. áp dụng cauchy cho 2 số không âm ta có:
1
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x y y x
x y y x
+ +
+ + =
.
Dấu = xảy ra khi
2
2 2
2 2
2 2
2
1
1
1
1
x y
x y
x y
y x
y x

=

=

+

=

=


Bài 35: Cho biểu thức: P =



















+

+

1
1
1
1
a
aa
a
aa
a> Tìm a để P có nghĩa.
b> Rút gọn P.
Bài 36: Cho S =
1 1 1
1
2 3 100
+ + + +
. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Gợi ý: Trớc hết cần chứng minh bất đẳng thức kép sau:
1
2 1 2 2 2 1n n n n
n
+ < <
( với n là số tự nhiên khác 0.)
Từ đó suy ra :
S=
1 1 1
1
2 3 100
+ + + +

>1+2
( ) ( ) ( )
3 2 4 3 101 100

+ + +

= 1+ 2 (
101 2
) > 1+2.10 - 2
2
> 21-3 = 18.
S =
1 1 1
1
2 3 100
+ + + +
<1+2
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 100 99

+ + +

= 1+ 2 (
100 1
) = 1 +2.9 = 19.
Vậy 18 < S < 19, chứng tỏ S không phải là số tự nhiên.
Bài 37: Cho biểu thức:
Q =
( )
( )

1
3 3 1
:
2 2 2
a a b
a a
a ab b a a b b a b a ab b


+
ữ
ữ
+ + + +

a) Rút gọn M.
6
b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ M cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 38: TÝnh tỉng: S =
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +
.
Gỵi ý: CÇn chøng minh:
1 1 1
( 1) 1 1n n n n n n
= −
+ + + +
Bµi 39: ( 3 ®iĨm )

Cho biĨu thøc :








++
+
−
−
−
+
=
1
2
:)
1
1
1
2
(
xx
x
xxx
xx
A
Rót gän biĨu thøc .

TÝnh gi¸ trÞ cđa
A
khi
324 +=x
Bµi 40:( 2 ®iĨm )
Trơc c¨n thøc ë mÉu c¸c biĨu thøc sau :
232
12
+
+
=A
;
222
1
−+
=B
;
123
1
+−
=C
Bµi 41:( 2,5 ®iĨm )
Cho biĨu thøc : A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a
 

− + +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cđa a th× A x¸c ®Þnh .
b) Rót gän biĨu thøc A .
c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cđa a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn .
Bµi 42:( 2 ®iĨm )
Cho biĨu thøc : A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ − − +
+ +
− + − + − + +
1) Rót gän biĨu thøc A .
2) Chøng minh r»ng biĨu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a .
Bµi 43: ( 2 ®iĨm )
1) Cho biĨu thøc : P =
( )
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2
a a a
a

a a
+ − −
− + ≠
−
− +
a) Rót gän P .
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = 9 .
2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè )
a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm b»ng 2 . T×m nghiƯm cßn l¹i .
b) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n
3 3
1 2
0x x+ ≥

Bµi 44: Cho biểu thức
1 1 1
. 1
1 1
A
a a a
   
= − −
 ÷  ÷
− +
   
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi
1
4
a =

c) Tìm a để
10
7
A = −
Bµi 45: Cho biểu thức
2
2 5 3x x y y
A
x y y
− +
=
−
Rút gọn rồi tính giá trò của A khi
3 13 48 ; 4 2 3x y= + + = −
7
Giải hệ PT:
0
3 2 5
A
x y
=



+ = +


Bµi 46: a) Thực hiện phép tính:
3 2 1
6 24 54

4 3 4
A = − +
.
b) Cho biểu thức:
( )
2
4a b ab
a b b a
B
a b ab
+ −
+
= −
−
Tìm điều kiện để B có nghóa.
Khi B có nghóa, chứng tỏ giá trò của B không phụ thuộc vào a.
Bµi 47: Tính giá trò các biểu thức: A =
2 40 12 2 75 3 5 48− −
B =
3 4 3
6 2 5
+
+ −
Bµi 48: a) So sánh hai số
= + + =17 5 1 và 45B C
b) Chứng minh rằng số sau đây là số nguyên:
− − −5 3 29 12 5
Bµi 49. Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
6342534284546c/C
.324324b/B

yx0;y0;x.
yx
xy2
yxy
y
xxy
x
a/A
−+−=
−++=
≠>>
−
−
−
+
+
= Víi
Bµi 50. Cho
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P
−
+
−
−
+

−
+−
−
=
a. Rót gän P.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P<1.
c. T×m
Zx ∈
®Ĩ
ZP ∈
.
Bµi 51: Cho biĨu thøc:B =
2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
+ − − + −
+ −
 ÷
 ÷
−
− −
 
Rót gän A.
T×m a ®ª B =
6

1 6+
.
Chøng minh r»ng B >
2
3
.
Bµi 52: Cho biĨu thøc:
Q =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
Rót gän Q.
TÝnh gi¸ trÞ cđa Q khi x =
3 2 2+
.
Chøng minh r»ng Q ≤ 1 víi mäi x ≥ 0 vµ x ≠ 1.
PhÇn 2: C¸c bµi tËp vỊ hƯ ph ¬ng tr×nh bËc 2:
8

Bài 53: Cho phơng trình :

( )
2
2
2122 mxxm +=
a) Giải phơng trình khi
12 +=m
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
23 =x
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 54: Cho phơng trình :

( )
0224
2
=+ mmxxm
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
2=x
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính
2
2
2
1
xx +
theo m
Bài 55: Cho phơng trình :

( )
0412
2
=++ mxmx
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
1221
11 xxxx +
không phụ thuộc vào m.
Bài 56: Tìm m để phơng trình :
a)
( )
012
2
=+ mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
0124
2
=++ mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
012121
22

=+++ mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 57: Cho phơng trình :

( )
021
22
=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 58: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0
0

2
2
=++
=++
bcxx
cbxx
Bài 59:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

( )
( )
)2(036294
)1(012232
2
2
=+
=++
xmx
xmx

Bài 60: Cho phơng trình :

0222
22
=+ mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng
trình
Bài 61: Cho phơng trình bậc hai tham số m :

014

2
=+++ mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
9

10
2
2
2
1
=+ xx
Bài 62: Cho phơng trình

( )
05212
2
=+ mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 63: Cho phơng trình

( )
010212
2
=+++ mxmx

(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức
liên hệ giữa
21
; xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 64: Cho phơng trình

( )
0121
2
=++ mmxxm
với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1m
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm

21
; xx
thoả mãn hệ thức:

0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x

Bài 65: A) Cho phơng trình :

01
2
=+ mmxx
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có)
của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt
21

2
2
2
1
6 xxxxA +=

Chứng minh
88
2
+= mmA
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình

0122
2
=+ mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx +
CMR A=

9188
2
+ mm
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 66: Giả sử phơng trình
0.
2
=++ cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
21
; xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên dơng)
a) CMR
0.
12
=++
++ nnn
cSbSSa
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
55
2
51
2

51









+








+
Bài 67: Cho
f
(x)
= x
2
- 2 (m+2).x + 6m+1
10
a)
CMR phơng trình f
(x)

= 0

có nghiệm với mọi m
b)
Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0

có 2
nghiệm lớn hơn 2

Bài 68: Cho phơng trình :

( )
05412
22
=+++ mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau
và trái dấu nhau
d) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2

2
1
xx +
theo m
Bài 69: Cho phơng trình
0834
2
=+ xx
có hai nghiệm là
21
; xx
. Không giải phơng
trình , hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
M
+
++
=

Bài 70: Cho phơng trình

( )
0122 =+++ mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m=
2
1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :

2
1221
)21()21( mxxxx =+
Bài 71: Cho phơng trình

03
2
=++ nmxx
(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
21
; xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :

=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 72: Cho phơng trình:

( )
05222
2
= kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho

18
2

2
2
1
=+ xx
Bài 73: Cho phơng trình

( )
04412
2
=+ mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 74:Cho phơng trình :

( )
0332
22
=+ mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
61
21
<<< xx
Bài 75. Cho phơng trình x2 + 2(m - 1)x - 3 +2m = 0.(1) (m tham số.)
1. Chứng tỏ rằng phơng trình có 2 nghiệm với mọi m.

11
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Giả sử x1 , x2 là các
nghiệm của phơng trình (1). Tìm m để x12 + x22 10
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 để
E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 76: Ch o hai phơng trình x2 + a1x + b1 = 0 (1)
x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biết a1a2 2 (b1+b2). Chứng minh ít nhất một trong hai ph ơng trình có
nghiệm.
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 0
Bài 77 : Cho ba phơng trình ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Cho biết a, b, c 0. Chứng minh ít nhất một trong ba phơng trình có nghiệm.
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 + 3 0
Bài 78: Cho Parabol y =
2
2
1
x
(P) Và đờng thẳng y = x +
2
1
(d).
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ .
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc parabol (p). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 79: Trong cùng hệ toạ độ gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2
và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + m.
Tìm a biết (P) đi qua A (2;- 1), vẽ (P) với a tìm đợc.
Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) (ở câu 1). Tìm toạ độ tiếp điểm.

Trong các điểm sau điểm nào thuộc (P) điểm nào thuộc (d) vừa tìm đợc : M(-2;1); N(2;
-1); E(-2; -1)
Gọi B là giao điểm của (d) (ở câu 2) với trục tung , C là điểm đối xứng của A qua trục
tung. Chứng tỏ C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 80: trong hệ trục vuông góc gọi P là đồ thị của hàm số y = x2, gọi M,N là hai điểm
thuộc P có hoành độ lần lợt là: -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng MN. ( KQ: y = x+2)
Bài 81: Cho phơng trình: mx2- 2( m+1 )x + m +2 = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm.
Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái
dấu nhau.
Gợi ý: b. phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
khi
( )
0
0
1 0
' 0 1
0
0
2 1
0
m
a
m
S
S
m
m

>


> =
=


=
+


=


Bài 82: Cho phơng trình ẩn x : x2 + x + m = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm
phân biệt đều lớn hơn m. ( KQ: m < - 2 )
Bài 83: Cho a 0, giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình:
2
2
1
0x ax
a
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x14 + x24
HD: áp dụng Vi-et ta có: x1 + x2 = a; x1.x2 =
2
1
a

. áp dụng cauchy suy ra:
Q = a4 +
4
2
4 2 2 4
a
+ +
=> Min Q =
2 2 4+
khi a8 = 2
Bài 84: Cho Parabol y =
2
2
1
x
(P) và điểm M(0;2), N(m; 0) với m 0.
Vẽ (P).
Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qu 2 điểm M, N.
12
Chứng minh rằng đờngthẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểmphân biệt A, B với mọi m 0.
Gọi H, K là các hình chiếu của A, B trên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác vuông.
Bài 85: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ hất của biểu thức: A = x + y.
Gợi ý: Ta có: ( x++)2 2 (x2+y2) = 2 => A
2
2 2 2a A
Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bài 86: ( 2 điểm ) Cho hệ phơng trình .




=+
=
nyx
nymx
2
5
Giải hệ khi m = n = 1 .
Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm



+=
=
13
3
y
x
Bài 87: Cho hệ phơng trình



=+
=
33
33

ymx
myx
Tìm m để hệ phơng trình có vô số nghiệm .
Giả hệ phơng trình với m = - 2.
Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x > 0, y > 0.
Bài 88: Giải hệ phơng trình





=+
=+
=+
1543
0432
132
zyx
zyx
zyx
Bài 89 : Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx

Giải và biện luận theo tham số m
Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x, y Z
Chứng mingh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M(x;y) luôn chạy trên một đ-
ờng thẳng cố định.
Xác định m để điểm M thuộc đờng tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng
2
2
.
Hớng dẫn: 4. Theo câu 2 ta có x = y =
1
2m +
nên
M(x;y) thuộc đờng tròn tâm O bán kính
2
2
khi và chỉ khi x2 + y2 = r2 =
1
2

( )
2 2
2
1 1 1 2 1
2 2 2 2
2
m m
m

+ = =
ữ ữ

+ +

+
(m + 2)2 = 4 m=0 hoặc m = -4.
Bài 90: Cho hệ phơng trình:
3
1
1
2
mx y
x y
=



=


Giải hệ phơng trình khi m =
3
2

13
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 91: Cho hệ phơng trình
2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ = +

+ + =

1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M( x; y) luôn luôn thucộc một đờng
thẳng cố định khi m thay đổi.
2. Tìm m để M thuộc góc phần t thứ nhất.
3. Xác định m để điểm M thuộc đờng tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng
5
.
Hớng dẫn:Khi m khác 0 và 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
1 1
;
m
x y
m m

= =
Ta có
1
1 1 1x x y x y
m
= = + =
Vậy M thuộc đờng thẳng có pt y = -x + 1.
Bài 92: Giải các hệ phơng trình sau:
a )
1
2 4 8
3 9 27
x y z

x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

b)
2 3 11
2 3 2
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )
Bài 93: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

( )
( )

=+
+=+
21
11
ymx
myxm

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 94: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
a)



=
=+
xy
yx
52
1
b)





=+
=

1
44
2
yx
yx
c)



=
=+
123
11
xy
xy
Bài 95: Cho hệ phơng trình :



=
=+
5
42
aybx
byx
a)Giải hệ phơng trình khi
ba =
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)
* (

2;12
)
*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 96:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:




+=
=
mmyx
mymx
64
2

Bài 97: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :




=+
=+
2ã
1
yax
ayx
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Bài 98 :Giải hệ phơng trình sau:
14

=+
=++
1
19
22
yxyx
yxyx
Bài 99*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:

( ) ( )



=++
=+
01
121
2
yxyxmyx
yx
Bài 100 :GiảI hệ phơng trình:




=

=+
624
1332
22
22
yxyx
yxyx
Bài 101*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :




=+
=++
02
0342
222
23
bbaa
bba
.Tính
22
ba +

Bài 102:Cho hệ phơng trình :




=+

=+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phơng rình khi a=-
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 103: Cho hàm số :
y= (m-2)x+n (d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-
2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng 2+
2
.
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 104: Cho hàm số :
2
2xy =
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
1= mxy
theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 105: Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d)
mxy += 2
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm
hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.
Bài 106: Cho đờng thẳng (d)
2)2()1(2 =+ ymxm

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P)
2
xy =
tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
15
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 107: Cho (P)
2
xy =

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc
với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2

Bài 108: Cho đờng thẳng (d)
3
4
3
= xy

a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 109: Cho hàm số
1= xy
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình
mx =1
Bài 110: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :
(d)
2)1( += xmy
(d')
13 = xy
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 111: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

12.)(
2)(

52)(
3
2
1
=
+=
=
xayd
xyd
xyd
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 112: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 113: Cho (P)
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d)
đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 114: Cho hàm số
21 ++= xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
mxx =++ 21
Bài 115: Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)

Bài 116: Cho (P)
4
2
x
y =
và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của
(d') và (P)
16
Bài 117: Cho hàm số
2
xy =
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng
23
Bài 118: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
1
d
) ? Vì sao ?

b) Tìm a để hàm số
2
.xay =
(P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm
toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 119: Cho (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ
lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]

4;2x
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)

tính
BA
yy ;
;
)
Bài 120: Cho (P)
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ;

lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ
nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S=
)28(4
22
+++ mmm
Bài 121: Cho hàm số
2
xy =
(P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình
đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 122: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
2
4
1
xy =

và đờng thẳng (d)
12 = mmxy

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 123: Cho (P)
2
4
1
xy =
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số
góc m.
17
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Rm

b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 124: Cho (P)
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 125: Cho (P)
4

2
x
y =
và đờng thẳng (d)
2
2
+=
x
y
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với
(d)
Bài 126: Cho (P)
2
xy =

a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đ-
ờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 127: Cho (P)
2
2xy =
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các
giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 128: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1)(
)(

2
1
=+
=+
ymxd
myxd
cắt
nhau tại một điểm trên (P)
2
2xy =
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
1. chuyển động
Bài 129: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và
một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ ,
còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng
AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 130: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A
mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài
30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 131: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ
B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 132: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng
và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là
40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và
thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời
đó đã đi.
Bài 133: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc
30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
4

3
quãng đờng AB , xe con
18
tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe
con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 134: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định .
Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn
hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời
gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 135:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều
nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca
nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 136: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A
với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h .
Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 137: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian,
một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay
đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời
đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính
quãng đờng AB
Bài 138: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến
B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng
đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 139: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó
ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là
không đổi .
Bài 140: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40

Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng
AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến
tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.
Bài 141: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy
với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại
40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô
đến B cùng một lúc .
Bài 142: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút ,
một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết
rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 143: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63
Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84
Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài144: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20
phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 145: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc
ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20
Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 146: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120
Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến
19
nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời
gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 147: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy
định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng
hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài148: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B
30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi ,
nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe
đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.

2. Năng suất
Bài 149: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu
mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn
so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?

Bài 150: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nh-
ng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã
hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số
đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 151: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nh-
ng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần
mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 152: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc
bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu
có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 153: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4
giờ thì hoàn thành đợc
3
2
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong
mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 154: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã
định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ
thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao
lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 155: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ
nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời
làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 156: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong

5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4
giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 157: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1
giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1
giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 158: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy
định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc
3
1
thể tích bể chứa , máy bơm
hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m
3

. Do vậy so với quy định , bể
chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
20
Bài 159: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ
30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai
chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
5
1
bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy
bể ?

Bài 160: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55
phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2
giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Phần 6 : Hình học

Bài161: Cho hai đờng tròn tâm O và O

có R > R

tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng
kính COA và CO

B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE AB.
a)
Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b)
Nối D với C cắt đờng tròn tâm O

tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c)
Nối D với B cắt đờng tròn tâm O

tại G . CMR EC đi qua G
d)
*Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O

, vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp
tứ giác MCFE


Bài 162: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD .
Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt
Dy tại Q.
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED

b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC=
2
R

. CMR
16
25
=


CED
POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông
CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 163: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc
với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến
Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 164: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến
Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ
tích của điểm H
Bài 165: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD ,

BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI =
2
BH
và H ; F đối xứng nhau qua AC
Bài 166: Cho (O,R) và (O

,R

) (với R>R

) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt
đờng tròn O

và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông
góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O

tại E .
a) So sánh AMO với NMC ( - đọc là góc)
21
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O

P = R ; OP = R


c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O

Bài 167: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính

OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 168: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố
định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai
tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của
MPQ
biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45
0
.
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng
tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d
Bài 169: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 170: Cho ABC ( AB = AC , A < 90
0
), một cung tròn BC nằm trong ABC
và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông
góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB
, IK và Q là giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC

Bài 171: Cho ABC ( AC > AB ;
CAB

> 90
0
) . I , K theo thứ tự là các trung điểm
của AB , AC . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA
cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF . Hãy so
sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .
Bài 172: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =
2R
, một đờng thẳng (d) quay
quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .
a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới
hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC
của (O)

Bài173: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên
cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) AFC và BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn .
CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
22

Bài174: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là
một điểm bất kì trên cung nhỏ BD (
DEBE ;
) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R
2

c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số
ND
CN
Bài 175: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là
hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao
điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng
tròn (O) đờng kính AB
Bài 176: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =60
0
sao cho tia
Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC
2
= 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay
xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài177: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (
BAM ,

). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By
lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng
minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R
2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 178: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung
AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 179: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B (
CB

) và
vẽ đờng tròn tâm (O

) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây
cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O

) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O

) và MI
2
= MB.MC
(Lớp10- bộ đề toán)

Bài 180: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M
và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ
hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi
23
Bài 181: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho
C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các
điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần
lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR:
MAKNKD ;
cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 182: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia
CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi
M di động.
Bài 183: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ;
gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến
tại A của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .

a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố
định .
b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng
MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho
0
90

=AKM
.
Bài 184: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa
của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các
dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 185: Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến
chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O
1
) , (O
2
) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax
tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO
1

D và CO
2
E.
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR:

O
1
MO
2
vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc
với đờng thẳng d
Bài 186: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R
2
cố định và một điểm M di động
trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam
giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng
tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đ-
ờng tròn cố định.
Bài 187: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P

sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
24
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ?
Tại sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao
điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 188: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong
đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm
thứ hai N . Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở
điểm P .
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 189: Cho hai đờng tròn (O) , (O) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng
AO , AO cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O) lần l-
ợt tại các điểm thứ hai E , F .
a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O)
Bài 190: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng
tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng
trung trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D (
D nằm trong góc BOM ).
a)
CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b)

CMR : CA và DB vuông góc với AB
c)
CMR :
AMB
đồng dạng
COD

d)
CMR : AC.BD = R
2
Bài 191: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn .
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt
nhau tại K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ

. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S
thuộc đờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng
tròn cố định.
Bài 192: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng
tròn sao cho cung AC < 90
0
và
0
90

=DOC
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao

cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E
và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần l-
ợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M ,
O , B , K , S cùng thuộc một đờng tròn
Bài 193: Cho
ABC

(AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và
tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC .
Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các
25