skkn ti le thuc

Phòng gd& đt yên định
Trờng tHCS yên tâm
*** *** *** ***
Phơng pháp giảI
Một số bài toán về tỉ lệ
thức hay và khó
Ngời thực hiện:
Lê xuân Phơng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trờng thcs yên tâm
Tháng 04 Năm 2010
a. phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

Trong nhiều năm gần đây, đa số các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi học sinh giỏi khối 7;8
đặc biệt là thi vào các trờng THPT chuyên cũng nh năng khiếu thờng gặp những bài toán về tỉ lệ thức đặc
biệt là các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau hay và khó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán về tỉ lệ
thức.
Các bài toán này rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua
môn toán: Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, trong một bài toán để dần dần hình thành cho học sinh
thói quen đi tìm giải pháp tối u cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.
Loại bài toán này đa dạng nh vậy và nhiều bài toán học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc phân tích để
tìm ra lời giải . Nhng trong các tài liệu tham khảo chi mới dành một phần nhỏ để nói về vấn đề này hoặc
viêt rời rạc và các bài toán đa số là các bài khá đơn giản, rất ít bài nhằm phát huy t duy ở học sinh. Vì vậy
qua nhiều năm ôn học sinh giỏi, qua thực tế giảng dạy bản thân đã đọc tham khảo nhiều sách tài liệu về toán
tôi rút ra đợc một số dạng bài tập về tỉ lệ thức hay vá khó, và phơng pháp để giải các dạng bài toán đó nhằm
góp thêm tài liệu cho đồng nghiệp tham khảo trong việc bồi dỡng học sinh giỏi toán khối THCS.
1. ý nghĩa của đề tài :
Các bài toán về tỉ lệ thức và phơng pháp giải có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh :
+ Rèn luyện phơng pháp phân tích bài toán trớc khi bắt tay vào giải bài toán đó.
+ Rèn luyện kĩ năng giảI toán tỉ lệ thức.

+ Là vốn kiến thức cần thiết cho Học Sinh (HS) khi thi HS giỏi các cấp.
+ Là hành trang để các em thi vào THPT chuyên và không chuyên.
+ Là cơ sở vững chắc và vốn hiểu biết để các em ôn thi đại học sau này
+ Góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện và phát triển t duy ở học sinh.
Với ý nghĩa và tác dụng nh vậy, việc hớng dẫn học sinh tiếp cận và vận dụng các phơng pháp giải các bài
toán tỉ lê thức là vấn đề quan trọng.
2. Phạm vi đề tài :

Trong chơng trình toán THCS lợng kiến thức và chủ đề toán tơng đối rộng song ở đây tôi tập trung trình bày
một số bài toán về tỉ lệ thức hay và khó của bậc THCS chủ yếu là học sinh khá, giỏi toán khối THCS. Mỗi ph-
ơng pháp đợc trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát.
B. nội dung

I. Cơ sở lý luận :
Việc giải các bài toán về tỉ lệ thức đợc dựa trên hệ thống kiến thức trong trờng phổ thông nh: các
phép biến đổi tơng đơng, các quy tắc, các hằng đẳng thức , các tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau
Dựa trên trình độ và khả năng t duy, độ tuổi của HS.
II. Thực trạng của vấn đề.
1. Đặc điểm tình hình.
Trờng THCS Yên Tâm có truyền thống hiếu học, trình độ của Giáo Viên tơng đối đảm bảo, gần
80% trên chuẩn, nhiệt tình trong giảng dạy, luôn luôn tự trau dồi học hỏi kinh nghiệm của bạn bè
đồng nghiệp và sách báo, tài liệu tham khảo. Nhiều năm trở lại đây trờng luôn nằm trong tốp 10 của
huyện về chất lợng dạy và học, chất lợng mũi nhọn tơng đối tốt và luôn đứng từ thứ 5 đến thứ 10
trong các kì thi HS giỏi cấp huyện.
Nhà trờng có tủ sách phong phú về chủng loại sách để giáo viên có điều kiện tham khảo trong quá
trình dạy học.
Ngày nay với trình độ khoa học tiên tiến nên chúng ta đợc tiếp cận tốt hơn với những kiến thức mới,
những phát minh mới cũng nh học hỏi bạn bè trên khắp đất nớc.
Song tuy nhiều tài liệu nhng việc đọc và phân loại các bài toán cần có nhiều thời gian
Khó khăn trong việc hình thành và rèn luyện ở HS khả năng phân tích, so sánh , tổng hợp, tr ớc

khi giải toán.
2. Thực trạng:
Giáo viên môn toán thờng cha quan tâm đến vấn đề này, cha chú ý đến việc phân loại các dạng
bài, cha phân loại đối tợng HS để rèn luyện kỉ năng giải toán nói chung và các bài toán tỉ lệ thức nói
riêng cho các em HS .
Vì vậy chất lợng HS tuy có nhiều tiến bộ song vẫn còn thấp so với yêu cầu thực tế và tiềm năng của
HS. Đa số các em giải toán theo hớng dẫn của giáo viên một cách máy móc, cha biết nhìn nhận,
phân tích bài toán trớc khi giải, có khi còn mò mẫm lúng túng khi giải bài tập toán.
Theo khảo sơ bộ ở HS khối lớp 7, 8 là khối tiếp cận nhiều với toán tỉ lệ thức năm 2004-2005 cho
thấy :
+ Có 35% định hớng để giải đợc các bài toán tỉ lệ thức, 21% làm đợc một số bài đơn giản, 25%
làm mò mẫm số còn lại cha biết giải.
+ Trong mỗi lớp dạy tỉ lệ HS có khả năng giải toán còn thấp .
+ Chất lợng mũi nhọn không cao.
Với thực trạng nh vậy bản thân là một giáo viên dạy toán không khỏi lo lắng cho chất lợng dạy
tham khảo, lựa chọn và phân loại một số bài toán điển hình và phơng pháp giải các bài toán về bài
toán tỉ lệ thức hay và nh sau:
III. Ph ơng pháp giảI một số bài toán tỉ lệ thức hay và khó
Dạng 1: Từ một d y tỉ số bằng nhau chứng minh một d y tỉ số bằng ã ã
nhau khác.
Trong dạng này chúng ta cần chi thành một số loại điển hình sau:
Loại 1: Nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với mẫu tơng ứng.
Ví dụ 1: Cho
cy bz az cx bx ay
x y z

= =
Chứng minh rằng:
a b c
x y z

= =
Lời giải:
Ta có
cy bz az cx bx ay
x y z

= =



2 2 2 2 2 2
0
cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz
x y z x y z
+ +
= = = =
+ +


cy bz
x

= 0

cy-bz = 0

cy = bz

b c
y z

=
(1)
Và
az cx
y

= 0

az = cx

a c
x z
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
a b c
x y z
= =
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 3
x y z
a b c

= =
Lời giải:
Ta có
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c

= =

2 2 2
2 3 2.3 2 3 3.2
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c

= =
=
2 2 2
2 3 6 2 3 6
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
+ +
+ +
=0

2 3bz cy
a

= 0

2bz-3cy = 0

2 3
y z
b c
=
(1)
Và
3
2
cx az
b

= 0

3cx-az = 0


3
x z
a c
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 3
x y z
a b c
= =

(ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
Chứng minh rằng:
3 4 5
x y z
a b c
= =
Lời giải: Ta có
4 5 5 3 3 4
3 4 5
bz cy cx az ay bx
a b c

= =


2 2 2
12 15 20 12 15 20
9 16 25
abz acy bcx abz acy bcx
a b c

= =
= =

2 2 2
12 15 20 12 15 20
9 16 25
baz acy bcx abz ay bcx
a b c
+ +
+ +
= 0


4 5
3
bz cy
a

= 0 và
5 3
4
cx az
b

= 0

4bz -5cy = 0


4 5
y z
b c
=

(1)
Và 5cx -3az = 0

5 3
z x
c a
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
3 4 5
x y z
a b c
= =
(ĐPCM).
Tơng tự ta có thể cho HS làm các bài sau:
1.
3 4 4 2 2 3
2 3 4
cy bz az cx bx ay
x y z

= =
.CMR:
2 3 4
a b c
x y z
= =
2.
7 5 2 7 5 2cy bz az cx bx ay
x y z

= =
. CMR:
2 5 7a b c
x y z
= =
3.
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
.CMR:
x y z
a b c
= =
Loại 2: Đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng hằng số k hoặc
1
k
, sau đó tìm ra các
đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z

= =
+ + + +
Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
=k
Ta có:
2
2
4 4
x
k
a b c
y
k
a b c
c
k
a b c

=

+ +


=

+


=

+



2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +


= +



2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc

z ka kb kc
= + +


= +


= +

Cộng từng vế ta có: x+2y+z= 9ka

1
2 9
a
x y z k
=
+ +
Lại có
2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +

= +


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= + +


= +


= +

Cộng từng vế ta có: 2x+y-z = 9bk


1
2 9
b
x y z k
=
+
Tơng tự ta cũng có
1
4 4 9
c

x y z k
=
+
Khi đó ta có
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z z y x x y z
= =
+ + +
Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
k
a b c a b c a b c
= = =
+ + +
Khi đó ta có:

2
2
4 4
x
k
a b c
y
k
a b c
c
k
a b c

=

+


=




=

+ +


2
2

4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +


2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +

Cộng từng vế ta có: x+2y+z = 9ak

1

2 9
a
x y z k
=
+ +
Lại có
2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +


=


= + +


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z ka kb kc
= +

=


= + +

Cộng từng vế ta có: z-y-2x = 9bk

1
2 9
b
z y x k
=

Tơng tự ta có:
1
4 4 9
c
x y z k
=
+ +
Từ các kết quả trên ta có
2 2 4 4
a b c
x y z z y x x y z
= =
+ + +
(ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z

a b c a b c b a c
= =
+ + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + +
Lời giải: Lời giải: Ta đặt:
2 2 4 4
x y z
k
a b c a b c b a c
= = =
+ + +

Khi đó ta có:
2
2
4 4
x
k
a b c
y
k
a b c
c
k
b a c

=

+ +


=

+


=




2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=

2
2 4 2 2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=

Cộng từng vế ta có: x+2y-z = 9ak

1
2 9
a
x y z k
=
+
Lại có

2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc

z kb ka kc
= + +


= +


=


2 2 4 2
2
4 4
x ka kb kc
y ka kb kc
z kb ka kc
= + +


= +


=

Cộng từng vế ta có: 2x+y+z = 9bk

1
2 9
b
x y z k

=
+ +
Tơng tự ta có:
1
4 4 9
c
x y z k
=

Từ các kết quả trên ta có
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + +
(ĐPCM)
Bằng cách làm tợng tự ta có thể làm thêm các bài sau:
1. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:
2 2 4 4
x y z
b c a b c a c b a
= =
+
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z z x y z x y
= =
+ + +
2. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn:

2 2 4 4
x y z
a b c a b c b c a
= =
+ + + +
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z y z x
= =
+ + + +
Loại 3. Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc
1
k
nhng phải bình phơng hai vế của
đẳng thức tìm đợc để đi tìm các đẳng thức mà có một vế nh nhau.
Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
a bc b ac c ab
x y z

= =
Lời giải: Đặt
2 2 2

x yz y xz z xy
a b c

= =
=k
Khi đó ta có:
2
2
2
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=



2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
( )
( )
x yz a k
y zx b k

z xy c k

=

=


=


4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
2 (1)
2 (2)
2 (3)
x x yz y z a k
y xy z x z b k
z xyz x y c k

+ =

+ =


+ =

Lại có:
2
2

2
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=



2 2 2
2 2 2
2 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
x yz y zx abk
x yz z xy ack
y xz z xy bck

=

=


=

2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
(4)
(5)
(6)
x y x z y z xyz abk
x z x y yz xy z ack
y z xy xz x yz bck
+ =
+ =
+ =
Lấy (1)-(6) ta có : x(x
3
+y
3
+z
3
-3xyz) = k
2
(a
2
-bc)


3 3 3 2
2
x y z 3xyz a bc

k x
+ +
=
Lấy (2)-(5) ta có: y(x
3
+y
3
+z
3
-3xyz) = k
2
(b
2
-ac)


3 3 3 2
2
x y z 3xyz cb a
k y
+ +
=
Lấy (3)-(4) ta có: z(x
3
+y
3
+z
3
-3xyz) = k
2

(c
2
-ab)


3 3 3 2
2
x y z 3xyz c ab
k z
+ +
=
Khi đó ta có :
2 2 2
a bc b ac c ab
x y z

= =
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3

a bc b ac c ab
x y z

= =
Lời giải: Đặt
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
x yz y xz z xy
a b c

= =
=k
Khi đó ta có:
2
2
2
6
4 3 2
9 2 3
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 6 )
(4 3 ) 4
(9 2 ) 9
x yz a k
y zx b k
z xy c k

=

=


=


4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
12 36 (1)
16 24 9 4 (2)
81 36 4 9 (3)
x x yz y z a k
y xy z x z b k
z xyz x y c k

+ =

+ =


+ =

Lại có:
2
2
2
6
4 3 2
9 2 3
x yz ak
y zx bk
z xy ck

=

=


=



2 2 2
2 2 2

2 2 2
( 6 )(4 3 ) 2
( 6 )(9 2 ) 3
(4 3 )(9 2 ) 6
x yz y zx abk
x yz z xy ack
y xz z xy bck

=

=


=


2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
4 3 24 18 2 (4)
9 2 54 6 3 (5)
36 8 27 6 6 (6)
x y x z y z xyz abk
x z x y yz xy z ack
y z xy xz x yz bck
+ =
+ =
+ =
Mặt khác:
Lấy (1)-(6) ta có : x(x

3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k
2
(a
2
-6bc)


3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz a 6bc
k x
+ +
=

Lấy (2)-(5) ta có: 2y(x
3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k
2
(b
2
-ac)

3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz 4 3 c
2
b a
k y
+ +
=
Lấy (3)-(4) ta có: 3z(x
3
+8y
3
+27z
3
-6xyz) = k
2
(c
2
-ab)


3 3 3 2
2
x 8y 27z 6xyz 9 2
3
c ab
k z
+ +

=
Khi đó ta có
2 2 2
6 4 3 9 2
2 3
a bc b ac c ab
x y z

= =
(ĐPCM).
Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:
1. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
15 9 5 15 3
3 5
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
15 9 5 25 3
3 5
a bc b ac c ab
x y z

= =
2. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
9 20 16 15 25 12

3 4 5
x yz y xz z xy
a b c

= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
9 20 16 15 25 12
3 4 5
a bc b ac c ab
x y z

= =
3. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
2 2 2
x yz y xz xy z
a b c
+ +
= =
Chứng minh rằng:
2 2 2
a bc b ac ab c
x y z
+ +
= =
Loại 4: Đặt dãy tỉ số bằng hằng số k hoặc
1
k
sau đó cộng trừ một cách hợp
lý đẳng thức tìm đợc ta sẽ có kết quả của bài toán.

Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(y+z) = b(x+z)= c(x+y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b

= =


Lời giải: Đặt a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) = k
Ta có
(1)
(2)
(3)
k
y z
a
k
z x
b
k
x y
c

+ =

+ =



+ =



Lấy (!) - (2) ta đợc: y-x =
( )k b a
ab




x y k
a b ab

=



( )
x y k
c a b abc

=

Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y =
( )

( )
k c b y z k
bc a b c bac

=


Lấy (1) - (3) ta đợc: x-z =
( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac

=


Khi đó ta có
( ) ( ) ( )
y z z x x y
a b c b c a c a b

= =

(ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho ba số x,y,z khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
z(a+b) = x(b+c)= y(a+c)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x

= =


Lời giải: Đặt z(a+b) = x(b+c)= y(a+c) = k
Ta có:
(1)
(2)
(3)
k
a b
z
k
b c
x
k
c a
y

+ =



+ =



+ =

Lấy (1) (2) ta đợc: a-c =
( )
( )
k x z c a k
xz z x y xyz

=

Lấy (2)-(3) ta đợc : b-a =
( )
( )
k y x a b k
xy z x y xyz

=

Lấy (1) - (3) ta đợc: b-c =
( )
( )
k y z b c k
yz x y z xyz

=

Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
a b b c c a
z x y x y z y z x

= =

Ví dụ 3: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(y+z) = b(z-x)= c(y-x)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y x y z x z
c b a a b c b c a
+ +
= =

Lời giải: Đặt a(y+z) = b(z-x)= c(y-x) = k
Tacó:
(1)
(2)
(3)
k
z y
a
k
z x
b
k
y x
c

+ =



=

=


Lấy (1) - (2) ta đợc: x+ y =
( )k b a
ab




x y k
b a ab
+
=



( )
x y k
c b a abc
+
=

Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y =
( )
( )
k c b y z k

bc a b c bac

=

Lấy (1) - (3) ta đợc: x+z =
( )
( )
k a c z x k
ac b c a bac

=


Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau:
1. Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x-z)= c(x-y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y x y z x z
c b a a c b b c a
+ +
= =
+ +
2. Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:
a(z-y) = b(z+x)= c(x-y)
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
y z z x x y
c c b b c a c a b
+
= =

Dạng 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một đẳng thức:
Với loại này có rất nhiều laọi song ở đây tôi đề cập đến ba loại mà cách giải khá
quen với HS trong quá trình làm và có thể từ đó HS thấy rằng với cách đó có thể vận
dụng vào các bài toán rất hiệu quả.
Loại 1: Đó là đặt dãy tỉ số bằng k hoặc
1
k
từ đó ta tính giá trị hai vế của đẳng thức và
so sánh:
Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
x y z
a b c
= =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
( )a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ + =
+ +

Lời giải: Đ ặt
x y z
a b c
= =
= k Ta có : x=ka, y=kb và z=kc
Khi đó:
2 2 2

a b c
x y z
+ +
=
2 2 2
a b c a b c
ak bk ck k
+ +
+ + =
(1)

2
( )a b c
x y z
+ +
+ +
=
2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
+ + + +
=
+ +
(2)
Từ (1) và (20 suy ra
2 2 2 2
( )a b c a b c
x y z x y z

+ +
+ + =
+ +
(ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
x y z
a b c
= =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
+ +
=
+ + + +
Lời giải: Đ ặt
x y z
a b c
= =
= k Ta có : x=ka, y=kb và z=kc
Khi đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( )
x y z a k b k c k

ax by cz a k b k c k a b c
+ + + +
= =
+ + + + + +

Vậy ta suy ra:
2 2 2
2 2 2 2
1
( )
x y z
ax by cz a b c
+ +
=
+ + + +
(ĐPCM)
Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn:
3 4 5x y z
a b c
= =
.


1.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
( )
3 4 4 3 4 5
a b c a b c
x y z x y z

+ +
+ + =
+ +

Lời giải: Đ ặt
3 4 5x y z
a b c
= =
= k Ta có : 3x=ka, 4y=kb và 5z=kc
Khi đó:
2 2 2
3 4 5
a b c
x y z
+ +
=
2 2 2
a b c a b c
ak bk ck k
+ +
+ + =
(1)

2
( )
3 4 5
a b c
x y z
+ +
+ +

=
2
( )
( )
a b c a b c
k a b c k
+ + + +
=
+ +
(2)
Từ (1) và (20 suy ra
2 2 2 2
( )
3 4 5 3 4 5
a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ + =
+ +
(ĐPCM).
Ví dụ 4: Cho a,b,c thoả mãn:
2002 2003 2004
a b c
= =
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
Lời giải: Đặt
2002 2003 2004
a b c
= =

= k Ta có: a = 2002k, b = 2003k và c= 2004k
Khi đó 4(a-b)(b-c) = 4(2002k-2003k)(2003k-2004k) = 4k
2
(a-c)
2
= (2002k- 2004k)
2
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
(ĐPCM).
Ví dụ 5: Cho a,b,c thoả mãn:
1 2
a b c
x x x
= =
+ +
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1 2
a b c
x x x
= =
+ +
= k ta có: a= kx, b= k(x+1) và c = k(x+2)
Khi đó : 4(a-b)(b-c)=
[ ] [ ]
( 1) ( 1) ( 2)kx k x k x k x + + +

= 4k
2
(a-c)
2
=
[ ]
2
( 2)kx k x +
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
(ĐPCM).
Ví dụ 6: Cho a,b,c thoả mãn:
1 1
a b c
x x x
= =
+
Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
Lời giải: Đặt
1 1
a b c
x x x
= =
+
= k ta có: a= k(x-1), b= kx và c = k(x+1)
Khi đó : 4(a-b)(b-c)=
[ ] [ ]

( 1) ( 1)k x kx kx k x +
= 4k
2
(a-c)
2
=
[ ]
2
( 1) ( 1)k x k x +
= 4k
2
Suy ra: 4(a-b)(b-c)= (a-c)
2
(ĐPCM).

Đôi khi ta cũng có thểỉ dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí ta cũng có thể đi
đến kết quả một cách dễ dàng
Ví dụ 7: Cho bốn số a,b,c,d khác 0 thoả mãn:
a b c
b c d
= =

Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +

Lời giải:
a b c
b c d
= =
=
3 3 3
3 3 3
a b c
b c d
= =
=
3 3 3
3 3 3
a b c
b c d
+ +
=
+ +
3
3
b
c
=
2
2
b b acb a
c c bdc d
= =

Vậy

3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
(ĐPCM).
Bằng cách tơng tự có thể giảI các bài toán sau:
1. Cho a,b,c thoả mãn:
1997 1996 1995
a b c
= =

Chứng minh rằng: 4(a-b)(b-c)=(a-c)
2
2. Cho x,y,z khác 0 thoả mãn:
1 2 3
x y z
= =
. Chứng minh rằng: (x+y+z)(
1 4 9
) 36
x y z
+ + =
Loại 2: Từ một dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện của bài toán ta cũng có thể chứng
minh đợc một đẳng thức đúng. Với loại này ta cũng nên đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k hoặc
1
k
nào đó.

Ví dụ 1: Cho
2 2 2
1
1
a b c
a b c
x y z
a b c

+ + =

+ + =



= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Lời giải: Đặt
x y z
a b c
= =
=
1
k
Ta có: xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a +b + c = 1


xk+ ky + kz =1

k( x +y + z) =1


k
2
( x + y + z)
2
= 1


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2xy+2yz +2zx) = 1


k
2
( x
2
+ y
2

+ z
2

) + 2( xy + yz + zx) =1
Mặt khác :
2 2 2
1a b c+ + =


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) = 1
Suy ra: 1 + 2( xy + yz + zx) =1

xy + yz + zx = 0
Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho
2 2 2
3
9
a b c
a b c
x y z

a b c

=

+ + =




= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Lời giải: Đặt
x y z
a b c

= =
=
1
k
Ta có: - xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a - b - c = 3


- xk- ky - kz =3


- k( x +y + z) =3

k

2
( x + y + z)
2
= 9


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2xy+2yz +2zx) =9


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) + 2( xy + yz + zx) =9
Mặt khác :
2 2 2

9a b c+ + =


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) = 9
Suy ra: 9 + 2( xy + yz + zx) =9


xy + yz + zx = 0
Vậy xy + yz + zx = 0 (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho
2 2 2
4
16
a b c
a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =

= =

Chứng minh rằng: xy + yz = zx
Lời giải: Đặt
x y z
a b c
= =
=
1
k
Ta có: xk = a, yk = b và kz = c
Khi đó: a - b + c = -4


xk- ky + kz = - 4


k( x - y + z) = - 4

k
2
( x - y + z)
2
= 16


k

2
( x
2
+ y
2
+ z
2

- 2xy - 2yz + 2zx) =16


k
2
( x
2
+ y
2
+ z
2

) - 2( xy + yz - zx) =16
Mặt khác :
2 2 2
16a b c+ + =


k
2
( x
2

+ y
2
+ z
2

) = 16
Suy ra: 16 - 2( xy + yz - zx) =16


xy + yz - zx = 0
Vậy xy + yz = zx (ĐPCM).
Tơng tự ta cũng có thể cho HS vận dụng các bài sau một cách tơng tự.
1. Cho
2 2 2
7
49
a b c
a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =



= =

Chứng minh rằng: xy = yz + zx

2. Cho
2 2 2
1
1
a b c
a b c
x y z
a b c

+ =

+ + =




= =

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0
Loại 3. Ta có thể chứng minh đồng thời một đẳng thức và một dãy tỉ số: Với dạng này ta
lại không đặt dãy tỉ số bằng hằng số k mà ta nên kết hợp các cặp tạo nên các dẳng thức và
sử dụng phép biến đổi để đI đến đáp số:
Ví dụ1: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
2 1 2 1 1
2
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.

Chứng minh rằng: a = 2b = c hoặc 4a
2
b
2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
2 1 2 1 1
2
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:
2 1 2 1
2
ab bc
b c
+ +
=


1 1
2
2
a b
b c
+ = +

1 1 2
2
2 2
b c
a b
c b bc

= =
(1)

2 1 1bc ac
c a
+ +
=



1 1
2b c
c a
+ = +



1 1
2
c a

b c
a c ac

= =
(2)
2 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
+ +
= + = + = =
(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(a-2b)(2b-c)(a-c) =
2
2
b c
bc

.
c a
ac

.
2
2
b a
ab

=
2 2 2
(2 )( )(2 )
4
b c c a b a
a b c

Suy ra: (a-2b)(2b-c)(a-c) -
2 2 2
(2 )( )(2 )
4
b c c a b a
a b c

= 0


(a-2b)(2b-c)(a-c)
(
1-
2 2 2
1
4a b c
)
= 0


(a-2b)(2b-c)(a-c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1

4a b c
= 0
* Nếu (a-2b)(2b-c)(a-c) = 0
Nếu a = 2b

2b = c

a = 2b = c
Nếu 2b = c

a = c

a = 2b = c
Nếu a = c

2b = a

a = 2b = c
* Nếu 1-
2 2 2
1
4a b c
= 0

4a
2
b
2
c
2

=1.
Vậy a = 2b = c hoặc 4a
2
b
2
c
2
=1. (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
2 1 6 1 3 1
2 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a = 2b = 3c hoặc 36a
2
b
2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
2 1 6 1 3 1
2 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:
2 1 6 1
2 3
ab bc
b c
+ +
=


1 1
2
2 3
a b
b c
+ = +



1 1 2 3
2
3 2 6
b c
a b
c b bc

= =

(1)

6 1 3 1
3
bc ac
c a
+ +
=



1 1
2 3
3
b c
c a
+ = +



1 1 3
2 3
3 3
c a
b c
a c ac

= =

(2)

2 1 3 1 1 1 1 1 2

3 3
2 2 2 2
ab ac b a
a c a c
b a b a a b ab
+ +
= + = + = =

(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(a-2b)(2b-3c)(a-3c) =
2 3
6
b c
bc

.
3
3
c a
ac

.
2
2
b a
ab

=
2 2 2

(2 )( )(2 )
36
b c c a b a
a b c

Suy ra: (a-2b)(2b -3 c)(a - 3 c) -
2 2 2
(2 3 )(3 )(2 )
36
b c c a b a
a b c

= 0


(a-2b)(2b-3c)(a-3 c)
(
1-
2 2 2
1
36a b c
)
= 0


(a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1
36a b c
= 0

* Nếu (a-2b)(2b-3c)(a-3c) = 0
Nếu a = 3c

2b = a

a = 2b = 3c
Nếu a = 2b

2b = 3c

a = 2b = 3c
Nếu 2b = 3c

a = 3c

a = 2b = 3c
* Nếu 1-
2 2 2
1
36a b c
= 0

36a
2
b
2
c
2
=1.
Vậy: a = 2b = 3c hoặc 36a

2
b
2
c
2
=1. (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
12 1 4 1 3 1
4 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng:3 a = 4b = c hoặc 144a
2
b
2
c
2
=1.
Lời giải: Từ
12 1 4 1 3 1
4 3
ab bc ac
b c a
+ + +
= =

Ta có:

12 1 4 1
4
ab bc
b c
+ +
=


1 1
3 4
4
a b
b c
+ = +



1 1 4
3 4
4 4
b c
a b
c b bc

= =
(1)

4 1 3 1
3
bc ac

c a
+ +
=



1 1
4
3
b c
c a
+ = +



1 1 3
4
3 3
c a
b c
a c ac

= =
(2)

12 1 3 1 1 1 1 1 4 3
3 3
4 3 4 3 3 4 12
ab ac b a
a c a c

b a b a a b ab
+ +
= + = + = =
(3)
Nhân từng vế của ba đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
(3a-4b)(4b-c)(3a-c) =
4
4
b c
bc

.
3
3
c a
ac

.
4 3
12
b a
ab

=
2 2 2
(4 )( 3 )(4 3 )
144
b c c a b a
a b c

Suy ra: (3a-4b)(4b - c)(3a - c) -
2 2 2
(4 )( 3 )(4 3 )
144
b c c a b a
a b c

= 0


(3a-4b)(4b-c)(3a- c)
(
1-
2 2 2
1
144a b c
)
= 0


(3a-4b)(4b-c)(3a-c) = 0 hoặc 1-
2 2 2
1
144a b c
= 0
* Nếu (3a-4b)(4b-c)(4a-c) = 0
Nếu 3a = 4b

4b = c

3a = 4b = c
Nếu 4b = c

3a = c

3a = 4b = c
Nếu 3a = c

4b = 3a

3 a = 4b = c
* Nếu 1-
2 2 2
1
144a b c
= 0

144a
2
b
2
c
2
=1.
Vậy: 3a = 4b = c hoặc 144a
2
b
2
c
2

=1. (ĐPCM
Tơng tự ta có thể làm bài toán sau:
1. Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
1 1 1ab bc ac
b c a
+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a
2005
+
2006
1
b
= b
2005
+
2006
1
c
=
2005
2006
1
c
a
+
2. Cho a,b,c khác 0 và thoả mãn:
1 1 1ab bc ac
b c a

+ + +
= =
.
Chứng minh rằng: a
n
+
1
1
n
b
+
= b
n
+
1
1
n
c
+
=
1
1
n
n
c
a
+
+
(với n là số tự nhiên lẻ)
Dạng 3: Tìm x;y;z trong bài toán tỉ lệ thức: Với dạng này loại bài toán đơn giản là bài

toán cho dãy tỉ số bằng nhau và thêm một điều kiện là một đẳng thức phụ thuộc các biến.
Song ở đây tôI muốn đề cập đến một số bài mang tính nhạy cảm tuy không khó lắm nhng
HS thờng khó sử lý một cách thuộn lợi cho cách giải.


Ví dụ 1: Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
1
xy zy xz
y z x

= = =
PP: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó
nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z. Vì dãy tỉ số bằng 1 nên ta sẻ
tìm đợc giá trị của x;y;z.
Lời giải: Từ
1 1 1
1
xy zy xz
y z x

= = =
. Ta có:
*
1 1xy zy
y z

=

1 1
x y
y z
=


1 1 z y
x y
y z yz

= =
*
1 1zy xz
z x

=


1 1
y z
z x
=


1 1 x z
y z
z x xz

= =

*
1 1xy xz
y x

=



1 1
x z
y x
=


1 1 x y
x z
y x xy

= =
Từ các đẳng thức tìm đợc ở trên ta có:
( )( )( )
z y
x y y z x z
yz

=
.
x z
xz

.
x y
xy

=
2 2 2
( )( )( )x y z y x z
x y z


( )( )( )x y y z x z

2 2 2
( )( )( )x y z y x z
x y z

= 0

( )( )( )x y y z x z
(1-
2 2 2
1
x y z
) = 0

( )( )( )x y y z x z
= 0 hoặc 1-
2 2 2
1
x y z

= 0
*Nếu
( )( )( )x y y z x z
= 0
+) Nếu x - y = 0

y = z

x=y=z mà
1
x
y

= 1

x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

+) Nếu y-z = 0

x = z

x=y=z mà
1
x

y

= 1

x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

+) Nếu z x = 0

y = x

x=y=z mà
1
x
y

= 1

x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

* Nếu 1-
2 2 2
1
x y z
= 0

x
2
y
2
z
2
= 1

xyz = 1 hoặc xyz = - 1
+) Nếu xyz = 1 Do
1
1
xy
y

=


1
1x
y
=

x =
1
1
y
+
nên (
1
1
y
+
)yz = 1


z + yz = 1 mà
1
1y
z
=
suy ra z + z (1+
1
z
) = 1


2z = 0

z = 0 vô lý vì x;y;z khác 0.
Suy ra không tồn tại x;y;z trong trờng hợp này.
+) Nếu xyz = -1 Do

1
1
xy
y

=


1
1x
y
=


x =
1
1
y
+
nên (
1
1
y
+
)yz = -1


z + yz = -1 mà
1
1y

z
=
suy ra z + z (1+
1
z
) = -1


2z = -2

z = -1 suy ra y = 0 suy ra không tồn tại x.
Vậy x = y= z =
1 5
2
+
; x = y= z =
1 5
2

.
Ví dụ 2: Tìm x;y;z khác không thoả mãn
2 1 6 1 3 1
1
2 3
xy zy xz
y z x

= = =
Lời giải: Từ
2 1 6 1 3 1

1
2 3
xy zy xz
y z x

= = =
. Ta có:
*
2 1 6 1
2 3
xy zy
y z

=



1 1
2
2 3
x y
y z
=


1 1 3 2
2
2 3 6
z y
x y

y z yz

= =
*
6 1 3 1
3
zy xz
z x

=


1 1
2 3
3
y z
z x
=


1 1 3
2 3
3 3
x y
y z
z x xz

= =
*
2 1 3 1

2
xy xz
y x

=



1 1
3
2
x z
y x
=


1 1 2
3
2 2
x y
x z
y x xy

= =
Từ các đẳng thức tìm đợc ở trên ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3 2
2 2 3 3

36
z y x z x y
x y y z x z
x y z

=

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 2 3 3 (1 )
36
x y y z x z
x y z

= 0

( ) ( ) ( )
2 2 3 3 0x y y z x z =
hoặc 1-
2 2 2
1
36x y z
= 0
*Nếu
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 0x y y z x z =
+) Nếu x - 2y = 0

2y = 3z

x=2y=3z mà
1
2
x
y

= 1

x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=

1 5
4

+) Nếu 2y-3z = 0

x = 3z

x=3y=3z mà
1
2
x
y

= 1

x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4

+) Nếu 3z x = 0

2y = x

x=2y=3z mà
1
2
x
y

= 1

x =
1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=

1 5
6
+
x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4

* Nếu 1-
2 2 2
1
36x y z
= 0

x
2
y
2
z
2
= 36

xyz = 6 hoặc xyz = - 6

+) Nếu xyz = 6 Do
2 1
1
2
xy
y

=


1
1
2
x
y
=


x =
1
1
2y
+
nên (
1
1
2y
+
)yz = 6

z + 2yz = 12 mà 2
1
1
3
y
z
=
suy ra z + z (1+
1
3z
) = 12



2z =
35
3


z =
35
6


y =
37
70
và x =
72

37
+) Nếu xyz = -6. Do
2 1
1
2
xy
y

=


1
1
2
x
y
=


x =
1
1
2 y
+
nên (
1
1
2 y
+
)yz = -6

z + 2yz = -12 mà
1
2 1
3
y
z
=
suy ra z + z (1+
1
3z
) = -12

2z = -
37
3


z =
37
6

suy ra y =
35
74
và x=
72
35
Vậy x =

1 5
2
+
; y =
1 5
4
+
;z=
1 5
6
+
hoặc x =
1 5
2

; y=
1 5
4

;z=
1 5
4


hoặc z =
35
6
;y =
37
70

và x =
72
37
hoặc z =
37
6

; y =
35
74
và x=
72
35
Tơng tự ta có thể giải các bài toán sau:
1. Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
1
xy zy xz
y z x

= = =
2. Tìm x;y;z khác không thoả mãn
1 1 1
2
xy zy xz
y z x

= = =
3 . Tìm x;y;z thoả mãn: 4x y
2

= 4y-z
2
= 4z-x
2
= 1
4. Tìm x;y;z thoả mãn: 3x-y
2
= 3y z
2
= 3z x
2
=1
Dạng 4: Từ đẳng thức cho trớc, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại toán này
thông thờng chúng ta nên hớng dẫn HS dùng phép biến đổi tơng đơng để đa đẳng thức về
dạng tổng của các số không dơng hoặc không âm.
Ví dụ 1: Cho a;b;c thoả mãn (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng:
6 3 2
a b c
= =
Lời giải: Do (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0
Nên

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +




a
4
+16b
4
+81c
4
= 9a
2
c
2
+4a
2
b
2
+36b
2
c
2

2(a
4
+16b
4
+81c
4
) = 2(9a
2
c
2
+4a
2
b
2
+36b
2
c
2
)


(a
4
-8b
2
a
2
+16b
4

) +( 16b
4
-72b
2
c
2
+81c
4
)+ (81c
4
-18a
2
c
2
+a
4
) = 0


(a
2
- 4b
2
)
2
+(4b
2
-
2
9c

)
2
+ (
2
9c
- a
2
)
2
= 0 (*)
Do (a
2
- 4b
2
)
2
0 , (4b
2
-
2
9c
)
2
0 và (
2
9c
- a
2
)
2

0 nên
(*)


2 2
2 2
2 2
4 0
4 9 0
9 0
a b
b c
c a

=

=


=




2 2
2 2
2 2
4
2
4 9 2 3

3
9
a b
a b
b c b c
c a
c a

=
=



= =


=
=





6 3 2
a b c
= =
Vậy Nếu (a+2b)(2b+3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9

2 2 3 3 2 3 3 2
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Thì
6 3 2
a b c
= =
(ĐPCM).

Ví dụ 2: Cho a;b;c thoả mãn (a- b)(b+2c)(2c-a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +
Chứng minh rằng:
2 2 1
a b c
= =
Lời giải: Do (a- b)(b+2c)(2c-a) 0
Nên
2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c

a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +

a
4
+b
4
+ 16c
4
- 4a
2
b
2
- 4b
2
c
2
a
2
b
2
= 0

2a
4
+2b
4
+ 2.16c
4

- 8a
2
b
2
- 8b
2
c
2
8a
2
b
2
= 0

(a
2
-b
2
)
2
+ (a
2
- 4c
2
)
2
+ (b
2
- 4c
2

)
2
= 0 Do (a
2
-b
2
)
2
0; (a
2
- 4c
2
)
2
0 và (b
2
- 4c
2
)
2
0


2 2
2 2
2 2
0
4 0
4 0
a b

a c
b c

=

=


=



2 2
2 2
2 2
4
4
a b
a c
b c

=

=


=

2
2
a b
a c
b c
=


=


=




2 2 1
a b c
= =
Vậy (a- b)(b+2c)(2c-a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ = + +
+ +
thì

2 2 1
a b c
= =
(ĐPCM).
Tơng tự có thể giải các bài toán sau:
1. Cho a;b;c thoả mãn (2a+3b)(3b+4c)(2c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 8 4 9 16
2 3 3 4 2 3 4 2 4 2 3
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng:
6 4 2
a b c
= =
2. Cho a;b;c thoả mãn (a- 2b)(2b- 3c)(3c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
4 9 4 9
2 2 3 3 3 2 3 2
a b c a b c
a b b c c a c b a c a b
+ = + +
+ +
Chứng minh rằng:
6 3 2
a b c

= =

3. Cho a;b;c thoả mãn (a+ b)(b+c)(c+a) 0 và

2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b b c a c b c a c a b
+ + = + +
+ + + + + +
Chứng minh rằng: a=b=c
Dạng 5: Tính giá trị của một biểu thức từ một dãy tỉ số bằng nhau: Với loại này ta nên h-
ớng dẫn HS áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí hoặc mỗi tỉ số tách
thành tổng hoặc hiệu hai phân thức. Cũng có thể áp dụng tính chất tỉ lệ thức cũng có thể
đi đến kết quả:

Ví dụ 1: Cho a; b; c khác 0 và
a b c a b c b c a
c b a
+ + +
= =
Tính giá trị của biểu thức A =
( ) ( ) ( )
a b b c a c
abc
+ + +
Lời giải: Ta có:
a b c a b c b c a
c b a
+ + +
= =

1 1 1
a b a c b c
c b a
+ + +
= =



2 2 2
2
a b a c b c a b c
c b a a b c
+ + + + +
= = = =
+ +



2
2
2
a b c
b c a
a c b
+ =

+ =


+ =

Suy ra A =
( ) ( ) ( )
2 .2 .2
8
a b b c a c
a b c
abc abc
+ + +
= =
Vậy A = 2 (ĐPCM).
Vídụ 2: Cho a; b; c khác 0 và
b c a a b c b c a
c b a
+ + + +
= =
Tính giá trị của biểu thức A =
( ) ( ) ( )
b a c b a c
abc
+
Lời giải: Ta có:
b c a a b c b c a
c b a
+ + + +
= =

1 1 1
b a a c b c
c b a
+
+ = + = +


2
b a a c b c b a a c a c
c b a c b a
+ +
= = = =
+
2
2
2
b a c
a c b
c b a
=


+ =


=

Suy ra A =

( ) ( ) ( )
2 .( 2 ).( 2 )
8
b a a c c b
a b c
abc abc
+

= =
Vậy A = 8
Ví dụ 3: Cho x;y;z thoả mãn:
x y z t
y z t z t x x t y x y z
= = =
+ + + + + + + +
tính giá trị của P =
x y y z z t t x
z t t z x y z y
+ + + +
+ + +
+ + + +
Lời giải: Ta có
x y z t
y z t z t x x t y x y z
= = =
+ + + + + + + +



1 1 1 1

x y z t
y z t z t x x t y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +




x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x t y x y z
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + +


y+z+t = z+t+x = x+t+y = x+y+z


x = y = z = t
Suy ra: P = 4